Esta investigación es producto de una tesis de maestría (Moreno, 2008) y es referente a un análisis de tres libros de texto -principalmente usados- de Cálculo Vectorial en Ingeniería Electromecánica. Específicamente, se analiza el tratamiento que se le da al Teorema de la Divergencia (TD) en los libros de texto. El marco teórico referencial es la aproximación socioepistemológica. La metodología de análisis de los libros de texto es de tipo conceptual y estructural

Moreno, Gema

Funes

Categoría1.AnálisisdeldiscursomatemáticoescolarComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.239Resumen. Esta investigación es producto de una tesis de maestría (Moreno, 2008) y esreferenteaunanálisisdetreslibrosdetextoͲprincipalmenteusadosͲdeCálculoVectorialenIngeniería Electromecánica. Específicamente, se analiza el tratamiento que se le da alTeorema de la Divergencia (TD) en los libros de texto. El marco teórico referencial es laaproximaciónsocioepistemológica.Lametodologíadeanálisisdeloslibrosdetextoesdetipoconceptualyestructural.Palabrasclave:teoremadeladivergencia,análisisdelibrosdetextoIntroducciónLaexperienciahamostradoque,loscursostradicionalesdeCálculoVectorial,porlogeneral,hantenido un enfoque mayoritariamente teórico, centrado en procedimientos algorítmicos dederivacióne integraciónenvariasvariables.Estoha llevadoadescontextualizarydespersonificarlos conceptos y nociones en el cálculo vectorial, ocultándose de esta forma su primerasignificación. En especial el Teorema Fundamental del Cálculo Ͳpor ejemplo el Teorema de laDivergencia (TD)Ͳ posee poco o ningún significado natural en los alumnos que han cursado lamateria.Estadesvinculaciónconlasaplicacionesdeloscamposvectorialesharesultadoenqueunestudianteapruebe,sinquepuedaotorgarlealosdesarrollosteóricosdelcursounasignificaciónde naturaleza física, por ejemplo su vinculación con los conceptos relacionados alelectromagnetismooalamecánicadefluidos.Enparticular,estamosinteresadosenelTeoremadelaDivergencia,porserunageneralizacióndelTeoremaFundamentaldeCálculo(ensusversionesbiytridimensional).Además,esteresultadosustancialdelCálculoVectorial, involucraunagrancantidaddeconceptosynocionesdelmismo.Sucomplejidaddesdeelpuntodevistaepistemológicoy loshechosdidácticos implicadosensuaprendizaje,asícomo la fenomenologíaasociada,hacen fundamentalelestudiodel tratamientodelTeoremadelaDivergencia.ELTEOREMADELADIVERGENCIAENELÁMBITOESCOLAR.UNANÁLISISDELIBROSDETEXTOENINGENIERÍAGemaRubíMorenoAlejandriUniversidadAutónomadeGuerrero Méxicoalejandrigemath@gmail.comCampodeinvestigación: Socioepistemología Nivel: SuperiorActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.240Dadoelpapelprotagónicode los librosde textoenel sistemadeenseñanza,nos interesan laspropuestaspedagógicasexpuestasenellosparacontribuiralprocesodeaprendizajedelTD.Porlotanto,estainvestigaciónesreferentealprocesodedifusióndelsabermediantelafiguradelibrode texto Ͳpara lo cual hemos seleccionado tres libros de textoͲespecíficamente se aborda eltratamientodelTDenIngeniería.Esteescritopresentaresultadosdeunainvestigacióndetesisdemaestría(Moreno,2008).ReferenciasteóricasLaaproximaciónsocioepistemológica,buscaexplicarcómoseaprende,cómoseenseñayquéseenseña,paralogrardesarrollarelpensamientomatemáticodelosestudiantes,víaelrediseñodeldiscursomatemáticoescolar.Enparticular,nuestra investigaciónestarácentradaen lacuestión¿quéseenseña?Especialmente,nuestrainvestigaciónestudialasdiferenciasentreelobjetodelsaber(elTDcomosaber