A totally asymmetric exclusion process on a ring is investigated in which particles can move one or two sites. Special attention is spent to the high-speed case where particles are not allowed to move a single site if they could move two sites. The stationary state is calculated exactly in the framework of the matrix-product ansatz. Independently of the update this process evolves into subspace of the configuration space and can lead to the formation of an excess hole. One observes two phases where its velocity takes different values which are calculated exactly from the normalization-generating function. Numerically computed density profiles show an interesting algebraic form as a limit of a shock profile. For continuous time the process turns out to be related to the ASEP with a single defect particle and for synchronous update it leads to a natural defect dynamics. For the general definition of the process with maximum velocity two, from an exact analysis of the two-particle sector we find that the distribution of inter-particle distance can oscillate. This is underlined in the thermodynamic limit by an improved mean-field theory which shows a remarkably good agreement with simulations. The main focus of this work is the exact solution of lattice models by matrix-product ansatz. We finally obtain stationary states also for related processes. Especially considerable is a new formulation of steady states for parallel dynamics like the ASEP with open boundaries as a product of a pair-factorized and a matrix-product state.Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich im Wesentlichen mit dem vollkommen asymmetrischen Exklusionsprozess (ASEP) mit periodischen Randbedingungen. Der ASEP ist auf einem eindimensionalen Gitter definiert, auf dem jede Zelle entweder leer oder von genau einem Teilchen besetzt sein kann. In der ursprünglichen Definition können sich die Teilchen unter der Voraussetzung, dass die Zielzelle frei ist, genau um eine Zelle nach rechts bewegen. Hier betrachten wir die Möglichkeit, eine oder zwei Zellen zu hüpfen. Sowohl zufällig-sequentielle als auch parallele Dynamik werden behandelt. Besonderes Interesse gilt dem Hochgeschwindigkeitsfall, in dem sich die Teilchen wenn möglich immer zwei Zellen vorwärts bewegen. Der stationäre Zustand wird mit Hilfe des Matrixproduktansatzes exakt bestimmt. Unabhängig vom Update entwickelt sich dieser Prozess in Unterräume des Konfigurationsraumes und kann zu dynamischer Defektbildung in Form einer überschüssigen Leerstelle führen. Man beobachtet zwei Phasen, wo die Defektgeschwindigkeit verschiedene Werte annimmt, welche jeweils ausgehend von der erzeugenden Funktion der Normierung exakt berechnet werden. Numerisch bestimmte Dichteprofile zeigen eine interessante algebraische Form als Grenzfall eines Schockprofils. Für kontinuierliche Zeit stellt sich heraus, dass der Prozess mit dem wohlbekannten ASEP mit einem Defektteilchen verwandt ist. Für parallele Dynamik erhält man erhält man eine neue natürliche Defektdynamik. Für die allgemeine Definition des Prozesses mit Maximalgeschwindigkeit zwei wird ausgehend von einer Analyse des Zweiteilchensektors gezeigt, dass die Abstandsverteilung der Teilchen oszillieren kann. Diese Beobachtung wird unterstrichen im thermodynamischen Limes mit Hilfe einer verbesserten Mean-Field-Theorie, welche bemerkenswert gute Übereinstimmung mit Simulationen zeigt. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt in der exakten Beschreibung von Gittermodellen mit dem Matrixproduktansatz. Mit diesem Ansatz werden schließlich Lösungen für verwandte Modelle abgeleitet. Besonders beachtenswert ist eine neue Formulierung der stationären Zustände für parallele Dynamik, wie für den ASEP mit offenen Rändern als ein Produkt eines paarfaktorisierten und eines Matrixproduktzustandes
