En este documento explicitamos en primer lugar algunos asuntos relativos a la reflexión que se puede dar en torno a dos de los aspectos mencionados, a saber: la construcción de figuras semejantes y la definición de criterios para decidir sobre la semejanza de dos figuras. En segundo lugar, presentamos elementos descriptivos de un taller para profesores que aborda los dos aspectos señalados

Andrade, Luisa

Fernández, Felipe

Guacaneme, Edgar Alberto

Perry, Patricia

Funes

¿CONFI´A EN SUS CONOCIMIENTOSGEOME´TRICOS PARA CONSTRUIRFIGURAS SEMEJANTES?1Edgar Guacaneme Luisa AndradeUna Empresa Docente Una Empresa DocenteUniversidad de los Andes Universidad de los AndesBogota´ D.C, Colombia Bogota´ D.C, Colombiaeguacane@yahoo.com.mx luiandrade2003@yahoo.com.mxPatricia Perry Felipe Ferna´ndezUna Empresa Docente Una Empresa DocenteUniversidad de los Andes Universidad de los AndesBogota´ D.C, Colombia Bogota´ D.C, Colombiapperryc@yahoo.com.mx fefernan2003@yahoo.com.mxIntroduccio´nLa semejanza geome´trica, en tanto tema matema´tico propuesto para ser es-tudiado en la escuela, puede ser uno de los temas sobre los que muy posi-blemente los profesores de matema´ticas hacen exposiciones y/o proponena sus estudiantes tareas para procurar tal formacio´n. Dichas exposicionesy tareas abordan diversos aspectos relativos a tal tema´tica, dentro de loscuales se encuentran: la identificacio´n de figuras semejantes, la definicio´n dela semejanza entre figuras planas, el establecimiento de las caracter´ısticasgeome´tricas invariantes y variables entre figuras semejantes, la construccio´nde figuras semejantes, y la solucio´n de problemas utilizando las propiedadesde las figuras semejantes.1Una versio´n ampliada de este documento, con el mismo t´ıtulo, constituye el segundocap´ıtulo del libro Transformar la ensen˜anza de la proporcionalidad en la escuela: un huesoduro de roer recientemente editado por “una empresa docente”. Aquel cap´ıtulo incluyeadema´s un reporte sobre la implementacio´n, observacio´n y ana´lisis del taller con un grupode profesores.Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritme´ticaEstos aspectos, como la mayor´ıa de los aspectos de cualquier tema´tica ma-tema´tica, al ser objeto de reflexio´n matema´tica y dida´ctica revisten unacomplejidad que logra cuestionar fuertemente el conocimiento profesionalde los profesores as´ı como la informacio´n contenida en textos y propuestascurriculares de matema´ticas. Para ilustrar lo anterior basta pensar en si laexpresio´n “dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque nonecesariamente el mismo taman˜o”-tradicionalmente enunciada en textos yclases de matema´ticas- recurre a nociones o conceptos matema´ticos expl´ıcitay claramente definidos, o si por el contrario recurre a nociones que tan so´lopermiten una aproximacio´n intuitiva al establecimiento de la semejanza entanto relacio´n geome´trica binaria.En este documento explicitamos en primer lugar algunos asuntos relativos ala reflexio´n que se puede dar en torno a dos de los aspectos mencionados, asaber: la construccio´n de figuras semejantes y la definicio´n de criterios paradecidir sobre la semejanza de dos figuras. En segundo lugar, presentamos ele-mentos descriptivos de un taller para profesores que aborda los dos aspectossen˜alados.1. Construccio´n de Figuras SemejantesMucho antes de que los profesores de matema´ticas lo propongan como unatarea matema´tica, los estudiantes han desarrollando tareas que implican laconstruccio´n de figuras semejantes; basta pensar, por ejemplo, en la actividadde copiar en el cuaderno un dibujo hecho en el tablero, para reconocer quelos estudiantes se enfrentan a esta tarea sin que alguien les haya ensen˜adoco´mo hacerlo y -aun as´ı- logran desarrollarla de manera relativamente exi-tosa. Algunos profesores, incluso de disciplinas diferentes a las matema´ticas,eventualmente proponen a sus estudiantes la reproduccio´n de dibujos a trave´sdel uso de cuadr´ıculas, por medio de