científico matemático) y el objeto de enseñanza (el TD como saber a enseñar).Concretamentenoslimitaremosaanalizarlibrosdetexto.Es oportuno destacar que aunque entre las actividades propuestas por los textos y las que seconcretan en las aulas existe un puente que es el docente, en este trabajo no se indaga, porejemplo, sobre los criteriosque siguen losdocentes almomentode seleccionar actividades. Elúnicodatoconelquesecuentaesqueellos,raramenteusandiseñospropiosparalasactividadeso bien raramente realizan una selección critica de los materiales, sino que los extraen de lostextos.Porlotanto,loslibrosdetextosonformasdepresentaciónrelativamentenuevas,productodesunaturalevolución,delprocesodetransposicióndidáctica,yqueademáshanborradolasfuentesomotivosdelorigendesusconceptos,asícomotambiénlastransformacionesquesehandadoenella.MetodologíadeinvestigaciónLaestructurametodológicadeestainvestigaciónsedesarrollódelaformasiguiente:Categoría1.AnálisisdeldiscursomatemáticoescolarComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.241× Un examen de las diversas investigaciones, sobre la didáctica del análisis, referente alcálculodiferencialeintegralenunaomásdimensiones;× InspeccióndelorigendelTeoremadelaDivergenciadeacuerdoalosresultadosdeGauss,deOstrogradskiiydeGreen,asícomosunaturalezamediantelafenomenologíaasociadaalamecánicadefluidosyelelectromagnetismo;× UnAnálisis de tres Libros de Texto de Cálculo Vectorialmás populares en la carrera deIngenieríaElectromecánicadelInstitutoTecnológicodeAcapulco(ITA).Noobstante,debidoa la particularidad del Teorema de la Divergencia, ha sido necesario rediseñar unametodologíaquecumplanuestrasexpectativasque,porun lado,evidencie laestructura,yporotro, losdistintosenfoquesconceptualesde losautores.Por lo tanto, lametodologíaempleada–unaadaptacióndelasmetodologíasdeGonzálezySierra(2004)ydeCastañeda(2003)Ͳcomprendedostiposdeanálisis:unoestructuralyelotroconceptual.× Finalmente,abordamosconclusionesdelosresultadosdelanálisisdeloslibrosdetexto.AsícomoalgunasconsideracionesreferentesalaenseñanzadelCalculoVectorial.ResultadosdelainvestigaciónObservamos, en nuestra investigación, que los libros de texto abordados, tomando comoreferenciaalTeoremade laDivergencia,acusandeficiencias tantoen losaspectosconceptualescomoenaquellosrelacionadoscon ladebidacontextualizaciónde lossaberes.Enconsecuencia,algunosdeloscursosdelciclobásicosereducenaunarepeticióndeprocedimientosmecánicos,yolvidanlaimportanciadeunareflexiónteóricaseriaydeunamotivaciónpreviaqueseñaleeltipodeproblemasaplicadoshacia loscualesdichosprocedimientosapuntan.Entreotros,algunosdelosresultadossonlossiguientes:× Elusodelatecnologíaespocoaprovechadoparalacomprensióndeestetema.Porejemplo,elTeoremade laDivergenciapotenciauna resignificación–del tipogeométricoy físicoͲdelconceptodedivergenciaadquiridoapartirdesudefinición.Aesterespecto,sólounodeloslibrosrescataestaidea(Stewart,2004).ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.242× La visualización es una parte poco explorada en los tres libros de texto. Los gráficos quesurgen como parte de la explicación del teorema y su demostración –en el caso deexplicitarlaͲ sólohacen referenciaa la regióndonde se integrará,haciendo casoomisodelprocesoinmersoenlaigualdadpropuestaenelTeoremadelaDivergencia.