Cette étude porte sur le couplage d’un modèle de paroi avec une approche numérique d’ordre élevé pour la réalisation de calculs aéroacoustiques d’écoulements pariétaux à hauts nombres de Reynolds par la Simulation des Grandes Echelles (SGE). La modélisation de paroi est basée sur l’utilisation de lois analytiques et est combinée à des schémas numériques implicites d’ordre élevé développés en Volumes Finis (VF). Les performances de ce couplage sont évaluées en réalisant la simulation d’un écoulement de canal plan bi-périodique turbulent à un nombre de Reynolds Re = 2000, puis la SGE d’un jet subsonique isotherme à un nombre de Reynolds ReD = 5,7 x 10(5)

Bogey, Christophe

Daviller, Guillaume,

Deniau, Hugues

Le, Bras, Sophie

I-Revues

22ème Congrès Français de Mécanique Lyon, 24 au 28 Août 2015
Modélisation de paroi pour la simulation des grandes
échelles avec une approche numérique d’ordre élevé
S. LE BRASa, H. DENIAUb, C. BOGEYc, G. DAVILLERd
a. CERFACS, 42 avenue Gaspard Coriolis, 31057 TOULOUSE, FRANCE.
b. ONERA, 2 avenue Édouard Belin, 31000 TOULOUSE, FRANCE.
c. Ecole Centrale de Lyon, 36 avenue Guy de Collongue, 69134 ECULLY, FRANCE.
d. IMFT, allée du Professeur Camille Soula, 31400 TOULOUSE, FRANCE.
Résumé :
Cette étude porte sur le couplage d’un modèle de paroi avec une approche numérique d’ordre élevé pour
la réalisation de calculs aéroacoustiques d’écoulements pariétaux à hauts nombres de Reynolds par la
Simulation des Grandes Echelles (SGE). La modélisation de paroi est basée sur l’utilisation de lois
analytiques et est combinée à des schémas numériques implicites d’ordre élevé développés en Volumes
Finis (VF). Les performances de ce couplage sont évaluées en réalisant la simulation d’un écoulement
de canal plan bi-périodique turbulent à un nombre de Reynolds Reτ = 2000, puis la SGE d’un jet
subsonique isotherme à un nombre de Reynolds ReD = 5.7× 105.
Abstract :
This study investigates the coupling of a wall model approach with high-order numerical methods to
perform aeroacoustic simulations involving wall-bounded flows at high Reynolds numbers using Large
Eddy Simulations (LES). The wall model approach is based on analytical laws, and is combined with
high-order finite volume implicit schemes. In this paper, the validity of the coupling is first assessed
for a bi-periodic turbulent channel flow at a Reynolds number Reτ = 2000, and then for a subsonic
isothermal jet at a Reynolds number ReD = 5.7 × 105.
Mots clefs : simulation des grandes échelles, modèle de paroi, ordre élevé,
aéroacoustique
1 Introduction
La SGE réalisée avec des méthodes numériques d’ordre élevé, peu dispersives et peu dissipatives, est une
technique de choix pour la réalisation de calculs aéroacoustiques. Elle permet de capturer avec précision
les sources de bruit au sein des écoulements turbulents. Cependant, pour des écoulements pariétaux à
nombres de Reynolds élevés en présence de configurations géométriques complexes, le coût des SGE est
trop important. Plus précisément, la résolution numérique des couches limites est hors d’atteinte compte
tenu des ressources de calcul actuellement disponibles. Cette limitation est très problématique, notam-
ment pour les SGE de bruit de jet avec tuyère à hauts nombres de Reynolds. La prise en compte de la
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géométrie de la tuyère pour la simulation numérique est cependant nécessaire pour obtenir des résultats
de qualité. En effet, selon de récentes études [1], simuler l’écoulement dans la tuyère permet d’imposer
des conditions aérodynamiques réalistes pour le jet en sortie de conduite. Le développement de la tur-
bulence du jet est alors mieux prédit et les estimations des niveaux de bruit rayonné sont meilleures.
