El uso de la computadora ha generado cambios sustanciales en la forma cómo los estudiantes aprenden matemáticas, de ahí la necesidad de generar materiales didácticos que garanticen el éxito a los involucrados en el proceso enseñanza aprendizaje. El uso de software de geometría dinámica posibilita a los estudiantes para inspeccionar un rango muy amplio de ejemplos geométricos, de esta manera ellos extienden sus habilidades para formular y explorar conjeturas, así como para juzgar, construir y comunicar argumentos matemáticos apropiadamente. En este trabajo damos a conocer los resultados de una experimentación en el aula, que usó software de geometría dinámica en un curso-taller remedial de Geometría Euclidiana para estudiantes de bachillerato (estudiantes de 16-17 años), comparando con un grupo control que trabajo de manera clásica o tradicional

López, Armando

Funes

ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17  480 GEOMETRÍA DINÁMICA EN UN CURSO REMEDIAL. Armando López Zamudio. Centro de Bachillerato Tecnológico Industrial y de Servicios No.94, México larmandozam@hotmail.com  Resumen El uso de la computadora ha generado cambios sustanciales en la forma cómo los estudiantes aprenden matemáticas, de ahí la necesidad de generar materiales didácticos que garanticen el éxito a los involucrados en el proceso enseñanza aprendizaje. El uso de software de geometría dinámica posibilita a los estudiantes para inspeccionar un rango muy amplio de ejemplos geométricos, de esta manera ellos extienden sus habilidades para formular y explorar conjeturas, así como para juzgar, construir y comunicar argumentos matemáticos apropiadamente. En este trabajo damos a conocer los resultados de una experimentación en el aula, que usó software de geometría dinámica en un curso-taller remedial de Geometría Euclidiana para estudiantes de  bachillerato (estudiantes de 16-17 años), comparando con un grupo control que trabajo de manera clásica o tradicional.  Objetivos Dar a conocer los resultados de un proyecto de investigación que consintió, en una experimentación del diseño de una serie de prácticas didácticas que usan el software Géomètre CABRI (Cahier de Broillon Interactif: Cuaderno de Notas Interactivo) (Baulac, I, et. Al. 1992) para un curso remedial de geometría Euclidiana,  impartido a estudiantes irregulares del segundo semestre de bachillerato.   Antecedentes El National Council of Teachers of Mathematics en los estándares del 2000 señala que las tecnologías electrónicas son herramientas esenciales para enseñar, aprender y hacer matemáticas. Proporcionan imágenes visuales de ideas matemáticas. La existencia, versatilidad y poder de la tecnología exige examinar tanto que matemática deben aprender los estudiantes como de que manera pueden aprenderla mejor. Con las computadoras o calculadoras graficadoras los alumnos pueden examinar más ejemplos o formas de representación que las posibles de hacer a mano. En particular para el estándar  de geometría de los grados 9-12, se menciona que uno de los cambios  más importantes de la enseñanza de las matemáticas tiene que ver con evidencia y justificación, especialmente con el crecimiento de los ambientes tecnológicos, donde la geometría es un área rica en la cual los estudiantes  pueden descubrir patrones y formular conjeturas en una forma visual, eficiente y dinámica. Arcavi y Hadas (2000) afirman que: Los ambientes dinámicos no sólo permiten a los estudiantes construir figuras con ciertas propiedades  y visualizarlas, sino que también les permite transformar esas construcciones en tiempo real. Este dinamismo puede contribuir en la formación de hábitos para transformar, una instancia particular, para estudiar variaciones, invariantes visuales, y posiblemente proveer bases intuitivas para justificaciones formales de conjeturas y proposiciones (pp. 26).  