Los egipcios, han sido considerados por mucho tiempo, como una de las civilizaciones, que más alto conocimiento tuvieron en matemáticas en la antigüedad, en realidad para la construcción de las pirámides, ellos ya contaban con sofisticados cálculos matemáticos. Se presentarán algunos hechos de su aritmética

Gómez, César

Funes

ELEMENTOS DE ARITME´TICA EN LOSEGIPCIOSCesar Augusto Go´mezProfesor Universidad Nacional de ColombiaProfesor Universidad Antonio Narin˜oBogota´ D.C, Colombiacagomezsi@unal.edu.coResumenLos egipcios, han sido considerados por mucho tiempo, como unade las civilizaciones, que mas alto conocimiento tuvieron en matema´ti-cas en la antiguedad, en realidad para la construccio´n de las pira´mides,ellos ya contaban con sofisticados ca´lculos matema´ticos. Se presen-tara´n algunos hechos de su aritme´tica.Introduccio´nExisten diversos me´todos de numeracio´n, pero tal vez el ma´s antiguo y uni-versal, utilizado desde la aparicio´n del hombre, es el de contar con los dedos.Entre las primeras formas de contar, encontramos por ejemplo:contar con palitosutilizacio´n de conchasinciciones sobre un maderoutilizacio´n de semillas o huesosnudos hechos a una cuerdaotros ma´sMemorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritme´ticaOtro me´todo de contar que aparecio´ antiguamente (islas Muralay) consit´ıa,en lo siguiente:empezaban con el dedo men˜ique izquierdo, para indicar el nu´mero 1, segu´ıanascendiendo, hasta que el dedo pulgar indicaba el 5, la mun˜eca indicaba el 6, elcodo el 7, el hombro 8, el pecho izquierdo el 9, el externon el 10, y continuabandescendiendo por el brazo derecho, hasta que el men˜ique indicaba el 19. Detodas maneras, cada sistema de numeracio´n en cada tribu, involucraba unlargo proceso de adaptacio´n, hasta llegar a adoptar simbolos.Numeracio´n PrimitivaEn un principio, el hombre cavern´ıcola viv´ıa solo, y por tanto no necesitabade nu´meros, pero posteriormente, se fueron formando tribus, familias, clanes,etc., y entonces fue necesrio que y cuanto pertenec´ıa a cada familia, personao tribu.En un principio, fue suficiente con la palabra poco, algo, mucho pero poste-riormente necesito precisar ma´s.Para contar el nu´mero de animales de un reban˜o, el hombre utilizo´ los diezdedos, uno por cada animal, cuando completaba diez animales, colocaba unapiedrita pequen˜a para indicar los diez, y volv´ıa a comenzar hasta volver allegar a otros diez, colocaba otra piedrita, y cuando completaba diez piedritas,colocaba una ma´s grande para indicar cien. Posteriormente, remplazo´ losdedos por palitos y con el tiempo adopto´ s´ımbolos.Me´todos para Establecer una Numeracio´n1. Agrupamiento SimpleFue utilizado para indicar pequen˜as cantidades, por ejemplo:|→ 1, ||→ 2, |||→ 3, ||||→ 4, ∧ → 5, ∧∧ → 10,152Elementos de Aritme´tica en los Egipcios2. Agrupamiento multiplicativo.Consiste en introducir un nuevo simbolo que indique el producto devarias unidades asi por ejemplo: |→ S veces |∧ → S veces 53. Metodo posicionalEn este sistema, cada nu´mero adquiere un valor determinado, de acuer-do a su posicio´n, y a la base del sistema utilizado. As´ı por ejemplo enun sitema de base 5 tendr´ıamos:→ S + S(5) + S(52) = 31(S)con S entre 0 y 41. Sistema de Numeracio´n EgipcioComo la mayor´ıa de las civilizaciones, utilizaron palitos (rectas verticales),para representar los primeros nueve nu´meros, y posteriormente adoptaronnuevos s´ımbolos. Tuvieron dos sitemas de numeracio´n, uno gerogl´ıfico y otrohiera´tico. Utilizaron los siguientes s´ımbolos:1. Gerogl´ıfico|→ 1, recta vertical para unidades de 1 → 9∩ → 10, talo´n o arco?→ 100, espiral o voluta♣ → 1000, flor de lotoutiliza adema´s la imagen de un dedo sen˜alando, para indicar 10.000,la imagen de una mustela o renacuajo para indicar 100.000, y laimagen de un hombre asombrado para indicar 1.000.000153Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritme´ticaNo´tese que los egipcios, utilizaron el sistema de agrupamiento simple de base10.