Se muestra la construcción de algunas cónicas por medio del software de geometría dinámica llamado RyC. Una de las principales ventajas de esta herramienta es que permite animar las construcciones geométricas conservando sus propiedades básicas, es decir, que le agrega movimiento a la clásica geometría euclidiana

Álvarez, Carlos Abel

Funes

CO´NICAS EN GEOMETRI´A DINA´MICADINAMIZACIO´N CON EL PAQUETE RYCCarlos Abel A´lvarez Pe´rezGrupo Pentagog´ıaEscuela Colombiana de Ingenier´ıa.calvarez@escuelaing.edu.coIntroduccio´n.Cuando escuchamos hablar sobre co´nicas es probable que nos venga a la men-te el nombre Apolonio, que sin duda es el investigador ma´s grande sobre dichotema, pero no es el u´nico ni el primero en trabajar esta tema´tica. En la tabla1 se muestra un resumen cronolo´gico sobre los mas importantes matema´ticosque han trabajado sobre este apasionante tema desde la antiguedad hasta elsiglo XIX.Les coniqueschez lesGrecsLes coniqueschez lesArabesLes coniques auXVIcSie`cleLes coniques auXVIIcSie`cleLes coniques auXVIIIcSie`cleLes coniques auXIXcSie`cle600 a.C 500 1500 1600 1700 1800 1900MenechmEuclideArchime`deApolloniusDiocle`sPappusSerenusProclusEutociusAnthemiusLes traductionsarabes de l’oenvred’ApolloniusFre`res Banu MusaThabit Ibn QueeaIbrahim SinanAl-SijziAl-QuhiIlin SahiAl-HaythamOmar KhayyamAl-TusiAl-KashiLes traductionsarabes de l’oenvred’ApolloniusWernerMaurolicoGuidobaldo deldel monteKeplerCavalieriFermatDescartesSchoolenDesargesPascalMydorgeGre´goire de SaintVincentJohn WallisJan de WittPhilippe de la HireNewtonL’hopitalEulerR.SimsonBoscovitchHugh HamiltonBrianchonQueteletDandelinPnceletChaslesSteinerVon StaudiTabla 1: Fuente. Les caracte´rization des coniques avec Cabri-ge´ome`tre en formationcontinue d’ensegnants: e`tude d’une sequence d’activitie´s et COnception d’un hyperdo-cument interactif. Vinceno Bongiovani. Universite Joseph Fourier, Sciences TechnologieMedecine. 2002.Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaApolonio representa la grandeza te´cnica especializada, el virtuosismo geo-me´trico por excelencia, por esta razo´n los trabajos que sobre co´nica fueronescritos antes que el suyo no han sido conservados. Au´n la obra maestrade Apolonio “las co´nicas” no se conoce hoy en toda su integridad ma´s dela mitad de ella permanecio´ oculta para el mundo occidental hasta que fue´publicada por Edmond Halley en 1970.Sin lugar a dudas el nacimiento de las co´nicas esta´ directamente relacionadocon los antiguos problemas griegos sobre la duplicacio´n del cubo, la cuadra-tura del c´ırculo, la biseccio´n del a´ngulo, la inconmensurabilidad de ciertossegmentos y la paradoja de Zenon. Menecmo, hacia 350 a.c., se ocupa delproblema cla´sico de la duplicacio´n del cubo (construir un cubo de doble vo-lumen que otro dado) redujo el problema al de la construccio´n de las dosmedias proporcionales entre 2 y 1. En nuestro lenguaje, si encontramos x ey, tales que2x=xy=y1Entoncesx2 = 2y, y2 = x,y as´ıx3 = 2y3Es decir, el cubo de lado x es de volumen doble que el de lado y.En general el problema de las dos medias proporcionales entre a y b consisteren hallar x e y, tales queax=xy=ybSu resolucio´n se reduce a hallar la interseccio´n de la curvax2 = ay184Co´nicas en Geometr´ıa Dina´mica Dinamizacio´n con el Paquete RyCcon la curvaxy = abEs as´ı como que aparece lo que nosotros llamamos para´bola e hipe´rbolaequila´teras.Menecmo introduce estas curvas como secciones de un cono circular rectopor un plano perpendicular a un generatriz. Por eso la para´bola fue´ llamaday con esta, terminolog´ıa aparece todav´ıa en Arquimedez, seccio´n de conorecta´ngulo (es decir, seccio´n de un cono cuyo a´ngulo de apertura es recto,cortado por un plano perpendicular a una generatriz). La elipse era la seccio´nde cono acuta´ngulo y la hipe´rbola (hasta Aplonio, solo se considero´ una ramade ella) la seccion de cono obtusa´ngulo.El desarrollo de la teor´ıa de las co´nicas debio´ ser muy