Se consideran algunos elementos de la Geometría Elemental presentes en la labor docente que pueden motivar el aprendizaje

Lesmes, Milton

Ochoa, Carlos Orlando

Funes

ALGUNOS PROBLEMAS INVERSOSCarlos Orlando Ochoa Milton Lesmes AcostaUniversidad Distrital Francisco Jose de Caldas Universidad Distrital Francisco Jose de CaldasBogota´ D.C, Colombia Bogota´ D.C, Colombiaoochoac@udistrital.edu.co mlesmes@udistrital.edu.coResumenSe consideran algunos elementos de la Geometr´ıa Elemental presentes en la labor docenteque pueden motivar el aprendizaje.Presentacio´nEn matema´ticas es usual mantener un camino que se torna ortodoxo cuando se tratan de pre-sentar los feno´menos inherentes a una tema´tica espec´ıfica; consideramos que la inversio´n de lashipo´tesis o su cuestionamiento a la manera de [3] o la disminucio´n del nu´mero de datos en lainformacio´n inicial en un problema propuesto, motiva el aprendizaje dando una sensacio´n decambio de ambiente en el sujeto que aprende, se tiene una respuesta, pero... cua´l es su ge´nesis?Cua´l es la fenomenolog´ıa inherente? Se exhiben aqu´ı algunos ejemplos con estos propo´sitos.1. Del Movimiento parabo´licoCuando se lanza un objeto desde un punto P , es posible hallar el alcance y el conjunto de puntosQ por donde pasa el objeto en su recorrido conociendo la velocidad y el a´ngulo de lanzamiento.1.1. Problema inversoDados los puntos P y Q, hallar velocidades y a´ngulos de lanzamiento que hacen posible que elobjeto lanzado desde P pase por Q.2. De los puntos notables de un tria´nguloEs bien sabido que dado el (A,B, C) ciertos segmentos y rectas notables son concurrentes, elpunto de concurrencia en cada caso es lo que llamamos aqu´ı punto notable.2.1. CircuncentroLas mediatrices de los lados de un tria´ngulo son concurrentes (cf. [1], [5]), su punto de con-currencia es el circuncentro del tria´ngulo; as´ı, dado (A,B, C), su circuncentro se nota con Oy como esta´ en todas las mediatrices equidista de los puntos A,B y C.2.1.1. Problema inversoDados los punto A,B y O se pide hallar C. Esta cuestio´n se presta para discutir en torno a lascondiciones que deben cumplir los puntos dados y la naturaleza del conjunto de soluciones.Memorias XVIII encuentro de geometr´ıa y VI de aritme´tica2.2. IncentroLas bisectrices de los a´ngulos de un tria´ngulo son concurrentes (cf. [1], [5]), su punto de con-currencia es el incentro del tria´ngulo; as´ı, dado (A,B, C), su incentro se nota con I y comoesta´ en todas las bisectrices esta´ a igual distancia de los lados del tria´ngulo.2.2.1. Problema inversoDados los punto A,B e I se pide hallar C. Esta cuestio´n se presta para discutir en torno a lascondiciones que deben cumplir los puntos dados y la naturaleza del conjunto de soluciones.2.3. OrtocentroLas alturas o sus prolongaciones de un tria´ngulo son concurrentes (cf. [1], [5]), su punto deconcurrencia es el ortocentro del tria´ngulo; as´ı, dado (A,B, C), su ortocentro se nota con H .2.3.1. Problema inversoDados los punto A,B y H se pide hallar C. Esta cuestio´n se presta para discutir en torno a lascondiciones que deben cumplir los puntos dados y la naturaleza del conjunto de soluciones.2.4. BaricentroLas medianas de un tria´ngulo son concurrentes (cf. ), su punto de concurrencia es el baricentrodel tria´ngulo; as´ı, dado (A,B, C), su ortocentro se nota con G.2.4.1. Problema inversoDados los punto A,B y G se pide hallar C. Esta cuestio´n se presta para discutir en torno a lascondiciones que deben cumplir los puntos dados y la naturaleza del conjunto de soluciones.3. Un cuadradoSe tienen un cuadrado y una recta que no es paralela a los lados del cuadrado; las prolongacionesde los lados del cuadrado insersecan a la recta en cuatro puntos.••••12Algunos problemas inversos3.0.2. Problema inversoDados los punto A,B, C y D de una recta, se pide hallar un cuadrado tal que las prolongacionesde los lados pasen por los puntos dados de la recta1.4. De sistemas de numeracio´nSean x ∈ R y n ∈ N, se quiere escribir x en base n; si x ∈ Z se usa el algoritmo que se inspiraen los procesos de agrupacio´n, si |x| > 1 con su parte entera el ejercicio ya esta´ resuelto; elproblema adquiere relevancia cuando |x| < 1. Se asume ahora que x es una fraccio´n y adema´sque 0 < x < 1.Transformar una fraccio´n en una expresio´n con con d´ıgitos repetidos requiere un pequen˜o algo-ritmo que se inspira en la divisio´n; as´ı, dado x, su forma decimal perio´dica se obtiene iterandoel proceso que sigue:1. Paso 1: Obtenga la diferencia entre x y su parte entera [x], i. e. halle x− [x],2. Paso 2: La parte fraccionaria de x es x− [x], multiplique la parte fraccionaria de x por 10y practique el Paso 1.De´ significado a este algoritmo expresando en forma decimal las fracciones 57 ,411 ,711 . Use elalgoritmo anterior para obtener la expresio´n binaria de las fracciones 35 ,59313 .Bibliograf´ıa[1] Heinrich W. Guggenheimer, Plane Geometry and Its Groups, Holden-Day, San Fran-cisco, 1967.[2] Mar´ıa Victoria Gutierrez S.,Notas de geometr´ıa, Universidad Nacional de Colombia,Bogota´, 1992.[3] Imre Lakatos,Pruebas y Refutaciones, Alianza Editorial, Madrid, 1986.[4] Carlos Orlando Ochoa C.,Momento Geome´trico, Universidad Distrital, Bogota´, 1999.[5] Carlos Orlando Ochoa C. y Otros, Nociones de Geometr´ıa con Plegado, Criterio,Bogota´, 2003.[6] J. Piaget, G. Choquet, J. Dieudone´, R. Thom y otros, La Ensen˜anza de lasMatema´ticas Modernas, Alianza Editorial, Madrid, 1978.1Este problema fue propuesto por nuestro dilecto amigo y profesor Miguel Sandoval quien por esta e´pocaofrec´ıa el curso de Geometr´ıa I.13

Algunos problemas inversos

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