|→ 100,∩ → 101,?→ 102, ♣ → 103,y as´ı sucesivamente con los otros s´ımbolos.No´tese adema´s que el orden de escribir una cantidad no es relevante, porejemplo|| ∩∩?? =| ∩?∩? |sin embargo los egipcios, escrib´ıan de derecha a izquierda111 =| ∩?1.1. Las Cuatro Operaciones Aritme´ticas1. SumaEl proceso es como la suma comu´n y corriente, se suman primero lasunidades, despue´s las decenas, despue´s las centenas, y as´ı sucesiva-mente, teniendo en cuenta, que diez unidades forman una decena, diezdecenas forman una centena, y as´ı sucesivamente, por ejemplo:111 + 111 =| ∩?+ | ∩? =|| ∩∩?? = 2222. RestaLa resta tiene el mismo proceso que la suma, por ejemplo222− 111 =|| ∩∩??− | ∩? =| ∩? = 1113. Multiplicacio´nLos egipcios manejaban un sistema de base 10, as´ı que la multipli-cacio´n por 10 es muy sencilla, bastaba realizar el cambio de s´ımbolocorrespondiente, por ejemplo10(3) = 10(|||) = ∩ ∩ ∩ = 30Desarrollaron dos te´cnicas de multiplicacio´n154Elementos de Aritme´tica en los EgipciosPrimer me´todoSupongamos que se quiere multiplicar 9 por 7, se disponen en unacolumna, y al frente se colocan los excedentes de cada nu´merorespecto de 10, en este caso 1 y 3. Se multilican estos excedentesentre si (ten´ıan tablas de valores conocidos), y se busca la diferen-cia entre las diagonales enfrentadas, en nuestro caso 6. El resultadoes 63.9 17 36 3Segundo me´todoEste me´todo requer´ıa solamente el conocimiento de sumar y mul-tiplicar por 2., por ejemplo, ,la multiplicacio´n anterior se realizabaas´ı: Se enfrentan el 1 y el 9, y en columna se van duplicando cadauno, hasta que en la primera columna, aparezcan nu´meros cuyasuma sea 7, despue´s se suman los nu´meros correspondientes a es-ta descomposicio´n que se encuentran en la segunda columna. Estesera´ el resultado final.1 92 184 367 63Claramente, los egipcios conoc´ıan el hecho de que cualquier enteropuede ser descompuesto como suma de algunos elementos de la serie1, 2, 4, 8, 12, · · · ,4. Divisio´nPara los egipcios, el proceso de dividir, estaba ligado al de multiplicar.Por ejemplo, al dividir 63 entre 9 se dispone todo como en la multipli-cacio´n del segundo me´todo.1 92 18155Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritme´tica4 367 63como 9 + 18 + 36 = 63 entonces el resultado buscado es 1 + 2 + 4. Porejemplo dividir 117 entre 9, se procede as´ı:1 92 184 368 72Como 117=6+36+72, entonces el resultado pedido es 1+4+8=13.2. FraccionesEl me´todo de escribir sus nu´meros, no les permit´ıa tener fracciones como 67,79, las fracciones que utilizaban, ten´ıan como numerador al 1; utilizaron els´ımbolo ◦, para colocarlo encima de un nu´mero, y de esta manera, indicar surec´ıproco, por ejemplo◦|| ∩∩, para indicar 112. Exist´ıa una excepcio´n, 23, ten´ıauna respresentacio´n especial, |◦|Los egipcios conoc´ıan que 23era el rec´ıproco de 112, as´ı, si 3 = 23y 12 = 112,portanto, siendo3 de 42 = 28, entonces 28 de 42 =◦122.1. Multiplicac´ıon y divisio´n de fracciones5 = 15era especialmente multiplicado por 101 52 3 15 → 254 3 10 30 → 458 1 3 5 15 → 8510 1 3 5 15 15 → 105156Elementos de Aritme´tica en los Egipciosnotece que los resultados vienen escritos en terminos de 3, y en terminos derec´ıprocos unicamente. Veamos otro ejemplo1 2 142 4 284 8 561 2 4 2 4 8 14 28 56ilustra la divisio´n de 214 por 124. Tanto en la primera como en la segundacolumna, se han tomado la divisio´n por dos. En la u´ltima fila, aparece elresultado.2.2. Los Dos Tercios, Tabla de FraccionesPara encontrar un tercio de un nu´mero, primero encontraban los dos terciosy despue´s obtenian el resultado por simple divisio´n por 2. Ejemplo:Si se quiere hallar un tercio de ocho3 de 8 = 53por lo tanto3 de 8 = 233 de 315 = 210por lo tanto3 de 315 = 105Exist´ıan tablas que les permit´ıan calcular los dos tercios de un nu´mero12 1 = 1212 2 = 312 3 = 4212 4 = 612 5 = 7212 6 = 912 7 = 10212 8 = 12157Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritme´ticaNo´tese, que los elementos