Ce papier propose une méthode de résolution des problèmes de contact entre matériaux viscoélastiques. Le modèle présenté peut résoudre à la fois les problèmes d'indentation, de roulement, ou de glissement entre deux matériaux viscoélastiques. Il s'agit d'un modèle 3D basé sur les méthodes semi-analytiques. L'algorithme de gradient conjugué et les méthodes FFT sont utilisés pour réduire les temps de calculs

Koumi, Koffi Espoir

I-Revues

22ème Congrès Français de Mécanique Lyon, 24 au 28 Août 2015
Modélisation du contact entre
matériaux viscoélastiques
K. E. KOUMIa,b, D. NELIASa,T. CHAISEa
a. INSA-Lyon, LaMCoS UMR CNRS 5259, Université de Lyon F69621 Villeurbanne,
France e-mail : koffi-espoir.koumi@insa-lyon.fr
b. SNECMA, Centre de Villaroche 77550 Moissy Cramayel, France
Résumé
Ce papier propose uneméthode de résolution des problèmes de contact entrematéri-
aux viscoélastiques. Lemodèle présenté peut résoudre à la fois les problèmes d’indentation,
de roulement, ou de glissement entre deuxmatériaux viscoélastiques. Il s’agit d’unmod-
èle 3D basé sur les méthodes semi-analytiques. L’algorithme de gradient conjugué et
les méthodes FFT sont utilisés pour réduire les temps de calculs.
Abstract
In this paper, a new method for solving contact between viscoelastic materials is
proposed. The model developed here is able to account for, indentation, rolling/sliding
contact between two viscoelastic bodies. The model is three dimensional and based on
semi-analytical method. A conjugate Gradient Method and the Fast Fourier Transforms
are used to reduce computation cost.
Mots clefs : contact, viscoélasticité, roulement
1 Introduction
Dans cette étude, une modélisation du contact entre matériaux viscoélastiques sera
présentée. Le modèle développé est basé sur les approches semi-analytiques. Il est alors
possible de prendre en compte dans la modélisation des matériaux viscoélastiques avec
plusieurs temps de relaxation. L’approche théorique peut s’appliquer à l’indentation
entre matériaux viscoélastiques homogènes, hétérogènes, ou à des problématiques de
roulement entre matériaux viscoélastiques. Dans ce modèle, on se limitera à la théorie
de la viscoélasticité linéaire. Afin de faciliter la compréhension du document, on intro-
duira assez succinctement, les variables utilisées dans la suite de ce document.
2 Généralités sur les matériaux viscoélastiques
22ème Congrès Français de Mécanique Lyon, 24 au 28 Août 2015
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figure 1: Modèle de Maxwell Généralisé.
Le comportement d’un matériau viscoélastique est intermédiaire entre celui d’un
solide élastique idéal symbolisé par un ressort de module et celui d’un liquide visqueux
newtonien symbolisé par un amortisseur de viscosité . Que ce soit en fluage ou en
relaxation, la réponse à une sollicitation d’un matériau viscoélastique dépend du temps.
Afin de caractériser la dépendance au temps de ces types de matériaux, on introduit la
fonction de relaxation qui est définie par la relation suivante :
R(t) =
σ(t)
ε0
(1)
Inversement on peut également définir la fonction de fluage définie par :
J(t) =
ε(t)
σ0
(2)
Afin de décrire le comportement du matériau on choisit un modèle type maxwell
généralisé (Fig 1). Partant du modèle de maxwell généralisé, la fonction de relaxation
peut s’écrire sous la forme :
R(t) =
[
µ0 +
n∑
i=1
µi exp(−t/τi)
]
H(t) (3)
Il s’agit d’une décomposition en séries de Prony, oùµi représente lemodule de cisaillement,ηi
l’amortisseur de viscosité et τi le temps de relaxation d’un modèle élémentaire. Dans
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le cadre de la viscoélasticité linéaire les champs de contraintes et de déformations
s’écrivent sous la forme :
σ(t) =
∫ t
0
R(t− ξ)dε(ξ)
dξ
dξ (4)
ε(t) =
∫ t
0
J(t− ξ)dσ(ξ)
dξ
dξ (5)
3 Théorie du contact viscoélastique
Contrairement au cas élastique, l’aspect viscoélastique des matériaux nous obligent
à prendre en compte en plus des variables spatiales, la variable temporelle . La solu-
tion du problème [1, 2,3] est obtenue en résolvant simultanément les trois équations
suivantes:
• La conservation de la charge à chaque pas de temps. La charge appliquéeW (t)
et l’intrégrale de la pression p(x1, x2, t) sur l’aire réelle de contact Γc(t) doivent
être strictement égales.
W (t) =
∫
Γc(t)
p(x1, x2, t)dx1dx2 (6)
• La déformée des deux massifs en contact: La déformée des deux massifs (B1
et B2) en contact h(x1, x2, t) est définie par la géométrie initiale hi(x1, x2), le
déplacement de corps rigide δ ainsi que le déplacement relatif des deux corps
u3(x1, x2, t)
h(x1, x2, t) = hi(x1, x2) + δ + u3(x1, x2, t) (7)
Où hi(x1, x2) la géométrie initiale, δ le déplacement de corps rigide. Le déplace-
ment normal de la surface viscoélastique , u3(x1, x2, t), à l’instant t est donné
par :
u3(x1, x2, t) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ t
0
G(x1 − x′1, x2 − x′2, x3, t− ξ)
∂p(x′1, x
′
2, t)
∂ξ
dx′1x
′
2dξ
(8)
Où, G(x1, x2, t) est le tenseur de Green viscoélastique. G(x1, x2, t) peut être
décomposé en une partie spatiale et une partie temporelle.
G(x1, x2, t) =
(1− ν)
pi
√
x21 + x
2
2
J(t) = G(x1, x2)J(t) (9)
Le déplacement u3 est obtenu de la solution élastique en remplaçant le module
élastique 12µ , , par la fonction de fluage J(t)
u3(x1, x2, α∆t) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
G(x1 − x′1, x2 − x′2)dx′1x′2
α∑
k=0
J[(α− k)∆t]×
[p(x′1, x′2, k)− p(x′1, x′2, k − 1)]
(10)
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−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x1/a∗
P
/
P
0
 
