La convection thermogravitationnelle, qui génère des variations locales de la masse volumique du fluide en fonction de la température, conduit finalement à une séparation des espèces dans la cavité. On s'intéresse dans ce travail à la séparation des espèces d'une solution binaire remplissant une cavité parallélépipédique poreuse, placée dans le champ de la pesanteur, et soumise au niveau de ses parois horizontales et verticales à des densités de flux uniformes et croisés. Nous déterminons aussi les paramètres de contrôle conduisant à la séparation optimale, En utilisant l'étude de la stabilité linéaire, on a vérifié que le nombre de Rayleigh critique linéaire, , associé à la perte de la stabilité de la solution unicellulaire est supérieur au nombre de Rayleigh optimal, , conduisant à la séparation des constituants du mélange

Bennacer, Rachid

Mojtabi, Abdelkader

Yacine, Loujaine

I-Revues

22ème Congrès Français de Mécanique                                               Lyon, 24 au 28 Août 2015 
 
 
Analyse de la stabilité linéaire des solutions de 
double diffusion pure et de convection obtenues dans 
le cas d'une cavité poreuse, horizontale, saturée par 
un fluide binaire soumise à des flux thermiques 
croisés 
 
L. Yacine a, A. Khouzam a,b, A. Mojtabi a, R. Bennacer c 
 
a. IMFT, UMR CNRS/INP/UPS N°5502, UFR MIG, Université Paul Sabatier, 118 route de 
Narbonne, 31062, Toulouse cedex, France mojtabi@imft.fr  
b. Arts et Métiers ParisTech, 2 bd du Ronceray, Angers, France 
c. ENS-Cachan Dpt GC/ LMT /CNRS UMR 8535,61, Av du Président Wilson 94235 Cachan 
Cedex, France rachid.bennacer@ens-cachan.fr  
… 
 
Résumé :  
 
La convection thermogravitationnelle, qui génère des variations locales de la masse volumique du 
fluide en fonction de la température, conduit finalement à une séparation des espèces dans la cavité. 
On s’intéresse dans ce travail à la séparation des espèces d’une solution binaire remplissant une 
cavité parallélépipédique poreuse, placée dans le champ de la pesanteur, et soumise au niveau de ses 
parois horizontales et verticales à des densités de flux uniformes et croisés. Nous déterminons aussi 
les paramètres de contrôle conduisant à la séparation optimale. En utilisant l’étude de la stabilité 
linéaire, on a vérifié que le nombre de Rayleigh critique linéaire, , associé à la perte de la stabilité 
de la solution unicellulaire est supérieur au nombre de Rayleigh optimal,  , conduisant à la 
séparation des constituants du mélange.	 
 
Abstract :  
 
The thermogravitationnal convection, which generates local variations in the density of the fluid as a 
function of the temperature, eventually leads to a species separation in the cavity. We are interested in 
this work in species separation of a binary solution filling a porous rectangular cavity, placed in the 
gravity field, and submitted to uniform cross heat fluxes densities. We determine as well the control 
parameters leading to the optimal separation. Using the linear stability analysis, it was verified that 
the unicellular flow found to lose its stability for linear critical Rayleigh number,  , higher than the 
optimal Rayleigh. 
 
Mots clefs : effet Soret; milieu poreux; séparation; stabilité linéaire. 
22ème Congrès Français de Mécanique 
 
1 
L’objective générale de ce travail, est d’améliorer le procédé de séparation the
espèces d’un mélange binaire initialement homogène. On se propose d’étudier la séparation des 
espèces d’un fluide binaire confiné dans une cavité poreuse rectangulaire soumise à des
flux de chaleur croisés.
optimale
étudiée pour vérifier que le nombre de Rayleigh critique 
solution unicellulaire est supérieur au Rayleigh optimal
ce quel que soit la valeur des nombres sans dimension du problème à savoir le nombre de 
Lewis,  	

