El artículo presenta un método, de naturaleza indirecta, que puede ayudar a probar ciertos resultados que involucran sucesiones y funciones continuas que frecuentemente aparecen en la topología de R^n

Rosales, José

Funes

ArtículoRevista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 11, No 1. Agosto  Diciembre 2010.El método de Discretización en Varias VariablesJosé Rosales Ortegarosalesortega@gmail.comInstituto Tecnológico de Costa RicaUniversidad de Costa RicaResumen.El artículo presenta un método, de naturaleza indirecta, que puede ayudar a probar ciertos resulta-dos que involucran sucesiones y funciones continuas que frecuentemente aparecen en la topologíade Rn.Palabras claves: sucesiones, continuidad uniforme, conjunto abierto, independencia lineal.Abstract.The article presents a method of indirect nature. This method can be used to prove certain resultsinvolving sequences and continuous functions in the topology of Rn.KeyWords: sequences, uniform continuity, open set, linear independency.1.1 IntroducciónEl presente trabajo tiene como objetivo el desarrollo de una estrategia didáctica la cual contribuyaen el aprendizaje significativo por parte de los estudiantes de cursos de topología en Rn.He notado, al impartir cursos que tienen como requisito un conocimiento de la topología de Rn,que una buena parte de los estudiantes, en tales cursos, presentan como deficiencia un mal usodel lenguaje matemático a nivel elemental. Con lo anterior quiero decir que algunos estudiantesde sexto y séptimo semestre no pueden negar, matemáticamente hablando, una proposición dada,y que en el caso en que logren negar correctamente una proposición matemática, son incapaces delograr el objetivo que persigue el ejercicio, o problema al cual se enfrentan. Se supone que el maluso se observa en conceptos que están en los contenidos de los cursos básicos de análisis.Uno de tales conceptos es el de conjunto abierto. En términos generales, para definir un conjuntoabierto primero se debe definir qué se entiende por bola abierta con centro en un punto y radioarbitrario. Una vez aclarado el concepto de bola abierta alrededor de un punto se procede a definir2 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 11, No 1. Agosto  Diciembre 2010.un conjunto abierto como aquel que, en cada uno de sus puntos posee una cierta bola abierta lacual está completamente contenida en el conjunto en cuestión.En términos matemáticos, una bola abierta de centro ~x y radio r > 0 es el conjunto B(~x; r) =f~y 2 Rn : d(~x,~y) < rg. Ahora bien, un conjunto A se dice ser abierto si para todo x 2 Aexiste un r > 0 tal que B(~x; r)  A. Para ser más exlícito, A  Rn es abierto si, y sólo si,(8~x 2 A)(9r > 0)(B(~x; r)  A).Muchas veces se le solicita al estudiante el probar que cierto conjunto es abierto pero usando elmétodo de reducción al absurdo. Lo que se espera del estudiante es que el niegue los existencialesy los para todo que aparecen en la definición de abierto, es decir, que el para todo lo convierta enun existe, y que el existe lo convierta en un para todo, y luego negar la inclusión. Piense el lector,que se le pregunta a un niño que responda qué significa que un número natural no sea mayor quesiete. Lo que uno espera es que el niño responda que el número debe ser menor o igual que siete.Este asunto de la negación del concepto de conjunto abierto ya ha sido señalado por matemáticosde prestigio,A linguist would be shocked to learn that if a set is not closed this does not mean that it is open,or again that “E is dense in E” does not mean the same thing as “E is dense in itself.”