En este documento se presenta la derivada desde el punto de vista de la factorización. Es una forma de ver la derivada de Caratheodory en un Espacio Prehilbert. Esto hace que la derivada dependa del producto interno definido en el Espacio Prehilbert

Montoya, Octavio

Funes

RELATIVIDAD DE LA DERIVADAOctavio MontoyaProfesor Universidad del TolimaIbague´, Colombiaoctaviomontoya@1963yahoo.esResumenEn este documento se presenta la derivada desde el punto de vista de la factorizacio´n.Es una forma de ver la derivada de Caratheodory en un Espacio Prehilbert. Estohace que la derivada dependa del producto interno definido en el Espacio Prehilbert.Problema 1. Calcular la derivada de f(x) = x2, x ∈ R en el punto x = a.Solucio´n.f´(x) = l´ımx→ax2−a2x−a = l´ımx→a(x−a)·(x+a)x−a = l´ımx→a(x+ a) = 2a.Por tanto f´(x) = 2a.Se puede observar en el procedimiento anterior, que para quitar la indeterminacio´n, esmuy importante factorizar el numerador. Sin esta factorizacion tendria sierta dificultadobtener la derivada de la funcio´n f(x) = x2.Moraleja“Derivar equivale a factorizar”Comentario: Un problema bien dif´ıcil en el calculo de la derivada es hallar el limite.Si cometemos el error voluntario de quitar l´ımx→aen la igualdad f´(x) = l´ımx→ax2−a2x−a quedar´ıa:f´(x) = x2−a2x−a . Es decir f(x)− f(a) = (x− a) · f´(a) si x 6= a.Lo anterior induce la siguiente definicio´n:Definicio´n 1. Sea f : A → (R, 〈〉), A conjunto abierto en R, 〈〉 producto interno en R,a ∈ A.f es diferenciable en A si existe una funcio´n φ : R→ R tal que:1)f(x)−f(a) = (x−a)·φ(x)(factorizacio´n de f(x)−f(a) (Es posible que esta factorizacio´ndependa del producto interno 〈〉 definido en R).Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´tica2)φ es continua en a.La derivada de f en a es f´(a) = φ(a).En esta definicio´n esta implicito el hecho de que la estructura (R, 〈〉) es un espacio pre-hilbert.Recordemos la definicio´n de Espacio Prehilbert:Definicio´n 2. Sea P un espacio vectorial complejo y 〈〉 : PXP → C. La estructura (P, 〈〉)es un Espacio prehilbert si se cumple:1)〈x, y〉 = 〈y, x〉∗ (∗ indica conjugado).2)〈x+ y, z〉 = 〈x, z〉+ 〈y, z〉 .3)〈αx, y〉 = α 〈x, y〉 .4)〈x, x〉 ≥ 0∀x ∈ P (〈x, x〉 = 0⇔ x = 0).En el problema 1 hemos utilizado el producto usual en los nu´meros reales; es decir:〈x, y〉 = xy, donde x, y ∈ R. La factorizacio´n en general es un concepto relativo al espacio.Por ejemplo, en el espacio vectorial de matrices cuadradas 2x2, una matriz se puedeexpresar como producto de matrices cuadradas 2x2, analogamente en otros espacios. Estaidea es la que utilizaremos para introducir la relatividad de la derivada desde el punto devista de los Espacios Prehilbert.Ilustremos esto, una vez ma´s, con un ejemplo en R .Problema 2. Sea (R, 〈〉) un Espacio Prehilbert, donde 〈x, y〉 = xy2(es evidente que (R, 〈〉)es un Espacio Prehilbert). Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto x = a.Factorizando f(x)− f(a) tenemos:f(x)− f(a) = x2 − a2 = 〈x− a, 2(x+ a)〉 = 〈x− a, φ(x)〉 .Donde φ(x) = 2(x+ a) es continua en x = a.Luego f ′(a) = φ(a) = 2(a+ a) = 4a.Por lo tanto la derivada de f(x) = x2 en x = a es f ′(a) = 4a.Observece como la derivada cambio al cambiar el producto interno en R.En general en R se pueden definir productos internos de la forma: 〈x, y〉 = xyt, t  0. Eneste caso la derivada de f(x) = x2 en el punto x = a es f ′(a) = 2ta.La definicio´n 1 se puede aplicar a funciones en dos variables asi:Problema 3. Sea (R2, 〈〉), donde 〈x, y〉 = x1 y1+ x2 y2, x = (x1, x2 ), y = (y1, y2 ) (Es234Relatividad de la derivadaevidente que (R2, 〈〉) es un Espacio Prehilbert). Calcular la derivada de f( x1, x2) =x1 + 2x2 en el punto a = (a1, a2).f( x1, x2)− f (a1, a2) = x1 + 2x2 − a1 − 2a2=(x1 − a1) + (2x2 − 2a2)=(x1 − a1) + 2(x2 − a2)= 〈(x1 − a1, x2 − a2), (1, 2)〉 (factorizacio´n)Hemos logrado factorizar y esto nos permite definir la funcio´n φ como:φ(x1, x2 ) = (1, 2).Luegof ′((a1, a2) = φ(a1, a2) = (1, 2).Observacio´n:f ′((a1, a2) = ∇f(a1, a2). El gradiente surgio´ en forma expontanea al lograrla factorizacio´n del escalar f( x1, x2)− f (a1, a2) con vectores en R2.Presentemos ahora el problema anterior con producto interno distinto, asi:Problema 4. Sea (R2, 〈〉) con 〈x, y〉 = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2, donde x = (x1, x2),y = (y1, y2) yf : (R2, 〈〉)→ (R, 〈〉)f( x1, x2) = x1 + 2x2En R tomamos el producto usual(Aunque se pudo haber tomado otro producto interno).Verificar si f es diferenciable en el punto (a1, a2) y determine cual es la derivada relativaal producto definido en R2.El lector puede verificar que (R2, 〈〉) es un Espacio Prehilbert.Aplicando la definicio´n de diferenciabilidad tenemos que:f( x1, x2)− f (a1, a2) = x1 + 2x2 − a1 − 2a2.Para lograr la factorizacio´n adecuada, supongamos que:〈(x1 − a1, x2 − a2), (A,B)〉 = x1 + 2x2 − a1 − 2a2.235Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´ticaDeterminemos los parametros A,B.〈(x1 − a1, x2 − a2), (A,B)〉 = 2(x1 − a1)A + (x1 − a1)B + (x2 − a2)A + (x2 − a2)B.Luego 2(x1 − a1)A+ (x1 − a1)B + (x2 − a2)A+ (x2 − a2)B = x1 + 2x2 − a1 − 2a2.La igualdad anterior induce el siguiente sistema:2A +B = 1A+B = 2,cuyas soluciones son: A = −1 y B = 3.Lo anterior indica que:f( x1, x2)− f (a1, a2) = 〈(x1 − a1, x2 − a2), (−1, 3)〉.Es decir φ(x1, x2) = (−1, 3) = f ′(a1, a2).Surge un nuevo gradiente ∇f(a1, a2) = (−1, 3) relativo al producto interno definido.Cambiemos nuevamente de producto interno en el mismo ejercicio.Problema 5. Sea (R2, 〈〉) con 〈x, y〉 = x1y1 + x1y22 + x2y12 + x2y2,3 donde x = (x1, x2), y =(y1, y2) yf : (R2, 〈〉)→ (R, 〈〉)f( x1, x2) = x1 + 2x2.En R tomamos nuevamente el producto interno usual. Verificar si f es diferenciable en elpunto (a1, a2) y determine cual es la derivada relativa al producto definido en R2.El lector puede verificar que (R2, 〈〉) es un Espacio Prehilbert.Aplicando la definicio´n de diferenciabilidad tenemos que:f( x1, x2)− f (a1, a2) = x1 + 2x2 − a1 − 2a2.Para lograr la factorizacio´n adecuada, supongamos que:〈(x1 − a1, x2 − a2), (A,B)〉 = x1 + 2x2 − a1 − 2a2.236Relatividad de la derivadaDeterminemos los parametros A,B.〈(x1−a1, x2−a2), (A,B)〉 = (x1−a1)A+ (x1−a1)2 B+ (x2−a2)2 A+ (x2−a2)3 B.Luego (x1 − a1)A+ (x1−a1)2 B + (x2−a2)2 A+ (x2−a2)3 B = x1 + 2x2 − a1 − 2a2.La igualdad anterior induce el siguiente sistema:A+ B2= 1A2+ B3= 2,cuyas soluciones son: A = −8 y B = 18.Lo anterior indica que:f( x1, x2)− f (a1, a2) = 〈(x1 − a1, x2 − a2), (−8, 18)〉.Es decir φ(x1, x2) = (−8, 18) = f ′(a1, a2).Surge un nuevo gradiente ∇f(a1, a2) = (−8, 18) relativo al producto interno definido.El lector puede notar el cambio de las derivadas en cada caso.