Cet article présente un modèle hydromécanique qui considère séparément la cinématique et le comportement mécanique de chaque espèce fluide (e.g. l'eau liquide, l'air dissous, l'air gazeux) et de la matrice solide dans les sols quasi-saturé. Une loi de comportement élastique est adoptée pour les phases solide et liquide. Ce nouveau modèle de comportement a été implémenté dans le code de calcul COMSOL Multiphysics. Les simulations numériques permettent de mettre en évidence l'aptitude du modèle à reproduire une transition continue du domaine non saturé au domaine saturé

Branque, Denis

Fabbri, Antonin

Lai, Ba Tien

Wong, Henry

I-Revues

22ème Congrès Français de Mécanique                                               Lyon, 24 au 28 Août 2015 
 
 
 
Comportement hydromécanique des sols quasi-
saturé comportant de l’air occlus 
 
Ba Tien LAI, Antonin FABBRI, Henry WONG, Denis BRANQUEa  
 
a. Université de Lyon/ENTPE/LTDS (UMR CNRS 5513), Vaulx-en-Velin 69120, France; (batien.lai@entpe.fr; 
antonin.fabbri@entpe.fr; kwaikwan.wong@entpe.fr; denis.branque@entpe.fr)  
 
 
Résumé :  
Cet article présente un modèle hydromécanique qui considère séparément la cinématique et le 
comportement mécanique de chaque espèce fluide (e.g. l’eau liquide, l’air dissous, l’air gazeux) et de 
la matrice solide dans les sols quasi-saturé. Une loi de comportement élastique est adoptée pour les 
phases solide et liquide. Ce nouveau modèle de comportement a été implémenté dans le code de calcul 
COMSOL Multiphysics. Les simulations numériques permettent de mettre en évidence l’aptitude du 
modèle à reproduire une transition continue du domaine non saturé au domaine saturé.		
 
Abstract:  
 
This article present a hydro-mechanical model that considers separately the kinematics and the 
mechanical behavior of each fluid type (eg liquid water, dissolved air , gaseous air) and the solid 
matrix in quasi - saturated soils. Elastic behavior law is adopted for the solid and liquid phases. This 
new model was finally implemented in the computer code COMSOL Multiphysics. Numerical 
simulations are used to demonstrate the ability of this model to reproduce a continuous transition of 
unsaturated to saturated domains. 
 
 
Mots clefs : sols quasi-saturé, modèle hydro mécanique, transition continu 
 
1 Introduction  
 
Au cours des dernières années, plusieurs travaux (Cruz et al (1985), Faybishenko ( 1995) 
Vanapalli (1996), Shahu et al (1990) Boutonnier (2007)) ont montré qu’à haut degré de saturation, et 
lors du passage de l’état saturé à l’état non saturé (c’est-à-dire lorsque la perméabilité à l’air devient 
nulle), la phase air, qui n’est plus continue, continue d’exister sous forme de bulles d’air occlus au sein 
du réseau poreux (Christiansen (1944), Peck (1964)) , ce qui rend le comportement du sol complexe. 
 L’élaboration d’un modèle de comportement pour ce domaine de saturation nécessite une 
compréhension approfondie des phénomènes physico-mécaniques intervenant au sein de l’air occlus, 
de l'eau liquide contenant de l'air dissous et du squelette solide. Le modèle hydromécanique présenté 
dans ce papier est réalisé en dans cette optique. Il prend en compte le comportement physico-
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mécanique et la cinématique propre de chacun des constituants du milieu polyphasé (eau liquide, air 
dissous, air sous forme gazeuse et matrice solide) ainsi que les divers couplages qui interviennent. 
 