- J. E. LittlewoodSiguiendo con lo que nos ocupa, el de probar que un conjunto no es abierto, una buena parte delestudiantado no puede hacer esto, y en otros casos el estudiante empieza con situaciones erróneas,por ejemplo algunos dicen que no ser abierto significa ser cerrado. Hay que aclarar que un con-junto es cerrado, si su complemento, en términos de teoría de conjuntos, es abierto.En resumen, hemos visto que ante la pregunta: ¿Qué significa que un conjunto no es abierto? al-gunos estudiantes claramente fallan en responder adecuadamente. Por otro lado, en otros tipos deejercicios donde simplemente se le pide al estudiante mostrar que se cumple cierta propiedad queinvolucra existenciales, y uno que otro concepto sobre sucesiones y funciones continuas, no haynecesidad de señalar que al pedírsele al estudiante que razone por contradicción se presentan losmismos problemas de no poder negar existenciales de manera correcta. Entonces, ¿qué se puedehacer para corregir esta deficiencia que se presenta en algunos estudiantes?Para ayudar a resolver este problema que he identificado propongo la siguiente estrategia didác-tica, la cual he denominado el método de discretización. Este método se utiliza en ejercicios dondehaya que negar existenciales, y en compañía de otros conceptos como el de sucesiones y de fun-ciones continuas encuentra su utilidad máxima.1.2 El Método de Discretización.Los orígenes del método de discretización se basan en un resultado bastante conocido. En un cursotípico de cálculo en varias variables se prueba la siguiente caracterización para funciones continuasen términos de sucesiones:Teorema 1.1 La función f : Rn ! Rm es continua en el punto~a 2 Rn si, y sólo si, para toda sucesiónf~xkgk2N en Rn tal que ~xn !~a se cumple que f (~xk)! f (~a).El método de discretización. José Rosales O.Derechos Reservados © 2010 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)Revista digital Matemática, Educación e I nternet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 11, No 1. Agosto  Diciembre 2010. 3La forma clásica de probar la suficiencia del teorema anterior es proceder por el método de re-ducción al absurdo. Este método supone negar la conclusión. En nuestro caso, supongamos quef no es continua en un punto ~a 2 Rn, esto significa que existe un e > 0 tal que para todo d > 0existen ~x 2 Rn con jj~x  ~ajj < d pero jj f (~x)   f (~a)jj  e. Ahora bien, para tal e > 0 se sigueque si d toma el valor 1, obtenemos un elemento ~x1 en Rn , tal que 0 < jj~x1  ~ajj < 1, perojj f (~x1)  f (~a)jj  e. De la misma forma, si le damos a d el valor 1/2, obtenemos un elemento ~x2 enRn , tal que 0 < jj~x2  ~ajj < 1/2, pero jj f (~x2)  f (~a)jj  e. En general, si le damos a d el valor 1/k,obtenemos un elemento ~xk enRn , tal que 0 < jj~xk  ~ajj < 1/k, pero jj f (~xk)  f (~a)jj  e. Esto con-tradice la hipótesis dada ya que hemos construido una sucesión ~xk que converge al punto~a, perocuya sucesión de imágenes f (~xk) no converge a f (~a). Por lo tanto, lo que asumimos originalmentedebe ser falso, es decir que f sí es continua en~a 2 Rn.En la prueba del teorema anterior hemos procedido a darle valores discretos a d, tales valores son1, 1/2, 1/3, . . .. Cada vez que nos encontremos en una tal situación en la que podemos darle valoresdiscretos a cierta variable, como en el caso anterior, estaremos haciendo uso del llamado métodode discretización. En lo que sigue expondremos varios ejemplos, de naturaleza distinta, donde elmétodo de discretización puede ser utilizado con éxito.EJEMPLO 1.1 Sea T : Rn ! Rm una transformación lineal inyectiva. Muestre que existe c > 0 talquejjT(~x)jj  cjj~xjj,para todo ~x 2 RnVamos a proceder por reducción al absurdo. Supongamos que para todo c > 0 existe ~x 2 Rn talque jjT(~x)jj < cjj~xjj.Dándole valores a c en el conjunto f1, 1/2, 1/3, . . . , g obtenemos una sucesión de puntos ~x1,~x2, . . .,en Rn tal que jjT(~xk)jj < jj~xkjj/k, para todo k  1.Reescribiendo lo anterior, se usa propiedades de la norma y el hecho de que T es transformaciónlineal, hemos obtenido una sucesión f~xkgk2N en Rn tal queT ~xkjj~xkjj < 1k . (1.1)Observemos, en primer lugar, que ningún miembro de la sucesión obtenida en el párrafo anterior,f~xkgk2N, es el vector cero en Rn, ya que si existiera algún ~xl = ~0, entonces del hecho de queT(~0) =~0, ya que T es transformación