Les méthodes issues de la théorie des groupes permettent de résoudre un certain nombre des problèmes posés par le haut degré de symétrie interne de certains matériaux cellulaires et ainsi d'étudier, de manière exhaustive, le champ des états possibles coexistants dans un tel système. On propose ici d'étudier le comportement post-bifurqué de matériaux cellulaires à murs courbes, sollicités en grandes transformations, dans leur plan. Plusieurs types de comportements non-linéaires sont considérés ainsi que plusieurs symétries d'empilement

Combescure, Christelle

Elliott, Ryan

Triantafyllidis, Nick

I-Revues

22ème Congrès Français de Mécanique Lyon, 24 au 28 Août 2015
Bifurcation et stabilité des matériaux
cellulaires à l’aide de la théorie desgroupes
C. COMBESCUREa,b, N. TRIANTAFYLLIDISb, R.S. ELLIOTTa
a. AEM, University of Minnesota, Minneapolis (MN), USA, combesc@umn.edu
b. LMS Ecole Polytechnique, Palaiseau, FRANCE, nick@lms.polytechnique.fr
Résumé :
Les méthodes issues de la théorie des groupes permettent de résoudre un certain
nombre des problèmes posés par le haut degré de symétrie interne de certains matériaux
cellulaires et ainsi d’étudier, de manière exhaustive, le champ des états possibles co-
existants dans un tel système. On propose ici d’étudier le comportement post-bifurqué
de matériaux cellulaires à murs courbes, sollicités en grandes transformations, dans
leur plan. Plusieurs types de comportements non-linéaires sont considérés ainsi que
plusieurs symétries d’empilement.
Abstract :
Group theoretical methods provide tools to solve a number of problems related to
the high degree of internal symmetries presented by some cellular solids. Thus it be-
comes possible to determine all the possible coexisting stable and instable states of
our system. In this paper, we suggest to study the post-bifurcated behavior of finitely
strained cellular solids with curved walls, under in-plane sollicitations. Different types
of non-linear behavior are considered as well as various piling symmetries.
Mots clefs : Stabilité, Bifurcation, Théorie des Groupes, Matéri-
aux Cellulaires, Eléments Finis Courbes
1 Contexte
Les matériaux à microstructure régulière de type nids d’abeilles sont largement
utilisés dans l’industrie grâce à leurs propriétés élastiques avantageuses et leur com-
portement de ruine par écrasement successif de bandes de microstructure favorisant
une haute dissipation d’énergie sous sollicitations dynamiques de type écrasement. Il
a été récemment souligné que ces matériaux, lorsqu’ils sont sollicités dans leur plan,
peuvent présenter des comportements étonnants, via notamment des instabilités élas-
tiques . Ainsi, selon l’arrangement de la microstructure régulée de ces matériaux, ces
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instabilités peuvent mener à des effets de structure correspondant à un coefficient de
Poisson négatif [1] pour le matériau global ou à un stockage d’énergie via des flambe-
ments internes bistables.
Traditionnellement, l’étude de telles instabilités repose sur l’utilisation de perturba-
tions introduites comme des imperfections dans le modèle initial de manière à mener à
l’instabilité recherchée. Il a été démontré [6] que cette technique peut, dans certains cas,
mener à un risque de ne pas détecter une instabilité critique pour la structure, en partic-
ulier en présence de modes multiples de bifurcation. Or, dans les systèmes comprenant
un grand nombre de symétries internes, il est fréquent de voir apparaître des modes mul-
tiples de bifurcations ou des modes simples très rapprochés le long du chemin de charge.
Demanière à lever le risque précédemment évoqué, il est alors nécessaire d’avoir accès à
tout l’espace des bifurcations possibles afin de pouvoir déterminer l’ensemble des états
d’équilibre du système de manière exhaustive et ainsi être capable de prédire le chemin
stable critique suivi par le système. Dans le domaine des matériaux cellulaires que sont
les alliages à mémoire de forme, de telles méthodologies ont été mises en place [3] [2]
pour expliquer les nuances de martensite et d’austénite constatées lors des changements
de phase à l’origine des propriétés constitutives de ces matériaux. Ces méthodologies se
basent sur l’utilisation de la théorie des groupes de symétries et utilisent des algorithmes
de suivi des branches de bifurcation pour, in fine, établir une cartographie des chemins
de bifurcations stables et instables auquel le système a accès. Cette cartographie est
appelée diagramme de bifurcation (voir Figure1).
Figure 1: Diagramme de bifurcation pour les changements de phase matensitique dans
un cristal bi-atomique [4].
Les matériaux architecturés se situent à l’inteface des deux problématiques présen-
tés ci-avant. Dans une démarche de Material-by-Design, avoir accès au diagramme