2 Des domaines de saturation  
Des distinctions entre les différents domaines de saturation faisant apparaitre des états de quasi-
saturation ont déjà été proposées par quelques auteurs. On peut citer par exemple : Denoth ( 1980 ) , 
Salager (2006 ) , Vanapalli ( 1999 ) , Boutonnier (2007 ) , Monnet et Boutonnier ( 2012 ) ) . Dans cette 
étude, nous utiliserons une description simplifiée de ces domaines, ne considérant que trois états : 
l’état non saturé (US), l’état quasi-saturé (QS) et l’état totalement saturé (FS). L’enjeu étant d’arriver à 
une description continue du passage d’un domaine de saturation à l’autre lors d’une opération de 
remouillage à partir du domaine non saturé (US) (c.f Figure 1). 
Afin de construire une description cohérente d’une transition continue entre les domaines de 
saturation, nous diviserons conceptuellement l’espace poreux occupé par la phase gazeuse en deux 
ensembles qui peuvent échanger librement. Le premier, appelé « l’air chassable » est la partie qui sera 
envahie par l’eau pendant le remouillage avant la perte de connectivité de la phase gazeuse ; ce 
volume est noté « aG ». La partie restante, appelée «  air non chassable », correspond aux endroits où 
l’air est piégé lorsque le degré de saturation atteint le seuil  eS  et que le matériau entre dans le 
domaine quasi-saturé (QS). L’air à l’intérieur de ce volume est noté « aS ». Dans ce cas, la relation 
entre les saturations en espèces fluides s’écrit : 
1L aG aSS S S     (1) 
avec aGS  la fraction du volume actuel occupé par la phase gazeuse qui sera envahi par la phase liquide 
lorsque eLS S ou es s , tandis que aSS  représente la partie qui sera rempli par l’air occlus quand 
eLS S ou es s  . 
 
Compte tenu de ces notations et de ces définitions, les différents domaines de saturation sont définis 
de la façon suivante : 
 
Domaine non-saturé 
La phase gazeuse est continue et en contact avec l’extérieur ; la succion (définie comme la différence 
entre la pression de gaz et la pression du liquide) est supérieure à la succion d’entrée d’air. Les deux 
ensembles « aS » et « aG » sont simultanément présents, et sont connectés les uns aux autres. Ils ont 
une pression commune égale à la pression atmosphérique : 
0 0L e G aS aGp p s     ;    p p p p      ; eqm m  (2) 
 Notons que le saturation en air chassable reste constante dans cette phase :  1aS eS S  . La relation 
entre le degré de saturation et la succion est représentée par l’équation de Brooks and Corey (1964) :
( )
L e eS S ( s / s )
   
  
Domaine quasi-saturé 
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La succion est inférieure à la succion d’entrée d’air et la phase gazeuse est discontinue ; l’air ne se 
présente que sous la forme des bulles d’air. La phase gazeuse n’est plus connectée à l’extérieur et la 
pression de gaz dans les bulles n’est plus égale à la pression atmosphérique. On a donc : 
0 0 0 0    L e aG aS G aS L ep p s      ;   S     ;    S     ;  p p p s p         ; eqm m   (3) 
On supposera alors que l’air occlus se trouve à l’intérieur des pores plus gros et les poches d’air 
prennent une forme qui maximise le rayon d’interface avec la phase liquide environnante (Vaugnan, 
2002). En se basant sur ce postulat, nous supposons que les rayons des interfaces entre l’eau des pores 
et les poches d’air sont tous identiques et égaux aux rayons d’entrée des plus grands pores connectés
2e er / s . En d’autres termes, les processus « bullage / dissolution » induisent une « augmentation / 
diminution » du volume de la poche, mais le rayon d’interface gaz-liquide reste toujours égal à er . 
 
Domaine saturé 
Le domaine saturé est atteint quand il n’y a plus d’air à l’état gazeux dans les sols. L’air occlus est 
totalement dissout. Ce domaine est défini par l’état 0aSS  . 
 