De nombreux travaux récents ont 
2006, Elhajjar et al
mélange binaire confiné dans une cavité rectangulaire horizontale.
étudié analytiquement et numériquement la naissance de la convection thermosolutale avec prise en 
compte de l’effet Soret, dans une couche mince horizontale poreuse remplie d’un mélange binaire et 
soumise à un flux de chaleur vertical sur ces deux parois horizontales. Ouattara et al. 
stabilité linéaire de la solution d’équilibre et de la solution unicellulaire dans une cellule horizontale de 
grande extension longitudinale remplie d’un milieu poreux saturé par un 
deux parois de même épaisseur et de même conductivité thermique, les surfaces extérieures de ces 
parois sont soumises à un flux de chaleur constant. Plus récemment, Khouzam et al.
nouveau procédé permettant la séparation des espèces dans une cavité rectangulaire horizontale 
remplie d’un fluide binaire, chauffée par le haut ou par le bas. Les parois horizonta
imperméables et soumises à des températures constantes. Les autres parois sont imperméables et 
adiabatiques. Les parois horizontales supérieure et/ou inférieure de la cavité sont mises en mouvement 
avec deux  vitesses horizontales de 
 
2 Séparation des espèces 
2.1 Modèle Mathématique
 
On considère une cavité 
uniformes (
imperméables
volumique 
s’agit d’un
En tenant compte de l’approximation de Boussinesq, le modèle mathématique 
ce problème incluant les équations de conservation (Darcy, de l'éne
écrit comme
Introduction 
 des constituants du mélange binaire
,	le	facteur
.
q et	q) 
. La cavité est remplie d’un milieu poreux saturé par un fluide binaire et de viscosité 
e enceinte rectangulaire de hauteur
 suit : 
 On détermine 
	de	séparation
 [1], ont proposé une nouvelle procédure pour la séparation des espèces d’un 
de grand rapport d’aspect, 
imposées au niveau des parois horizontales et verticales
cinématique 
FIG.1
                                              
 
également l
	,  et le rapport de la cavité rectangulaire.
porté sur
sens contraire.
 
 
. La 
- Schématisation d
 
es paramètres
. La stabilité linéaire de la solution 
 
 la séparation par diffusion thermogravitationnelle. En 
 
soumis
cavité considérée est 
   et de 
 
 de contrôle conduisant à la séparation 
Ra" associé à la perte de , conduisant à la séparation maximale et 
e à des densités de flux de chaleur 
largeur 	.
e la cavité
rgie et des espèces chimiques)
Lyon, 24 au 28 A
rmogravitationnelle des 
 
 Charrier-Mojtabi et al.
mélange binaire délimitée par 
 qui sont 
représentée s
 
 
adimensionnel 
oût 2015
 densités de
unicellulaire a été 
la stabilité de la 
[3] ont étudié la 
 [4] ont étudié un 
les de la cavité sont 
supposé
 de masse 
ur la figure.1
 
 
 
 [2] ont 
es toutes 
. Il 
associé à 
, est 
22ème Congrès Français de Mécanique                                               Lyon, 24 au 28 Août 2015 
 
 
#$$
%
$$&
																																																																											'(') − '+', = − '', ./ − 01																																									'/'2 + 4567. 9:/ = 9/																																																						; '0'2 + 4567. 9:0 = 1	
 =90 + 9/>																														
 
(1)  
Le problème étudié dépend de six paramètres adimensionnel à savoir le nombre de Lewis		
 = ?/A 
avec ? = B∗	/=D>E  la diffusivité thermique du milieux poreux saturé, le nombre de Rayleigh 
thermique, 	 = F GHI=J + J>/=?B∗> , où K désigne la perméabilité du milieu poreux, g 
l’accélération de la pesanteur et λ∗  la conductivité thermique effective du milieu poreux saturé, le 
facteur de séparation est donné par 	 = − LMLN ONO 0P=1 − 0P> où HQ  et HI désignent respectivement les 
coefficients d’expansion massique et thermique,  0P est la fraction massique initiale du constituant le 
plus lourd du mélange, AI le coefficient de thermodiffusion et A le coefficient de diffusion isotherme, 
la porosité normalisée ; = ;∗=D>E/=D>∗  où ;∗  représente la porosité du milieu poreux, =D>∗  et =D>E  sont respectivement la capacité thermique volumique effective et la capacité thermique 
volumique du fluide, le rapport des densités de flux de chaleur horizontale et verticale  = J/J et le 
rapport d’aspect R = 	/ .  
Les conditions aux limites dynamiques, thermiques et massique sont données par:  
 
#$%
$&∀	) ∈ U−12 , 12W ; 	, = ±R2:					567. [67 = 0;					'/', = −'0', = − 1 + 			∀	, ∈ U−R2 , R2W ; 	) = ±12:					567. [67 = 0;					'/') = −'0') = − 11 + 	
 
(2)  
 
 
2.2 Solution analytique 
 
Dans le cas d’une cavité de grande extension horizontal A ≫ 1 , en utilisant l’hypothèse de 
l’écoulement parallèle la solution du problème s’écrit sous la  forme suivante : 
 5=)>6666666667 = (=)>
_66667	;      /=,, )> = 0I, + `=)>	;     0=,, )> = 0a, + F=)>	; (3)  
Où 0I  et 0a  sont des constantes qui expriment respectivement les gradients de température et de 
fraction massique selon la direction		x. En reprenant la forme de la solution (3) et les conditions aux 
limites (2), on obtient l’écoulement de base unicellulaire. 
 
