Les barres de Hopkinson permettent de caractériser des matériaux à vitesse de sollicitation élevée. La détermination de la loi de comportement repose sur un certain nombre d'hypothèses et sur un post-traitement important des données collectées lors de l'essai. L'erreur de mesure sur les lois de comportement obtenues figure très rarement. Cet article présente une méthode et une première estimation de l'incertitude de mesure associée à un tel essai

Brizard, Denis

Ronel, Sylvie

I-Revues

22ème Congrès Français de Mécanique Lyon, 24 au 28 Août 2015
Incertitudes de mesures sur les lois de
comportement obtenues avec SHPB
D. BRIZARDa,b,c, S. RONELa,b,c
a. Université de Lyon, F-69622, Lyon, France ;
b. Université Claude Bernard Lyon 1, Villeurbanne ;
c. IFSTTAR, UMR_T9406, LBMC Laboratoire de
Biomécanique et Mécanique des Chocs, F69675, Bron.
denis.brizard@ifsttar.fr
sylvie.ronel@univ-lyon1.fr
Résumé :
Les barres de Hopkinson permettent de caractériser des matériaux à vitesse de sollicitation élevée. La
détermination de la loi de comportement repose sur un certain nombre d’hypothèses et sur un post-
traitement important des données collectées lors de l’essai. L’erreur de mesure sur les lois de compor-
tement obtenues figure très rarement. Cet article présente une méthode et une première estimation de
l’incertitude de mesure associée à un tel essai.
Abstract :
Split Hopkinson Pressure Bar tests are commonly employed to get material laws at high deformation
rate. Getting this law relies on hypotheses and a consequent post-processing of the data recorded during
the test. Measurement incertainty rarely appears on the resulting curves. This article introduces a first
simple method to estimate the measurement incertainty associated with SHPB tests.
Mots clés : propagation d’incertitude, incertitudes de mesures, SHPB
1 Introduction
La caractérisation dynamique des matériaux pour des sollicitations rapides allant de 100 s−1 à 10 000 s−1
à l’aide de barres deHopkinson (SHPB, Split Hopkinson Pressure Bars) ne cesse de se développer depuis
la deuxième moitié du XXe siècle [1, 2]. Les barres métalliques furent d’abord utilisées principalement
pour la caractérisation des matériaux à forte impédance [3], le développement de barres à faible im-
pédance en polymère permit ensuite de tester des échantillons de plus faible impédance comme des
mousses [4]. Le dispositif, initialement conçu pour la compression dynamique, fût adapté pour le test
de matériaux en traction, en torsion, en cisaillement, ainsi que pour les matériaux céramiques et les
bétons [5]. Des applications aux matériaux biologiques font leur apparition [6, 7, 8].
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imp
act
eur
bar
re e
ntr
ant
e
épr
ouv
ette
bar
re s
ort
ant
e
vimp
Figure 1 – Schéma de principe des barres de Hopkinson
excitation
jaugebarre
amplification
oscilloscope
dépouillement
calcul+hypothèses
ǫi(t), ǫr(t), ǫt(t)
ondes de
déformation
Vex
e(t)
U(t)tension mesurée
ǫ(t)déformation
σ(t)contrainte
Figure 2 – Flux d’information dans le traitement des essais avec barres de Hopkinson (grandeurs phy-
siques, grandeurs électriques, traitement/calcul numérique)
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Les barres de Hopkinson sont constituées de deux barres de mesure (Figure 1). L’échantillon est disposé
entre ces barres de mesure, il est traversé par une onde de compression générée par l’impact de l’impac-
teur sur la barre de mesure entrante. Des jauges de déformation collées à la surface des barres entrante
et sortante permettent de mesurer respectivement les ondes incidente et réfléchie ǫi(t) et ǫr(t) et l’onde