Par conséquent, afin de rendre possible la réalisation de tels calculs, une solution consiste à utiliser une
modélisation à la paroi. La SGE avec modèle de paroi connaît actuellement un franc succès au sein de
la communauté scientifique. Ce travail a pour objectif de combiner un modèle de paroi analytique avec
l’approche numérique d’ordre élevé pour la SGE dans elsA [2], code de calcul développé par l’ONERA
et le CERFACS.
2 Méthodes numériques
2.1 Approche SGE
Les équations de Navier Stokes 3-D compressibles sont résolues sous forme conservative en utilisant
le code elsA, solveur structuré multi-bloc en Volumes Finis (VF). Pour la discrétisation spatiale, un
schéma numérique compact implicite d’ordre 6, développé par Lele en différences finies [3] et étendu à
l’approche VF par Fosso et al. [4], est employé. Afin d’assurer la stabilité des calculs, le filtre compact
d’ordre 6 de Visbal et Gaitonde [5] est appliqué pour supprimer les échelles mal résolues par le maillage.
Ce filtre joue également le rôle de modèle de sous-maille pour la SGE. L’intégration temporelle est
réalisée grâce à un algorithme de Runge Kutta optimisé d’ordre 2 à 6 pas de temps développé par Bogey
et Bailly [6]. Des conditions non réfléchissantes ont également été implémentées dans le code afin de
limiter les réflexions aux frontières du domaine [7].
2.2 Modèle de paroi
La modélisation de paroi repose sur l’utilisation de la loi analytique de Reichardt [8], qui donne l’évo-
lution de la vitesse moyenne statistique U en fonction de la distance à la paroi y, dans la région interne
de la couche limite. La loi de Reichardt, valable pour des écoulements en régime incompressible et sous
de faibles gradients de pression longitudinaux, est représentée en unité de paroi par l’équation :
U+ =
U
uτ
=
1
κ
ln(1 + κy+) +
(
B − 1
κ
lnκ
)(
1 − exp(−y
+
11
)− y
+
11
exp(−0.33y+)
)
(1)
où y+ = ρuτy/µw, uτ est la vitesse de frottement, ρ et µw représentent respectivement la densité et la
viscosité dynamique à la paroi, κ est la constante de Von Karman, etB est une constante égale à 5.25. La
vitesse de frottement uτ est estimée à partir de la loi de Reichardt et de grandeurs issues du champ SGE
au niveau d’un point de calcul situé à une hauteur h de la paroi. Un intérêt particulier est porté sur le
choix de la hauteur h. Des études ont notamment montré que sélectionner un point relativement éloigné
de la paroi améliore les performances du modèle [9]. Dans ce travail, le 3ème point au-dessus de la paroi
est choisi pour définir h. Une fois que la vitesse de frottement uτ est obtenue, le taux de cisaillement à
la paroi τw = ρu2τ est calculé et ensuite utilisé dans le calcul du bilan de flux relatif à l’approche VF au
niveau de la cellule adjacente à la paroi.
Lamodélisation de paroi présentée ci-dessus est valable pour des parois adiabatiques. Un traitement pour
les parois isothermes a également été développé avec prise en compte d’un éventuel flux de chaleur à la
paroi. Il n’est pas présenté ici.
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2.3 Couplage approche SGE/modèle de paroi
Un traitement numérique a été développé afin de rendre compatible la modélisation de paroi et l’ap-
proche numérique employée pour la SGE, basée sur l’utilisation de schémas d’ordre élevé. L’application
de ces schémas nécessite la présence d’un certain nombre de points de part et d’autre du point d’inté-
rêt, condition non vérifiée à proximité des parois. Par conséquent, la discrétisation spatiale aux parois
doit être modifiée. Aussi, des cellules fictives sont introduites pour étendre le domaine de calcul. Une
reconstruction des composantes de vitesse, de pression et de température dans les cellules fictives est
réalisée à l’aide du modèle de paroi et du champ SGE instantané au voisinage de la paroi. Ces cellules
