En este artículo se muestra que existe un único polinomio que interpola un conjunto finito de puntos del plano con abscisas distintas y se presentan algunas formas de obtener este polinomio, entre ellas están el polinomio de interpolación de Newton (1687), El polinomio de Lagrange (1775), el método matricial y el método de diferencias divididas

Gordillo, Wilson

Pinzón, Wilson

Funes

ALGUNOS ME´TODOS PARA OBTENERPOLINOMIOS DE INTERPOLACIO´NWilson Pinzo´n Casallas Wilson Gordillo ThiriatUniversidad Distrital Francisco Jose´ de Caldas Universidad Distrital Francisco Jose´ de CaldasGrupo MATTOPO Grupo MATTOPOBogota´ D.C., Colombia Bogota´ D.C., Colombiawjpinzonc@udistrital.edu.co wgordillot@udistrital.edu.coResumenEn este art´ıculo se muestra que existe un u´nico polinomio que interpola un conjunto finitode puntos del plano con abcisas distintas y se presentan algunas formas de obtener estepolinomio, entre ellas esta´n el polinomio de interpolacio´n de Newton (1687), El polinomiode Lagrange (1775), el me´todo matricial y el me´todo de diferencias divididas.Resen˜a histo´ricaLa historia de la interpolacio´n comienza con los matema´ticos babilo´nicos y sus trabajos enlas tablas exponenciales; que aunque presentaban grandes huecos, no dudaron en interpolarlinealmente o proporcionalmente para conseguir una aproximacio´n a sus valores intermedios.El impulso de la interpolacio´n se entrelazo´ con los primeros desarrollos de las diferencias finitas,empezando por la cuadratura del c´ırculo de Wallis en 1655, con la que propuso el principiode “interca´lculo” o interpolacio´n, esto fue aceptado por Newton en 1676, lo cual le permitio´ laderivacio´n de las series bino´micas. As´ı, Newton a partir de un problema de cuadraturas pudoobtener el teorema binomial. Luego se continu´a con la construccio´n de fo´rmulas pra´cticas deinterpolacio´n.Aunque “la historia de las fo´mulas de interpolacio´n es complicada y muy discutida”, (Bell, 1995,p. 421) se le puede considerar como un est´ımulo en los siglos XVII y XVIII para la evolucio´nindependiente de las operaciones fundamentales de la teor´ıa cla´sica de las diferencias finitas,las cuales se desarrollaron principalmente para facilitar ca´lculos nume´ricos en astronomı´a, lacreacio´n de tablas y la cuadratura meca´nica.Interpolacio´n PolinomialLa interpolacio´n polino´mica es un me´todo usado para conocer, de un modo aproximado, losvalores que toma una funcio´n, casi siempre desconocida su expresio´n, de la cual so´lo se conocesu imagen en un nu´mero finito de abscisas.El objetivo sera´ hallar un polinomio que cumpla lo antes mencionado y que permita estableceraproximaciones de otros valores desconocidos para la funcio´n con una precisio´n deseable fijada.Por ello, para cada polinomio interpolador se dispondra´ de una fo´rmula de error que permitacuantificar la precisio´n del mismo.Se dispone de varios me´todos generales de interpolacio´n polino´mica que