Nous présentons une contribution numérique à l'étude de l'écoulement du sang, considéré comme un fluide non-newtonien à seuil de contrainte, dans une artère sténosée. L'écoulement est supposé axisymétrique, laminaire, et la conduite comporte une sténose. Les effets de seuil sont pris en compte dans les simulations. A partir de données expérimentales de la littérature, le fluide est représenté par le modèle de Herschel-Bulkley, régularisé pour considérer le comportement aux faibles gradients de vitesse. Les résultats mettent en évidence l'influence du seuil sur les caractéristiques d'écoulement et l'apparition des zones rigides, en fonction des nombres de Reynolds et d'Oldroyd

Achab, Louiza

Benhadid, Salah

Clermont, Jean Robert

Magnin, Albert

I-Revues

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ème
 Congrès Français de Mécanique                                               Lyon, 24 au 28 Août 2015 
 
1 
 
 
Etude numérique d’écoulements du sang dans des 
domaines axisymétriques en présence d’une sténose 
importante avec un modèle de fluide à seuil  
 
L. ACHAB
a
, A. MAGNIN
b
, J.R. CLERMONT
b
, S. BENHADID
a
 
 
a. Département d’Energétique et de Mécanique des Fluides (Equipe de Rhéologie), USTHB, 
BP 32 El-Alia, 16111 Bab-Ezzouar, Alger, Algérie. l_achab@yahoo.fr 
b. Laboratoire Rhéologie et Procédés, UMR 5520, Université Joseph Fourier, Grenoble I, 
CNRS, BP 53, Domaine Universitaire, 38041 Grenoble Cedex 9, France.  
 
Résumé :  
 
Nous présentons une contribution numérique à l’étude de l’écoulement du sang, considéré comme un 
fluide non-newtonien à seuil de contrainte, dans une  artère sténosée. L’écoulement est supposé 
axisymétrique, laminaire, et la conduite comporte une sténose. Les effets de seuil sont pris en compte 
dans les simulations. A partir de données expérimentales de la littérature, le fluide est représenté par 
le modèle de Herschel-Bulkley, régularisé pour considérer le comportement aux  faibles gradients de 
vitesse. Les résultats mettent en évidence l’influence du seuil sur les caractéristiques d’écoulement et 
l’apparition des zones rigides, en fonction des nombres de Reynolds et d’Oldroyd. 
 
Abstract :  
 
In this paper, a numerical study of blood flow in an arterial stenosis is considered. The fluid 
behaviour is modelized as a viscoplastic material. The flow is assumed to be axisymmetric in laminar 
conditions, involving a high-degree stenosis. Low velocities are considered in order to take into 
account yield stress effects. A Herschel-Bulkley model is adopted for the simulations, under isothermal 
conditions. The results highlight the yield stress effects on the flow characteristics, in relation with the 
Reynolds and Oldroyd numbers, notably for the rigid flow regions.   
 
Mots clefs : écoulement sanguin, sténose, seuil d’écoulement, zones rigides 
 
1 Introduction  
 
Les maladies cardiovasculaires constituent, à l’heure actuelle, une des premières causes de mortalité. 
La sténose artérielle est une maladie dégénérative qui entraîne l'épaississement et le  durcissement de 
certains vaisseaux par l'accumulation de substances lipidiques. Différentes approches d’étude ont été 
proposées pour examiner la corrélation entre les différents facteurs hémodynamiques et les sténoses 
artérielles [1,2]. Les propriétés du sang sont importantes dans la circulation sanguine à travers les 
vaisseaux. Elles sont liées principalement au taux d'hématocrites, à la déformabilité et à l'agrégation 
des globules rouges. Le sang est un fluide non-newtonien, généralement considéré comme  
rhéofluidifiant. Suivant ses caractéristiques physiques, il peut aussi se comporter comme un  fluide à 
seuil, dont l’existence relève de l'agrégation et la déformation des globules rouges. Les valeurs de la 
contrainte seuil, rapportées dans des études cliniques et expérimentales de la littérature, sont 
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2 
 
relativement dispersées. Ces écarts s’expliquent par les techniques de mesure de cette contrainte, qui 
sont affectées par la séparation du sang en plasma et agrégats de cellules aux faibles taux de 
cisaillements et par les types de rhéomètres adoptés pour les  mesures [3]. Par exemple, les études de 
Picart et al.[3] ont montré que la contrainte seuil varie de 0.001 Pa à 0.03 Pa pour un sang normal à 
taux d’hématocrite 40%.  Sankar et Hemalathan [4] ont constaté que la contrainte seuil se trouve dans 
la gamme 0.01 - 0.06 Pa pour un sang normal et qu’elle augmente avec le taux d'hématocrites. La 
contrainte seuil est importante pour certaines pathologies comme la maladie de Vaquez,  
l'hypertension, le diabète, les cas de sténose, thrombose [5].   
Les effets non-newtoniens de l’écoulement du sang jouent un rôle exceptionnel aux faibles taux de 
cisaillement, que l’on rencontre dans des vaisseaux de faible diamètre (artères de petit calibre, 
capillaires…). 
Le travail présenté se rapporte à la simulation numérique d’écoulements axisymétriques stationnaires 
du sang dans des artères sténosées de faible calibre. Le fluide est supposé rhéofluidifiant, à seuil, et est 
représenté par le modèle rhéologique de Herschel-Bulkley. Les équations gouvernantes sont résolues 
en tenant compte de l’adhérence du fluide à la paroi, et les effets thermiques sont négligés.   
 
