Neidnicht, Martin

Nützel, Florian

Rieg, Frank

Roith, Bernd

Wehmann, Christoph

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8. Gemeinsames Kolloquium Konstruktionstechnik 2010 Finite Elemente Analysen zur Berechnung von Maschinenelementen mit nichtlinearem Verhalten Christoph Wehmann, Martin Neidnicht, Florian Nützel, Bernd Roith, Frank Rieg Lehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD, Universität Bayreuth Universitätsstraße 30, 95440 Bayreuth E-Mail: christoph.wehmann@uni-bayreuth.de Internet: www.konstruktionslehre.uni-bayreuth.de Inhalt: Die vorliegende Arbeit untersucht Berechnungsmöglichkeiten für die Kennlinienbestimmung von Tellerfedern. Es werden Finite Elemente Analysen mit verschiedenen Elementtypen, Elementformulierungen und Diskretisierungsgraden betrachtet. Ziel der Analysen ist die korrekte Beschreibung der auftretenden Nichtlinearität. Die Güte der Berechnungsergebnisse wird mit Hilfe der experimentell abgesicherten Kennlinie von Almen und László bewertet. Abstract: The present publication analyzes possibilities to calculate the characteristic curve of disk springs. Therefore it contains Finite Element Analysis with different element types, element formulation and mesh fineness. The intention is getting a correct model of the nonlinear behavior. The performance of the results will be evaluated by the characteristic curve of Almen and László. Stichwörter: Tellerfeder, Federkennlinie, Finite Elemente Analyse, Elementformulierung, Elementtyp. Keywords: disk spring, characteristic curve, Finite Element Analysis, element formulation, element type. 1 Zielsetzung Die Berechnung von Maschinenelementen mit nichtlinearem Verhalten und die dazu notwendigen Vorgehensweisen hinsichtlich der Modellbildung stehen im Mittelpunkt der folgenden Betrachtungen. Dazu werden verschiedene Finite Elemente Analysen zur Berechnung der Kennlinien von Tellerfedern durchgeführt. Die Analysen unterscheiden sich durch Elementtyp, Elementformulierung und Diskretisierung. Als Elementtypen kommen lineare und quadratische Tetraeder und Hexaeder aus [1] zum Einsatz. Die Elementformulierung betreffend wird die Eignung der totalen Lagrange'schen Formulierung [2] untersucht. Außerdem wird der Gewinn an Ergebnisgüte gegenüber der klassischen, linearen Formulierung herausgearbeitet. Schließlich wird der Einfluss des Diskretisierungsgrads geprüft. 2               Zur BereFunktionadiskreten 2 Mod2.1 GrunAls BerecTellerrandAxialrichtuLagerung auf die Kn2.2 TotalDie Elemwenn ledElementfoNichtlineadie 2. PioStruktur dDehnungs                chnung dlität des Orten mecellbildundlegendeshnungsgru reibungsng ist fixohne die oten des iBild 1: Me Lagrangentformuliiglich Vrmulierungritäten exla-Kirchhoefiniert istmaß, die               er KennPräprozeshanische g und V Finite Elndlage dfrei in diert. Ein radiale Benneren Teodell der Tee'sche unerung erfoerschiebun ist dies distieren meff'sche S. Auch daLagrange           linien wirsors von Größen üborgehenemente Mient die iner Tellerevirtueller wegungsfllerrandesllerfeder mit d klassisrdert die gen berie technishrere Sppannung Ss zur total'sche Deh                d eine eZ88 Aurer den Ve odell  Bild 1 gebene beFixpunkt reiheit einz aufgebracRandbedingche ElemWahl eineechnet wche Spannannungsm angeween Lagrannung ߣ, is                igens fürora® [3] arlauf der Vzeigte Teweglich igewährleiuschränkeht. ungen, dargentformus geeignerden sung ߪ. Zuaße, insgndet, die ge'schen t bezogen                 diese Zngewenderformungllerfeder, st. Allein stet eine n. Die Krestellt in Z88lierung eten Spanollen. Ber Beschreesamt 16 bezogen Elementfo auf die u       wecke eet. Sie e aufzuzeibei der ddie Bewstatisch aft wird gle Aurora® nungsmai der klibung geomStück [4].auf die unrmulierungnverformtntwickelterlaubt, anchnen.  