lineal, llegaríamos a que0 = jjT(~0)jj = jj~0jj < 1ljj~0jj = 0,lo cual es absurdo.También se nota que ningún miembro de la sucesión, en Rm, fT(~xk)gk2N es el vector cero, ya quede lo contrario si algún T(~xl) =~0, entonces por la inyectividad de T, se sigue que ~xl =~0, lo cual esimposible por lo probado anteriormente.El método de discretización. José Rosales O.Derechos Reservados © 2010 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)4 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 11, No 1. Agosto  Diciembre 2010.De la ecuación (1.1) obtenemos que la sucesión T~xkjj~xk jjtiende a ~0, y de esto se afirma que~xkjj~xk jj ! ~0. Como la sucesión f~xkjj~xk jjgk2N es acotada, de hecho la norma de cada uno de sus ele-mentos es igual a uno, se tiene que ella, o alguna subsucesión de ella debe ser convergente, dig-amos, para fijar ideas, que la misma sucesión converge a un punto, el cual llamaremos ~y. Usandola continuidad de T, ya que es lineal, se sigue que T~xkjj~xk jjtiende a T(~0) = ~0. Por la unicidaddel límite se concluye que T(~y) = ~0, y por la inyectividad que ~y = ~0. Esto es imposible ya que lasucesión tiene a todos sus miembros de norma igual a uno. Por lo tanto, la desigualdad inicial debecumplirse, es decir debe existir c > 0 tal que jjT(~x)jj  cjj~xjj.EJEMPLO 1.2 Sea f : R! R una función continua. Considere el siguiente conjunto A = f(x, y) 2R2 : f (x) > yg. Muestre que A es un conjunto abierto en R2.Igual que en el ejemplo anterior vamos a proceder por reducción al absurdo. Supongamos queA  R2 no es un conjunto abierto, esto significa que existe ~x 2 A tal que para todo r > 0 la bolaB(~x; r)  A. Al igual que en el ejemplo anterior tenemos la oportunidad de discretizar, es decir,darle valores a r en el conjunto f1, 1/2, 1/3, . . .g.Si r = 1, entonces podemos hallar un elemento ~x1 2 B(~x; 1) n A. Si r = 1/2, entonces podemoshallar~x2 2 B(~x; 1/2) n A, y en general para r = 1/n, debe existir un~xn 2 B(~x; 1/n) n A. Así, hemosobtenido una sucesión ~xn, fuera de A, tal que converge a un punto ~x 2 A.Como ~x 2 A, entonces necesariamente debe tenerse que ~x es de la forma (a, b) con la propiedad deque f (a) > b.La sucesión ~xn debe tener la forma (yn, zn), y además yn tiende a a, y zn tiende a b. Como ~xn nopertenece a A, se debe cumplir que f (yn)  zn para cada n 2N.Usando el hecho de que f es continua, se tiene que f (yn) debe ser convergente al valor f (a), y deesto se debe seguir que f (a)  b, lo cual diría que (a, b) no vive en A, y esto claramente es unabsurdo. Por lo tanto, podemos concluir que A es un conjunto abierto de R2.EJEMPLO 1.3 Sea f : Rn ! Rm una función uniformemente continua. Si W  Rn es un conjuntoacotado, entonces f (W) es acotado en Rm.Procedamos por reducción al absurdo una vez más. Supongamos que f (W) no es un conjunto aco-tado en Rm. Esto significa que dado cualquier M > 0 existe ~y 2 Rm para el cual se cumple quejj~yjj > M. De lo anterior se sigue que podemos construir una sucesión f~ygk2N  f (W)  Rm talque jj~ykjj > k+ 1, para cada k 2N. Le dejamos al lector que haga esta tarea, no sin antes recordarleque debe darle valores a M en el conjunto f2, 3, 4, . . .g.Por definición, debe existir ~xk 2 W  Rn tal que f (~xk) = ~yk. Como W es acotado se sigue que lasucesión es acotada, y por el teorema de Bolzano-Weiertrass debe existir una subsucesión f~xkgk2N1tal que ~xk converge a algún punto, el cual para fijar ideas denotaremos por ~x. Si consideramos lasubsucesión f~ykgk2N1 , tendríamos que por la continuidad de f tal sucesión converge a f (~x).Es claro que existe k0 2 N tal que jj f (~x)jj  k0, ya que de lo contrario N sería un conjunto aco-tado. Si tomamos e = k0 + 1  jj f (~x)jj, debe existir d > 0 tal que para 0 < jj~x  ~yjj < d implicaque jj f (~x)   f (~y)jj < e. Como para tal e > 0 existe N 2 N tal que jj~xk   ~xjj < d, para todoRevista digital Matemática, Educación e I nternet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 11, No 1. Agosto  Diciembre 2010. 