fictives permettent d’appliquer le filtre de Visbal et Gaitonde jusqu’à la paroi. Une formulation différente
de celle de Lele est employée pour le schéma numérique à la paroi. En particulier, une vitesse nulle est
imposée à la paroi, et un schéma explicite centré d’ordre 2 estime la vitesse sur la première interface du
maillage au-dessus de la paroi.
3 Canal plan turbulent
Dans un premier temps, l’approche SGE avec modèle de paroi est utilisée pour calculer un écoulement
de canal plan bi-périodique turbulent à un nombre de MachM = 0.2 et à un nombre de Reynolds de
paroiReτ = 2000. Les calculs ont été réalisés avec deux maillages cartésiens M1 et M2. Les paramètres
relatifs à la taille du canal et aux deux maillages M1 et M2 sont présentés dans la table 1. La répartition
des points de maillage est uniforme dans chaque direction. Les dimensions des cellules pour M1 et M2
sont données en unités de paroi dans la table 1. Le maillage M1 respecte les contraintes de discrétisation
spatiale généralement prescrites pour les calculs SGE avec loi de paroi. Le maillage M2 contient 10 fois
plus de points que M1.
Maillage Lx/h Ly/h Lz/h nx ny nz ∆x+ ∆y+ ∆z+
M1 2pi 2 pi 49 41 41 260 100 160
M2 2pi 2 pi 153 67 101 80 60 60
Table 1 – Paramètres pour le canal turbulent : dimensions du canal dans les directions longitudinale,
normale à la paroi et transverse notées Lx, Ly, Lz , demi-hauteur du canal h, nombres de points du
maillage nx, ny et nz , dimensions des cellules du maillage en unités de paroi ∆x+, ∆y+, ∆z+.
Les profils de la vitesse moyenne et des tensions de Reynolds dans le canal sont représentés en unités
de paroi sur la figure 1. Les résultats sont en bon accord avec les valeurs de la DNS (Direct Numerical
Simulation) de Hoyas et Jiménez [10], notamment pour le calcul réalisé avec le maillage le plus fin M2.
4 Jet simple subsonique
La SGE avec modèle de paroi est dans un second temps appliquée à un jet rond subsonique isotherme
sortant d’une tuyère de diamètre D. Le jet est caractérisé par un nombre de Mach M = uj/c = 0.6
et un nombre de Reynolds ReD = ujD/ν = 5.7 × 105, correspondant aux valeurs de l’expérience de
Cavalieri et al. [11], où uj représente la vitesse du jet, c est la vitesse du son, et ν est la viscosité dyna-
mique. Le modèle de paroi est appliqué à l’intérieur de la tuyère. Des fluctuations de vitesse aléatoires
sont également introduites dans la conduite pour permettre le développement aérodynamique du jet. Le
maillage pour le calcul SGE contient 83 millions de points. La simulation est effectuée sur une période
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0
5
10
15
20
25
0.1 1 10 100 1000
U
+
y+
(a)
−1
0
1
2
3
0 500 1000 1500 2000
y+
uv+
w+
v+
u+
(b)
Figure 1 – Canal plan turbulent : (a) profil de vitesse longitudinale moyenne, (b) tensions de Reynolds,
où u, v, w correspondent aux fluctuations de la vitesse dans les directions longitudinale, normale à la
paroi et transverse respectivement, résultats DNS de Hoyas et Jiménez [10], maillageM1, et
maillageM2.
T = 500D/c afin d’obtenir une base de données pour étudier le rayonnement acoustique émis par le
jet. La propagation acoustique en champ lointain est réalisée au moyen d’une analogie acoustique de
Ffowcs-Williams and Hawkings [12].
Figure 2 – Vue instantanée du champ de vorticité dans l’écoulement. Niveaux de couleur compris entre
0 et 10uj/D, du bleu au rouge.
0
0.25
0.5
0.75
1
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
u¯
z
/
u
j
r/D
(a)
0
0.025
0.05
0.075
0.1
0.125
0.15
0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
<
u
′ zu
′ z
>
1
/
2
/u
j
r/D
(b)
Figure 3 – Conditions du jet en sortie de tuyère : (a) profil de vitesse axiale moyenne, (b) profil des
fluctuations de vitesse axiale, pour la SGE avec loi de paroi, et pour l’expérience de Cavalieri
