El propósito de este curso es el de compartir algunas reflexiones relacionadas con la estrategia metodológica de resolución de problemas matemáticos, revisar las ideas de Polya (1990), Schoenfeld (1985), del informe PISA, de la NCTM y especialmente el enfoque “Open  Ended” (Becker y Shimada, 2005) utilizado por los japoneses en el aula. También se describen aspectos históricos de la utilización de tecnologías digitales en el proceso de resolución de problemas, principalmente las estrategias utilizadas por investigadores en inteligencia artificial

De Faria, Edison

Funes

ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.32ALGUNASREFLEXIONESSOBRERESOLUCIÓNDEPROBLEMASENMATEMÁTICASEdisonDeFariaCamposUniversidaddeCostaRica CostaRicaedefaria@cariari.ucr.ac.crCampodeinvestigación: Resolucióndeproblemas Nivel: Medio,superiorResumen.Elpropósitodeestecursoeseldecompartiralgunasreflexionesrelacionadasconlaestrategiametodológicaderesolucióndeproblemasmatemáticos,revisar las ideasdePolya(1990),Schoenfeld (1985),del informePISA,de laNCTMyespecialmenteelenfoque“OpenͲEnded”(BeckeryShimada,2005)utilizadoporlosjaponesesenelaula.También se describen aspectos históricos de la utilización de tecnologías digitales en elproceso de resolución de problemas, principalmente las estrategias utilizadas porinvestigadoreseninteligenciaartificial.Palabrasclave:resolucióndeproblemasIntroducciónApartirdeladécadadelos60laresolucióndeproblemasharecibidounenormeimpulso,especialmente en la educación matemática. En el documento Agenda para la acción(1980) del Nacional Council of Teachers of Mathematics (NCTM), la resolución deproblemasfuecolocadacomoelfocode laeducaciónmatemáticapara ladécadade los80.En losdocumentoselaboradospor laNCTMen1989yenel2000, la resolucióndeproblemasrecibióundestaqueespecial.Enlosestándaresparalamatemáticaescolar,laresolución de problemas es considerada como parte integral del aprendizaje de lamatemáticayseconsideraquelosestudiantesdetodoslosnivelesdelsistemaeducativodeberíanserpreparadosparaconstruirnuevosconocimientosmatemáticosmediante laresolucióndeproblemas; resolverproblemasqueaparecenenmatemáticasyenotroscontextos; aplicar y adaptar varias estrategias para resolver problemas; monitorear yreflexionarsobreelprocesoderesolverproblemasmatemáticos.Un importanteconceptoen resolucióndeproblemaseseldeheurística.Heurísticasonmétodosexploratoriospara resolverproblemasy,utilizadacomosustantivo,significaelCategoría1AnálisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticasComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.33arteolacienciadeldescubrimiento.Comoadjetivoserefiereacosasmásconcretascomoestrategias heurísticas, reglas heurísticas, silogismos heurísticos. Son estrategias queguíaneldescubrimiento.La noción de heurística se le atribuye a Pappus (300 D. C.). Él propuso una rama deestudios denominada “analyomenos” o “el tesoro del análisis” o “el arte de resolverproblemas”.Encienciascomputacionales(ANSI/IEEEEstándar100,1984),heurísticasonmétodosoalgoritmosexploratoriosdurantelaresolucióndeproblemasenloscualeslassoluciones sedescubrenpor la evaluacióndelprogreso logrado en labúsquedadeunresultado final (búsquedaheurística).Como adjetivo caracteriza técnicaspor las cualesmejoraenpromedioelresultadodeunatarearesolutivadeproblemas.Sedicequehaybúsqueda ciega, búsqueda heurística (basada en la experiencia) y búsqueda racional(usandointeligencia).Lapsicologíahapropuestoqueunaheurísticaesunareglasencillayeficientepara explicar cómo tomandecisiones laspersonas, como llegan aun juicioosolucionan un problema. Puede considerarse como un atajo a los procesos mentalesactivos,ahorrandooconservandorecursosmentalesperoquepuedeconduciraerroresenlatomadedecisiones.ParaPolya,valelapenautilizartalesrecursosaúnconsiderandolos riesgos mencionados. Su argumento es que si tomamos una conclusión heurísticacomo una certeza entonces podemos equivocarnos y sentirnos engañados, pero