5k  N, entonces jj f (~xk)   f (~x)jj < e, y teniendo en cuenta lo anteriormente dicho se sigue quejj~yk   f (~x)jj < e, y de esto que jj~ykjj < e+ jj f (~x)jj para todo n  N. Por lo tanto, jj~ykjj < k0 + 1para todo k  N. De esto se arriba a una contradicción, y por lo tanto se concluye que f (W) debeser acotado.El último ejemplo que presentaremos es más ambicioso que los expuestos anteriormente, pero lopresentaremos para que el lector comprenda lo importante, e inesperado, que puede ser el métodode discretización.EJEMPLO 1.4 Sea fx1, . . . , xlg un conjunto linealmente independiente en un espacio normado Xde dimensión infinita. Existe c > 0 tal que para cualquier elección de escalares b1, . . . , bl tales queb1 + . . .+ bl = 1 se cumple quejjb1x1 + . . .+ blxl jj  c.Al igual que los tres ejemplos anteriores usaremos el método de reducción al absurdo.Empezamos negando la conclusión del resultado, es decir, para todo c > 0 existen escalaresb1, . . . , bl tales que b1 + . . .+ bl = 1 yjjb1x1 + . . .+ blxl jj < c.Aplicando elmétodo de discretización a la variable c, para cada valor de c en el conjunto f1, 1/2, 1/3, . . .gobtenemos lo siguiente: Si c = 1, existen b(1)1 , . . . , b(1)l tales que b(1)1 + . . .+ b(1)l = 1 yjjb(1)1 x1 + . . .+ b(1)l xl jj < 1. Si c = 1/2, existen b(2)1 , . . . , b(2)l tales que b(2)1 + . . .+ b(2)l = 1 yjjb(2)1 x1 + . . .+ b(2)l xl jj <12. Si c = 1/n, existen b(n)1 , . . . , b(n)l tales que b(n)1 + . . .+ b(n)l = 1 yjjb(n)1 x1 + . . .+ b(n)l xl jj <1n,para cada n 2N.Consideremos la sucesión fymgm2N dada porym = b(m)1 x1 + . . .+ b(m)l xl dondelåi=1b(m)i = 1 (1.2)Obsérvese que por lo dicho anteriormente es claro que jjymjj ! 0 siempre que m ! +¥. Además,para cada i = 1, . . . , l y todo m 2 N se tiene que jb(m)i j  1, esto se sigue de la condición quecumplen los betas en la ecuación (1.2).De lo anterior se deduce que las l sucesiones fb(m)1 gm2N, . . . , fb(m)l gm2N son sucesiones acotadasen R.Aplicando el teorema de Bolzano-Weiertrass a la sucesión acotada fb(m)1 gm2N, obtenemos unasubsucesión fb(m)1 gm2N1 la cual converge, digamos al punto b1. Ahora, consideremos la subsuce-sión fy1,mgm2N1 de fymgm2N. Por el mismo argumento anterior, considerando la subsucesión6 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol 11, No 1. Agosto  Diciembre 2010.fb(2)2 gm2N1 , la cual es acotada, y obtenemos una subsucesión fb(2)2 gm2N2 la cual converge a b2.Ahora, consideremos la subsucesión fy2,mgm2N2 de fy1,mgm2N1 . En general. después de l etapas,llegaremos a la subsucesión fyl,mgm2Nl con términosyl,m =låj=1g(m)j xj y tal quelåj=1g(m)j = 1.Además, es claro que la sucesión de escalares g(m)j converge a b j cuando m ! +¥.Por contrucción se deduce queyl,m !låj=1b jxj conlåj=1b j = 1.De lo anterior se deduce que no todos los b j pueden ser cero, ya que su suma es uno. Si y =ålj=1 b jxj, entonces y 6= 0, ya que de lo contrario, al usar la independencia lineal de los xj, lle-garíamos a que los b j son todos iguales a cero, y esto claramente no puede darse por lo reciénargumentado.Por otra parte, yl,m ! y y la continuidad de la norma implicaría que jjyl,mjj ! jjyjj siempre quem ! +¥. Como jjymjj ! 0, es claro que jjyl,mjj ! 0, y por lo tanto jjyjj = 0, y entonces y = 0, locual es una contradicción.En vista del absurdo al que hemos arribado se deduce que la suposición inicial es falsa, y con estoel resultado del ejercicio se sigue.Bibliografía[1] Avner Friedman: Advanced Calculus. First Edition, DOVER, 2007.[2] Wendell Fleming: Functions of Several Variables. Second Edition. Springer-Verlag, 1987.[3] C.B. Morrey and M.H. Protter: A First Course in Real Analysis . Second Edititon. Springer-Verlag, 1991.[4] Michael Spivak : Calculus on Manifolds. First Edition. Benjamin, New York, 1974.El método de discretización. José Rosales O.Derechos Reservados © 2010 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/)

El método de discretización en varias variables

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