2     Domaine d'étude- Loi de comportement  
 
 
z1 
s2 
 
L1 L0 L2 
r0 
s1 
z2 zs 
 z 
 r 
 
FIG.1 -  Géométrie et domaine d’étude 
 
Le domaine d’écoulement est représenté en Fig. 1, en coordonnées cylindriques (r, , z). La paroi est 
supposée indéformable. R désigne la valeur des rayons amont et aval de la conduite. L1 et L2  
représentent, suivant z, les longueurs en amont et en aval de la zone sténosée, de longueur L0, dont les 
variations de paroi sont données par la relation  suivante, proposée par Young [6] : 
 
 101
0
LLzL     pour         
L
z2
cos1
R2
R)z(r 









      ,           (1) 
 
où  est l’épaisseur maximale de la constriction,  r, le rayon de l'artère sténosée. Nous considérons ici 
un degré de sténose à 75%, R =5mm =D/2, L0 = R =D/2, la constriction maximale se situe à zs=15D de 
l’entrée de l’artère et, pour assurer l'établissement de l'écoulement, on choisit L1= 15D et L2= 25D, (D 
est le diamètre de la conduite). 
L'utilisation du modèle de Herschel-Bulkley entraine des zones rigides d'écoulement qui dépendent de 
l'importance du seuil. La viscosité apparente tend vers l'infini lorsque le cisaillement tend vers zéro, 
c'est-à-dire au voisinage de l'interface des zones. La modélisation de Papanastasiou permet de 
considérer un comportement newtonien à très grande viscosité, au voisinage du seuil. Cette 
approximation est associée au modèle de Herschel-Bulkley [7], dans lequel on introduit un terme 
exponentiel permettant de contrôler la croissance de la contrainte donnée par :   
     ke1  1nm0 



 












  .                                (2) 
k désigne la consistance du fluide, n l'indice de structure d’écoulement, 0 la contrainte seuil 
d'écoulement et m le paramètre de régularisation du modèle défini par Papanastasiou. Le tenseur des 
taux de déformation est donné par: 
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3 
 
  TVV 
2
1
                       (3) 
Les deuxièmes invariants   et  des tenseurs taux de déformation
 
et déviateur des contraintes sont : 
   2)(tr)2/1(     ,     2)(tr)2/1(              (4) 
La loi de Hercshel-Bulkley-Papanastasiou tient compte des effets plastiques pour 00   et visqueux  
pour n  1 en même temps. Elle est réduite au modèle de Papanastasiou-Bingham; pour n=1, et à un 
modèle en loi de puissance pour 0 nul.  
200 400 600 800
2
4
6
8
10
0,0025 0,0050 0,0075 0,0100
0,02
0,04
0,06
0,08
 
 
m=100
1000
5000
10000
Hercshel-Bulkley Idéal
 Brook exp, at He=67%
 Herschel-Bulkley_papanastasiou
  
C
o
n
tr
a
in
te
 d
e
 c
is
a
il
le
m
e
n
t 
m
P
a
Taux de cisaillement s
-1
x10
3
 
 
FIG.2 -  Ajustement théorie-expérience du modèle de Hershel-Bulkley-Papanastasiou  
 
Les coefficients du modèle de Hershel-Bulkley-Papanastasiou pour le sang sont déterminés à partir de 
données de Brooks et al. [8]. Les paramètres choisis sont donnés dans le Tableau 1. 
 