× En los tres libros, lamayoríade los ejemplos y/o ejercicios imponen énfasis en la ventajaoperativa de la conversión de una integral de superficie a una integral de volumen, oviceversa. Los ejercicios propuestos en los libros de texto raramente obligan a tomardecisionessobrelosprocedimientosqueseutilizanparahallarlasolución.Tienenlaintenciónde mecanizar ciertos procedimientos que luego pueden ser utilizados en la resolución deproblemas. Además de que no hay ejercicios que pongan a prueba la necesidad de lashipótesisdelteorema,reduciéndoseasíalaejercitacióndelteoremacomounasimplereglacuyaimplementaciónconvierteuntipodeintegralaotro.Losproblemassiempretienenunasolarespuestacorrecta.Sóloseaprendeunaformacorrectadesolucionarcadaproblema:laqueellibroexponecomoejemplos.× Enloslibrosanalizados,losejemplosy/oejerciciosdeaplicacionessiempreaparecenalfinaldeldiscurso intentandodotardesentidoal teorema,pareciendoestoun tantoartificial.Lamayoría de los problemas están descontextualizados de la realidad porque planteansituacionesartificiosasyutilizandatosatemporales.Hacefaltaejemplosy/oejercicios,enlamedidadeloposible,sacadosdelarealidadycontextualizadosalaépocatecnológicaactual.× Algomuy rescatable y loablededosde los libros (Stewart,2004;Thomas,2006)es: a) suproyectodeinvestigaciónhistóricaalqueincluiríamos,deigualforma,investigaciónsobreelorigen del Teorema de la Divergencia y sus personajes involucrados; y de maneracomplementaria,losproyectosaplicacióntecnológica,loscuálessepuedenenriquecerconundiseñodeactividadesque llevenal lectoraexplorardeformasistemática lageometríay losvariacionaldelosconceptosyteoremasimplicados.× Excepto en un libro de texto (Marsden y Tromba, 2004) es hasta el último capítulo queintroducentodaslaherramientasnecesariasparaestablecerelteorema(camposvectoriales,divergenciadeuncampo,superficieparametrizadase integraldesuperficie).Encambio,elotrolibrointroduceladivergenciadesdeelcapítulo4,convirtiéndoseenunelementonotanextrañoparaellectoralllegaralcapítulo8(dondedeenunciaelTeoremadelaDivergencia).Categoría1.AnálisisdeldiscursomatemáticoescolarComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.243Sin embargo, existe el riesgo de que la distancia –en términos de la apariciónͲ entre lasdefiniciones,losteoremasinvolucradosyelteoremamismo,dificulteunavisiónsistémicadelTeoremadelaDivergencia.× Una constante en los tres libros de texto analizados es la complejidad implicada en elsignificadoͲinterpretación de las expresiones simbólicas empleadas en el enunciado delTeoremadelaDivergencia.× En los trescasos, lasdefinicionessiempreaparecenapriori,deahísearticula laestructuralógicadeenunciadosque llevana laenunciacióndelTeoremade laDivergencia.Deahíquenos surjan preguntas como: ¿Será posible hacer un libro de texto de cálculo dónde lasdefiniciones y teoremas se establezcan a posteriori, es decir, como interpretación defenómenos estudiados previamente (a manera de modelación matemática)? ¿Qué tanfactible sería cambiar la aplicación por modelación? ¿Rescataría esta nueva visión lossignificados inmersos en el Teorema de la Divergencia ocultados por el proceso deTransposiciónDidáctica?ConclusionesDesdeelanálisisdel librodetexto,tomandoencuentaelcarácterprotagónicodeésteeldiseñode clase, concluimos que el tratamiento del TD se presenta con carácter más bien teóricoͲalgorítmicoquevinculadoa lafenomenologíaextraͲmatemática implicadaenelmismo.Estetipode tratamiento, en general, propicia que los contenidos del Cálculo Vectorial parezcandesvinculadosdelcuerpodemateriasespecíficasdelacarrera.Podemos concluirque