complet de bifurcation du matériau est alors une information cruciale pour le concep-
teur. Ainsi, comme suggéré dans [6], on présente ici une technique d’étude des sys-
tèmes à grand nombre de symétries en se basant sur l’exemple bien documenté des nids
d’abeilles à murs courbes [7].
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1 2 Théorie
Ce travail s’intéresse à l’analyse du comportement post-bifurqué des matériaux péri-
odiques architecturés que sont les nids d’abeilles à murs courbes. La géométrie des
matériaux de ce type peut être décrite à l’aide de groupes de symétries via la théorie
des groupes d’espace, à l’image de ce qui est fait en cristallographie pour l’étude de
la structure interne des cristaux. Ainsi, un nid d’abeille à murs courbes et à structure
hexagonale peut être décrit par le groupe d’espace P622 selon la notation des Tables
Internationales de la Cristallographie [5]. La procédure que nous suivons pour con-
duire l’analyse de stabilité d’un matériau périodique débute par une analyse par on-
des de Bloch sur une cellule primitive de manière à déterminer les longueurs d’ondes
critiques correspondant aux différentes instabilités pouvant subvenir dans le système
étudié. Une cellule de base correspondant à ces longueurs d’ondes est ensuite con-
struite et son groupe de symétries associé est identifié. En se basant sur les outils de la
théorie des représentations, de nombreuses informations sur les bifurcations du système
découlent de cette identification et les branches bifurquées peuvent alors être identifiées
puis suivies pour construire le diagramme de bifurcation du système.
1.1 2.1 Ondes de Bloch
Dans un système périodique infini, il est nécessaire de détecter les instabilités à l’échelle
microscopique qui peuvent survenir dans une à plusieurs cellules primitives. A partir de
calculs effectués sur la plus petite cellule de base possible, la cellule primitive, la théorie
des ondes de Bloch permet de déterminer les différentes longueurs d’ondes associées
aux instabilités du système. Cette théorie considère des perturbations en déplacement
de type ondes planes avec toutes les longueurs d’ondes possibles et aucune déformation
globale, sur la cellule primitive. Ces ondes planes sont paramétrées par un vecteur
d’onde k comme suit:
u(X) = p(X)eik.X (1)
où u est la perturbation en déplacement, X est le vecteur position et p est une fonction
périodique sur la cellule primitive. La fonction périodique p correspond à l’amplitude
d’une onde plane donnée tandis que le vecteur d’onde k donne son orientation (direction
de k) et sa longueur d’onde (inverse de la longueur de k) et prend des valeurs, sur la
cellule de base comprises entre −pi et pi.
Pour une configuration d’équilibre donnée, un critère de stabilité, basé sur les ondes
de Bloch peut être défini à partir de la matrice Hermitienne dynamique.
K(k) = φ(m,n)eik.(X(m)−X(n)) m 6= n ∈ N2 (2)
où m et n sont des points différents du maillage et φ(m,n) est la matrice de rigidité
entre ces deux points.
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Critère de stabilité des ondes de Bloch: Pour chaque vecteur d’onde k, la matriceK
est calculée et ses valeurs propres sont déterminées. Une instabilité est détectée quand
une quelconque valeur propre de K devient négative. Le vecteur d’onde k correspon-
dant donne alors la longueur d’onde de cette instabilité.
1.2 2.2 Groupe de symétries
Une fois une longueur d’onde d’intérêt identifiée, une cellule de base correspondante
est construite en translatant la cellule primitive le long des vecteurs d’onde critiques
déterminés par l’analyse par ondes de Bloch. Cette cellule de base sera affectée de
conditions aux limites périodiques.
Les symétries d’un système sont catégorisées en deux types : les rotations, qui
forment le groupe de symétries ponctuelles (ou groupe de point) du système, et les
translations qui, alliées aux rotations, forment son groupe d’espace. Les symétries de
translations se répétant à l’infini sans jamais revenir sur un élément du groupe déjà
existant, les groupes d’espaces sont des groupes de dimension infinie, difficiles à manier
en pratique. Cependant, un groupe d’espace réduit peut être associé à la nouvelle cellule
de base, en restreignant le groupe des translations aux seules translations qui permettent
de construire la cellule à partir de la cellule primitive, i.e. aux translations associées
au vecteur d’onde k des ondes de Bloch. On crée ainsi un groupe de symétries de
dimensions finies et la périodicité de la cellule, au delà de ces translations internes,
permet de recréer la structure infinie sur laquelle on travaille.
Grâce à la théorie des représentations, des éléments théoriques appelés représenta-