permiten aproximar unafuncio´n por un polinomio de grado n. Algunos son el de Newton, el de Lagrange, el matricial,el de diferencias divididas y el de diferencias divididas de orden superior.Memorias XVIII encuentro de geometr´ıa y VI de aritme´ticaInterpolacio´n mediante funciones de una variable.Definicio´n 0.1. Sean {(xi, yi)}ni=0 un conjunto de n + 1 puntos en R2 tal que xi < xj parai < j. Una funcio´n de interpolacio´n correspondiente a estos datos es una funcio´n continua f talque f (xi) = yi, para todo 0 ≤ i ≤ n.Teorema 0.1. Sean {(xi, yi)}ni=0 un conjunto de n + 1 puntos. Si xi < xj para i < j entoncesexiste un u´nico polinomio p de grado a lo ma´s n tal que p (xi) = yi, para todo 0 ≤ i ≤ n.Demostracio´n.1. Primero se probara´ la unicidadSuponga que existen p y q polinomios distintos de grado menor o igual que n, con p (xi) =yi = q (xi) para todo 0 ≤ i ≤ n, luego p−q tendr´ıa n+1 ra´ıces y por el teorema fundamentaldel a´lgebra p− q = 0 que implica p = q.2. Ahora, por induccio´n, se prueba la existenciaEl caso n = 0, se cumple puesto que el polinomio constante p (x) = y0 satisface la condicio´np (x0) = y0.Supo´ngase ahora que se ha obtenido un polinomio pk−1 de grado menor o igual a k, conpk−1 (xi) = yi para todo 0 ≤ i ≤ k − 1.El polinomio pk(x) = pk−1(x)+ ck(x−x0)(x−x1) · · · (x−xk−1) es un polinomio de gradomenor o igual a k que interpola los mismos datos que pk−1(x) y adema´s el dato (xk, yk),as´ı:pk (xk) = pk−1 (xk) + ck (xk − x0) (xk − x1) + · · ·+ (xk − xk−1) = yky despejando ck se obtiene:ck = [yk − pk−1 (xk)] / [(xk − x0) (xk − x1) + · · ·+ (xk − xk−1)] ,el denominador de esta fraccio´n es no nulo puesto que xi = xj para todo 0 ≤ i, j ≤ k.As´ı el polinomio anterior p(x) satisface pk(xi) = yi. para todo 0 ≤ i ≤ k.Note que los polinomios p0, p1, . . . , pn generados en la demostracio´n anterior tienen la propiedadque cada pk se obtiene a partir de pk−1 agrega´ndole un sumando, con ello al final del procesopn estara´ formado por una suma de te´rminos y cada pi sera´ visible en la expresio´n de pn. Elk-e´simo polinomio se puede expresar como:pk (x) = c0 + c1 (x− x0) + c2 (x− x0) (x− x1) + · · ·+ ck (x− x0) (x− x1) · · · (x− x : k − 1)En forma compacta:pk(x) =n∑i=0cii−1∏j=0(x− xj) ,donde se adopta la convencio´n.m∏j=0(x− xj) = 1si m < 0.352Algunos me´todos para obtener polinomios de interpolacio´nPolinomio de interpolacio´n de NewtonLos polinomios pk(x) obtenidos anteriormentep0(x) = c0p1(x) = c0 + c1 (x− x0)p2(x) = c0 + c1 (x− x0) + c2 (x− x0) (x− x1)...pk(x) = c0 + c1 (x− x0) + c2 (x− x0) (x− x1) + · · ·+ ck (x− x0) (x− x1) · · · (x− xk−1)reciben el nombre de polinomios de interpolacio´n de Newton.Los coeficientes ck se obtienen iterando sucesivamente al sustituir los valores de xk en el polinomiopk(x) y despejando:c0 = y0, c1 =y1 − y0(x1 − x0) ,c2 =y2 − p1 (x2)(x2 − x0) (x2 − x1) , ck =yk − pk−1 (xk)(xk − x0) (xk − xi) · · · (xk − xk−1)Ejemplo: Calcular el polinomio de