Ce travail s'intéresse à la problématique du contrôle des oscillations libres horizontales d'un câble par un amortisseur à non linéarité cubique. Il retrace une démarche complète : l'analyse du comportement du système réel initial à contrôler, le dimensionnement théorique de l'amortisseur, les essais de mise en évidence du bon fonctionnement du prototype et de ses différents comportements. Il s'agit également de tester la robustesse du dispositif en faisant varier la rigidité du couplage

Lamarque, Claude-Henri

Ture Savadkoohi, Alireza

Vaurigaud, Bastien

Weiss, Mathieu

I-Revues

22ème Congrès Français de Mécanique Lyon, 24 au 28 Août 2015
Contrôle des oscillations libres horizontales d’un
câble par un amortisseur non linéaire : théorie,
expériences et robustesse
M. WEISSa,b, B. VAURIGAUDa, A. TURE SAVADKOOHIb et C.-H.
LAMARQUEb
a. Cerema, Direction territoriale Sud-Ouest DLB, 24 rue carton, CS 41635 33073 Bordeaux Cedex -
mathieu.weiss@cerema.fr - bastien.vaurigaud@cerema.fr
b. Université de Lyon, École Nationale des Travaux Publics de l’État LGCB et LTDS UMR CNRS
5513, rue Maurice Audin 69518, Vaulx-en-Velin Cedex - alireza.turesavadkoohi@entpe.fr -
claude.lamarque@entpe.fr
Résumé :
Ce travail s’intéresse à la problématique du contrôle des oscillations libres horizontales d’un câble par
un amortisseur à non linéarité cubique. Il retrace une démarche complète : l’analyse du comportement
du système réel initial à contrôler, le dimensionnement théorique de l’amortisseur, les essais de mise en
évidence du bon fonctionnement du prototype et de ses différents comportements. Il s’agit également de
tester la robustesse du dispositif en faisant varier la rigidité du couplage.
Abstract :
This work deals with the design of a non linear cubic absorber to control the free horizontal oscillations
of a cable. The first step is the analysis of the dynamical behaviour of our cable. The theoretical design
of the absorber is described. The next step is to test experimentally a prototype of non linear absorber to
prove its efficiency to control the cable and tracing different behaviours. Some variations on the cubic
rigidity are also experimentally tested to show the robustness of the designed device.
Mots clefs : NES, cubique, contrôle, échelles multiples, câble
22ème Congrès Français de Mécanique Lyon, 24 au 28 Août 2015
1 Introduction
Le contrôle vibratoire des structures les protège contre les phénomènes dynamiques : les chocs, comme
les brusques coups de vent, ou les vibrations dues à une excitation harmonique extérieure, comme le
trafic routier. Leur contrôle est habituellement assuré par des amortisseurs linéaires, les Tuned Mass
Damper (TMD), ou des dispositifs frottants pour augmenter l’amortissement. L’objet de ces travaux est
d’évaluer si des amortisseurs non linéaires, ou Nonlinear Energy Sink (NES), peuvent être plus efficaces,
limiter la masse ajoutée ou encore effectuer un contrôle plus robuste.
Ce travail se découpe en trois parties, une approche expérimentale pour déterminer le comportement réel
du câble, une partie théorique déterminant les paramètres d’un NES à utiliser pour contrôler ce câble et
une dernière partie pour vérifier le fonctionnement réel du NES. Cette étude se concentre sur le contrôle
vibratoire des oscillations horizontales — ou hors-plan — libres du câble. Elle a également pour but de
tester la robustesse du contrôle vis-à-vis des variations de rigidité cubique.
2 Présentation et analyse du système réel
L’étude se concentre sur le contrôle en régime transitoire des vibrations horizontales — ou hors plan —
d’un câble de caractéristiques constructeurs suivantes : LongueurL ≈ 21, 8m, diamètreD = 0, 026m,
taux de remplissage de 76 %, aire d’acier A = 0, 76 × D
2
4π
= 4, 04 × 10−4 m2, inertie de section
I = A
2
4π
= 2, 243 × 10−8 m4, module de Young E = 160GPa et masse linéiqueml = 3, 35 kg.m−1.
Ce câble est monté sur un banc d’essai permettant sa mise en tension jusqu’à 400 kN à l’aide d’un vé-
rin. Nous l’étudions dans une plage de tension T entre 50 kN et 200 kN correspondant à une longueur
entre les ancrages variant de 21, 67m à 21, 72m. Ce banc est équipé d’une chaîne d’acquisition mettant
en œuvre des capteurs de grandeurs quasi-statiques (tension du câble, température extérieure, longueur
entre ancrages) et dynamique (accéléromètres et capteurs de déplacements). Il a donc été possible d’ef-
fectuer une analyse modale [1] du câble seul. Cela a permis d’extraire les fréquences des 9 premiers
modes propres horizontaux et verticaux à différentes tensions.
L’objectif est de comparer les fréquences modales réelles du câble aux théoriques issues du modèle
de câbles d’Irvine [2] avec les paramètres constructeurs. Il a été nécessaire de recaler légèrement la
masse linéique du câble aux tensions d’utilisation, i.e. ∼ 100 kN . Nous utiliserons par la suite la valeur
ml = 3, 25 kg.m
−1, soit −0, 1 kg.m−1, qui donne une erreur relative inférieure à 3% sur ces modes
aux tensions proche de 100 kN .
3 Réduction de modèle et dimensionnement
Sur la base du modèle d’Irvine [2] recalé dans la première partie, il s’agit ici de réduire la dynamique
de notre câble à celle d’un seul degré de liberté en projetant le modèle sur l’un de ses modes. Comme
les essais envisagés consisteront à agir sur le câble par décalage latéral de son centre pour créer une
condition initiale en déplacement, nous allons limiter sa dynamique au premier mode horizontal. Elle
est alors régie en oscillations libres par le système d’Eqs. (1).
M
d2X
dt2
+ Λ
dX
dt
+KX = 0 (1)
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M m
K C1
Λ Λ1
X Y
Figure 1 – Schéma du câble réduit à un mode couplé au NES cubique
X correspond alors au déplacement du centre du câble réduit à son premier mode. M = 35, 25 kg,
K = 22759N.m−1 etΛ = 1, 25 kg.s−1 sont les paramètres modaux et d’amortissement correspondant
à ce mode de fréquence 4, 04 Hz pour une tension T = 100 kN .
Le couplage du NES au centre du câble correspond au schéma de la Fig. 1 où Y est le déplacement du
NES,C1 la rigidité cubique est associée à la force de rappel cubique α→ C1α3 et Λ1 à l’amortissement
du couplage. La dynamique de ce système est résumé dans le système d’Eqs. (2), adimensionné.


