Se destaca la importancia y necesidad pedagógica de estimular un estilo de enseñanza en el cual la geometría vaya de la mano del álgebra formando un dúo rico en retos de diversos tamaños y sabores

Rodríguez, José

Funes

NEUROLOGI´A, GEOMETRI´A Y DIDA´CTICAJose´ Rodr´ıguezProfesor Universidad de los AndesBogota´, Colombiaorodrig@uniandes.edu.coResumenSe destaca la importancia y necesidad pedago´gica de estimular un estilo deensen˜anza en el cual la geometr´ıa vaya de la mano del a´lgebra formandoun du´o rico en retos de diversos taman˜os y sabores.1. Introduccio´nNo todas las ce´lulas cerebrales son neuronas. Hay algunas ce´lulas, llamadas totipo-tentes, que se comportan como pre-neuronas, las cuales pueden activarse y con-vertirse en verdaderas neuronas y especializarse segu´n la necesidad. Este es unode los mecanismos por los cuales el cerebro tiene maleabilidad neuronal au´n aedades avanzadas y au´n bajo enfermedades fuertes. Nuestra conclusio´n es que lacapacidad de aprendizaje del cerebro es algo efectivo a toda edad y bajo todacircunstancia.Esto debe ensen˜arse a todos claramente pues esto infunde esperanza. Para enten-der la importancia de la esperanza podemos considerar un experimento cla´sico:se tomo´ un rato´n y se metio´ en un balde con agua, de tal manera que el rato´n nopudiese salir. A los treinta minutos el rato´n se ahogo´. Se tomo´ un segundo rato´ny se metio´ en el mismo balde con agua pero a los diez minutos se le ofrecio´ unpalito, el rato´n lo tomo´ y tuvo descanso. Pero despue´s se le quito´ el palito. Di-cho rato´n no se hab´ıa muerto au´n a la hora y media de estar luchando contra elhundimiento. Lo que eso significa es que cuando hay una esperanza fundada, losseres vivos convierten dicha esperanza en fuerza para vivir, en poderosa energ´ıapara luchar.Hay una esperanza muy bien fundamentada en las posibilidades de aprendizajede todo cerebro, en toda edad y bajo toda circunstancia. Esta esperanza debealimentarse activamente en toda persona para que ella pueda descubrir la alegr´ıade superar toda expectativa.Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaPor lo tanto, vale la pena ensen˜ar a cualquier ser humano.Pero hay diversa maneras de ensen˜ar, unas ma´s efectivas que otras. Quisiera lla-mar la atencio´n del lector sobre una manera tra´gica de ensen˜ar matema´ticas.2. Ca´lculo simbo´licoUno de los grandes avances de la computacio´n ha consistido en pasar de manipula-ciones de nu´meros a manipulacio´n de s´ımbolos. Esto ha permitido que programasautoma´ticos elaboren fo´rmulas generales para derivacio´n, integracio´n, manipu-lacio´n de matrices y de tensores.Paralelamente, el desarrollo formal de las matema´ticas es tan alto que ahora esposible especializarse en desarrollos simbo´licos, en el sentido que con so´lo saberlas reglas de sintaxis del tema pueden resolverse problemas, pasar exa´menes ypublicar art´ıculos.Esto demuestra que la mente humana es capaz de convertirse en un procesadorsimbo´lico de alto poder.Me he dado cuenta de que es much´ısimo ma´s fa´cil programar un estudiante paraque sea procesador de ca´lculo simbo´lico que aceptar la dif´ıcil tarea de motivarloa entender y exigirle que lo haga. Esto es particularmente tra´gico en la ensen˜an-za del a´lgebra lineal, donde entender significa unir visualizaciones geome´tricas areglas sinta´cticas de manera natural, funcional y efectiva.Manejar el ca´lculo simbo´lico permite pasar el parcial y produce la alegr´ıa de habersobrevivido en este valle de la´grimas. Entender produce una alegr´ıa innata queda fuerza para seguir luchando a pesar de haber perdido el parcial. Me pareceque las personas que se preocupan por entender generan entendimientos erro´neosy pueden