ra´pido pues ya haciafines del siglo IV a.c., existieron dos obras importantes. La primera es deAristeo, El libro de los lugares so´lidos y la segunda la de Euclides, tambie´nperdida, cuyo contenido debio´ ser, en sus lineas fundamentales el que seencuentra en los cuatro primeros libros de Las Co´nicas de Apolonio, si bienmenos general y menos sistema´tico.Apolonio hab´ıa captado co´mo con la genracio´n del cono circular oblicuo dedosp =2b2ahojas, seccionado por un plano se daba lugar a los diferentes tipos de co´nicas.Esta consideracio´n de un solo cono permite la obtencio´n de las tres co´nicassegu´n la inclinacio´n diversa del plano y adema´s identificara´ la hipe´rbola comouna curva con dos ramas. En estos puntos importantes se aparta de susantecesores del campo, logrando una visio´n ma´s unitaria y mejor sistmatizadadel tema. Estudia las secciones circulares del cono, paralelas y antiparalelasa la base; introduce el para´metro que llama lado rectop =2b2a185Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaEstablece las propiedades de ordenada y abscisa de las co´nicas; considera elcentro, ejes, dia´metros conjugados, tangentes,... y ataca el problema de laconstruccio´n de la co´nica dados diversos elementos de las mismas.La obra de Apolonio consta de 8 libros en los que estudia todo lo que hoyse conoce como co´nicas y ma´s. Como ejemplo se presenta la proposicio´n 45del libro tercero en la se establece como desde un foco se ve bajo un a´ngulorecto el segmento determinado por un tangente cualquiera a la elipse entrelas tangentes en los ve´rtices de las mismas. La geometr´ıa dina´mica y el paquete Regla yCompa´s.El software de geometr´ıa dina´mica genera nuevos ambientes de aprendi-zaje que favorecen actividades de exploracio´n de propiedades y relacionesgeome´tricas, que pueden ser verificadsas mediante el uso de exploracio´n demecanismos de control que esta´n incorporados en el programa. El softwarecuenta con una serie de herramientas que permiten desarrollar a plenitud losdiferentes temas sobre geometr´ıa plana e incluso sobre algunas representasio-nes tridimensionales. Una de las principasles ventajas de esta herramientaes que permite animar las construcciones geome´tricasconservando sus pro-piedades ba´sicas, es decir, que le agrega mivimiento a la cla´sica geometr´ıaeuclidiana.Cuando se resuelve un problema utilizando un problema de geometr´ıa dina´-mica regularmente se viven tres procesos: exploracio´n, construccio´n y justi-ficacio´n. En algunos casos es posible que adicionalmente se requiera de una186Co´nicas en Geometr´ıa Dina´mica Dinamizacio´n con el Paquete RyC“demostracio´n”.En el mercado se encuentra una buena variedad de paquetes computacionalespara el desarrollo de geomtr´ıa dina´mica, entre otros, El Cabri-ge´ome`tre, ElWingeom y el RyC. A continuacio´n se resaltan algunas de las mas importan-tes caracter´ısticas de RyC, de manera que usted pueda compararlo con otrosprogramas de geometr´ıa.• Funciona bajo Windows 95, OS/2, Linux, Apple Machintosh, Solaris yotras plataformas con Java.• Es software libre, incluso el co´digo fuente puede obtenerse bajo unalicencia GNU.• Documentacio´n en HTML, Tutorial y Demos.• Simulacio´n de construcciones de Geometr´ıa euclidiana plana con Reglay Compa´s.• Inrefaz moderna e intuitiva con shortcuts, descripcio´n de ı´conos, ven-tanas de dia´logo y menu´s.• Modo visual en el que se construye con el rato´n.• Creacio´n automa´tica de puntos y de intersecciones.• Posibilidad de fijar la longitud de los segmentos, posicio´n de puntosradios de circunferencias y amplitud de a´gulos.• Posibilidad de truncar las circunferencias.• Posibilidad de ocultar construcciones intermedias.• Objetos de colorers que pueden ocultarse ocultando el color.• Posibilidad de mostrar los nombres y los valores de los objetos.• Posibilidad de cambiar el nu´mero de decimales por separado para a´n-gulos y magnitudes.• Construccio´n ra´pida de perpendiculares, paralelas y puntos medios.