un panto´grafo, o utilizando unas reglasescaladas, para generar ampliaciones o reducciones de los mismos; tambie´nlos involucran en tareas que implican la construccio´n de figuras semejantes,tales como el dibujo del plano de la casa o del salo´n, o el dibujo de objetosdel entorno cuyo taman˜o supera el de la superficie donde se va a reproducir.No obstante las tareas que escolarmente pueden proponerse a los estudiantes,260Conf´ıa en sus Conocimientos Geome´tricos para Construir . . .la construccio´n de figuras semejantes en el plano puede no ser una tareahabitualmente planteada por los profesores de matema´ticas a sus estudiantescomo parte de las tareas a realizar para el aprendizaje de la semejanza geo-me´trica. Quiza´s es ma´s usual que los profesores trabajen con sus estudianteslos teoremas y propiedades de la semejanza para el caso de los tria´ngulos, quela construccio´n de figuras geome´tricas semejantes (incluso tria´ngulos). Estehecho puede deberse a que ha sido tradicional que en el estudio escolar dela geometr´ıa se enfatice en los aspectos conceptuales ma´s que en los procedi-mentales (Andrade et al., 2002), a la exigua confianza que el profesor tengaen su informacio´n y conocimiento sobre aquellos teoremas y propiedades, o ala poca pericia, conocimiento y reflexio´n del maestro sobre los procedimientospara construir figuras semejantes.2. Criterios para Decidir Sobre la Semejanzade Dos FigurasEn el informe de los resultados del TIMSS en Colombia se afirma que “los es-tudiantes colombianos reconocen con relativa facilidad figuras congruentes osemejantes, pero presentan serias dificultades en el manejo de las propiedadesgeome´tricas determinadas por estas relaciones”(Dı´az et al., 1997, p. 83). Eneste sentido se puede suponer que el reconocimiento de la semejanza es unconocimiento que no implica mayores exigencias y/o que se logra construirdurante los primeros an˜os de la escolaridad. En tal reconocimiento se involu-cra fuertemente la percepcio´n de la proporcionalidad, o mejor de la despro-porcionalidad, cuestio´n que segu´n algunos investigadores (Fiol y Fortuny,1990, p. 20) se adquiere o construye desde muy temprana edad, al menospara contextos gra´ficos (v.g., fotograf´ıas, dibujos). Sin embargo, explicitar atrave´s de un enunciado los criterios que se tienen en cuenta para resolverla tarea y/o dar una respuesta a la pregunta ¿cua´ndo dos figuras son se-mejantes? pueden ser problemas mayores. Como respuesta a tal preguntase podr´ıa enunciar la frase “son semejantes porque tienen la misma formaaunque no el mismo taman˜o”, pero para algunos esta respuesta puede no sersuficientemente clara, pues en ese sentido ser´ıan semejantes entre s´ı todos losrecta´ngulos, o todos los tria´ngulos iso´sceles, pues “tienen la misma forma”.261Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritme´ticaSi bien en algu´n momento de la escolaridad tal frase puede ser aceptablecomo definicio´n de semejanza, la ambigu¨edad de la misma conmina a hacerun trabajo para mejorar tal aproximacio´n definicional y construir una queutilice criterios o nociones matema´ticas de significado preciso.La construccio´n de una definicio´n de figuras semejantes puede ser un procesoescolar y personal que tome bastante tiempo. Quiza´, luego de haber llegadoa una aproximacio´n intuitiva a la definicio´n que calificamos como ambigua,uno de los momentos de tal proceso pueda ser la construccio´n de una defini-cio´n de tria´ngulos semejantes, para lo cual los criterios de semejanza entretria´ngulos2 puedan constituir definiciones matema´ticas adecuadas. En otromomento posterior, la semejanza podr´ıa entenderse como una corresponden-cia en la que “(i) A puntos alineados en la figura original corresponden puntosalineados en igual orden en la figura homote´tica. (ii) Los segmentos homo´lo-gos son proporcionales. (iii) Los a´ngulos homo´logos son iguales.”