#$
%
$& (=)> = 4)dP																																																																								/=,, )> = 0I, + 0IdP	 e)f3 − )4h − )1 + 																				
0=,, )> = 0a, + =0a	
 − 0I>dP e)f3 − )4h + )=1 + >	
 
(4)  
 
 
 
 
dP représente l'intensité de la vitesse. Son expression est donnée par: 
 dP = 14.0a − 0I1 (5)  
La séparation, définie par la différence des fractions massiques du constituant le plus lourd entre les 
deux parois verticales de la cellule, est donnée par l’expression i = 0aR	. 
Pour déterminer l'équation donnant la valeur de 0a, on écrit que le flux massique, associé à l'espèce de 
fraction massique C, à travers toute section verticale de la cavité est égale à zéro à l'état stationnaire. 
22ème Congrès Français de Mécanique 
Ce qui 
adimensionnels du problème: 
 
 
2.3 Valeurs optimales de la séparation
A partir de l
différenciant cette équation par rapport aux deux paramètres de contrôle 
deux paramètres conduisant à la séparation maximale
 
#$%
$&

 
Avec l'introduction de la fonction 
On en déduit la valeur de 
implicite (
 
La figure 2
de séparation 
FIG.2- Rayleigh 
 
conduit à l'équation algébrique suivante donnant
’équation 
= ± 112√30
= =±2k+
6): 
 représente ψ pour 
optimal en f
R
0a = 0
implicite du troisième degrés donnant la valeur de 
	
=	
 − 1	
 + 1
17	
 + 12>
0ano_
0ano_
le nombre de Rayleigh optimal donné 	
 = 100	et
onction du facteur de 
                                              
, , 	
	
2
I	
dP − 30=	

>																					
 + 2=±
k = p6 	
2
 lorsque l'on remplace 
= − 112±
		 = 	0. 
 
		. 
0I + 5	
ddP + 30>
 
																						120=1 + k+6	
 + 6>
4112+10+5=1+
a 
k= + 1> += + 1
	
séparation
 0a
P/= + 1>			
 
																						> + 2=±k +
:+6=2	
+1>>2
et Ra par leur valeur optimale dans l'équation 
6=	
 − 1>>	
  
par l’équation (
 pour  
Lyon, 24 au 28 A
 en fonction des paramètres 
				 
0a et 
																							
5	
> ±
2
  
7) en fonction du facteur 
 = 0, 	
 = 100
oût 2015
, on en déduit, en 
, les valeurs de c
																					
2k + 5	

 
 
(6)  
es 
 
(7) 
(8)  
22ème Congrès Français de Mécanique                                               Lyon, 24 au 28 Août 2015 
 
3 Étude de la stabilité de l’écoulement unicellulaire dans une 
cavité soumise à des flux de chaleur croisés 
3.1 Équations linéarisées  
 
Nous avons étudié la stabilité linéaire de la solution unicellulaire afin de confirmer que l’écoulement 
unicellulaire conservait sa stabilité pour le nombre de Rayleigh thermique conduisant à la séparation 
optimale des espèces obtenue précédemment. Pour cette étude, nous écrivons les équations 
adimensionnelles du problème en utilisant les perturbations de la température 	s , de la fraction 
massique D et de la composante verticale de la vitesse t, 
u567=,, ), 2> = 567P=,, )> + +7=,, ), 2>	/=,, ), 2> = /P=,, )> + s=,, ), 2>0=,, ), 2> = 0P=,, )> + D=,, ), 2>													 
(9)  
 