transmise ǫt(t). Les jauges sont situées au milieu des barres afin d’éviter la superposition des ondes.
La Figure 2 détaille les différentes étapes conduisant à la détermination de la loi de comportement
de l’échantillon –σs(t) en fonction de ǫs(t)– à partir des déformations mesurées ǫi(t), ǫr(t) et ǫt(t).
L’obtention de la loi de comportement de l’échantillon n’est pas directe : elle nécessite la mesure de la
déformation des deux barres de mesure et repose ensuite sur un certain nombre d’hypothèses [2], dont
notamment l’équilibre des forces de part et d’autre de l’échantillon.
Une fois l’équilibre des contraintes atteint, la déformation de l’échantillon et la contrainte dans l’échan-
tillon sont données par
dǫs(t)
dt
=
−2c0
ls
ǫr(t) (1)
ǫs(t) =
2c0
ls
∫ t
0
ǫr(τ)dτ (2)
σs(t) =
AbEb
As
ǫt(t) (3)
où c0 est la célérité des ondes de compression dans les barres de mesure, ls la longueur initiale de
l’échantillon, Eb le module d’élasticité des barres de mesure et Ab, As sont les sections de la barre de
mesure sortante et de l’échantillon.
La Figure 3 illustre une loi de comportement typique obtenue à l’aide de barres de Hopkinson : comme
tout résultat issu de mesures, elle devrait présenter des barres d’erreurs –en chaque point– liées aux
incertitudes de mesure. Par ailleurs, le dépouillement des essais reposant sur l’hypothèse d’équilibre
des contraintes sur les deux faces de l’échantillon, il est nécessaire de faire également figurer le domaine
de validité de la courbe.
Les incertitudes de mesure liées à la chaîne d’acquisition sont donc présentées dans une première partie
(Section 2). À cela s’ajoutent des incertitudes liées au traitement des signaux mesurés –qui sont propagés
de la jauge de déformation au milieu de la barre à l’interface avec l’échantillon–, c’est l’objet de la
Section 3.
2 Incertitudes de mesure liées à la chaîne d’acquisition
Les documentations techniques des appareils de mesure –conditionneur amplificateur Dewetron HSI-
STG [9] et oscilloscope Pico Technology PicoScope 5442A [10]– et des jauges de déformation utilisés
permettent d’estimer l’incertitude de mesure entre la déformation mesurée à la surface de la barre ǫ(t)
et la tension enregistrée à l’aide de l’oscilloscope numérique U(t) (voir Figure 2).
La déformation est calculée à partir de la mesure de la tension e aux bornes du pont de jauges
ǫ(t) =
1
κ
2
(1 + ν)
e(t)
Vex
(4)
où κ est le facteur de jauge (connu à 0.5% près) et Vex la tension d’excitation du pont.
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0
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200
300
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500
st
re
ss
 [
M
Pa
]
Figure 3 – Exemple de loi de comportement obtenu avec les barres de Hopkinson : échantillon de cuivre
testé à 1300 s−1
L’incertitude de mesure [11] sur la déformation est donc
[
u (ǫ(t))
ǫ(t)
]2
=
[
u (κ)
κ
]2
+
[
u (ν)
1 + ν
]2
+
[
u (Vex)
Vex
]2
+
[
u (e(t))
e(t)
]2
(5)
L’erreur sur la tension mesurée e(t) (voir Figure 2) est liée à l’erreur sur l’excitation du pont de jauge
Vex et intègre l’erreur de mesure du conditionneur-amplificateur (HSI) et de l’oscilloscope numérique
(PS) [
u (e(t))
e(t)
]2
=
[
u (eHSI(t))
eHSI(t)
]2
+
[
u (ePS(t))
ePS(t)
]2
+
[
u (Vex)
Vex
]2
(6)
L’incertitude de mesure sur la contrainte est calculée à partir de l’Équation 3
[
u (σs(t))
σs(t)
]2
= 2
[
u (db)
db
]2
+ 2
[
u (ds)
ds
]2
+
[
u (ǫt(t))
ǫt(t)
]2
(7)
où db et ds sont respectivement le diamètre de la barre de mesure sortante et le diamètre de l’échantillon,
grandeurs effectivement mesurées.
L’incertitude de mesure sur la déformation de l’échantillon est calculée à partir de l’Équation 2
[
u (ǫs(t))
ǫs(t)
]2
=
[
u (c0)
c0
]2
+
[
u (ls)
ls
]2
+