tions irréductibles, qui prennent la forme de matrices, décrivent les symétries de notre
système. On peut distinguer les représentations irréductibles associées au groupe de
point, qui vont décrire des transformations identiques pour chaque cellule primitive
composant notre cellule de base, et les représentations associées aux translations qui
vont décrire des transformations différentes (voir Figure 2).
(a) cellule 2× 2 (b) groupe de point (c) groupe d’espace
Figure 2: Cellule 2× 2 (a) non déformée et exemples de déformations associées à une
représentation (b) du groupe de point et (c) du groupe d’espace
Le groupe de symétries du système étant appliqué non seulement au système lui-
même mais aussi au chargement que ce système subit, toutes les équations constitu-
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tives et d’équilibre du problème peuvent se projeter dans un espace réduit adapté aux
symétries. Ainsi, lorsqu’une instabilité apparaît, celle-ci mène à la perte d’une ou
plusieurs symétries, caractérisée par la projection du système dans une et une seule
représentation irréductible.
2 3 Résultats
2.1 3.1 Systèmes étudiés
La procédure évoquée précédemment est appliquée à plusieurs systèmes de manière à la
valider puis à produire des résultats nouveaux. La validation se fait sur des nids d’abeille
classiques à cellules circulaires en 2 dimensions dans le plan, et les résultats sont com-
parés aux résultats expérimentaux de [7]. Par la suite, un système de nids d’abeilles
avec un empilement carré est étudié. A ces deux types de systèmes sont appliqués des
chargements généraux dans le plan en déplacements et en efforts et plusieurs types de
comportements non-linéaires des matériaux sont envisagés.
2.2 3.2 Resultats
expérience simulation
chargement equibiaxial
chargement uniaxial
Figure 3: Comparaison expérimental/numérique pour des chargements équi-biaxial et
uni-axial. Résultats expérimentaux d’après [7]
Les résultats expérimentaux établis par [7] sont retrouvés par notre procédure :
• le chargement équi-biaxial en déplacement mène à une première bifurcation triple
avec un mode stable de plus faible énergie totale de type mode de fleur tel que
trouvé expérimentalement dans [7]
• le chargement uniaxial en déplacement dans un sens ne mène à aucune bifurca-
tion et dans l’autre sens à une bifurcation telle que présentée également dans les
expériences de [7].
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Une fois cette validation effectuée, nous explorons l’espace complet des sollicita-
tions dans le plan du nid d’abeille pour établir les surfaces limites de bifurcation, puis
nous nous intéressons à trois types de comportement envisageables pour les matériaux
constitutifs de ces nids d’abeilles : un comportement élastique pur, un comportement
durcissant et un adoucissant représentés par des lois puissances (voir Figure 4).
Figure 4: Lois de comportement considérées pour l’étude du nid d’abeilles à cellules
circulaires
Enfin, on s’intéresse au système à empilement carré. Nous verrons ainsi le nouveau
groupe de symétries utilisé pour un tel système et l’influence de ce changement sur les
résultats obtenus.
References
[1] K. Bertoldi, P.M. Reis, S. Willshaw, T. Mullin Negative Poisson’s ratio behavior
induced by an elastic instability, Advanced Materials, 22(3), 361-366, 2010
[2] R.S. Elliott, Multiscale bifurcation and stability of multilattices, J. of Computer-
Aided Materials Design, Springer, 1(14),143-157, 2007.
[3] R.S. Elliott, J.A. Shaw, N. Triantafyllidis Stability of thermally-induced martensitic
transformations in bi-atomic crystals, J. of the Mechanics and Physics of Solids,
Elsevier, 11(50),2463-2493, 2002.
[4] R.S. Elliott, N. Triantafyllidis, J.A. Shaw Reversible stress-induced martensitic
phase transformations in a bi-atomic crystal, J. of the Mechanics and Physics of
Solids, 2 (59), 216-236,2011
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[5] T. Hahn, International tables for crystallography. D. Reidel Publishing Company,
2005.
[6] T. J. Healey, A group-theoretic approach to computational bifurcation problems
with symmetry, Comp. Methods in App. Mech. and Eng. 67(3):257-295, 1988
[7] S.D. Papka, S. Kyriakides, Biaxial crushing of honeycombs: Part 1: Experiments.
Int. J. of Solids and Structures, Elsevier, 36(29):4367–4396, 1999.
[8] N. Triantafyllidis, M. Schraad, Onset of failure in aluminum honeycombs under
general loading. J. of theMechanics and Physics of Solids, Elsevier, 46, 1089-1124,
1998.


Bifurcation et stabilité des matériaux cellulaires à l'aide de la théorie des groupes

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/57378/1/70477.pdf

Bifurcation et stabilité des matériaux cellulaires à l'aide de la théorie des groupes

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