Paramètres Valeurs 
Densité  [kg m-1] 
k [Pa sn]  
0 [Pa] 
n  
1060 
0.01 
0.0004-0.45 
0.68 
Tableau 1 :    Paramètres du fluide  
 
3     Equations gouvernantes – Procédure de résolution numérique  
 
L’écoulement étant supposé isotherme, les équations à prendre en compte sont les suivantes : 
 
  1° l’équation de  continuité : 
 0   ) ..(  V      ,                                                                                                   (5) 
 2°  l’équation des quantités de mouvement : 
 
      Ip   V)  .V(         .                                                                                                 (6) 
 
V  désigne le vecteur vitesse du fluide,  la masse volumique, p la pression,   I le tenseur unité et 
   le tenseur des contraintes donné par la loi de comportement. 
Dans notre étude, nous considérons les nombres adimensionnels suivants:  
 
k
DU
Re
nn2
  ,  
n
n
0
kU
D
Od

                         (7) 
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Le nombre de Reynolds Re caractérise l’influence relative des forces d’inertie et de viscosité, pour une  
vitesse moyenne U de l’écoulement. Le nombre d’Oldroyd Od correspond au rapport des effets 
plastiques aux effets visqueux pour le modèle de Herschel-Bulkley.     
Les conditions aux limites considérées dans notre étude sont définies comme suit :  
- A la section amont z = z1  on considère un profil de vitesse d’écoulement établi. 
- A la paroi, compte tenu de la condition d’adhérence, la vitesse est nulle 
-      L’adhérence à la paroi, qui se traduit par des vitesses nulles à la paroi. 
-      Sur l’axe de symétrie (r = 0) : 0  
r
u


 .  
- A la section aval du domaine, on suppose vérifiées des conditions d’écoulement établi.  
 
Les équations gouvernantes (5) et (6) associées à celles des conditions aux limites sont résolues 
numériquement par la méthode des volumes finis à l’aide du logiciel Ansys-Fluent. Les termes 
convectifs des équations du mouvement son discrétisés par un schéma "Upwind" du deuxième ordre. 
Pour le couplage "pression-vitesse" on utilise l’algorithme de type "SIMPLEC" (Semi-Implicit-
Consistent) qui est une procédure d’estimation et correction pour le calcul de la pression sur la grille 
décalée associée aux composantes de la vitesse. Après différents tests de maillage, une convergence de 
10
-9
 a été utilisée pour le résidu des variables de vitesse ainsi que pour le résidu de l’équation de 
conservation de la masse.  
Le maillage du domaine étudié est généré par le préprocesseur Gambit à deux dimensions avec des 
cellules triangulaires pour les inconnues. Il atteint 70 000 éléments pour une sténose de 75%, avec un 
raffinement local au niveau du centre de la conduite et au voisinage de la sténose pour l’exploration 
spécifique des zones rigides. La taille de la plus petite cellule est de l'ordre de 1,25.10
-02
R. 
Les zones rigides sont obtenues lorsque le module de la contrainte de cisaillement est inférieur à la 
valeur de la contrainte seuil.  
 
3     Résultats et discussion  
 
Les résultats de nos calculs ont été validés par la reproduction de la solution du régime établi pour une 
conduite simple sans rétrécissement, avec le modèle de Herschel-Bulkley. La contrainte pariétale 
calculée τp cal est en bon accord avec les valeurs de l'écoulement τp thé de Poiseuille (Tableau 2). Les 
différents tests nous ont amené à retenir la valeur  m = 10
4
. 
 
Od Re p thé (Pa) p cal (Pa) 
 
1.5 
0.01 
2 
6 
0.0186 
0.3020 
0.4892 
0.0184 
0.3011 
0.4882 
 
6 
0.01 
2 
6 
0.0344 
0.5605 
0.9996 
0.0335 
0.5425 
0.9664 
 
Tableau 2: Comparaisons  de la contrainte calculée suivant z  à la paroi avec la valeur théorique 
 pour différents Re et Od 
 
Les Figs. 3 et 4 permettent de décrire  la morphologie de l'écoulement et les effets du seuil, en faisant 
varier les nombres Re et Od. La Fig. 3 présente les lignes de courant calculées, pour un nombre Od = 
1.5 et différents nombres de Reynolds Re. On peut observer des modifications importantes dans la 
structure de l’écoulement : pas de recirculations au voisinage de la paroi et lignes de courant 
symétriques par rapport à la zone de sténose, pour Re faible. 
 
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5 
 
 
 
 
 
 
FIG.3 -  Lignes de courant et zones rigides pour différents Re, avec Od fixé à 1.5 
 
 
  
 
 
 
FIG.4 -  Lignes de courant et zones rigides pour différents Od, avec Re fixé à 1.5 
 