lamatemáticadebe serpresentadaa losalumnos comoun conjuntodeconocimientos que han evolucionado en el transcurso del tiempo y que continuaránevolucionandoenelfuturo.Laelaboraciónde losconceptosyprocedimientoseselresultadodeunlargoproceso.Lahistoriadelasmatemáticasmuestracómoaparecenlasteoríasmatemáticas,habitualmenteenelcontextoderesolucióndeunproblemaogrupodeproblemasysuevolución;lapresentaciónfinalenloslibrosdetextoenmascaraesteproceso.Nosolamentesucedeestoconlosconceptos,sinotambiénconlosprocedimientos:lahistoriamanifiesta,porponerunejemplo,cómoha variado la exigenciade lo considerado comounademostración rigurosa, “loquehoyActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.244puedeserclasificadocomounargumentonoriguroso,fueaceptadohacedoscientosañoscomotal;estonospuedeayudarennuestraenseñanzaacomprenderlasdificultadesdelosestudiantesenordenaestablecerloqueesunademostración”(Sierra,2000,p.96).Otrareflexión,esquelaexploracióndelahistorialepuedeayudaralprofesorenlapresentacióndel contenido, también a descubrir los obstáculos y dificultades que se han presentado en eldesarrollo del conocimiento, así como “dar la visión de la actividad matemática como unaactividadhumanaincardinadaenelcontextosocioͲculturaldecadaépoca”.Yporotrolado,paralosalumnos, lahistoriade lamatemáticapuedesentar lasbasesparauncambiodevisiónsobrelasmismas,en laque “lasmatemáticasabandonen su condiciónde torredemarfil,deedificioacabado,restableciéndosesuestatusdeactividadcultural,deactividadhumana,a lavezque lesayudaensumotivaciónparaelaprendizaje”(Sierra,2000,p.96).En esta misma dirección, dada la importancia del Cálculo Vectorial en las asignaturas de laespecialidadElectromecánicaenIngeniería,enalgunamedidalosatributosdelquehacercientíficodeberían imponersuespírituen lasclasesdematemáticas.Deberíamosencontrarrelaciónentrelasactividadesresueltasen los librosdetextoy lostópicosde lasasignaturasde laespecialidad.Los libros de texto proponen la realización de actividades en las que los rasgos del quehacercientíficoaparecenconbajafrecuencia.Porotraparte,lasestrategiasderesoluciónaparecenmuypautadasmediante losejemplos loquepermiteconcluirque,porun lado,nosedaespacioa lainiciativa y a la creatividad del alumno y, por otro, se contribuye a distorsionar la imagen delcientífico,presentandosutrabajocomoalgomuyestructuradoyalgorítmico.EnpalabrasdeIslasyGuridi (1999,p.283), “el rigor cuantitativo requiere imprescindiblementedel rigor cualitativo,conceptual, para llenar de significado una forma que, de otro modo, esta vacía de contenidofáctico”.Esta investigación apela a la conexión entre teoría y realidad que debería promoverse en losestudiantes. Un puente muy prometedor a este respecto es la visualización. Tocante a esteaspecto, la computadora permite establecer imágenes visualesde los fundamentosdel Cálculoque enriquecen el repertoriode imágenesmentalesdando almismo tiempouna imagende laMatemáticacomounaactividadcientíficaconstructiva.Lasconstruccionesporpartedelestudiantepuedenser inducidasporcomputadorasmedianteelusodesoftwarequepermitamanipularvisualmente ideasmatemáticasyreflexionarsobreellas.Categoría1.AnálisisdeldiscursomatemáticoescolarComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.245También,ofrecenlaposibilidaddedarunaexistenciamenosabstractaaciertasideasmatemáticasparalasquenosedisponendesoportesfísicosadecuadosyqueasísepuedenmanipularytratarcomo objetos, o más allá del contexto visual, mediante