er äußereegung inbestimmteichmäßigßes, auchassischenetrischer Hier wirdverformte gehörigee Struktur                         3  definiert. In Tabelle 1 ist ein Überblick über einige Spannungs- und Dehnungsmaße gegeben. Tabelle 1: Übersicht über verschiedene Spannungs- und Dehnungsmaße Spannungsmaß Arbeitskonjugiertes Dehnungsmaß Technische Spannung ߪ Technische Dehnung ߝ 2. Piola-Kirchhoff'sche Spannung S Lagrange'sche Dehnung ߣ Cauchy'sche Spannung ߪ௖ Euler'sche Dehnung ߟ Im nächsten Schritt müssen Spannung und Dehnung über ein Materialgesetz verknüpft werden. Für die klassische Elementformulierung wird das Hooke'sche Gesetz nach Gl. (1) verwendet. ࣌ = ࡯ ࣕ (1)Bei der totalen Lagrange'schen Elementformulierung findet die Übertragung des Hooke'schen Gesetzes auf die Theorie endlicher Dehnungen, das St. Venant'sche Gesetz (2), Anwendung [5]. ࡿ = ࡯ ࣅ (2)In den Gleichungen (1) und (2) ist mit ࡯ die Materialmatrix bezeichnet, die aus Elastizitätsmodul und Querkontraktionszahl berechnet werden kann [1]. 2.3 Tetraeder- und Hexaederelemente, Diskretisierung Die Kennlinien werden mit Hilfe von vier verschiedenen Elementen berechnet. Es kommen zwei Z88-Tetraederelemente, Tetraeder Nr. 16 mit 10 Knoten und Tetraeder Nr. 17 mit 4 Knoten, zum Einsatz, sowie die Z88-Hexaederelemente Hexaeder Nr. 1 mit 8 Knoten und Hexaeder Nr. 10 mit 20 Knoten. Die Integrationsordnung zur Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen wird gemäß der Empfehlung in [1] gewählt. Die Elemente werden außerdem in unterschiedlich fein diskretisierten Netzen verwendet. Die feinsten Netze besitzen knapp 75.000 Freiheitsgrade, während die gröbsten Netze nur ungefähr 5.000 Freiheitsgrade umfassen. 2.4 Computertechnische Auswertung Aufgrund der Symmetrie genügt es, die Verschiebung eines Knotens des belasteten Tellerinnenrandes zu betrachten. Dieser Knoten kann in Z88 Aurora® über die grafische 4                                                                                                                Benutzeroberfläche gewählt werden, so dass der Gleichungslöser für jede Laststufe die zugehörige Verschiebung in Achsrichtung ausgibt. Diese Berechnungsergebnisse dienen als Grundlage für die Untersuchungen in Kapitel 3. 3 Ergebnisse und Auswertung der Berechnungen von Tellerfedern 3.1 Analytische Referenzberechnung Die Güte der mittels der Finite Elemente Analyse berechneten Kennlinien wird über die Abweichung von der Kennlinie nach Almen und László bewertet. Der entsprechende Zusammenhang zwischen Kraft und Weg ist in (3) dargestellt, entnommen aus [6]. ܨ = 4 ∙ ܧ1 − ߥଶ ∙ݐସܭଵ ∙ ܦ௘ଶ∙ ݏݐ ∙ ൤൬ℎ଴ݐ −ݏݐ൰ ∙ ൬ℎ଴ݐ −ݏ2ݐ൰ + 1൨ (3)Die Eingabewerte sind E=206.000 N/mm², ߥ=0.3, De=112 mm, Di=57 mm, h0=3,9 mm, t= 3,0 mm und K1=0,687. 3.2 Einfluss der Elementformulierung Die beiden verwendeten Elementformulierungen führen bei der Kennlinienberechnung auf deutlich unterschiedliche Kurven. Sind Elementtyp und Diskretisierungsgrad gleich, liegt die mittels der totalen Lagrange'schen Formulierung errechnete Linie stets näher an der Referenzlinie als bei Berechnung über die klassische Elementformulierung.  Bild 2: Berechnete Federkennlinien für verschiedene Elementformulierungen 05.00010.00015.00020.00025.0000,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5Kraft F / NVerschiebung s / mmKlassische ElementformulierungTotale Lagrange'sche ElementformulierungAlmen und László InsbesondHexaederReferenzlsehen. DaDie totalenach AlmangenomBewegungnach sich 3.3 EinfluAus Kapitfür die Kgearbeitetin Kapitelbesitzen jFormfunkDie anderAbweichuAnnäheru5.10.15.20.25.Kraft F / N ere bei V Nr. 10 einie. In Bis zu Gru Lagrangeen und Lámene reib behindeziehen. ss von Eel 3.2 gehennlinienb. Es soll n 2.3 besceweils knationen