llegar a equivocarse ma´s que los calculadores simbo´licos. Pero cuandosus concepciones erro´neas son clarificadas, su e´xito es mayor: entienden ma´s fa´cil-mente, no trasnochan, no necesitan drogas para sobrepasar la tensio´n, aprenderpara rato y no temen enfrentarse a grandes desaf´ıos.Me parece tan importante enfatizar el papel de la geometr´ıa en el proceso deaprendizaje y de entendimiento que quisiera elaborar el tema un poco ma´s.696Neurolog´ıa, Geometr´ıa Y Dida´ctica3. Las dos piernas del rebusqueUno de los grandes misterios que me intrigan es el de la supervivencia de la ge-neralidad de los colombianos dado que hay trabajo para muy pocos. He podidonotar que en este proceso de supervivencia la estrategia del caracol es fundamen-tal. Al mismo tiempo me he dado cuenta de que la ley del rebusque implica unaalta movilidad a pie: si se trata de un hombre, por hacer un pequen˜o negocio,vender una camiseta o un par de medias, se recorren 100 cuadras en 2 horas o400 en unas 4 horas. Si se trata de una sen˜ora, se andan 40 o 50 cuadras parair a limpiar el piso de alguna casa o para a recoger una limosna en comida. Lasen˜ora puede ser jefe de hogar y puede ir acompan˜ada de sus dos hijos pequen˜osy llevar su u´ltimo bebe en los brazos.En realidad, a mi no me impresiona que a los nin˜os les toque caminar grandesdistancias. Lo que me exalta es que ellos puedan hacerlo. En todos los casos,los nin˜os tienen sus dos piernas en perfecto estado. No he podido ver que pasacon nin˜os con defectos en sus piernas. Indudablemente que se quedan presos encasa sin poder salir: su movilidad es inmensamente restringida au´n a pesar de laposibilidad de andar con muletas.El hecho es entonces que si un nin˜o tiene dos piernas entonces puede recorrer apie grandes distancias y si no las tiene es como si no existiera. Veamos ahora lacontraparte de este hecho en pedagog´ıa de la matema´tica.Los seres humanos tienen cerebro con dos hemisferios. Los estudios en neurolog´ıarevelan que en los varones hay especializacio´n: un hemisferio tiene la posibilidadde llegar a ser muy bueno en geometr´ıa, mientras que el otro puede llegar a sermuy bueno en conceptos verbales y algebraicos. En las mujeres la especializacio´nes menor, pero su capacidad verbal es buena en ambos hemisferios, mientras quesu capacidad geome´trica es comparativamente de´bil en ambos lados. El resultadoes que una nin˜a se expresa a los 6 an˜os mucho mejor que muchos varones a los 30o 40 an˜os. Pero por otro lado, la imaginacio´n geome´trica y, por tanto, la habilidadmeca´nica de los varones es mucho mejor que la de las nin˜as. Como en los seresvivos hay variabilidad, sin duda que todos conocera´n excepciones a estas reglas.Me parece que ha habido una corriente cultural de cultivar en la ensen˜anza delas matema´ticas una l´ınea muy algebraica, muy verbal. Eso podemos explicarloalegando que el auge de los computadores y la necesidad de programarlos da unlugar predilecto a la corriente verbal, la cual produce estudiantes mas o menosfuertes en manipular fo´rmulas, como quien dice, en ca´lculo simbo´lico.697Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaEl resultado de esta educacio´n es clara: al llegar a la universidad se sufre mucho.No es por inteligencia, porque llegan muchachos y muchachas muy inteligentes.Es por formacio´n: no tienen entrenamiento en manejar conceptos geome´tricos yhacen lo posible por evitarlos.Se sufre mucho. Se sufre tanto como podr´ıa hacerlo un nin˜o que en una sola piernay con muletas tanga que atravesar toda la ciudad.Que´ razo´n tengo yo para asegurar que no saber geometr´ıa es como andar en unasola pierna? Tengamos en cuenta eso del cerebro: no saber geometr´ıa es, al menospara los