 
Figure 1. Transition entre les domaines de saturation lors d’un remouillage. 
3 Développement du modèle poroélastique 
3.1 Equation constitutives et la loi de conservation de 
quantité de mouvement 
Dans cette étude, nous nous limitons au comportement poro-élastique. Dans ce cas, la déformation est 
gouvernée par la contrainte effective 1'σ σ     . Avec   la pression de pore équivalente qui est 
prise égale à la pression fluide moyenne. Suivant les démarches présentées par Coussy (2004), la 
relation entre l’incrément de contrainte et l’incrément de déformation est : 
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21 1 2
3
σ εd [ ] K G d Gd        ò   
(4) 
Où K ,G  sont les modules de compressibilité et de cisaillement élastiques,    est le tenseur de 
déformation et ߳ est la déformation volumique. 
La conservation de la quantité de mouvement s’écrit : 
div 0σ g    (5) 
Où  1 S L L G GS S            est la masse volumique de sol et la masse d’air peut être 
négligée. 
3.2 Loi de conservations de la masse des espèces fluides 
On a trois équations de bilan de masse indépendantes. Celle de  l'eau liquide,  celle de  l'air gazeux et 
celle de l'air dissous. Le bilan de masse d'eau liquide écrit: 
 01 wL L L
L
m . D p
t
        
(6) 
Avec: L    la densité du liquide, wLm   la masse d’eau par unité de volume,   intL
L
kD   le coefficient 
de perméabilité, tandis que int Lk ,   sont respectivement la perméabilité intrinsèque et la viscosité 
dynamique du liquide. Par souci de simplicité, le modèle de Martin et al (1998) sera utilisé pour la 
relation entre la perméabilité relative à l’eau et le degré de saturation, soit: 3rL Lk S . Nous 
supposerons que l’eau a un comportement linéaire élastique isotrope. Après quelques développements, 
nous obtenons au premier ordre : 
  0 gL L L L L L L L
L
S S p S . D p D
t K t t
              
(7) 
Le changement de la masse d’air dissous dans un élément du volume attaché au squelette solide est dû 
à trois phénomènes principaux : (1) le flux entrant du mélange eau liquide + air dissous ; (2) le 
phénomène de dissolution/bullage de l’air ;  (3) le phénomène de diffusion de l’air dissous dans l’eau. 
Considérant ces trois processus, nous obtenons au premier ordre : 
 g G aLL L LL L L L L e
L L
mS p SmS m S . mD p D m
t K t t t
ˆ    
                     
  (8) 
Avec eD   coefficient de diffusion de l’air dissous et G aLmˆ   le taux de changement de phase air 
dissous/air occlus. 
Afin de définir l’équation de conservation de la masse de l’air gazeux, nous supposons que l’air à 
l’état gazeux dans les pores suit la loi des gaz parfaits. 
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aG aG G aS aS G
aG aS
S p M S p Mm ;  m
RT RT
     (9) 
Avec R la constante des gaz parfaits et T la température. En négligeant les phénomènes d’évaporation 
et de condensation, la forme générale de l’équation de conservation de la masse est : 
GωaG aS G aL( m m ) mˆt 
        
(10) 
 Où  Gω.  signifie la masse flux entrant due à l’écoulement de gaz dans le réseau poreux. Combinant 
les équations (7) (8) (10) et après quelques transformations, on obtient : 
 1 2  aSL L LSp eA A D pt t t
         
3 4 1  G aSLL L L e
L
Spm eS A A m mD p D m
t t t t
   
                   
 
1 2 5 6  G aS Leq L L e
L
S p em  A A mD p D m
t t t
  
                    
 
(11) 
 
(12) 
 
(13) 
Avec :      0d 1 d u e e     et  1 6A A  sont des coefficients dépendant de  L aSe, p  , m, S  
1
aGL
L L
dSSA
K dp
       ; 2
aG LdS SA
de e
        ; 3 1
aG G aSL
L L L G
dS SSA m m
K dp p
  
     
 ; 
1 1
4 1
1aG GL
aS
L G
dSS kA m m S
e de e p
   
         
 ;
1
5
G aGL
eq L aS eq eq
L G L L
dS SA m S S m m
p K dp
  
         
 ;
1 1
6
1G aG
eq L aS eq
L G
dSkA m S S m
e p de
  
             
 ; 
4 Résultats de simulations 
Dans cette partie, nous allons présenter quelques simulations numériques afin de vérifier la précision 
et l’efficacité du modèle. Considérons une configuration 1D d’un échantillon homogène du sol de 2cm 
d’épaisseur dans une cellule œdométrique.  Le sol est à l’état non saturé. Puis, on augmente la pression 
du liquide aux deux surfaces limites de l’échantillon jusqu’à ce qu’il atteigne l’état saturé : de -250 
[kPa] à 550 [kPa] dans 24 heures. Cette simulation correspond au processus de remouillage d’un 
échantillon à contrainte totale constante. L’objectif principal est de tester la capacité du modèle à 
simuler la transition entre les domaines de saturations. 
       0 250 800 24 hL L final
final
tp ,t p L,t  kPa   ; t
t
      