(Grupo Beta,1990, p. 77), a pesar de que esta definicio´n no sea aplicable a figuras formadaspor l´ıneas no rectas, o por curvas que no definan a´ngulos (v.g., una circun-ferencia, una elipse, un sector circular). Incluso podr´ıa llegar a plantearse lasemejanza como una relacio´n que se define como la composicio´n de la ho-motecia con otras transformaciones geome´tricas (v.g., rotacio´n, traslacio´n,simetr´ıa).Los profesores de matema´ticas, en tanto personas que seguramente han tran-sitado por tal proceso, o por uno similar, ante una situacio´n que les exijaexplicitar o usar una definicio´n de semejanza podr´ıan recurrir a una de lasdefiniciones presentadas en el pa´rrafo anterior. Sin embargo, para algunos deellos su proceso pudo haber quedado a medio camino y en consecuencia tan-to su forma de solucionar problemas como el trabajo escolar que proponen asus estudiantes, puede reducirse al uso y comprensio´n de so´lo algunas de lasdefiniciones, incluso u´nicamente a las ma´s elementales o restringidas comoaquella que calificamos de ambigua.2“(i) Dos tria´ngulos son semejantes si tienen un a´ngulo igual y proporcionales los ladosque lo forman.(ii) Si dos tria´ngulos tienen dos a´ngulos iguales tambie´n son semejantes.(iii) Dos tria´ngulos son semejantes si tienen sus tres lados homo´logos propor-cionales.”Grupo Beta (1990, pp. 80-81). Nosotros preferir´ıamos hablar de a´ngulos corres-pondientes congruentes, ma´s que de a´ngulos iguales.262Conf´ıa en sus Conocimientos Geome´tricos para Construir . . .3. El Disen˜oEl TallerCon la intencio´n de trabajar tanto la construccio´n de figuras semejantes,como la definicio´n de semejanza geome´trica con profesores de matema´ticas,disen˜amos un taller que tuvo como fuente de inspiracio´n una breve indicacio´nrealizada por Fiol y Fortuny (1990, pp. 129, 131). El siguiente es el texto deltaller.Taller sobre semejanza geome´tricaParte 1 (tiempo estimado: una hora y media)El siguiente trabajo es para realizar en grupo de tres o cuatro profesores. Cadagrupo debera´ registrar por escrito los resultados de las tareas propuestas.Para cada una de las figuras que se van a ir entregando3:a. Dibujen una figura que no sea congruente pero s´ı semejante (para estatarea pueden emplear los materiales, instrumentos y equipos que esta´nsobre la mesa4).b. Den cuenta de los pasos que siguieron para hacer la nueva figura, regis-trando detalles de los aspectos geome´tricos involucrados.c. Justifiquen por que´ las figuras son semejantes.Parte 2 (tiempo estimado: una hora y media)d. El siguiente trabajo es para realizar en el grupo o entre grupos. Cada grupodebera´ registrar por escrito los resultados de las tareas propuestas.3En la figura No 2 se muestran las figuras sobre las que se trabaja en el orden en quese abordan.4Reglas graduadas, escuadras, compases, transportadores, un retroproyector de ace-tatos, transparencias, marcadores, bandas de caucho, papel cuadriculado y papel blanco.263Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritme´ticae. Expliciten todos los procedimientos diferentes que hayan sido utilizados enla construccio´n de figuras semejantes. Pongan a prueba cada uno de talesprocedimientos para determinar para cada figura cua´les sirven y cua´les no.f. Identifiquen o disen˜en un procedimiento que permita construir figuras se-mejantes a cualquiera de las trabajadas. Descr´ıbanlo.g. Examinando las justificaciones dadas para la tarea del literal c, describanlas condiciones para que dos figuras sean semejantes. Procuren que ladescripcio´n sea aplicable a la mayor cantidad de figuras abordadas. El retoes que su descripcio´n pudiera aplicarse a todas las figuras abordadas.Parte 3 (tiempo estimado: una hora y media)En plenaria cada grupo presentara´ el resultado de las tareas de la Parte 2 deltaller.Los Propo´sitos del Taller y las Intenciones de las Ta-reasLos propo´sitos que planteamos para el taller son:Puntualizar diferentes procedimientos para construir figuras semejantesa partir de unas dadas.Explorar que´ tan generalizables son esos procedimientos.Destacar los elementos que