x′′ + ǫλx′ + ǫλ1(x
′
− y′) + x+ ǫc1(x− y)
3 = 0
ǫy′′ − ǫλ1(x
′
− y′)− ǫc1(x− y)
3 = 0
(2)
où ǫ = m
M
≪ 1 est un petit paramètre, τ =
√
K
M
t est le temps adimensionné avec la notation V ′ pour
dV
dτ
, les distances sont adimensionnées par une longueur X0 donnée, i.e. x =
X
X0
et y = Y
Y0
et enfin
ǫλ = Λ√
KM
, ǫλ1 =
Λ1√
KM
et ǫc1 =
C1X
2
0
K
.
Vaurigaud [3] et Vaurigaud et al [4] ont étudié ces types de systèmes pour la problématique de contrôle
pour des non linéarités régulières. D’autres types de non linéarités ont été étudiées où le mode principal a
été perturbé, comme par exemple dans [5, 6]. Il s’agit d’étudier le système sous l’hypothèse de résonance
1 : 1, i.e. le mode du câble impose sa fréquence de vibration
√
K
M
au système couplé. Il s’agit d’une
fréquence ω0 = 1 dans notre système adimensionné. Nous introduisons alors les variables v = x+ ǫy,
déplacement du centre de masse du système, et w = x− y, déplacement relatif du NES par rapport au
centre du câble, qui permettent d’écrire les variables de Manevitch [7], séparant les variations lentes de
l’enveloppe des amplitudes de la variation rapide à fréquence ω0 = 1 des mouvements :