de la u´ltima columna,, forman una progresio´naritme´tica, por adicio´n de un 12. La tabla anterior, puede ser escrita como3 de 12 = 13 de 3 = 23 de 42 = 33 de 6 = 43 de 72 = 53 de 9 = 63 de 102 = 73 de 12 = 83 de 132 = 93 de 15 = 10La tabla anterior, puede ser extendida colocando dos nu´meros igualmenteespaciados entre cada par de elementos consecutivos de la segunda y terceracolumna respectivamente, obtenie´ndose la tabla siguiente:3 de 12 = 13 de 2 = 133 de 22 = 133 de 3 = 23 de 32 = 233 de 4 = 233 de 42 = 33 de 5 = 333 de 52 = 333 de 6 = 4De tal manera que23de 60 = (23de 6) × (10) = 4× 10 = 40Los egipcios, pose´ıan muchas otras tablas de fracciones, en especial parafracciones unitarias (con numerador 1).158Elementos de Aritme´tica en los EgipciosTabla de dos tercios3 de 2 = 4 123 de 3 = 6 183 de 4 = 8 243 de 5 = 10 303 de 6 = 12 363 de 7 = 14 423 de 8 = 16 483 de 9 = 18 543 de 10 = 20 60Tabla de un tercio3 de 2 = 8 24 = 63 de 3 = 12 36 = 93 de 4 = 16 48 = 123 de 5 = 20 60 = 153 de 6 = 24 72 = 183 de 7 = 28 84 = 213 de 8 = 32 96 = 243 de 9 = 36 108 = 273 de 10 = 40 120 = 30Tabla de un medio2 de 2 = 42 de 3 = 62 de 4 = 82 de 5 = 102 de 6 = 122 de 7 = 142 de 8 = 162 de 9 = 182 de 10 = 20159Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritme´ticaNo´tese la forma sencilla de construccio´n de las tablas, as´ı al querer obtener13de 1912se procede a tomar primero los dos tercios, y el resultado se dividepor dos.3 de 1 3 4 = 3(6 18)6 = 3(6 6)18 = 3(3)18 = 1 18por lo tanto, el resultado pedido es2 363. Regla G de la Aritme´tica EgipciaConsist´ıa ba´sicamente, en que si una fraccio´n unitaria es el doble de otrafraccio´n unitaria, entonces su suma es una fraccio´n unitaria si y so´lo si, eldonominador mayor es divisible por 3, y este cociente es el donominador final.Ejemplos:9 + 18 = 612 + 24 = 824 + 48 = 163.1. Primera Extensio´n de la Regla GSi una fraccio´n unitaria, es K veces otra fraccio´n unitaria, entonces su sumapuede ser encontrada como en el caso anterior,siendo el cociente mayor entreK + 1 el nuevo denominador. Ejemplo4 + 12 = 310 + 40 = 824 + 48 = 16160Elementos de Aritme´tica en los Egipcios3.2. Segunda Extensio´n de la Regla GSi ocurre como en la primera extensio´n, entonces la diferencia se obtieneteniendo en cuenta la divisio´n por K − 1.3− 12 = 46− 24 = 824− 48 = 48Los egipcios conoc´ıan muy bien la serie (progresio´n geome´trica)1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, · · ·y el hecho que todo entero puede ser escrito como suma de algunos de suste´rminos, con lo cual pudieron crear tablas para determinar sumas de algunoste´rminos. Sab´ıan que en una progresio´n geome´trica con primer te´rmino yrazo´n 2, la suma de sus n primeros te´rminos es2× (1 +n−1∑1an)los an los te´rminos de dicha progresio´n. La misma consideracio´n puede hac-erse cuando el primer te´rmino es 3 , 4, 5 · · · con las mismas razones respec-tivamente, as´ı por ejemplo si la razo´n es 4 y primer te´rmino es 4 entoncesn∑1an = 4× (1 +n−1∑1)Contruyeron tablas para sumas de te´rminos de progresiones con estas carac-ter´ısticas. Utilizaron progresiones aritme´ticas de cinco te´rminos, con propie-dades tales como la suma de sus tres u´ltimos te´rminos, es K veces la sumade los dos primeros. Por ejemplo 1,2,3,4,5 en donde 3+4+5=4(1+2). La serieque los egipcios usaban era la siguiente1, 62, 12, 172, 23que cumple la propiedad mencionada anteriormente con K = 7.161Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritme´ticaBibliograf´ıa[1] Asger Aaboe, Introduccio´n a las ciencias, 2[2] , Enciclopedia Sigma de las matema´ticas.[3] , Matema´ticas, Episodios histo´ricos desde Babilonia hastaPtolomeo.[4] Richard Gillings, Mathematic in the time of the pharaons.[5] Charles Miller, Introduccio´n al pensamiento matema´tico.162

Elementos de aritmética en los egipcios

http://funes.uniandes.edu.co/5990/1/G%C3%B3mezElementosGeometr%C3%ADa2003.pdf

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