¿Existira´ una relacio´n entreestas derivadas?.La funcio´n analizada anteriormente es lineal, en realidad el criterio funciona para funcionesno lineales, por ejemplo la funcio´n:f : (R2, 〈〉)→ R,f(x1x2) = x21 + x2donde el producto interno en R2es 〈x, y〉 = 2x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2, x = (x1, x2), y =(y1, y2), tiene como derivada en el punto a = (a1, a2) la siguiente funcio´n:φ(a1, a2) = (−1,+2a1,2 − 2a1).Tomemos ahora el caso de la derivada de una funcion de R2 en R3.Problema 6. Seaf : (R2 〈〉)→ (R3 〈〉)f(x, y) = (x− y, x+ y, 2x+ y,237Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´ticadonde 〈〉 es el producto usual en R2 y R3.Verifique si f es diferenciable en el punto (a, b).f(x, y)−f(a, b) = (x−y, x+y,2x+y)−(a−b, a+b, 2a+b) = (x−y−a+b, x+y−a−b, 2x+y − 2a − b) = ((x, y).(1,−1) + (a, b).(−1, 1), (x, y).(1, 1) + (a, b).(−1,−1), (x, y).(2, 1) +(a, b).(−2,−1)).Luegof(x, y)− f(a, b) = (〈(x, y)− (a, b), (1,−1)〉, 〈(x, y)− (a, b)), (1, 1)〉, 〈(x, y)− (a, b), (2, 1)〉).Una forma elegante de representar la expresio´n anterior es:f(x, y)− f(a, b) = ((x, y)− (a, b)) ·(1 1 2−1 1 1).Hemos logrado factorizar mediante el producto matricial y esto nos permite afirmar que:φ(x, y) = f ′(x, y) = f ′(a, b) =(1 1 2−1 1 1).Observacio´n. En este ejemplo surgue la matriz jacobiana de la funcio´nf(x, y) = (x− y, x+ y, 2x+ y)de una forma natural.Este ejemplo indica que se podria generalizar la definicio´n de diferenciabilidad a camposvectoriales.Problema 7.Seaf : (R2, 〈〉)→ (R2, 〈〉)f(m,n) = (m+ n,m− n),donde el producto interno es:〈x, y〉 = x1y1 + x1y22 + x2y12 + x2y23Aqui x = (x1, x2), y = (y1,y2).Calcular la derivada de f en el punto (a, b).238Relatividad de la derivadaf(m,n)− f(a, b) = (m+ n,m− n)− (a+ b, a− b)= (m+ n− a− b,m− n− a+ b)= (m− a, n− b) ·(A BC D)Debemos calcular los valores de A,B,C,D.Tenemos que:〈(m− a, n− b).(A,C)〉 = A(m− a) + C(m−a)2+ A(n−b)2+ C(n−b)3= m+ n − a− b.Lo anterior induce el siguiente sistema:A+ C2= 1A2+ C3= 1,cuya solucion es A = −2 y C = 6.De otro lado,〈(m− a, n− b).(B,D)〉 = (m− a)B + (m−a)D2+ (n−b)B2+ (n−b)D3= m− n− a+ bLo anterior induce el siguiente sistema:B + D2= 1B2+ D3= −1,cuya solucio´n es B = 10 y D = −18.Luego f(m,n)− f(a, b) = (m− a, n− b) ·(−2 106 −18).Esto indica que:φ(m,n) = f ′(m,n) = f ′(a, b) =(−2 106 −18).De todo lo anterior podemos concluir la siquiente definicio´n.Definicio´n. Sean (P1, 〈〉1) y (P2, 〈〉2), Espacios Prehilbert y la funcio´n:239Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´ticaf : (P1, 〈〉1) → (P2, 〈〉2).La funcio´n f es diferenciable en a ∈ P1 si:1) Existe una funcio´n φ : P1 → P2, continua en a tal que:f(x)− f(a) = (x− a)φ(x).(La operacio´n  depende de los productos internos 〈〉1),〈〉2).Bibliograf´ıa[1] ACOSTA, E., DELGADO, C., RODRIGUEZ, C. La Derivada de Catathe´odory,Matema´ticas:Ensen˜anza Universitaria. Vol. 2, No.2 1992, 31-38[2] STERLING K. Introduccio´n a los Espacios de Hilbert. Editorial Teide Barcelona.240

Relatividad de la derivada

http://funes.uniandes.edu.co/5739/1/MontoyaRelatividadGeometr%C3%ADa2007.PDF

Relatividad de la derivada

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Funes