φ1e
iω0τ = v˙ + iω0v
φ2e
iω0τ = w˙ + iω0w
(3)
Nous séparons alors amplitude et phase, φ1 = N1eiδ1 et φ2 = N2eiδ2 .Pour ǫ faible,
N1
ω0
= N1 est
proche de l’amplitude de vibration du câble et N2
ω0
= N2 est l’amplitude relative du NES par rapport
au câble. L’étude en échelles multiples de temps, τ0 = τ le temps rapide, τ1 = ǫτ , τ2 = ǫ2τ , etc
les temps lents, exposées dans [3, 4, 5, 6] montre qu’il existe un lien entre N1 et N2 quand le temps
rapide τ0 tend vers l’infini. Cette relation est appelée invariant en temps rapide et est égale à N1 =
N2
√
(1 + 3c1
4
N2
2
)2 + λ2
1
. Cette courbe, tracée sur la Fig. 2, attire rapidement la dynamique du système
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N2
N
1
0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
(N2+,N1+)
(N2−,N1−)
→←
Stability
borders
Stable Unstable Stable
λ1 =0.2 c1 =0.216
Figure 2 – Invariant en temps rapide pour c1 = 0, 216 et λ1 = 0, 2
qui oscille autour d’elle. Elle laisse apparaître deux branches stables et une instable séparées par un
couple de maximum/minimum. Ils séparent deux types de comportements. Lorsque que la condition
initiale est assez haute, le système rejoint la branche stable de droite, la suit jusqu’au minimum et ne
pouvant pas remonter sur la branche instable, bifurque vers la branche stable de gauche et rejoint le
point (0, 0), l’équilibre statique. Si la condition initiale est basse, elle rejoint directement le branche
stable de gauche et va vers le point (0, 0). La première typologie de comportement est plus efficace pour
le contrôle [3, 4]. Le maximum de cette courbe sépare donc les deux typologies de comportement et
sert de valeur de dimensionnement. Il est le niveau d’amplitude minimal à contrôler. Dans notre cas, le
seuil est théoriquement choisi à X0 et donc à 1 dans le système adimensionné. Il suffit alors de trouver
un couple de valeur c1 et λ1 menant à un maximum de l’invariant à 1 pour obtenir un dimensionnement
valable pour tout seuil X0. Sous hypothèse d’une liaison relativement dissipative à λ1 = 0, 2, la valeur
c1 = 0, 216 convient. En faisant le choix pour nos essais d’un rapport de masse ǫ = 0, 01 et d’un seuil d’
activation X0 = 0, 015m, nous obtenons C1 =
ǫc1K
X2
0
= 218486, 4 N.m−3 et un ratio d’amortissement
de couplage ζ1 =
λ1
2
√
KM
= ǫλ1
2
= 0, 001. Le prototype crée une rigidité géométrique cubique grâce à
deux ressorts de rigiditéKr et de longueur à vide Lr = 0, 07m perpendiculaire au mouvement du NES
par la formule Kr = L2rC1, donc Kr = 1070 N.m
−1.
4 Mise en évidence expérimentale du phénomène et de sa robus-
tesse
Le NES mis en place se rapproche au mieux des paramètres prévus, il possède une masse embarquée
de m = 0, 370 kg, des ressorts Kr = 1000 N.m−1 et son amortissement est abaissé au maximum par
lubrification. L’essai consiste à tirer moins haut que le seuil — ici 0, 01m— et plus haut que le seuil —
ici 0, 025m—et laisser le système retourner à l’équilibre statique pour vérifier le dimensionnement. La
Fig. 3 compare le déplacement du centre du câble avec et sans NES dans ces cas. S’il y a contrôle dans
les deux cas, sur la Fig. 3(a) il est faible, alors que le système retourne en environ 7 s à l’équilibre sur la
Fig. 3(b), montrant une excellente efficacité. La Fig. 4 remontre l’effet de seuil et l’intérêt du compor-
tement avec bifurcation pour le contrôle. Elle montre également que l’amortissement du couplage a été
surestimé dans notre dimensionnement. Enfin la Fig. 5 montre que faire varier la valeur de la rigidité ne
change pas drastiquement le fonctionnement du NES. Ce système est donc robuste.
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0 5 10 15 20 25 30 35 40
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
t (s)
X 
(m
)
 
 
sans NES
avec NES
(a)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
t (s)
X 
(m
)
 
 
sans NES
avec NES
(b)
Figure 3 – Déplacement du centre du câble en fonction du temps (—) sans NES, (—) avec NES :
déplacement initial de (a) 0, 01 m et (b) 0, 025 m
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
X0 N2 / ω0 (m)
X 0
 