varones, como usar un solo hemisferio. Es como perder medio cerebro.Aunque en realidad, no es tan claro si perder medio cerebro sea algo grave: aalgunos pacientes se les ha hecho dan˜os significativos en el cerebro pero con-ductualmente se comportan de manera normal, excepto en algunas condicionesextremas. As´ı que propongamos otras razones.Consideremos el ca´lculo, materia obligada en la gran mayor´ıa de programas detodas las ciencias e ingenier´ıas. Aunque los matema´ticos han demostrado que to-dos los problemas de ca´lculo pueden resolverse sin dibujos, en realidad no hay unsolo de esos matema´ticos que no se haya guiado por intuiciones geome´tricas alhacer sus demostraciones. Por otro lado, muchas cosas demasiado complicadas deescribir quedan exquisitamente claras al ser dibujadas: tal es el caso del ca´lculovectorial. Resulta entonces que saber dibujar, o saber imaginar dibujos es algoque disminuye impactantemente la complejidad de las matema´ticas usuales. A talgrado que los profesores que manejan una versio´n geome´trica del a´lgebra linealtienen que estudiar mucho menos que los profesores, generalmente novicios, quemanejan so´lo el formalismo algebraico.Hasta el d´ıa de hoy nadie ha podido explicar claramente porque la combinacio´nde verbo y geometr´ıa es tan poderosa, pero el hecho emp´ırico es que lo es.Permı´taseme proponer una explicacio´n: En primer te´rmino, la geometr´ıa tam-bie´n tiene informacio´n algebraica, tal como fue explotado por Descartes en sugeometr´ıa anal´ıtica. Es por eso que la geometr´ıa es ayuda para atacar problemasalgebraicos. En segundo lugar, debido a que el mundo que habitamos es tridimen-sional y que desplazarse es tan importante para la supervivencia, una imaginacio´nvisual, geome´trica, es de mucha ayuda. Hay que ver ahora que los animales sonmuy buenos en ana´lisis geome´trico. De hecho, son tan incre´ıblemente buenos,que todos los expertos en computacio´n gra´fica se maravillan de sus posibilidadesvisuales. Como cuarto punto, las matema´ticas son creaciones de humanos y por698Neurolog´ıa, Geometr´ıa Y Dida´cticatanto deben reflejar los dos componentes ba´sicos de su estructura: verbo y ge-ometr´ıa. Sumando los cuatro puntos, tenemos que los seres humanos tienen ensu capacidad visual una herramienta poderosa y refinada que puede ser utilizadapara resolver problemas anal´ıticos, verbales.4. El problema de la complejidadLa geometr´ıa es la danza, el verbo es la poes´ıa. Con poes´ıa y danza se tiene su-ficiente para ser feliz. Para ser muy feliz. Lo malo de todo es que tambie´n hayque comer y vestirse. Y eso cuesta. La solucio´n es trabajar y lograr que uno searespetado en su trabajo. Mi experiencia es que uno puede ganarse la vida converbo y danza, pero para mı´ eso no ha sido fa´cil. Muchas, much´ısimas, cosas mecostaron y me cuestan mucho trabajo y mi disciplina de estudio y de trabajosigue siendo dura.La teor´ıa de la complejidad asegura que mi caso lejos de ser u´nico es el de to-das las personas: la complejidad es inherente al quehacer humano, al quehacerpedago´gico, a toda actividad de aprendizaje.En materia de pedagog´ıa, nuestro pa´ıs ha sido gobernado en los u´ltimos an˜ospor la idea de que la educacio´n ha de ser dida´ctica, cuyo objetivo es hacer queel aprendiz se sienta en el cielo a la hora de aprender. Estudiemos esto con ma´scalma.En lo referente a la complejidad de la pedagog´ıa, definitivamente ya pasamos lae´poca del bla-bla-bla. Aunque las investigaciones son inconclusas, es claro quetenemos resultados muy concretos que dicen que la pedagog´ıa es un arte compli-cado, excesivamente complicado. Vea por ejemplo:http://taylorandfrancis.metapress.com/index/9EF5297GNR8C6YA8.pdfSeguramente algunos