sirechazamos completamente las conclusionesheurísticasentoncesno lograremoshacerningúnprogresoenelprocesoderesolucióndelproblema.Lamentablemente,cuandounresultadomatemáticoespublicadoenrevistascientíficas,se oculta el razonamiento heurístico llevado a cabo por el matemático antes deobtenerlo.Pero,desdeelpuntodevistadelaprendizaje,esterazonamientoheurísticoesbastanteimportante.Polya presenta su teoría heurística a través de una serie de preguntas e instruccionesseguidasde varios ejemplosdeproblemas ypropone elmétodode cuatropasosparaActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.34resolverproblemas:comprenderelproblema;crearunplan;ejecutarelplanyfinalmenteexaminar lo hecho (Polya, 1990). Posteriormente él publicó su obra “Matemáticas yRazonamientoPlausible”endostomos:enelprimertomoélpresentavariosejemplosdeproblemas resueltos mediante inducción o analogía mientras que el propósito delsegundotomoeraeldedeterminarsiexisteonounalógicadelainducciónouncálculode credibilidad para las hipótesis y propone el siguiente silogismo heurístico: implica  y es verdadera entonces  es más digna de créditoA B B A , factible o plausible(Polya,1966).Así,si A B ysilogramosprobarque B esverdadera,entonces,despuésdeesademostración,laconjetura A esmáscreíblequeantesdelademostraciónde B ,aunquenopodemosgarantizarque A seaverdadera.AestepatrónPolyalollamapatrónfundamentalinductivo.Otra excelente obra de Polya con Szego consiste en los dos tomos de problemas yteoremas en análisis (Problems and theorems in análisis, 1976) con problemas queconstituyenunverdaderoretoparaloslectores.Coneldesarrollode la cienciade la computaciónaumentael interésenelprocesoderesolución de problemas con la ayuda de las computadoras. Entre los primerosinvestigadoresque intentaronconstruirprogramas inteligentespararesolverproblemasse encuentran Newell y Simon (1959, 1972). Su primer programa conocido, el “LogicTheorist”, intentabademostrarafirmacionesutilizandoreglasde la lógicadepredicados.Eléxitodelprograma fueenormepues,enel casode teoremas, lograbaproducirunademostración generalmente más directa, más corta que las encontradas en libros delógica. En 1957 Simon yNewell crearonunprograma computacional conocidopor sussiglas como GPS (General Problem Solver), una máquina universal para resolverproblemas.Laideaesquecualquierproblemaquepudieraserescritoenformasimbólicapudieraserresueltopor laGPS:demostracionesdeteoremas,problemasgeométricosyjuegosdeajedrezentreotros.Unproblemasedefinecomounasituaciónen lacualunindividuodeseahaceralgo,perodesconoceelcursodelaacciónnecesariaparalograrloCategoría1AnálisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticasComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.35quequiere(NewellySimon,1972).Elentusiasmoinicialdebidoaléxitodelaestrategiasefue apagando, y no debido a la falta de capacidad computacional sino debido a laprofundidaddelosproblemasteóricos.Ladificultadfundamentalesqueestrategiaspararesolver problemas generales son limitadas. El ser humano utiliza conocimiento dedominioespecíficopararesolverproblemasendiferentescontextosmientrasqueelGPSteníaestrategiasbastante generalesperodébiles.Para fortalecerlohabríaque agregarconocimientosdedominioespecíficopararesolverproblemas,posiblemente,detodaslasáreas, lo que es una tarea imposible. En 1967, 10 años después de haber empezado,Newell anuncióque elprogramaGPShabía terminado.Debido a ladificultadde crearmáquinas inteligentes de propósito general, una alternativa consiste en intentardesarrollar máquinas que imiten el desempeño humano en dominios restringidos delconocimiento.ElprimerintentoseriodeaplicaresteenfoquealternativoseconocecomoMicromundos. La teoríadetrásdeMicromundos fueelprimerpasoenel campode lainteligenciaartificialparaproducir inteligenciaenunambienterestringido.Otra líneadeinvestigaciónfructíferaen inteligenciaartificiales laquetratadesistemasexpertosquejueganalgún tipode juego,comoporejemploelajedrez.Elcasomás famoso fueeldeDeepBlue,unacomputadora IBMquevencióalcampeónmundialGaryKasparov.Esteprogramapuedeprocesar200.000.000demovimientos antesdedecidir la jugadaquehará.En la década de los ochenta del siglo pasado, Schoenfeld (1985) escribió una obraimportanteenelcampoderesolucióndeproblemasmatemáticos.