• Lugares geome´tricos de puntos.187Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´tica• Macros para facilitar la repeticio´n de construcciones.• Definicio´n de ejercicios de construccio´n que pueden funcionar localmen-te o en un navegador.• Presentacio´n de construcciones y ejercicios en internet con un navega-dor normal.• Las construcciones tambie´n pueden disen˜arse en un navegador de texto.• Impresio´n de construcciones.• Expresiones aritme´ticas para definir magnitudes, longitud de segmen-tos, radios de circunferencias y amplitud de a´ngulos, as´ı como coorde-nadas de puntos.• El programa evoluciona rapidamente.• Naturalmente versiones futuras tendra´n otras potencialidades.Algunas definiciones ba´sicas sobre co´nicas.Como se recordo´ en la introduccio´n histo´rica, las co´nicas han sido estudiadasdesde hace mucho tiempo y a trave´s de todos estos an˜oshan sido caracteriza-das de diversas formas. A continuacio´n se enuncian algunas de las definicionesma´s comunes:Definiciones griegas hasta antes de Apolonio.Para´bola: Seccio´n de cono recta´ngulo cortado por un plano perpendiculara una generatriz.Elipse: Seccio´n de cono acuta´ngulo cortado por un plano perpendicular auna generatriz.Hipe´rbola: Seccio´n de cono obtusa´ngulo cortado por un plano perpendicu-lar a una generatriz. Se considera solo una rama de la hipe´rbola.188Co´nicas en Geometr´ıa Dina´mica Dinamizacio´n con el Paquete RyCDefiniciones de Apolonio.Apolonio presenta las tres curvas co´nicas como la interseccio´n de un conocircular oblicuo de dos hojas seccionado por un plano, donde las diferen-tes curvas se obtienen segu´n la inclinacio´n del plano y adema´s identifica lahipe´rbola como una curva con dos ramas.Como lugares geome´tricos.Para´bola: Es el lugar geome´trico de todos los puntos en el plano que equi-distan a un punto fijo y una recta en el plano. El punto no debe estar en larecta.Elipse: Es el lugar geome´trico de todos los puntos en el plano cuyas distan-ciasa dos puntos fijos tienen suma constante.Hipe´rbola: Es el lugar geome´trico de todod los puntos en plano cuyasdistancias a dos puntos fijos tienen diferencia constante.Desde la geometr´ıa anal´ıtica.La gra´fica cartesiana de cualquier ecuacio´n de la forma:ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0en donde a, b, c no son todas nulas, es una seccio´n co´nica. Excepto cuando lagra´fica no existe o es un par de rectas. Mas exactamente la anterior ecuacio´nrepresenta:Una para´bola si, b2 − 4ac = 0.Una elipse si, b2 − 4ac < 0.Una hipe´rbola si, b2 − 4ac > 0.Algunas construcciones ba´sicas.A partir de las definiciones geome´tricas sobre co´nivcas y apoya´ndose un pocoen las definiciones anal´ıticas es posible construir, con su respectiva justifica-cio´n, las curvas co´nicas utiliza´ndo el software RyC. A continuacio´n se presen-tan algunas construcciones ba´sicas, sobre ideas de dichas curvas. Algunas deestas construcciones (su justificacio´n) han surgido en el seminario sobre RyCque se ha desarrollado en la E.C.I. bajo la coordinacio´n de el Dr. ErnestoAcosta.189Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaLa Para´bola.Para hacer la construccio´n de la para´bola que se muestra en el applet se tieneen cuenta que la distancia entre cualquier punto de la para´bola y el foco esigual a la distancia entre ese mismo punto y la directriz. DirectrizFLa Elipse.Para construir la elipse que se muestra en el applet se ha utlizado el conceptode parametrizacio´n de una curva que se estudia normalmente en los cursosde ca´lculo.Justificacio´n.Si se toman los ejes de la elipse copmo un sistema de coordenadas se puedeobservar que las proyecciones del punto mo´vil sobre los ejes son:x = acost, y = bsentde dondex2a2+y2b2=a2(cost)2a2+b2(sent)2b2= 1la cual justiica que la traza del punto mo´vil sea realmente una elipse con ejemayor 2a y eje menor 2b.190Co´nicas en Geometr´ıa Dina´mica Dinamizacio´n con el Paquete RyCF1a ∗ costb ∗ sinttaElipse e Hipe´rbola.La construccio´n que se muestra a continuacio´n utiliza la definicio´n geomtricade la suma y la diferencia de las distancias para construir tanto la elipse comola hipe´rbola, sobre un mismo esquema.F2QPCF1r1191Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaJustificacio´n.Obse´rvese que, por construccio´n, el tria´ngulo PQF2 es iso´sceles, es decir,que d(P,Q) = d(P, F2). Por tal razo´n, cuendo el punto F2 se encuentraen el interior de la circunferencia C se cumple que d(F1, Q) + d(F2, Q) =d(F1, P ), adema´s d(F1, P ), es constante luego la traza del punto Q cuandoP se desplaza sobre C es una elipse. Por otro lado, si F2 se encuentra enel exterior de la circunferencia C, entonces d(F1, Q)− d(F1, Q) = d(F1, P ),as´ı que en este caso la traza es una hipe´rbola.En un curso de me´todos gra´ficos o de dibujo para ingenier´ıa es comun verlas siguientes construcciones para “pintar” las curvas co´nicas.Pero como profesores de matema´ticas surge inmediatamente la pregunta ¿so´nestas curvas realmente co´nicas?. Pues la respuesta es s´ı, a continuacio´n sepresentas las dinamizaciones de las anteriores construcciones y la justificacio´nde por que´ realmente son co´nicas.La Para´bola.Para poder dinamizar la construccio´n se necesita tomar un punto mo´vil que192Co´nicas en Geometr´ıa Dina´mica Dinamizacio´n con el Paquete RyCsirva como para´metro y adema´s de hacer igual cantidad de divisiones en cadasegmento no puede ser uno por uno, pero para este u´ltimo detalle se puedeutilizar una recta paralela a la diagonal y as´ı se garantiza la igualdad de losdivisores.   ABXYPP QAhora para garantizar que realmente se trata de una parabola observense lassiguientes relaciones:RPA=YXBA=PRXde donde se tienePR =BAXas´ı queBAXA=YXesto es Y =BA2X2193Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticacon lo cual queda demostrado que realmente la traza corresponde a unapara´bola.La Elipse.Para dinamizar esta construccio´n se hace un proceso similar al realizadopara la para´bola y se obtiene la construccio´n que se mmuestra en el siguienteapplet,     ORSX YP QBAhora para garantizar que se trata de un elipse se pueden ver las siguientesrelaciones:YX + A=ROABPQ=YA−XAB=PQROde donde se tiene,PQ = ABRO de donde BABRO= YA−XRO = B2(A−X)AYYX+A=B2(A−X)AYA= B2Y A2(A−X)as´ı queA2Y 2 = B2(A2 −X2)A2Y 2 +B2X2 = A2B2194Co´nicas en Geometr´ıa Dina´mica Dinamizacio´n con el Paquete RyCX2A2+ Y2B2= 1Por tanto la curva es efectivamente un elipse.La Hipe´rbola.Para dinamizar esta construccio´n se sigue un proceso similar a las dos ante-riores y se obtiene el siguiente applet,QPP SVXY       donde se pueden observar las siguientes relaciones:PQA+ 2V= cAB=RSPQBRS=YX − Vas´ı que, despejando y reemplazando sucesivamente se tiene,RS = (PQ)ABB(PQ)AB= YX−V de donde PQ =B2(X−V )AYentoncesB2(X−V )AY (A+2V )= YV+XB2X2 − (A2 + 2AV )Y 2 = B2V 2Lo cual comprueba que la curva obtenida es realmente una hipe´rbola.195Memorias XIII Encuentro de Geometr´ıa y I de Aritme´ticaBibliograf´ıa.• Les caracte´rization des coniques avec Cabri-ge´ome`tre en formation con-tinue d’ensegnants: e´tude d’une equence d’activite´s et conception d’unhyperdocument interactif. Vicenzo Bongiovanni. Universite JosephForurier, Sciences Technologie Medecine. Francia, 2002.• Exploracio´n, construccio´n, argumentacio´n y demostracio´n en la solu-cio´n de un problema. Fabiola Rodr´ıguez, Leonor Camargo y ErnestoAcosta. Proyecto de Incorporacio´n de Nuevas Tecnolog´ıas al Curr´ıculode Matema´ticas Grupo Coordinador del Ministerio de Educacio´n, Bo-gota´, 2002.• Pa´gina principal de RyC.• http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/apolonio/apolonio.html196

Cónicas en geometría dinámica dinamización con el paquete RyC

http://funes.uniandes.edu.co/6107/1/%C3%81lvarezC%C3%B3nicasGeometr%C3%ADa2002.pdf

Cónicas en geometría dinámica dinamización con el paquete RyC

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