determinan la semejanza de figuras geo-me´tricas.Con la tarea propuesta en el primer literal pretendemos que los profesoreshagan uso de su conocimiento geome´trico sobre la semejanza, ma´s que lograruna verbalizacio´n del mismo; en otras palabras, procuramos que los profe-sores exhiban sus competencias geome´tricas y no la informacio´n geome´tricaque conocen y que posiblemente presentan en sus clases. Adema´s, queremos264Conf´ıa en sus Conocimientos Geome´tricos para Construir . . .disponer de un registro del resultado del trabajo de construccio´n. Entre tan-to, con la tarea del literal b. procuramos disponer de un registro escrito delprocedimiento a trave´s del cual se explicite la estrategia geome´trica utilizada;este registro le servira´ a los profesores para trabajar la tarea del literal d. ya nosotros para interpretar el dibujo resultante en el literal a. Al pedir unajustificacio´n respecto de la semejanza entre las figuras dadas y construidas,en la tarea del literal c., pretendemos brindar la oportunidad a los profesoresde poner en juego sus definiciones sobre semejanza geome´trica y su relacio´ncon el procedimiento utilizado en la construccio´n, a la vez que tendremos unregistro de las mismas.Como se sen˜ala en la instruccio´n de la primera parte del taller, las tareas delos literales a., b. y c. se debera´n realizar para cada una de las figuras que seira´n entregando en el orden en que se muestran en la Figura No 1. El orden delas figuras fue intencionalmente determinado y definido por la aparicio´n denuevas condiciones (v.g., contemplar segmentos no rectil´ıneos o figuras sina´ngulos) para las cuales podr´ıan no funcionar adecuadamente los criteriosde semejanza y/o las estrategias para construir figuras semejantes utilizadaspreviamente; estas condiciones pretenden entonces o bien generar conflictosy promover la aparicio´n de nuevas estrategias, o consolidar las estrategiasempleadas y definiciones propuestas.En la segunda parte del taller se presentan tareas ligadas al propo´sito degeneralizar procedimientos y definiciones relativos a la semejanza geome´tri-ca. Con la tarea del literal d. esperamos que cada grupo identifique si utilizao no procedimientos diferentes en la construccio´n de las figuras semejantes.Entre tanto, la tarea del literal e., propicia la oportunidad para aproximarse auna estrategia u´nica de construccio´n de las figuras presentadas. Finalmente,con la tarea propuesta a trave´s del literal f. se pretende aproximar a los profe-sores a la construccio´n de una nueva definicio´n de semejanza geome´trica. Losregistros de la descripcio´n de tales definiciones podr´ıan permitirnos reconocerevidencias de algu´n aprendizaje logrado por los profesores.La condicio´n de trabajo en grupo se justifica en la posibilidad que e´ste nosbrinda de registrar opiniones, acuerdos y desacuerdos, discusiones, etc. entorno al desarrollo de cada una de las tareas del taller.265Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritme´ticaBibliograf´ıa[1] L. Andrade, P. Perry, F. Ferna´ndez, y E. Guacaneme, (2002), Rutaspedago´gicas de las matema´ticas escolares, Una mirada a la pra´ctica delprofesor, (Documento no publicado), Bogota´: “una empresa docente”.[2] C. Dı´az, J. A´lvarez, L. Torres Y E. Guacaneme, (1997), Ana´lisis y resul-tados de las pruebas de matema´ticas, TIMSS Colombia, Bogota´: Minis-terio de Educacio´n Nacional.[3] M. Fiol y J. Fortuny, (1990), Proporcionalidad directa la forma y elnu´mero, (Coleccio´n Matema´ticas: cultura y aprendizaje), Madrid: Edi-torial S´ıntesis.[4] Grupo Beta (1990), Proporcionalidad geome´trica y semejanza, (Co-leccio´n Matema´ticas: cultura y aprendizaje), Madrid: Editorial S´ıntesis.266

¿Confía en sus conocimientos geométricos para construir figuras semejantes?

http://funes.uniandes.edu.co/5998/1/GuacanemeConf%C3%ADaGeometr%C3%ADa2003.pdf

¿Confía en sus conocimientos geométricos para construir figuras semejantes?

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