Élrealizóexperienciascon estudiantes y profesores en las que les proponía problemas a resolver. Losestudiantes tenían los conocimientospreviosnecesariosparaafrontar su solución y losprofesoresteníanlaformaciónpreviaparahacerlo.Schoenfeldobservabacómoactuabanlosestudiantesylosprofesoresdurantelaresolucióndeproblemas,losfilmaba,grababayanotaba sus observaciones. Un hallazgo de estos experimentos fue que las heurísticasplanteadasporPolyanoeransuficientesparateneréxitoalresolverproblemasypropusoActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.36cuatroestrategiasnecesariasparaunresolutordeproblemasdematemática:losrecursos(conocimientosprevios); lasheurísticas; control (distribuciónde los recursosduranteelproceso, la forma de utilizar la información para resolver el problema que incluye elmonitoreodelprocesoylatomadedecisiones.Unmonitoreonoefectivopuedellevaralfracasomientrasqueelprocesoopuestomejora laposibilidaddeéxito)yelsistemadecreencias(delprofesor,delosestudiantesylascreenciassociales).Schoenfeldargumentaquelascreenciasacercadelanaturalezadelasmatemáticas,laenseñanza,elaprendizaje,derivadosdelasexperienciasenelaulaofueradeella,influyendurantelaresolucióndeproblemas.AlgunasiniciativasactualesEl Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes (Programme for InternationalStudentAssessment,PISA/OCDE)cuyoobjetivoprimordialeseldedesarrollarindicadoresque expresen el modo en que los sistemas educativos de los países participantes hanpreparado a sus estudiantes de 15 años para desempeñar un papel activo comociudadanosen lasociedad,contieneundominiodenominadoAlfabetizaciónMatemática(Mathematical Literacy) relacionado con la formulación y resolución de problemasmatemáticos en una variedad de dominios y situaciones (http://www.pisa.oecd.org/).Para ellos la resolución de problemas es una parte central del currículo explicitan lascaracterísticasdeunproblemamatemáticoenesteámbito:x Unasituacióncontextualizada,ubicadaenlarealidad,quepodríaocurrirenlavidadel estudiante o bien una situación que el estudiante pueda identificar comoimportante para la sociedad. Utilizar y hacer matemáticas en una variedad desituacionesycontextosesunaspectoimportantedelaAlfabetizaciónMatemática.x Unasituaciónquenopuedeserresueltamedianteaplicacionesdeprocedimientosrutinarios que el estudiante haya estudiado o bien practicado en el aula y queCategoría1AnálisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticasComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.37invitealestudianteamoverseentredistintas representacionesyaexhibirciertogrado de flexibilidad en la forma en que accede, administra y evalúa lainformación. Además es importante resolver diferentes tipos de problemasmatemáticosmedianteunadiversidaddevías.x Requiereconexionesentrecontenidosdediversasáreas.En la evaluación utilizada en PISA 2003 se requirió que los estudiantes demostraranhabilidad para comprender el problema, identificar las variables involucradas en elproblemaysus interrelaciones; representarelproblemamediantedistintos registrosderepresentación(tabular,gráfico,simbólico,verbal);resolverelproblema, loquerequeríatomardecisionesodiseñarunsistemapertinenteobienhacerdiagnósticoyproponerunasolución;proporcionarsentidoa lasoluciónmatemática,entérminosde lasituaciónrealinicial y, finalmente, comunicar la solución del problema, seleccionando para ello losmediosylasrepresentacionesapropiadas.En la década de 1970 se impulsó en el Japón la investigación sobre resolución deproblemas.Por logeneral, losproblemas tradicionalesutilizadosenmatemática sonderespuestacorrectaúnicaysonconocidoscomo“completos”o“cerrados”.Losproblemasquepermiten varias respuestas correctaso losquepermitenelusode variosmétodospara obtener la única respuesta correcta se denominan “abiertos”. El enfoque “OpenͲEnded”utilizadoenlasescuelasjaponesasconsisteen(BeckeryShimada,2005):x Presentarunproblema“abierto”alosestudiantes.x Dareltiempoapropiadoparaqueellostrabajenindividualmenteoengruposenlabúsquedadelasrespuestascorrectasalproblema.Lametaesqueelloslogrenencontraralgonuevoenelproceso.x Compararlassolucionesobtenidas,argumentar,buscarjustificativasparalassolucionesencontradas,discutir,formularpreguntas.ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa21ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.38Por lo general las lecciones en las instituciones educativas japonesas son desarrolladasalrededordeunaúnicaideacentralqueescuidadosamentedesarrolladayextendida.Elprofesor,quién sirvedeguíay soportepara losestudiantesen lasetapasanteriores,buscanuevasideasycierralalecciónconlosaspectosteóricos,tomandoencuentatodoslosaportesdadospor losestudiantes.Lasventajasdeesteenfoqueson: losestudiantesparticipan más activamente en las lecciones y expresan sus propias ideas; tienen másoportunidades para utilizar su conocimiento y habilidades matemáticas; se estimula lacreatividadenelaulayeltrabajocolaborativoentre losestudiantes;cada lecciónpuedeproporcionar ricas experiencias cognoscitivas a los estudiantes y sube el autoestimacuando un estudiante recibe la aprobación de sus colegas. La principal desventaja delenfoqueconsisteen ladificultadendiseñarproblemasabiertosquesean interesantesyfactiblesdeserdesarrolladosenunalección.Lasprincipalescaracterísticasenuna leccióndematemáticaenescuelas japonesas son:relación explícita entre los temas tratados en la lección o en otras lecciones (mayorcoherencia e integración cognoscitivas); más tiempo dedicado a temas matemáticosimportantes;mayor tiempo de trabajo en actividades no rutinarias, nuevas soluciones,aplicaciones;másconceptosdesarrolladosqueaquellossoloestablecidos.ConclusionesEn el curso tratamos con aspectos teóricos e históricos acerca de la resolución deproblemas y planteamos varios tipos de problemas matemáticos, algunos de ellos sonproblemas que aparecieron en distintas olimpiadas matemáticas regionales ointernacionales. También ejemplificamos tipos de problemas que siguen el enfoque“OpenͲEnded”utilizadoenlasescuelasjaponesas.Categoría1AnálisisdelcurrículumypropuestasparalaenseñanzadelasmatemáticasComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C.39ReferenciasbibliográficasBecker, J., Shimada, S. (2005). TheOpenͲEndedApproach:Anewproposal for teachingmathematics.Reston,Virginia:NationalCouncilofTeachersofMathematics.NacionalCouncilofTeachersofMathematics(1980).Anagendaforaction:Directionsforschoolmathematicsforthe1980s.Reston,VA.NacionalCouncilofTeachersofMathematics(1989).CurriculumandEvaluationStandardsforSchoolMathematics.Reston,VA.NacionalCouncilofTeachersofMathematics(2000).PrinciplesandStandardsforSchoolMathematics.NCTM.Reston,VA.Newell,A.,Shaw,J.C.,Simon,H.A.(1959).ReportonageneralproblemͲsolvingprogram.ProceedingsoftheInternationalConferenceonInformationProcessing.Pp.256Ͳ264.Newell,A.,Simon,H.A.(1972).Humanproblemsolving.EnglewoodCliffs,N.J.:PrenticeͲHall.Polya,G.(1990).Cómoplantearyresolverproblemas.México:Trillas.Santos Trigo, L. M. (1997). Principios y métodos de la resolución de problemas en elaprendizajedelasmatemáticas.(Segundaedición).México:GrupoEditorialIberoamérica.Polya,G.(1966).Matemáticasyrazonamientoplausible.Madrid:Tecnos.Polya,G.ySzego,G.(1976).Problemsandtheoremsinanálisis.NewYork:Springer.Schoenfeld,A.(1985).MathematicalProblemSolving.Orlando,USA:AcademicPress.

Algunas reflexiones sobre resolución de problemas en matemáticas

http://funes.uniandes.edu.co/4890/1/DefariaAlgunasALME2008.pdf

Algunas reflexiones sobre resolución de problemas en matemáticas

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