Para Fritzler (1997) el software  Cabri Géomètre II (1992) apoya al estudiante en el proceso de aprender a visualizar. Las figuras geométricas  se conceptualizan como resultados de construcciones, cuyas propiedades  son definidas por las relaciones establecidas entre sus partes. Esta visión es más difícil de transmitir por medio de construcciones hechas con lápiz y papel, entonces la observación de las propiedades  que se mantienen invariables al modificar la SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS  481 forma y el tamaño de las figuras, motiva la explicación por parte de estudiante  en un ambiente de la geometría dinámica. Podemos entonces señalar que el uso de software de Geometría dinámica puede funcionar como una herramienta de gran utilidad para que los estudiantes se enganchen en procesos de búsqueda y formulación de conjeturas o relaciones y argumentos o justificaciones matemáticas. Como resultado de este trabajo trataremos la cuestión que  Santos Trigo (2001) plantea ¿a qué nivel el uso de software dinámico ofrece o funciona como una herramienta útil para que los estudiantes visualicen, exploren y construyan relaciones matemáticas? Metodología De la población. Se formaron dos grupos de 20 alumnos cada uno (los alumnos todos eran irregulares, es decir, ya habían tomado el curso de manera clásica pero no lo aprobaron, fue un buen reto considerar alumnos que ya, permítanme la expresión eran “desahuciados” desde el punto de vista académico), el grupo “A” fue el grupo testigo (tomó clases de manera tradicional) y el grupo “B” el grupo piloto(tomó clase en un laboratorio de computo contando con una computadora por alumno). Se contó con la supervisión de tres docentes en el grupo Piloto, que manipulan perfectamente el CABRI y que además han impartido la materia de geometría Euclidiana.    Del diseño de los materiales.  Se diseñó un manual de prácticas o secuencias didácticas de tres tipos:  ?? Prácticas guiadas: aquí se le indica al alumno paso por paso lo que debe hacer, es decir el docente ayudado por un cañón proyector va realizando cada uno de los trazos seguido del alumno. Y además se le cuestiona cuando es necesario para reafirmar el conocimiento y ejercitar su razonamiento en el tema tratado. ?? Prácticas semiguiadas: se le proporciona al alumno un apoyo menor, se le orienta dando las instrucciones o comandos que debe ejecutar para lograr verificar un teorema o la construcción de una figura. Pero debe hacerlo sólo en su computadora, únicamente guiado por su práctica, al mismo tiempo debe ir contestando ciertas preguntas que lo van animando a continuar con la práctica.  ?? Prácticas abiertas. Se espera en esta etapa que el alumno por si solo construya y aplique su conocimiento a través de la solución de problemas. Y que plantee sus propias conjeturas y argumentos. Este material incluye un instructivo básico del manejo del CABRI con una breve explicación de todos los comandos del software en uso. Se reproduce y es repartido entre cada uno de los estudiantes. De las sesiones de trabajo. Las prácticas están distribuidas a lo largo de 14 sesiones de 2 horas cada una. En la 1ª sesión se reunieron los grupos A y B y se les aplicó un examen diagnóstico para determinar el nivel de conocimientos previos, en forma individual y por grupo, al grupo piloto se le aplicó también un Test denominado “Canal de percepción dominante” donde los canales podían ser auditivo, cenestésico o visual, con la finalidad de conocer el canal de percepción dominante en el alumno y en el grupo. En la 2ª sesión se inicia con una actividad guiada que introduce al manejo del CABRI. 3ª y 4ª sesiones se continúa con actividades guiadas intercalando cuestionamientos sobre los posibles resultados del siguiente paso, se tocaron los temas de ángulos. 5ª y 6ª sesiones continúan las sesiones guiadas donde los alumnos construyen los diferentes tipos de triángulos, localizan puntos y rectas notables en los triángulos, así como, demostraciones dinámicas de los ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17  482 siguientes teoremas: la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera en un triángulo es mayor que la longitud del tercero, todo triángulo equilátero es equiángulo, todo triángulo equiángulo es equilátero, en todo triángulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales, son iguales. 