 
t = τ/10
t = τ/5
t = τ/4
t = τ
t = 2τ
Figure 2: Distribution des champs de pression pour un chargement en déplacement
normal imposé pour une vitesse de glissement de vτ/a∗ = 0.4.
• Les conditions de contact :
contact : h(x1, x2, t) = 0 et p(x1, x2, t) > 0 à l’intérieur Γc(t)
séparation : h(x1, x2, t) > 0 et p(x1, x2, t) = 0 à l’extérieur Γc(t) (11)
Le modèle présenté ici ne prend pas en compte, l’adhésion des deux surfaces ( des
pressions négatives ne sont pas autorisées à l’interface des deux corps en contact). Le
roulement d’une sphère rigide sur un massif viscoélastique homogène sera considéré.
Le diamètre de la sphère rigide seraD = 20mm et un chargement de type déplacement
imposé d’une valeur δ = 0.1mm sera considéré. Les propriétés matériaux du massif
viscoélastique seront données par:
la fonction de fluage:
J(t) =
[
1
µ0
− 1
µ1
exp(− t
τ
)
]
=
[
1
µ∞
+
1
µ1
(1− exp(− t
τ
))
]
(12)
la fonction de relaxation:
R(t) =
[
µ0 + (µ∞ − µ0) exp(− tµ0
µ∞
τ
)
]
(13)
où µ est le module de cisaillement avec µ∞ = 3.86MPa, µ∞/µ0 = 10, et τ le temps
de relaxation. Il s’agit ici donc d’un modèle de type Maxwell avec un seul temps de
relaxation. a∗ et P0 sont respectivement le rayon de contact et la pression maximum
de Hertz correspondant au cas homogène élastique quand le module de cisaillement
instantané est utilisé R(0) = µ∞. Autrement dit le rayon de contact a∗(t = 0) = a∗
et Pmax(t = 0) = P0. La figure 2 présente la distribution du champ de pression pour
une valeur fixée de la vitesse de glissement vτ/a∗ = 0.4.
Références
22ème Congrès Français de Mécanique Lyon, 24 au 28 Août 2015
[1] K.-E. Koumi, T. Chaise, D. Nélias, Rolling contact of a rigid sphere / sliding
of a spherical indenter upon a viscoelastic half-space containing an ellipoidal inhomo-
geneity, J. Mech. Phys. Solid.,80, 2015, 1-25.
[2]K.-E. Koumi,L.Zhao, L. Leroux, T. Chaise ,D. Nélias, Contact analysis in the
presence of an ellipsoidal inhomogeneity within a half space, International Journal of
Solids and Structures 51, 2014, 1390–1402.
[3] K.-E. Koumi, D. Nélias, T. Chaise, A. Duval, Modeling of the contact between a
rigid indenter and a heterogeneous viscoelastic material,” Mechanics of Materials, 77,
2014, 28-42.


Modélisation du contact entre matériaux viscoélastiques

http://documents.irevues.inist.fr/bitstream/2042/57353/1/68805.pdf

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