interpolacio´n para los siguientes datos.x0 x1 x2 x3x −1 1 3 4y 2 5 8 12y0 y1 y2 y3Solucio´nc0 = 2, p0(x) = 2, c1 = (5− 2)/(1 + 1) = 3/2, p1 = 2 + 3/2(x+ 1)p1(x) = p2(x), c2 = 0, p2(4) = 19/2, c3 =12− 19/25 ∗ 3 ∗ 1 =16El polinomio de interpolacio´n es p3 = 2+32(x+1)+16(x+1)(x−1)(x−3) cuya gra´fica se ilustraa continuacio´n.Forma de Lagrange del polinomio de interpolacio´nEl polinomio de interpolacio´n en la forma de Lagrange viene dado por: pn(x) = y0l0(x)+y1l1(x)+· · ·+ ynln(x) =n∑k=0yklk(x). Donde las funciones {lk(x)}nk=0 son polinomios que dependen de las353Memorias XVIII encuentro de geometr´ıa y VI de aritme´ticaabscisas {xk}nk=0. Como cada polinomio pn interpola los puntos se tiene: pn (xj) =n∑k=0yklk (xj) =y0l0 (xj) + y1l1 (xj) + · · ·+ yjlj (xj) + · · ·+ ynln (xj) = yj, luego lk (xj) = δkj ={1, si k = j0, si k = j .As´ı, que deben hallarse n+ 1 polinomios con esta propiedad. Estos se pueden construir as´ı:lk(x) = cn∏i=0,j =k(x− xi) , lk (xk) = cn∏i=0,j =k(xk − xi) = 1, c = 1n∏i=0,j =k(xk − xi)lk(x) =n∏i=0,j =k(x− xi)n∏i=0,j =k(xk − xi)=n∏i=0,j =k(x− xi)(xk − xi)Estas funciones son conocidas como funciones cardinales.Ejemplo Encuentre el polinomio que interpola los datos del ejemplo anterior usando la fo´rmulade Lagrangex0 x1 X2 x3x −1 0 1 2y −4 1 0 −5y0 y1 Y2 y3l0(x) =x(x− 1)(x− 2)(−1)(−1− 1)(−1− 2) = −16x(x− 1)(x− 2),l1(x) =(x+ 1)(x− 1)(x− 2)(0 + 1)(0− 1)(0− 2) =12(x+ 1)(x− 1)(x− 2),l2(x) =(x+ 1)x(x− 2)(1 + 1)1(1− 2) = −12x(x+ 1)(x− 2),l3(x) =(x+ 1)x(x− 1)(2 + 1)2(2− 1) =16(x+ 1)(x− 1)x, as´ıp3(x) = −4l0(x) + l1(x) + 0l2(x)− 5l3(x)=32x(x− 1)(x− 2) + 12(x+ 1)(x− 1)(x− 2)− 56(x+ 1)(x− 1)x= −4 + 5(x+ 1)− 3(x+ 1)x+ 13(x+ 1)x(x− 1)cuyo polinomio es igual al encontrado por el me´todo de Newton.Polinomio de interpolacio´n matricialLa forma usual de un polinomio es: p(x) = a0+a1x+a2x2+ · · ·+anxn =n∑i=0aixi, si el polinomiointerpola los puntos se cumple que: p (xk) = a0+ a1xk + a2x2k + · · ·+ anxnk =n∑i=0aixik = yk para354Algunos me´todos para obtener polinomios de interpolacio´ntodo 0 ≤ k ≤ n, lo que conlleva a un sistema de n + 1 ecuaciones lineales con n + 1 inco´gnitasrepresentado en forma matricial por⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 x0 x20 · · · xn01 x1 x21 · · · xn11 x2 x22 · · · xn2............1 xn x2n · · · xnn⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a0a1a2...an⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣y0y1y2...yn⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦que tiene solucio´n u´nica debido a que el determinante de la matriz (llamado determinante deVandermonde) es diferente de 0 puesto que los xi son todos distintos.⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a0a1a2...an⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a x0 x20 · · · xn01 x1 x21 · · · xn11 x2 x22 · · · xn2............1 xn x22 · · · xnn⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭−1 ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣y0y1y2...yn⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦Ejemplo. Hallar el polinomio que interpola los siguientes puntos:x0 x1 x2 x3x −2 1 0 3y 4 0 5 −5y0 y1 y2 y3⎡⎢⎢⎣a0a1a2an⎤⎥⎥⎦ =⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎢⎣1 −1 4 −81 1 1 11 0 0 01 3 9 27⎤⎥⎥⎦⎫⎪⎬⎪⎭−1 ⎡⎢⎢⎣405−5⎤⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎣5−12730−1310813⎤⎥⎥⎦As´ı, el polinomio es: p(x) = 5− 12730 x− 1310x2 + 815x3 y su gra´ficaInterpolacio´n polinomial por el me´todo de las diferenciasdivididasDado el problema de interpolar un conjunto de puntos {(xi, f (xi))}ni=0 con xi = xj para i = j ,se sabe que existe un u´nico polinomio p a lo ma´s de grado n que interpola a f en estos puntos,es decir p (xi) = f (xi), para todo 0 ≤ i ≤ n.355Memorias XVIII encuentro de geometr´ıa y VI de aritme´ticaEl polinomio p se puede escribir como una combinacio´n lineal de los polinomios ba´sicosq0(x) = 1, q1(x) = x− x0, q2(x) = (x− x0) (x− x1) · · ·+qn(x) = (x − x0) (x− x1) · · · (x− xn−1)Que conducen al polinomio de interpolacio´n de Newton:p(x) = c0q0(x) + c1q1(x) + c2q2(x) + · · ·+ cnqn(x)Las condiciones de interpolacio´n dan lugar a un sistema de n+ 1 ecuaciones lineales:p (xi) = c0q0 (xi) + c1q1 (xi) + c2q2 (xi) + · · ·+ cnqn (xi) = f (xi) , para todo 0 ≤ i ≤ n.En este sistema la matriz de coeficientes de taman˜o (n + 1) × (n + 1) tiene por elementosaij = qj (xi) para todo 0 ≤ i, j ≤ n, lo que proporciona una matriz triangular inferior puestoque:q(x) = (x− x0) (x− x1) · · · (x− xj−1) yq (xi) = (xi − x0) (x− i− x1) · · · (xi − xj−1) si i < jEjemplo. Suponga que se tienen tres puntos (x0, f (x0)) , (x1, f (x1)) , (x2, f (x2)).p(x) = c0 + c1 (x− x0) + c2 (x− x0) (x− x1)el sistema de ecuaciones esp (x0) = c0 = f (x0)p (x1) = c0 + c1 (x1 − x0) = f (x1)p (x2) = c0 + c1 (x2 − x0) + c2 (x2 − x0) (x2 − x1) = f (x2)equivalente a ⎡⎣1 0 01 (x1 − x0) 01 (x2 − x0) (x2 − x0) (x2 − x1)⎤⎦⎡⎣c0c1c2⎤⎦ =⎡⎣f (x0)f (x1)f (x2)⎤⎦Para resolver este sistema se va sustituyendo de arriba hacia abajo.En este proceso se ve que: c0 = f (x0), c1 solo depende de f (x0) y f (x1), . . . , y cn depende def (x0) , f (x1) , . . . , f (xn) en el caso general.La notacio´n cn = f [x0, x1, . . . , xn] es la ma´s adecuada y usual para denotar los coeficientes enel polinomio de interpolacio´n. Estos coeficientes se denominan diferencias divididas y su nombrees natural se debe a que si se tienen solo dos nodos, el polinomio de interpolacio´n para estos esla recta que pasa por ellos:p(x) = f (x0) +f (x1)− f (x0)x1 − x0 (x− x0)as´ı que f [x0] = f (x0) y f [x0, x1] =f(x1)−f(x0)x1−x0 .Usando la notacio´n de diferencias divididas el polinomio de interpolacio´n de Newton se puedeescribir como:p(x) =n∑j=0cjqj(x) =n∑j=0f [x0, x1, . . . , xj] qj(x) =n∑j=0f [x0, x1, . . . , xj]j−1∏k=0(x − xk)356Algunos me´todos para obtener polinomios de interpolacio´nFo´rmula de recurrencia para las diferencias divididasLas diferencias divididas satisfacenf [x0, x1, . . . , xn] =f [x1, x2, . . . , xm]− f [x0, x1, . . . , xn−1]xn − x0Demostracio´n. Sean pn(x) el polinomio que interpola los puntos {(xk, f (xk))}nk=0 , pn−1(x) elpolinomio que interpola los puntos {(xk, f (xk))}n−1k=0 y q(x) el polinomio que interpola los puntos{(xk, f (xk))}nk=1. Estos polinomios satisfacen la relacio´n:pn(x) = q(x) +x− xnxn − x0 (q(x)− pn−1(x))debido a que pn(x) y q(x) = x−xnxn−x0 (q(x)− pn−1(x)) tienen ambos grado menor o igual a n y soniguales en los puntos {(xk)}nk=0 .En efecto:pn (x− 0) = f (x− 0) , q (x− 0) + x0 − xnxn − x − 0 (q (x− 0)− pn−1 (x0))= pn−1 (x0) = f (x− 0)si 1 < k < npn (xk) = f (xk) , q (xk) +xk − xnxn − x0 (q (xk)− pn−1 (xk)) = q (xk) = f (xk)pn (xn) = f (xn) , q (xk) +xn − xnxn − x0 (q (xn)− pn−1 (xn)) = q (xn) = f (xn)Ahora, Mejorar este pa´rrafo con puntuaciones o con ma´s palabras. . .es confuso el coeficiente depn(x) es f [x0, x1, . . . , xn] el coeficiente de q(x) +x− xnxn − x0 (q(x)− pn−1(x)) es el coeficiente de(x− xn) q(x)− (x − xn) pn−1(x)x− n − x0f [x0, x1, dotsc, xn] es el coeficiente principal de q(x) que es el mismo coeficiente principal de(x− xn) q(x), f [x0, x1, . . . , xn−1] es el coeficiente principal de pn−1(x) que es el mismo coeficienteprincipal de(x− xn) pn−1(x) en conclusio´nf [x0, x1, . . . , x− n] = f [x1, x2, . . . , xn]− f [x0, x1, . . . , xn−1]xn − x0Este resultado permite hallar los coeficientes del polinomio de interpolacio´n de forma recurrentecomo lo indica la siguiente tabla:x0 f [x0] f [x0, x1] f [x0, x1x2] f [x0, x1x2x3] · · · f [x0, x1, x2, x3, . . . , xn]x1 f [x1] f [x1, x2] f [x1, x2, x3] f [x1, x2, x3, x4]x2 f [x2] f [x2, x3] f [x2, x3, x4]...x3 f [x3] f [x3, x4]............xn−1 f [xn−1] f [xn−1, xn]xn−1 f [xx−1]357Memorias XVIII encuentro de geometr´ıa y VI de aritme´ticaEjemplo. Utilizando la formula de recurrencia obtenida en el teorema anterior encuentre lasdiferencias divididas para el polinomio que interpola los puntosx 1 2 3 4 5f(x) −3 −2 1 2 −71 −3 1 1 −23 −162 −2 3 −1 −433 1 1 −54 2 −95 −7Y el polinomio de interpolacio´n esp(x) = −3+(x−1)+(x−1)(x−2)− 23(x−1)(x−2)(x−3)− 16(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)y cuyo gra´fico es:Bibliograf´ıa[1] E.T. Bell, Historia de las matema´ticas, Fondo de cultura econo´mica. 1995.[2] Carl B. Boyer, Historia de la matema´tica, Alianza ediorial Cambridge. 1999.[3] David Kincaid, Ward Cheney, Ana´lisis nume´rico, Addison-Wesley Iberoamericana. 1994.[4] Aubanell, A. Benseny, A. Delshams, U´tiles ba´sicos de Ca´lculo Nume´rico. La-bor/Publicaciones de la UAB. 1993[5] Joaqu´ın M. Ortega Aramburu. Introduccio´ al’Ana`lisi Matema`tica (2a edicio´n, catala´n).Publicacions de la UAB. 2002358

Algunos métodos para obtener polinomios de interpolación

http://funes.uniandes.edu.co/5614/1/Pinz%C3%B3nAlgunosGeometr%C3%ADa2008.PDF

Algunos métodos para obtener polinomios de interpolación

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Funes