7ª sesión se continúa con actividad guiada en la cual el alumno realiza la localización de puntos y rectas notables en el triángulo, observando su ubicación de acuerdo al triángulo en cuestión; visualiza los teoremas: las medianas correspondientes a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales, la altura correspondiente a la base de un triángulo isósceles es también mediana y bisectriz, descubrir la recta de Euler. 8ª sesión   el alumno comprueba los siguientes teoremas con geometría dinámica: la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo, es igual a 180°, la suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 90°. 9ª y 10ª sesiones el alumno desarrolla la demostración o comprobación de los siguientes teoremas  con CABRI: en todo triángulo, la medida de un ángulo externo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente, la suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo, vale 360°, toda correspondencia LAA entre dos triángulos es una congruencia, si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a éstos no son congruentes y el ángulo mayores el opuesto al lado mayor, 11ª  y  12ª sesiones el alumno desarrollará mediante el uso del software la construcción de los siguientes teoremas: si dos lados de un triángulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes, el teorema de Pitágoras, la hipotenusa es el lado mayor en cualquier triángulo rectángulo.  13ª sesión en base a los conocimientos adquiridos los alumnos realizarán la construcción de una circunferencia inscrita y circunscrita a un triángulo cualquiera, conjetura propiedades en los cuadriláteros. 14ª sesión conjeturará propiedades en las circunferencias, resolverá problemas de aplicación en donde  utilice los conceptos y habilidades adquiridas en las sesiones anteriores. En cada una de las etapas existió la participación y supervisión de tres profesores que ayudaban en cuestiones de logística así como en cuestiones del manejo del software cuidando siempre los objetivos de cada una de las etapas de las secuencias didácticas. El grupo testigo trabajo de manera clásica: un docente usando gis, pizarrón y borrador.  Análisis de Resultados Del Test: para determinar el canal de percepción dominante en el alumno, se detecto que el 65% su canal de percepción dominante es el visual, 12.5% es auditivo, 22.5% es cenestésico; lo que influyó para que en el diseño de la evaluación final se le diera una mayor importancia al canal de percepción  visual,  incluyendo diagramas, dibujos y esquemas.  De la evaluación diagnóstica: fue diseñado deliberadamente de manera clásica en estructura (preguntas abiertas, ejemplo: pregunta uno. Escribe la definición de ángulo) y en el número de reactivos (26),  el grupo piloto como resultado 0% aprobó el examen y la calificación del grupo en promedio es de 2.3, de alumnos que contestó acertadamente cada reactivo en los siguientes histogramas nos muestran los resultados  del grupo piloto, la primera gráfica muestra, alumnos contra número de aciertos, la segunda gráfica muestra  reactivos contra numero de alumnos que acertaron la respuesta correcta. SISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS  483            El grupo testigo obtuvo 0%  de aprobados en el examen diagnóstico, y su promedio fue de 2.2, en los siguientes histogramas nos muestran los resultados  del grupo testigo, la primera gráfica muestra, alumnos contra número de aciertos, la segunda gráfica muestra  reactivos contra numero de alumnos que acertaron la respuesta correcta.  Podemos concluir que los grupos piloto y testigo tienen una cantidad de conocimientos de geometría Euclidiana muy similar, y mínima.                De la evaluación final: este examen se diseñó en base a los resultados obtenidos en el Test  de canal de percepción dominante, que como ya mencionamos fue visual, así el instrumento de avaluación contiene 15 reactivos de opción múltiple con esquemas, dibujos, son estos los resultados que se muestran a través de los siguientes histogramas, sin embargo es preciso señalar que también se aplico el mismo examen diagnóstico, al final del curso, los resultados son un 1% menos favorables que los que se obtuvieron  con el examen de opción múltiple. Los resultados del examen final en el grupo Piloto fue una calificación promedio de 6.3, aprobando 12 alumnos de los 