Funciones trigonométricas en una geometría de Hilbert

Abstract

En las geometrías conocidas, tales como la Euclidiana, Esférica o Hiperbólica, damos por sentado muchas propiedades elementales sin mayor reflexión. Por ejemplo, en la Geometría de Euclides sabemos que todos los triángulos equiláteros de lado 1 son congruentes entre sí, con área igual a raíz cuadrada de 4 sobre 3. Es interesante entonces conocer un modelo geométrico sencillo en el cual es preciso replantearse todas esas propiedades, tales como la definición de un ángulo o el área de un triángulo. Veremos que aquí no todos los triángulos equiláteros de igual lado son congruentes entre sí, aunque podemos hablar de ángulos, distancias y funciones trigonométricas. El modelo que planteamos es el de la Geometría de Hilbert en un triángulo que ya fue explicada en [ 1 ]. En este trabajo mostramos algunos resultados, con las potencialidades y beneficios ofrecidos por la Geometría No-Euclidiana no solamente desde el punto de vista científico, sino también, desde el punto de vista didáctico, toda vez que es posible usar este tipo de Geometría como herramienta para motivar e integrar a docentes y estudiantes en la comprensión de la Ciencia y a usar la tecnología educativa como campo de experimentación para desarrollar abstracciones en mundos imaginarios diferentes, donde la geometría es tratada por medio de modelos que toman como base un conjunto convexo proporcionado por David Hilbert y donde se hace necesario estudiar los conceptos básicos como la estructura y definición de un círculo y un ángulo, y nos concentramos en obtener algunos teoremas importantes en la Geometría hiperbólica. En resumen, si bien los resultados presentados en este trabajo constituyen un aporte creativo de conocimiento en lo científico (en lo respecta al estudio, investigación y obtención de algunos de teoremas de la Geometría No-Euclidiana), constituyen también un aporte desde el punto de vista didáctico en la enseñanza de la Geometría No Euclidiana