compartan conmigo la idea de que todas las cosas pierdensu complique si uno encuentra la manera adecuada de verlas. Para el caso delana´lisis, de los ca´lculos, eso se logra desarrollando, cultivando, la visio´n geome´tri-ca. Pero seguramente habra´ ma´s aspectos a considerar. Por eso tenemos grandesprofesores que son unos magos hacie´ndose entender de sus alumnos. Pero si bientales magos existen, son muy pocos y su magia se restringe a casos por ellos muybien conocidos y que sobra decir, son mas bien pocos.699Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaPor lo tanto, importante como pueda ser la pedagog´ıa, su papel es muy limitado.El balance de ambas cosas, la importancia y la limitacio´n, es muy impresionantesi uno estudia el papel de la mama´ en la ensen˜anza del idioma: la mama´ es muyimportante, es trascendente, pero no es la mama´, ni el medio, ni la universidadla que le ensen˜a a uno el lenguaje. Aprender el lenguaje es aprender a expresarsepor escrito y eso so´lo se logra batallando contra uno mismo en una guerra inter-minable.Opino, por tanto, que es hora de terminar con esa farsa de que las aulas sonpedago´gicas o dida´cticas. Lo son siempre y cuando se restrinjan a ensen˜ar bober´ıas.Que´ pueden ser entonces las aulas? Influenciado por los grandes profesores, hacealgu´n tiempo pensaba que las aulas podr´ıan ser un lugar donde uno podr´ıa apren-der a esforzarse con alegr´ıa. Que´ significa eso?El otro d´ıa iba en la ciclo v´ıa en una bajada y de pronto me parecio´ que yo iba muyra´pido. Me sono´ tambie´n el viento en las orejas que me sent´ı encantado. Estabayo experimentando ese placer cuando o´ı un zumbido y al darme cuenta de dondeven´ıa supe que eran unos adolescentes que me pasaron a toda velocidad. Entreellos iba una jovencita con un body rosado y pintas moradas. Cuando volv´ı enmı´, pues quede´ privado del asombro, decid´ı perseguirlos para ver si los pod´ıa al-canzar, lo cual no me parec´ıa improbable porque soy muy resistente. Y en efecto,yo ya iba alcanzando a la jovencita cuando aparecio´ un sema´foro aisla´ndome parasiempre de ella y de sus amigos.Para que esos jo´venes volaran como el viento ten´ıan que esforzarse al l´ımite. Loque hay que resaltar es que nadie los estaba empujado. Eso es esforzarse conalegr´ıa. Algu´n d´ıa son˜e´ eso para las aulas. Pero he visto tanto sufrimiento en lasaulas que definitivamente creo que eso tampoco es una ilusio´n realista, aparte demisteriosas excepciones. Soy consciente de que hay profesores excelentes. Pero sontan poquitos y tan exclusivos. Y lo peor de todo es que ellos jama´s dicen co´mose puede ser como ellos. Pero, ¿co´mo van a decirlo? si en general no lo saben!En el momento actual, las aulas son para mı´ un lugar donde se ofrecen oportu-nidades de mejorar la lucha consigo mismo. Para lograr eso, soy partidario de quehaya libertad de ca´tedra, variabilidad de niveles de exigencia, riqueza de modosde ser, diferencias en el tipo y cantidad de motivaciones. Consignado todo en unslogan podemos decir: de la variabilidad de los constituyentes sale la magnificen-cia de las instituciones. Hallar un balance es casi que imposible, y uno tiene queaceptar que a veces uno se ladea hacia un lado o hacia el otro. De momento creoque hay un sesgo hacia la pedagog´ıa dominada por el trabajo fa´cil o bien por700Neurolog´ıa, Geometr´ıa Y Dida´cticaun nivel de exigencia que no tiene respuesta: nadie tiene suficiente inteligenciapara entender tantas cosas que hoy en d´ıa se ensen˜an en tan poco tiempo. Ambosextremos, el fa´cil y el dif´ıcil, producen el mismo resultado: la proliferacio´n deoficinas de asesor´ıa para la elaboracio´n de trabajos y sobre todo de tesis. Inclusoha llegado a ser posible