u
(∫ t
0
ǫr(τ)dτ
)
∫ t
0
ǫr(τ)dτ


2
(8)
En réalité l’intégration est réalisée numériquement sur des signaux échantillonnés, on peut donc refor-
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strain [-]
0
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st
re
ss
 [
M
Pa
]
Figure 4 – Loi de comportement avec l’erreur de mesure liée à la chaîne d’acquisition et au traitement
numérique.
muler l’équation précédente sous la forme discrète
[
u (ǫs(n∆T ))
ǫs(n∆T )
]2
=
[
u (c0)
c0
]2
+
[
u (ls)
ls
]2
+
[
n× u (ǫr(n∆T )))∑n
i=0 ǫr(i∆T )
]2
(9)
Le calcul des incertitudes liées à la chaîne de mesure permet de tracer la Figure 4, sur laquelle les
incertitudes de mesure sont représentées à partir de l’instant où l’équilibre est atteint dans l’échantillon.
Les valeurs des paramètres sont donnés dans l’Annexe A.
3 Incertitudes liées au calcul de la propagation des signaux vers
les interfaces
Les signaux mesurés au milieu des barres de mesure sont propagés afin d’en déduire les déformations
sur les faces de l’échantillon (propagation des jauges vers les interfaces avec l’échantillon). Des effets
3D liés au rayon fini des barres introduisent de la dispersion dans la propagation [12]. La correction
des effets de dispersion nécessite l’utilisation de la transformée de Fourier pour prendre en compte la
dépendance de la vitesse de phase avec la fréquence [13].
Une première approche simple proposée ici consiste à négliger la dispersion et repose donc sur unmodèle
de propagation 1D non dispersif.
Le signal mesuré au milieu de la barre entrante est déplacé d’une distance lgi jusqu’à l’interface avec
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strain [-]
0
100
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500
st
re
ss
 [
M
Pa
]
mean
up
down
Figure 5 – Incertitude sur la position de la courbe liée au temps de propagation des signaux
l’échantillon. Cela revient à appliquer le décalage temporel
tgi =
lgi
c0
(10)
L’incertitude de mesure sur le décalage temporel est alors
[
u (tgi)
tgi
]
2
=
[
u (lgi)
lgi
]
2
+
[
u (c0)
c0
]2
(11)
De la même manière, l’incertitude sur le décalage temporel de la barre de mesure sortante est
[
u (tig)
tig
]
2
=
[
u (lig)
lig
]
2
+
[
u (c0)
c0
]2
(12)
avec lig la distance entre l’interface et la jauge de déformation sur la barre de mesure sortante.
La déformation de l’échantillon ǫs(t) est calculée à partir de la déformation réfléchie dans la barre de
mesure entrante et la contrainte dans l’échantillon σs(t) est calculée à partir de l’onde de déformation
transmise ǫt(t) mesurée dans la barre de mesure sortante. L’incertitude sur la position de la courbe
contrainte-déformation cumule donc les incertitudes sur le décalage temporel des deux barres. Ce qui
revient à considérer deux cas : un rapprochement temporel des deux signaux de tgi + tig ou bien un
éloignement temporel de la même valeur. Ce résultat est illustré par la Figure 5.
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 [
M
Pa
]
Figure 6 – Loi de comportement avec incertitudes de mesure liées à la chaîne d’acquisition et à la
propagation des signaux mesurés
4 Tracé des incertitudes de mesure
Les équations développées dans les Section 2 sont utilisées pour calculer les incertitudes de mesure
associées à ǫs(t) et σs(t), ces incertitudes de mesure sont ensuite reportées sur les deux courbes en
avance et en retard de la Section 3.
L’incertitude de mesure est représentée en chaque point du graphique par un rectangle (l’utilisation
de barres d’erreur dans les deux directions du graphique n’est pas lisible). Afin de réduire la quantité
d’information sur le graphique et dans le but d’obtenir l’enveloppe de la courbe avec incertitudes de
mesure, les rectangles sont unis en un seul polygone à l’aide d’une libraire d’opérations booléennes
géométriques (Clipper Library, Angus Johnson).
Le résultat est illustré par la Figure 4.
Les valeurs des incertitudes (ainsi que les paramètres associés) sont données dans l’annexe A.
5 Conclusion
La méthode proposée dans cet article permet de caractériser les incertitudes de mesure pour les essais
effectués avec des barres de Hopkinson et montre que ces incertitudes sont loin de rester dans l’épaisseur
du trait de la courbe. Il paraît donc difficile de les négliger.
Il s’agit d’une première approche qui repose principalement sur l’hypothèse d’une propagation non
dispersive. La prise en compte des incertitudes dans le calcul de la dispersion nécessite une étude plus
approfondie.
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Enfin, l’incertitude liée à la mesure surfacique de la contrainte dans les barres n’est pas prise en compte :
les effets 3D peuvent conduire à une distribution non uniforme de la contrainte et de la vitesse particulaire
dans la section de la barre, notamment pour des barres de diamètre important [14].
A Valeurs des incertitudes de mesure
Le coefficient de Poisson des barres en acier Armco 17-4PH vaut 0.291.On peut donc supposer une
incertitude de 0.0005 sur la valeur donnée [15].
Les barres de diamètre nominal de 31.75mm sont rectifiées (centerless grinding) et ont un diamètre
mesuré allant de 31.71mm à 31.76mm, soit une incertitude sur le diamètre de 0.025mm.
Incertitudes de mesure relatives :
– facteur de jauge (κ) : 0.005
– tension d’excitation (Vex) : 0.0003
– amplification (eHSI ) : 0.0005
– oscilloscope (ePS) : 0.0025
– vitesse de propagation (c0) : 0.001
Incertitudes de mesure absolues :
– diamètre des barres de mesure (db) : 2.5 × 10−5m
– diamètre de l’échantillon (ds) : 2× 10−5 m
– longueur de l’échantillon (ls) : 2× 10−5m
– distance jauge-interface (lgi) : 0.0005m
Références
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Royal Society of London A : Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 240(821) :375–
457, January 1948.
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nique : A critical review. Applied Mechanics Reviews, 57(4) :223, 2004.
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split Hopkinson pressure bar. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 11(3) :155–179,
May 1963.
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International Journal of Impact Engineering, 19(4) :319–330, April 1997. Scopus 60.
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International, 10 edition, September 2000.
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dependence of human body soft tissues using a split Hopkinson pressure bar. 2006.
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22ème Congrès Français de Mécanique Lyon, 24 au 28 Août 2015
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Incertitudes de mesures sur les lois de comportement obtenues avec SHPB (S05b)

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/57506/1/68273.pdf

Incertitudes de mesures sur les lois de comportement obtenues avec SHPB (S05b)

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