Ces perturbations sont développées en modes normaux :  =+7, s, D> = .+v7=)>, sw=)>, D̂=)>1
yz{|} où ~_ 
est le nombre d’onde axial selon la direction infinie	
_666667,	t le temps et σ est les valeurs propres, le 
symbole ^ est utilisé pour indiquer que les composantes sont complexes. Nous écrivons σ sous la 
forme  =  + y, où σ est le facteur d’amplification temporelle de la perturbation et y =  la 
pulsation, avec	 = −1. Ainsi, nous obtenons le système d’équations suivant : 
#$
%
$&
																																																																																																			=A − ~>t=)> + ~sw=)> − D̂=)> = 0																																																																						
	sw=)> + ~sw=)>(P − 1~ t=)> '/P', + t=)>=/P> − = − ~>sw=)> = 0																	;D̂=)> + (P~D̂=)> − 1~ t=)> '0P', + t=)> '0P') − = − ~>	
 D̂=)> + sw=)> = 0																																			
 
(10) 
 
L’opérateur  représente   et  k = k. Les conditions aux limites associées s'écrivent: 
 +7 = 067	,				's') = 0,			 'D') = 0	,																	(	) = 0,1	∀, (11) 
Les équations linéarisées  obtenues (10) avec les conditions aux limites (11) sont résolues par la 
méthode de Galerkin à l’ordre 5, en utilisant les fonctions d’essai suivantes: 
#$$
$%
$$$
&
	
t = .y1 ) − 12y . ) + 12																																																								

y 		
sw = .1 + .1. ). ) − 34 +  .y|1 ) − 12y| . ) + 12

y 	
D̂ = D.1 + D.1. ). ) − 34 +  D.y|1 ) − 12y| . ) + 12

y 			
 
(12) 
 
Les valeurs critiques du nombre de Rayleigh et du nombre d'onde ont été obtenues pour une 
bifurcation stationnaire et instationnaire. Il est important de caractériser l’influence du flux latéral sur 
la stabilité de l’écoulement monocellulaire au sein de la cavité. Pour cela, il était nécessaire de 
distinguer le cas de flux latéral nul ( = 0) du cas le plus générale (flux croisés). Pour ces deux cas, 
les instabilités du type stationnaire et instationnaire ont été déterminées analytiquement, en fonction 
des paramètres régissant le problème. On note que le nombre de Rayleigh critique associé à la 
22ème Congrès Français de Mécanique                                               Lyon, 24 au 28 Août 2015 
 
bifurcation de Hopf dépend des paramètres adimensionnels   et ; , alors que pour la transition 
stationnaire, il ne dépend que de . 
 
3.2 Étude de la stabilité de la solution de base pour un fluide 
binaire chauffé par le bas ou par le haut (cas particulier	 = ) 
 
La séparation optimale des espèces d’un mélange binaire est obtenue pour le régime d’écoulement 
unicellulaire. Il est donc important de s’assurer que le Ra  obtenu, pour un a  donné, reste 
inférieur au nombre de Rayleigh conduisant à la perte de la stabilité de la solution unicellulaire. À 
cette fin, nous avons utilisé d’une part l’analyse de la stabilité linéaire de la solution d’équilibre. La 
perte de la stabilité de cette solution d’équilibre conduit à la naissance d’un écoulement convectif 
stationnaire unicellulaire. Cet écoulement unicellulaire est nécessaire pour l’obtention d’une 
séparation des espèces bien plus importante que celle que l’on obtiendrait par thermodiffusion pure. Il 
est donc important de recourir à l’analyse de la stabilité pour s’assurer que l’optimum de séparation 
obtenu est physiquement réalisable. L'analyse de la stabilité à l’état marginal (σ	 = 	0) pour 	
 = 100 
est présenté sur la figure.3 où le domaine hachuré représente la zone l'existence de l’écoulement 
unicellulaire associé au maximum de séparation, On peut remarquer que la valeur de Ra calculée se 
trouve dans ce domaine. 
 
FIG.3- Diagramme de stabilité de l’écoulement d’équilibre (en tirets) et l’écoulement 
unicellulaire (trait plein) pour  = 0, 	
 = 100 
 
Les résultats de l'analyse de stabilité linéaire de l’écoulement unicellulaire pour  = 0 et 	
	 = 	203 
sont présenté sur le diagramme  = `=>. (Le trait plein indique la transition stationnaire, le trait en 
pointillé la transition instationnaire). 
22ème Congrès Français de Mécanique 
FIG.4- Diagramme de stabilité de l’écoulement unicellulaire pour 
bifurcation stationnaire, trait pointillé
 