keinBild 3en drei Elng von deng der au00000000000000000,0  erwendunrhält man ld 2 sind nde liegen'sche Forszló. Diesungsfreie rn und könlementtypt hervor, derechnungun der Einhriebenen pp 10.000e gute Üb: Berechnetementtyper Referenf Tetraede0,5TetraedTetraedHexaedHexaedAlmen  g der Elemeine sehdie mit Tede Netz bmulierung könnte aLagerung nte so ei und Diskass die to geeignefluss des Elementty Knoten. ereinstimme Federkennn dagegezlinie. Mitrn Nr. 171,0Verser Nr. 17 mer Nr. 16 mer Nr. 1 mit er Nr. 10 mund László enttypenr gute Antraedern esitzt 533 liefert einuf die im zurückzufn weniger retisieruntale Lagrat ist. DahElementtypen heraIn Bild 3 isung mit dlinien, totalen führen a zunehme basierend1,5chiebung sit 4 Knotenit 10 Knoten8 Knotenit 20 Knoten  Tetraedenäherung Nr. 16 be2 Elemene leicht dFinite Elemühren seinachgiebgsgrad nge'sche er wird fops untersungezogen.t zu seheer Refere Lagrange'suf eine Fend feinereen Kennl2,0 / mmr Nr. 16, Han die anrechneten te und 33egressiveente Modn. Reibuniges VerhaElementfortan mit dcht werde Alle vier n, dass Tenzlinie liefeche Formuliderkennlinr Diskretisinie an die2,5  exaeder alytisch bFederken252 Freihre Kennlinell näherug würde dlten der Trmulierungieser Forn. Dazu wverwendetraeder mrn.  erung ie mit sehierung ko beiden L3,05 Nr. 1 underechnetenlinien zueitsgrade.ie als diengsweiseie radialeellerfeder sehr gutmulierungerden dieten Netzeit linearenr geringernnte eineinien, die3,5                6                                                                                                                von Elementen mit quadratischen Formfunktionen stammen, beobachtet werden. Dies könnte auf die unzureichende Abbildungsgenauigkeit des Tetraeders Nr. 17 hinsichtlich des Spannungsverlaufs zurückzuführen sein. Tetraeder mit linearen Formfunktionen besitzen eine über das Element konstante Spannung. Daher sind in Dickenrichtung mehrere Elemente notwendig, um die Spannungen mitten in der Tellerfeder wiederzugeben und gleichzeitig die Randbedingung einer kräftefreien Oberfläche einzuhalten. Auch bei den Hexaedern Nr. 1 konnte die gleiche Annäherung mit zunehmend feineren Netzen festgestellt werden. Die Änderung ist hier allerdings nicht so stark, was auf die Abbildungsmöglichkeit von linearen Spannungsverläufen zurückzuführen sein könnte. 4 Zusammenfassung und Ausblick Es konnte gezeigt werden, dass die totale Lagrange'sche Elementformulierung sehr gut zur Beschreibung des nichtlinearen Verhaltens von Tellerfedern geeignet ist. Hinsichtlich der Elementtypen weisen die Elemente Tetraeder Nr. 16, Hexaeder Nr. 1 und Hexaeder Nr. 10 geringe Abweichungen von der Referenzlinie auf. Tetraeder Nr. 17 dagegen zeigt hohe Abweichungen von der Referenzlinie. In weiteren Untersuchungen wäre zu klären, ob das leicht nachgiebigere Verhalten auf Reibungseffekte zurückzuführen ist oder ob vielleicht eine dritte Elementformulierung die Referenzlinie noch besser trifft. Literatur [1] Rieg, Frank; Hackenschmidt, Reinhard: Finite Elemente Analyse für Ingenieure. 3. Auflage München, Wien: Carl Hanser Verlag, 2009. – ISBN 978-3-446-40215-7 [2] Bathe, K.-J.: Finite-Elemente-Methoden. 2. Auflage Berlin: Springer Verlag, 2002. – ISBN 3-540-66806-3 [3] Rieg, Frank: Homepage des Finite Elemente Systems Z88 Aurora®: http://www.z88.de. [4] Macvean, D. B.: Die Elementararbeit in einem Kontinuum und die Zuordnung von Spannungs- und Verzerrungstensoren. ZAMP, 19, 1968, S. 157-185. [5] Wriggers, P.: Nichtlineare Finite-Element-Methoden. Berlin: Springer Verlag, 2001. – ISBN 3-540-67747-X [6] Decker, K.-H.; Kabus, K.: Maschinenelemente. Funktion, Gestaltung und Berechnung. 16. Auflage München: Carl Hanser Verlag, 2007. – ISBN 978-3-446-40897-5 

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