encargar la elaboracio´n total de una tesis. Que´ podemoshacer para mejorar? Mucho, sigue un ejemplo.5. La trascendencia del jard´ın infantilUsualmente al jard´ın se le asigna la tarea de ocupar a los bebe´s mientras que lospapa´s trabajan. Quisiera proponer un papel ba´sico y natural para el jard´ın cuan-do la problema´tica de la pedagog´ıa se ve a la luz de la teor´ıa de la complejidad.Como he dicho, he visto much´ısimo sufrimiento en las aulas. Incluso algunos sui-cidios se asocian con la tensio´n acade´mica sobre todo cuando se amplifica en elseno de una familia intransigente, que puede ser aquella a la que le cuesta cadacentavo que invierte en la educacio´n de los hijos.Creo que buena parte del dolor puede minorizarse con un simple cambio en lamentalidad estudiantil: hay retos alcanzables que el estudiante debe conseguir noimporta lo que tenga que esforzarse. Para lograr que un esfuerzo continuado seconvierta en algo agradable, uno debe saber que despue´s de haber cumplido conel reto hay una gran satisfaccio´n personal. Un sentido de realizacio´n. Una alegr´ıade llenura. Ese sentimiento debe aprenderse en el jard´ın infantil.Para lograr su cometido, la profesora del jard´ın debe poner, adema´s de tareas,retos a sus estudiantes. Esto esta´ de acuerdo con la sicolog´ıa del nin˜o pues hevisto que los nin˜os se ponen retos a ellos mismos por rutina: el otro d´ıa vi a unsobrino que se propuso pasar una banquita por entre la pata de una mesa y lapared. Desde que empezo´ su trasteo yo ya sab´ıa que no podr´ıa, pues la medidama´s angosta de la banquita ten´ıa un sobrecupo de algo as´ı como un cent´ımetro.El nin˜o trato de una manera, de otra, exploro´ toda las variantes que a mı´ nose me hubiesen ocurrido, volvio´ a tratarlas, no pudo pero no se dio por vencido:palanqueo´ ligeramente la pata de la mesa y logro´ pasar.Cuando los nin˜os cumplan los retos, la profesora podra´ felicitarlos, abrazarlos,darles un beso, aplaudirlos, pasarlos adelante. Cuando el nin˜o madure, introver-tira´ ese refuerzo y quedara´ condicionado para ponerse y cumplir retos personalesen la direccio´n de la cultura matema´tica, lo cual le generara´ una alegr´ıa que lo701Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticacapacitara´ para luchar por retos cada vez mayores.Tengo la tentacio´n de decir que si este trabajo de condicionamiento no se haceen el jard´ın, despue´s es demasiado tarde. Pero eso es falso: entre mis alumnostengo demasiada gente que con muy malas bases se ha puesto las pilas y se hapropuesto ganar su materia. En muchos casos lo han logrado. En otros no. Perolo que queda claro es que el estudiante que es desafiado tiene la opcio´n de res-ponderle al reto. Veo bien que el profesor celebre esos e´xitos y que, si lo desea,los celebre gloriosamente. En realidad no es para menos. Con todo, mi propiaceremonia no es muy exuberante: subo la nota de quien mejora sensiblemente ylo hago pu´blicamente.6. Conclusio´nLas matema´ticas son intr´ınsicamente complicadas y lo son tanto que ofrecer unaeducacio´n tipo para´ıso resulta muy sospechoso. Con todo, parte de la complicacio´nes semejante a la que podr´ıa percibir un nin˜o al recorrer a pie toda la ciudad. Esmaravilloso que los nin˜os puedan recorrer a pie grandes distancias y todo se debea que tienen dos piernas. De igual modo, todo aprendiz de las matema´ticas tieneel equivalente a sus dos piernas: ataque geome´trico y ataque verbal. Combinandoesas dos formas de atacar los problemas, todo estudiante, sin distingo de sexo oraza o formacio´n, puede llegar muy lejos o de lo contrario correr el riesgo de nopoder salir a ninguna parte.702

Neurología, geometría y didáctica

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