Juste à l’aval de la sténose, on note, à partir de Re=1,5 une zone de recirculations, caractérisée par des 
faibles vitesses au voisinage de la sténose. Lorsque Re augmente, le vortex augmente en taille et en 
intensité. La Fig. 3 montre également des zones rigides en mouvement au centre de la conduite, lieu de 
contraintes faibles. Ces zones rigides sont situées dans le fluide cisaillé et se séparent de la zone en 
déformation du fluide par une surface critique qui correspond au seuil d'écoulement 0. Leur forme et 
leur positionnement sont influencées par la valeur du nombre Re : elles s'éloignent de la constriction 
lorsque le fluide est accéléré à l’aval. D'autres zones rigides en mouvement apparaissent dans la zone 
aplatie des vortex. Leur taille augmente dans le sens de l’écoulement quand Re augmente.   
Les évolutions des zones rigides en fonction du nombre d'Oldroyd sont représentées sur la Fig. 4, pour 
Re fixé à 1.5, avec Od variant de 0.01 à 6. Cette figure illustre l'augmentation des zones rigides en 
taille et en épaisseur lorsque Od augmente. On observe aussi, pour des valeurs élevées de Od (Od = 4 
et Od = 6), la disparition des recirculations, remplacées par des zones rigides statiques coincées entre 
la paroi et l'écoulement principal. Ces évolutions montrent que, à Re donné,  les effets de seuil 
réduisent les tourbillons.  
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6 
 
La Fig. 5 présente les profils de vitesse axiale sur l’axe de symétrie, pour différents Od,  avec Re =1.5. 
Les modifications de la cinématique sont perceptibles à l’aval de la sténose, mais n’indiquent pas des 
écarts sensibles à l’amont. On peut conclure que l’augmentation du seuil contribue à un établissement 
plus rapide  de l’écoulement à l’aval. La Fig. 6 présente les variations de la contrainte de cisaillement 
pariétale suivant z  pour différentes valeurs de Od et Re fixé à 1.5. Nous pouvons remarquer que la 
contrainte est maximale au passage de la sténose est minimale avec des valeurs négatives juste à l'aval 
de celle-ci pour les valeurs faibles de Od témoignant l'existence de recirculations. Lorsque le nombre 
Od augmente, la recirculation diminue et tend à disparaitre en rapport aves les effets de seuil. 
 
0
4
8
12
16
20
24
30 36
 
 
 Od=0,01
 Od=1,5
 Od=4,0
 Od=6,0
V
it
e
s
s
e
 a
x
ia
le
 w
/U
Direction axiale z/R
33 3927
 
FIG.5 -  Vitesse axiale sur l'axe de symétrie pour 
différents Od et Re=1.5 
29 30 31 32 33 34 35
0
10
20
30
40
50
29 30 31 32
0
3
6
9
 
 C
o
n
tr
a
in
te
 p
a
ri
é
ta
le
 
/
p
0
 Od=0,01
 Od=1,5
 Od=4,0
 Od=6,0
Direction axiale z/R
 
FIG.6 - Contrainte pariétale suivant z pour différents 
Od et Re = 1.5  
 
Conclusion  
Dans cette étude, par des simulations numériques, nous avons mis en évidence des effets 
viscoplastiques dans des artères sténosées de faibles dimensions, à partir d’une représentation 
rhéologique du sang basée sur des études expérimentales. Les résultats  confirment la présence de 
zones rigides au sein de l’écoulement et au voisinage de la paroi qui,  du point de vue médical, 
peuvent être à l’origine de complications de certaines pathologies liées à la circulation sanguine.  
 
Références  
 
[1] C. Tu, M. Deville, Pulsatile flow of non-Newtonian fluids through arterial stenoses, Journal of 
Biomechanics 29 (1996) 899-908  
[2] T. Belzacq, S. Avril, E. Leriche, et A. Delache, A numerical parametric study of the mechanical 
action of pulsatile blood flow onto axisymmetric stenosed arteries, Medical Engineering & Physics 34 
(2012) 1483-1495 
[3] C. Picart, J.M. Piau, H. Galliard, P. Carpentier, Blood low shear rate rheometry: influence of 
fibrinogen level and hematocrit on slip and migrational effects, Biorheology 35 (1998) 335-353 
[4] D.S. Sankar, and K. Hemalatha, Non-linear mathematical models for blood flow through tapered 
tubes, Applied Mathematics and Computation 188 (2007) 567-582 
[5] W.V. Humphreys, A. Walker, D. Charlesworth, Altered viscosity and yield stress in patients with 
abdominal malignancy:relationship to deep vein thrombosis, Br Journal of Surgery 63 (1976) 559-561 
[6] D.F Young, F.Y. Tsai, Flow characteristics in models of arterial stenosis-I steady flow-, Journal of 
Biomechanics 6 (1973) 395-410 
[7] S. Mossaz, P. Jay, A. Magnin, Non-recirculating and recirculating inertial flows of a viscoplastic 
fluid around a cylinder, Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics 177 (2012) 64-75 
[8] D.E. Brooks, J.W. Goodwin, G.V.F. Seaman, Interactions among erythrocytes under shear, Journal 
of Applied Physiology 28 (1970) 72-177 


Etude numérique d'écoulements du sang dans des domaines axisymétriques en présence d'une sténose importante avec un modèle de fluide à seuil

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/57321/1/68634.pdf

Etude numérique d'écoulements du sang dans des domaines axisymétriques en présence d'une sténose importante avec un modèle de fluide à seuil

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