20, es decir el 60%, es importante destacar que todos los alumnos tuvieron avance ya que incluso los que reprobaron tuvieron un promedio de 4.7 de calificación  y que incluso un alumno aprobó el examen con 10. HIS T OGRAM A E X AM E N DIAGNÓS T ICO Grupo  Te stigo02468101 3 5 7 9 11 13 15 17 19ALUMNOSACIERTHIS T OGRAM A E X AM E N DIAGNÓS T ICO Grupo Te stigo02468101214161 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25REACTIVOSACIERTHISTOGRAMA EXAMEN DIAGNÓSTICO Grupo Piloto02468101214161 4 7 10 13 16 19 22 25REACTIVOSACIERTHISTOGRAMA EXAMEN DIAGNÓSTICO Grupo Piloto0246810121 3 5 7 9 11 13 15 17 19ALUMNOSACIERTACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA – VOL. 17  484            Los resultados del examen final en el grupo Testigo fue una calificación promedio de 4.6, aprobando 7 alumnos de los 20, es decir el 35%. Los siguientes histogramas muestran detalladamente los resultados    :          Podemos resumir que el grupo Piloto tubo un mejor aprovechamiento que el grupo testigo de un 25% más, en la siguiente tabla resumimos los avances de cada uno de los grupos.   Evaluación diagnóstico Promedio del grupo Evaluación Final Promedio del grupo % de alumnos aprobados examen diagnóstico % de alumnos aprobados examen final Grupo Testigo 2.3 6.3 0% 60% Grupo Piloto 2.2 4.6 0% 35% Diferencia  0.1 1.7 0 25%  Conclusiones Se puede señalar que el grupo testigo tuvo un avance considerable con respecto al nivel de conocimientos adquiridos al finalizar el curso, mientras que el grupo testigo el avance fue mucho menor. Para el alumno la computadora es una herramienta maravillosa que en el proceso de sus aprendizaje lo motiva profundamente a continuar explorando, pero HISTOGRAMA EXAMEN FINAL Grupo Piloto0510151 3 5 7 9 11 13 15 17 19ALUMNOSACIERTHISTOGRAMA EXAMEN FINAL Grupo Piloto051015201 3 5 7 9 11 13 15REACTIVOSACIERTHISTOGRAMA EXAMEN FINAL Grupo Testigo0510151 3 5 7 9 11 13 15 17 19ALUMNOSACIERTHISTOGRAMA EXAMEN FINAL Grupo Testigo051015201 3 5 7 9 11 13 15REACTIVOSACIERTSISTEMATIZACIÓN DE EXPERIENCIAS  485 definitivamente debe contar con un manual guía en donde se especifique las actividades a realizar, en las diferentes etapas que se proponen de las sesiones, por otra parte es importante la presencia de un docente que actúe como guía y que estimule al alumno a terminar sus actividades cuando sea necesario. Es muy importante que las actividades sean evaluadas en forma continua para mejorarlas de manera que los objetivos para la que fueron diseñadas se cumplan lo más óptimo. Por último podemos precisar que el uso de software de geometría dinámica es una buena alternativa que funciona como una herramienta para visualizar y dar certeza al momento de argumentar sus conjeturas. Por lo que se recomienda su uso como actividad complementaria en un curso normal, explorar el funcionamiento en grupos normales y el uso del software únicamente con pizarrón electrónico es una tarea por realizar. El autor  agradece la colaboración de los docentes: José Correa B., Miguel Ángel Cruz L. y Dante Razo R.   Bibliografía Arcavi, Abraham, Hadas Nurit. (2000). Computer Mediated learning: Anh exaple of an approach. Internatinal Journal of Computers for Mathematical Learning, 5 pp. 25-45  Baulac, I, et. Al. (1992).Cabri Géomètre: The Interarctive Notebook., . Laboratoire de Structures Discretes et de Didactique de I’IMAG of I’Université Joseph Fourier in Grenoble.Software Fritzler H. Wolfgang (1997) Triángulos y Cuadriláteros Inscritos en un Círculo, Una aplicación del software educativo “Cabri Géomètre” Educación Matemática Ed. Grupo Editorial Iberoamérica S.A. de C.V. Vol. 9 No. 2 pp.116-136.México. National Council of Teachers of Mathematics, (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, Va 20191-9988.: The Council. U.S.A. Santos Trigo L.M.  (2001) El uso de Software Dinámico en el Desarrollo de Significados y Conexiones en el Aprendizaje de las Matemáticas. Memorias de la Conferencia Internacional Sobre Uso de Tecnología en la Enseñanza de las Matemáticas. Ed. Cortés C., et. Guerero L., pp.59-69. UMSNH,  Morelia, México. 

Geometría dinámica en un curso remedial

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