3.3 Étude de la stabilité linéaire de l’écoulement convectif 
une cavité
 
Pour une
latérale, le régime convectif prend 
la double diffusion pure est donc instable
l’écoulement de base unicellulaire. 	
 = 2 et ;. On note que le nombre de Rayleigh critique 
que pour la transition stationnaire, il ne dépend que de 
On peut remarquer sur ces deux 
valeur critique du nombre de Rayleigh thermique. 
maintenu 
noter que 
 
 soumise à des flux de chaleur croisés 
 cavité soumise à des
	
 = 58, avec un rapport des densités 
sur une large gamme de 
la valeur de
 densités de
 la séparation diminue pour 
                                              
 : bifurcation de Hopf
 flux 
naissance
. On montre que
Les figures. 
figures que le chauffage latéral conduit à une augmentation de la 
variation du 
 
de chaleur 
 ∀	  0. La solution d’équilibre 
5 et 6 représentent les 
de flux	
associé à la bifurcation de Hopf varie avec .
Il s’en suit que
nombre de Rayleigh thermique.
des valeurs élevées de 
 
croisés ou à une densité de flux de chaleur 
 le chauffage latéral a un effet stabilisant sur 
	 = 	0,02 et différent
  
Lyon, 24 au 28 A
  = 0, 	

	 ∈1
mécanique associée à 
diagrammes de stabilité pour 
es valeurs de la 
 l’écoulement unicellulaire 
Ra. 
oût 2015
= 203. Trait plein
pour , .	
 et 
 Mais il convient d
 
 : 
porosité ;, alors 
est 
e 
22ème Congrès Français de Mécanique 
FIG.5- 
différentes valeurs de 
bifurcation de Hopf
 
FIG.6- 
différentes valeurs de porosité (
bifurcation d
Afin de vérifier 
unicellulaire est supérieur au Rayleigh optimal 
flux croisés de chaleur, le tableau 1
facteur de séparation 
 
Diagramme de stabilité de l’écoulement unicellulaire pour 
 
Diagramme de stabilité de l’écoulement unicellulaire pour 
e Hopf 
que le nombre de Rayleigh critique 
la porosité (
ψ pour 	
	
                                              
; = 0.6,
; = 0.4, 0
 donne une comparaison entre les deux = 	200 et 	
 
0.7, 0.8). Trait plein
.6, 0.8). Trait plein
 Ra"Ra	dans 
= 	0,02. 
 : bifurcation st
 : bifurcation stationnaire, pointillé: 
 associé à la perte de stabilité de la solution 
le cas d'une cavité poreuse soumis
Lyon, 24 au 28 A
  = 0.
  = 0.02
valeurs
oût 2015
02, 	
 = 2
ationnaire, pointillé: 
, 	
 = 58
 en fonction du 
 
 et pour 
 et pour 
e à des 
22ème Congrès Français de Mécanique                                               Lyon, 24 au 28 Août 2015 
 
Tab 1- Evolution de  et  en fonction du  pour 	
 = 200 et  = 0.02 
 
 
Le = 200	;  a = 2.10 
   
0.04 1.401 110.659 
0.03 1.596 110.982 
0.02 1.853 111.140 
0.01 2.209 111.204 
-0.01 3.587 111.275 
-0.02 5.213 111.384 
-0.03 9.540 111.605 
-0.04 56.071 111.981 
 
 
Références  
 
[1] B. Elhajjar, A. Mojtabi, M. Marcoux, M.C. Charrier-Mojtabi, Study of thermogravitation in a 
horizontal fluid layer. Comptes Rendus Mecanique 334, 621-627, 2006. 
[2] M.C. Charrier-Mojtabi, B. Elhajjar, B. Ouattara, A. Mojtabi, P. Costeseque, Soret-driven 
convection and separation of binary mixtures in a porous horizontal slot submitted to a heat flux. 
Comptes Rendus Mecanique 339, 303-309, 2011. 
[3] B. Ouattara, A. Khouzam, A. Mojtabi, M.C. Charrier-Mojtabi, Analytical and numerical stability 
analysis of Soret-driven convection in a horizontal porous layer: the effect of conducting bounding 
plates. Fluid Dynamics Research 44, 031415-031429, 2012. 
[4] A. Khouzam, A. Mojtabi, M.C. Charrier-Mojtabi, B. Ouattara, Species separation of a binary 
mixture in the presence of mixed convection. International Journal of Thermal Sciences 73, 18-27, 
2013. 


Analyse de la stabilité linéaire des solutions de double diffusion pure et de convection obtenues dans le cas d'une cavité poreuse, horizontale, saturée par un fluide binaire soumise à des flux thermiques croisés

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/57818/1/71174.pdf

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