la programación de construccionesmatemáticas en un lenguaje computacional que actúe paralelamente a la construcción de losprocesosmatemáticossubyacentes.Porloanterior,sugerimoslaexplotacióndelosrecursostecnológicosparaincitareldesarrollodelavisualizaciónenelaprendizajedelCálculoVectorial,enparticulardelTeoremadelaDivergencia.Por ejemplo, mediante las herramientas de simulación y modelación– ANSYS por mencionaralgunaͲqueproveenunambientevirtualparaelaprendizajeayudandoenelentendimientodelosfenómenos físicospresentesen lamecánicade fluidosysu interaccióncon lamediciónde flujo(MoncadaͲBenavidesyMoralesͲMontes,2003;Vargasetal,2005).Así, la investigación planteada enfatiza la reconstrucción de una didáctica del Teorema de laDivergenciaquepermitaalalumnohallarsentidoymotivaciónparaelestudioycomprensióndeésteteorema.Apelamosa lacreacióndeunagénesisficticiade losconceptos involucradosenelTeorema de laDivergencia con el propósito de facilitar su enseñanza. En otras palabras, es aldocente que le corresponde realizar “una recontextualización y repersonificación del sabercientífico,[…buscando]situacionesquedensentidoalosconocimientosporenseñar”(Brousseau,1997).EstoremarcalatendenciahacialareconstruccióndeunadidácticadelTeoremadelaDivergenciabasadamásenlasintuicionesyenlavivenciascotidianasdelosalumnos,medianteacercamientosfenomenológicos, por lo que se atiende más al fenómeno en su relación con el conceptomatemáticoquealconceptoensí(Cantoral,1991).ReferenciasBibliográficasBrousseau,G. (1997). Losdiferentes rolesdelmaestro.EnC.Parray I.Saiz (Eds.),DidácticadeMatemáticas.Aportesyreflexiones.(pp.64Ͳ94).BuenosAires:Paidós.Cantoral, R. (1991) Proyecto de investigación: Formación de la noción de función analítica.Mathesis7(2),223Ͳ239.ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa22ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.246Castañeda,A. (2003) Un acercamiento a la construcción social del conocimiento: estudio de laevolucióndidácticadelpuntodeinflexión.Tesisdoctoralnopulicada.Cinvestav,México.González,M.ySierra,M.,(2004)Metodologíadeanálisisde librosdetextodematemáticas.Lospuntos críticos en la enseñanza secundaria en España durante el siglo XX. Enseñanza de lasCiencias22(3),389Ͳ408.Islas,S.yGuridi,V. (1999)Elquehacercientíficoversuselquehaceráulico.Buscandorasgosdelquehacercientíficoenlibrosdetexto.Enseñanzadelasciencias,17(2),281Ͳ290.Marsden,J.yTromba,A.,(2004)CálculoVectorial.México:PearsonAddisonWesley.MoncadaͲBenavides,D.,yMoralesͲMontes,H.,(2003)Aplicaciónprácticadeladinámicadefluidoscomputacional(DFC)enlamedicióndeflujodefluidos.Tecnología,CienciayEducación18(2),57Ͳ66.Moreno,G.(2008)ElTeoremadelaDivergenciaenelÁmbitoEscolar.UnAnálisisdeLibrodeTextoenIngeniería.TesisdeMaestríanopublicada.UniversidadAutónomadeGuerrero,México.Sierra,M.,(2000)Elpapeldelahistoriadelasmatemáticasenlaenseñanza.En:A.Martinón(Ed.),LasmatemáticasdelSigloXX.Unamiradaen101artículos.(pp.93Ͳ96).España:NivelaStewart,J.,(2004)CálculoMultivariable.México:ThomsonLearning.Thomas,G.,(2006)CálculoVariasVariables.México:Pearson.Vargas, W., Riaño, C., y Pineda, L. 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El teorema de la divergencia en el ámbito escolar: un análisis de libros de texto en ingeniería

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El teorema de la divergencia en el ámbito escolar: un análisis de libros de texto en ingeniería

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