The dissertation deals with the Jacobian equation in the plane. R.R. Coifman, J.-P. Lions, Y. Meyer and S. Semmes proved in their seminal paper from 1993 that when a mapping from the n-space to the n-space belongs to a suitable homogeneous Sobolev space, its Jacobian determinant belongs to a real-variable Hardy space. Coifman, Lions, Meyer and Semmes proceeded to ask the following famous open problem: can every function in the Hardy space be written as the Jacobian of some Sobolev mapping?
It follows from the work of G. Cupini, B. Dacorogna and O. Kneuss that the range of the Jacobian operator is dense in the Hardy space. As a consequence of this, solving the Jacobian equation reduces to proving that every so-called energy-minimal solution satisfies certain natural a priori estimate.
In the dissertation we use Lagrange multipliers in Banach spaces to prove the sought after a priori estimate for a large class of energy-minimal solutions. It remains unclear whether the class is large enough to imply the surjectivity of the Jacobian operator, but we present many partial results on the properties of the class. To cite an example, when the Hardy space is endowed with a particular norm that is well suited to the study of the Jacobian equation, all the extreme points of the unit ball are Jacobians. Furthermore, the energy-minimal solutions for the extreme points satisfy the wanted a priori estimate.
As one of the main results of the dissertation we reduce solving the Jacobian equation to a fairly concrete finite-dimensional problem. As the main tools of the dissertation we use Banach space geometry, harmonic analysis in the plane and methods from the theory of incompressible elasticity.Monografiamuotoisen väitöskirjastyöni keskiössä on C.G.J. Jacobin mukaan nimetty jakobiaani eli Jacobin determinantti, jota käytetään muun muassa, kun kahdessa tai useammassa ulottuvuudessa halutaan tehdä integraalissa muuttujanvaihto. Jakobiaani saadaan, kun otetaan kuvauksen osittaisderivaatoista muodostettu derivaattamatriisi ja lasketaan sen determinantti. Jakobiaani myös kertoo, venyttääkö kuvaus joukkoja paikallisesti suuremmiksi tai puristaako se niitä kokoon.
R.R. Coifman, J.-P. Lions, Y. Meyer ja S. Semmes todistivat vuonna 1993 julkaistussa artikkelissaan, että jos kuvaus n-ulotteiselta avaruudelta n-ulotteiselle avaruudelle kuuluu tiettyyn Sobolev-avaruuteen, niin sen jakobiaani kuuluu reaalimuuttujan Hardy-avaruuteen. Coifman, Lions, Meyer ja Semmes myös esittivät kuuluisan avoimen ongelman: onko jokainen Hardy-avaruuden alkio jonkin Sobolev-kuvauksen jakobiaani? Tätä voidaan ajatella yhtälönä, jonka toinen puoli, Hardy-avaruuteen kuuluva funktio, tunnetaan, ja halutaan löytää kuvaus, jonka jakobiaani on yhtä suuri kuin tämä tunnettu funktio. Yhtälöä kutsutaan jakobiaaniyhtälöksi.
Tutkin väitöskirjassani jakobiaaniyhtälöä kaksiulotteisessa tasossa käyttämällä monen muuttujan analyysista tuttua Lagrangen kertoimien menetelmää. Tiheässä olevalle osajoukolle Hardy-avaruuden funktioista jakobiaaniyhtälöllä on olemassa ratkaisu, ja yhtälön ratkaiseminen kaikissa tapauksissa onnistuisi, jos kaikille niin sanotuille energian minimoiville ratkaisuille saataisiin johdettua eräs luonnollinen normiarvio.
Lagrangen kertoimien avulla saan todistettua halutun normiarvion varsin suurelle joukolle energian minimoivia ratkaisuja. Sitä, onko näin saatu ratkaisujen joukko riittävän iso, en saa selvitettyä, mutta esitän monia osittaistuloksia ratkaisujoukon koosta ja muista ominaisuuksista.
Jakobiaaniyhtälö on ääretönulotteinen ongelma, mutta yhtenä väitöskirjan päätuloksena saan palautettua yhtälön ratkaisemisen äärellisulotteiseen kysymykseen, joka vaikuttaa vähemmän vaikealta lähestyä kuin alkuperäinen Coifmanin, Lionsin, Meyerin ja Semmesin asettama ongelma.
Menetelminä väitöskirja hyödyntää erityisesti viime vuosisadan jälkipuoliskolta lähtien kehitettyä täydellisten normiavaruuksien geometrista teoriaa, kokoonpuristumattomien elastisten materiaalien teorian menetelmiä sekä kompleksitason harmonista analyysia