et al. [11].
Le champ instantané de la vorticité est représenté sur la figure 2. L’écoulement en sortie de la tuyère y ap-
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60
70
80
90
100
110
0.1 0.2 0.5 1 2 5 10
P
S
D
(d
B
/S
t)
St = fD/uj
(a)
60
70
80
90
100
110
0.1 0.2 0.5 1 2 5 10
P
S
D
(d
B
/S
t)
St = fD/uj
(b)
Figure 4 – Spectres de pression à une distance de 35D de la sortie de la tuyère pour des angles de (a)
Φ = 30◦ et (b) Φ = 90◦ par rapport à la direction de l’écoulement, pour la SGE avec loi de paroi,
et pour l’expérience de Cavalieri et al. [11].
paraît pleinement turbulent. De fines structures turbulentes, caractéristiques des écoulements à nombres
de Reynolds élevés, sont visibles. Les couches de mélange fusionnent aux alentours de z = 6D, mar-
quant ainsi la fin du cône potentiel du jet. Les conditions de l’écoulement en sortie de tuyère sont présen-
tées sur la figure 3, et comparées aux résultats de l’expérience. Sur la figure 3(a), le profil de la vitesse
axiale moyenne en fonction de la distance r/D est en bon accord avec l’expérience. Les niveaux rms de
vitesse axiale, représentés sur la figure 3(b), sont correctement estimés par l’approche SGE avec modèle
de paroi. Les spectres de pression en champ lointain à 35D de la sortie de la tuyère sont représentés sur
les figures 4(a) et 4(b) pour des angles de Φ = 30◦ et Φ = 90◦ par rapport à la direction du jet. Les
niveaux de bruit estimés par l’approche SGE sont en très bon accord avec les résultats expérimentaux.
5 Conclusions
Une méthode numérique pour la SGE avec modèle de paroi a été développée. Elle combine une loi de
paroi analytique et des schémas numériques d’ordre élevé. Elle a été utilisée pour le calcul d’un écoule-
ment de canal plan et l’étude d’un jet subsonique, pour des nombres de Reynolds élevés. Les résultats
démontrent la capacité de l’approche SGE à prédire l’aérodynamique des écoulements pariétaux à hauts
nombres de Reynolds. L’approche SGE est également en mesure d’estimer avec précision le champ
acoustique rayonné par le jet en champ lointain.
Remerciements
Cette étude s’inscrit dans le cadre d’une thèse financée par AIRBUS. Ces travaux ont bénéficié d’un
accès aux moyens de calcul du CINES au travers de l’allocation de ressources 2015-[x20152a6074]
attribuée par GENCI.
Références
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its corresponding Reynolds number in initially highly disturbed subsonic jets. Physics of Fluids, 25(5),
055106, 2013.
22ème Congrès Français de Mécanique Lyon, 24 au 28 Août 2015
[2] L. Cambier, S. Heib et S. Plot. The Onera Elsa CFD Software : Input from Research and Feedback
from Industry. Mechanics and Industry, 14(03), 159-174, 2013.
[3] SK. Lele. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution. Journal of Computational
Physics, 103, 16-42, 1992.
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pact formulation. Journal of Computational Physics, 229(13), 5090-5122, 2010.
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[10] S. Hoyas et J. Jiménez. Scaling of the velocity fluctuations in turbulent channels up toReτ = 2003.
Physics of Fluids, 18, 011702, 2006.
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jets. Journal of Fluid Mechanics, 704, 388-420, 2012.
[12] D. Casalino. An advanced time approach for acoustic analogy predictions. Journal of Sound and
Vibration, 261(4), 583-612, 2003.


Modélisation de paroi pour la simulation des grandes échelles avec une approche numérique d’ordre élevé

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/57708/1/68197.pdf

Modélisation de paroi pour la simulation des grandes échelles avec une approche numérique d’ordre élevé

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