La contrainte totale est maintenue constante égale à sa valeur initiale  0  donnée dans le table 1. 
   00 0x xx ,t   ;  u x L,t      
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Tandis que le déplacement radial et l’écoulement radial sont nuls. Les paramètres utilisés pour la 
simulation sont reporté dans le tableau 1. Enfin, on suppose que la concentration massique de l’air 
dissous dans l’eau liquide entrant est à tout moment égale à la concentration de l’air dissous dans les 
pores de l’échantillon. 
   0 0x xe em x ,t m x L,t         
Bien que cette condition aux limites ne soit pas tout à fait réaliste, elle permet de simplifier 
l’interprétation des résultats de la simulation. 
Les profils de LS   et de aSS  sont représentés en figures 2 et 3. La transition US/QS a lieu au moment 
où tout l’air chassable est envahi par l’eau liquide, cela se produit lorsque la pression du liquide 
dépasse la valeur critique 0 ep s . Puis, la saturation en air occlus aSS  diminue. Logiquement, dans le 
cas où on tient compte la dissolution de l’air, aSS  diminue plus rapidement et on peut arriver au 
domaine D4 quand 0aSS  . Au contraire, dans le cas d’absent de dissolution de l’air occlus, le 
volume de l’air occlus reste fini quelle que soit la pression du liquide.  
Table 1. Paramètres utilisés  
Symbol	 Description Value	(unit)	
KH		 Constante	de	Henry 7326	[MPa]	
R	 Constante de	gaz	parfaite 8.314	[J/(mol.K)]	
ML	MG		p0	T	
L	KL		
DL	De	e0	Se	se0		
	
pL	0	SL0	m0	
Masse	molaire	de	l’eau
Masse	molaire	de	gaz	
Pression	atmosphérique	
Température	
Masse	volumique	de	l’eau	
Module	de	compressibilité	de	l’eau	
Viscosité	dynamique	
Permeabilité	
Coefficient	de	diffusion	
Indice	des	vides	initial	
Saturation	au	point	d’entrée	d’air	
Suction	d’entrée	d’air	initiale	
Coefficient	de	la	courbe	de	rétention	
d’eau	
Pression	du	liquide	initiale	
Contrainte	totale	initiale	
Degré	de	saturation	initiale	
Proportion	massique	de	l’air	dissous	
initiale	
18	[g/mol]	
29	[g/mol]	
100	[kPa]	
293	[K]	
1000	[kg/m3]	
1970	[MPa]	
10‐3	[kg/(m.s)]	
8.10‐9	[m/s]	
1.10‐9	[m²/s]	
1.97	[‐]	
0.915	[‐]	
110	[‐]	
0.4	[‐]	
‐250	[kPa]	
1000	[kPa]	
0.566	
22.10‐6	
 
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Figure 2. Variations du degré de saturation et de la 
saturation en air occlus  
 
Figure 3. Relation entre la pression du liquide et le 
degré de saturation 
5 Conclusion 
Dans cet article, on a présenté le développement d’un modèle poroélastique des sols quasi-saturés. Ce 
nouveau modèle a été implémenté dans un code de calcul afin de de simuler des essais œdométriques 
suivant différents trajets de chargements. Les études numériques montrent que ce modèle donne des 
résultats cohérents et mettent en évidence sa capacité à simuler avec précision le comportement 
hydromécanique des sols quasi-saturés comportant de l'air occlus. En particulier, il permet de simuler 
de façon cohérente la transition entre différents régimes de saturation (non saturé, quasi-saturé, saturé). 
 
 
Références  
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Comportement hydromécanique des sols quasi-saturé comportant de l'air occlus

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/57824/1/67241.pdf

Comportement hydromécanique des sols quasi-saturé comportant de l'air occlus

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