N
1 
/ ω
0 
(m
)
 
 
expérimentale − K
r
=1000
invariant − K
r
=1000 et λ1=0.2
invariant − K
r
=1000 et λ1=0.1
invariant − K
r
=1000 et λ1=0.05
invariant − K
r
=1000 et λ1=0.01
(a)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
X0 N2 / ω0 (m)
X 0
 
N
1 
/ ω
0 
(m
)
 
 
expérimentale − K
r
=1000
invariant − K
r
=1000 et λ1=0.2
invariant − K
r
=1000 et λ1=0.1
invariant − K
r
=1000 et λ1=0.05
invariant − K
r
=1000 et λ1=0.01
(b)
Figure 4 – Comparaison entre la courbeN1 en fonction deN2 expérimentale et les invariants théoriques
variant selon l’amortissement du couplage, pour (a) 0, 01 m et (b) 0, 025 m
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
t (s)
X 
(m
)
 
 
sans NES
avec NES − K
r
=800  − essai 1
avec NES − K
r
=800  − essai 2
avec NES − K
r
=1000 − essai 1
avec NES − K
r
=1000 − essai 2
avec NES − K
r
=1250 − essai 1
avec NES − K
r
=1250 − essai 2
Figure 5 – Enveloppes expérimentales du câble (—) sans NES, (—) avec NES et Kr = 800, (—) avec
NES et Kr = 1000 et (—) avec NES -Kr = 1250
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5 Conclusion
Ce travail montre une démarche complète de dimensionnement d’un NES cubique pour le contrôle des
oscillations libres et horizontales d’un câble, de l’analyse du système initial jusqu’aux essais. Ils mettent
en évidence les comportements prévus, l’efficacité du contrôle mais aussi la robustesse du système vis-à-
vis d’une variation de rigidité du NES. Ils sont à poursuivre en vérifiant le maintient de l’efficacité après
une variation des fréquences propres du système à contrôler. Un dispositf de contrôle des oscillations
verticales est à l’étude.
6 Remerciements
Ces travaux sont soutenus par le Ministère de l’Écologie, du Développement Durable et de l’Énergie.
Références
[1] Ewins D. J. : Modal Testing : Theory, Practice and Application, Second Edition, Research Studies
Press Ltd, 2000.
[2] Irvine M. : Cable Structures, Dover Publications, Inc., New York, 1981.
[3] Vaurigaud B. : Contrôle vibratoire passif par assemblage d’absorbeurs non-linéaires : théorie et
expérience, thèse de doctorat, école doctorale MEGA, no d’ordre : 2011-ENTP-0001, 2011.
[4] Vaurigaud B., Ture Savadkoohi A., Lamarque C.-H. : Targeted energy transfer with parallel nonlinear
energy sinks. Part I : Design theory and numerical results, Nonlinear Dynamics, 66, 763-780, 2011.
[5] Lamarque C.-H., Gendelman O.V., Ture Savadkoohi A., Etcheverria E. : Targeted energy transfer in
mechanical systems by means of non-smooth nonlinear energy sink, Acta Mechanica, 221, 175-200,
2011.
[6] Weiss M., Ture Savadkoohi A., Gendelman O.V., Lamarque C.-H. : Dynamical behavior of a mecha-
nical system including Saint-Venant component coupled to a non-linear energy sink, International
Journal of Non-Linear Mechanics, 63, 10-18, 2014.
[7] Manevitch L. I. : The description of localized normal modes in a chain of nonlinear coupled oscil-
lators using complex variables, Nonlinear Dynamics, 25, 95-109, 2001.


Contrôle des oscillations libres horizontales d'un câble par un amortisseur non linéaire : théorie, expériences et robustesse

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/57668/1/68726.pdf

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