Breve introducción al análisis de regresión y a la transformación de algunos problemas no lineales en problemas lineales. Aplicación al caso de la población de Costa Rica como función del tiempo

Acuña, Luis

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Luis A. Acuña P.

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Análisis de regresión para la población de Costa Rica.

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ArtículoRevista digital Matemática, Educación e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 13, No 1. Agosto − Febrero 2013.Análisis de regresión para la población de Costa Rica.Luis A.Acuña P.lacuna@itcr.ac.crEscuela de MatemáticaInstituto Tecnológico de Costa RicaResumen. Breve introducción al análisis de regresión y a la transformación de algunos problemas no lineales en problemaslineales. Aplicación al caso de la población de Costa Rica como función del tiempo.Palabras clave: Regresión, regresión lineal, regresión no lineal, predicción, crecimiento exponencial.Abstract. Short introduction to regression analysis and the transformation of some non-linear problems to linear problemas.Application to the case of Costa Rica’s population as a function of time.KeyWords: Regression, linear regression, non-linear regression, prediction, exponential growth.1.1 Qué es la regresiónEl análisis de regresión es una técnica estadística que permite encontrar una ecuación que aproxime una variablecomo función de otras. Típicamente, las variables son atributos de los individuos en una población, y el análisistrabaja a partir de los valores de los atributos para alguna muestra de individuos. La variable que se escribe comofunción de las otras se llama resultado, y las otras son los predictores. La regresión simple se usa cuando hay un solopredictor.Como ejemplo de esto, al relacionar la edad x en años con la estatura y en centímetros para niños menores dedoce años, se busca una función y = f (x). Si además la función buscada es lineal, y = a+ bx, entonces se habla deregresión lineal simple.Uno de los usos más comunes de la regresión es el de predecir el valor de y para un valor de x que no estéen la muestra. Por ejemplo, suponga que a partir de una muestra de niños con edades respectivas 3, 5, 6, 8, 9y 11, en años, se ha encontrado la ecuación y = 82.6 + 5.8x para la estatura en centímetros como función de laedad. Entonces se puede usar esa ecuación para predecir la estatura de un niño de 12 años: x = 12 resulta eny = 82.6 + 5.8(12) ≈ 152 cm, y esa es la estatura estimada a los doce años. El análisis de regresión lineal simple hasido estudiado profundamente y sus mayores problemas ya están resueltos. Incluso muchas calculadoras de bolsillopueden calcular los coeficientes a y b en la ecuación y = a+ bx, a partir de algunos datos muestrales.Cuando la regresión simple no es lineal, se habla de regresión no lineal simple, y este no es un problema que esté com-pletamente resuelto. Para algunos casos particulares, sin embargo, existen técnicas para transformar un problemano lineal en uno lineal, en el que se puedan aplicar los resultados existentes de la regresión lineal. En las siguientessecciones se darán dos ejemplos de esto. Si el resultado y es función de varios predictores, entonces el problema esde regresión múltiple, que también puede ser lineal o no lineal. En regresión lineal múltiple, el resultado y se escribecomo función lineal de los predictores x1, x2, . . . , xn, en la forma y = b0 + b1x1 + b2x2 + · · ·+ bnxn.2 Revista digital Matemática, Educación e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 13, No 1. Agosto− Febrero 2013.El problema de regresión lineal múltiple también es bien conocido y presenta pocas dificultades. En particular, laregresión polinomial, en la que se busca escribir un resultado y como función polinomial de uno o varios predictores,puede transformarse fácilmente a uno de regresión lineal múltiple. Como ejemplo concreto, considere el problemade encontrar una ecuación cuadrática y = at2 + bt+ c que exprese el resultado y en términos del predictor t. Si sedefinen dos nuevas variables x1 = t y x2 = t2, entonces la ecuación se convierte en y = ax2 + bx1 + c, que tiene laforma usual en regresión lineal múltiple.1.2 Un ejemplo: Temperatura de agua enfriándoseLa siguiente tabla muestra la temperatura, en grados centígrados, de agua en un recipiente mientras se enfríadurante varios minutos (“Min” es el número de minutos transcurridos).Min Grados Min Grados Min Grados Min Grados0.00 97.0 3.30 79.0 11.28 56.0 18.25 46.50.43 95.0 4.43 74.0 13.18 53.0 21.55 43.51.10 90.0 6.27 68.0 15.00 50.5 24.72 41.02.42 83.0 8.88 61.0 16.35 49.0 34.55 35.5Tabla 1.1Se denotará con x al tiempo en minutos y con y a la temperatura. En el siguiente gráfico se observa que la relaciónentre las variables x y y es aparentemente exponencial (con base menor que 1), pero trasladada hacia arriba. Enefecto, es de esperar que conforme x→∞, el valor límite de y no será 0 como en una exponencial decreciente, sinoque la temperatura límite convergerá a la temperatura ambiente.Figura 1.1 Temperatura como función del tiempoSi se denota con TA esa temperatura ambiente, entonces puede conjeturarse que la ecuación que expresa y comofunción de x tiene la formay = abx + TAdonde a y b son constantes por determinar. La ecuación anterior puede convertirse en lineal de la siguiente manera:Análisis de regresión para la población de Costa Rica. Luis A.Acuña P.Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)Revista digital Matemática, Educación e I nternet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 13, No 1. Agosto− Febrero 2013. 3y = abx + TAy− TA = abxln(y− TA) = ln(abx)= ln a+ x lnby1 = a1 + b1xdonde y1 = ln(y− TA), a1 = ln a y b1 = lnb.Luego de un poco de prueba y error1 se encuentra que una buena estimación para la temperatura ambiente esTA = 31.5. Entonces se obtiene una nueva tabla de valores para x (que sigue siendo el número de minutos) yy1 = ln(y− 31.5):x y1 x y1 x y1 x y10.00 4.1821 3.30 3.8607 11.28 3.1987 18.25 2.70810.43 4.1510 4.43 3.7495 13.18 3.0681 21.55 2.48491.10 4.0690 6.27 3.5973 15.00 2.9444 24.72 2.25132.42 3.9416 8.88 3.3844 16.35 2.8622 34.55 1.3863Tabla 1.2Al graficar esos puntos se nota que ellos son casi colineales, lo que significa que la regresión lineal sí dará unaaproximación muy cercana.Figura 1.2 y1 = ln(y− 31.5) como función de xDe hecho, el análisis de regresión lineal para y1 como función de x resulta en los coeficientes a1 = 4.13295 yb = −0.078626. Recordando que a1 = ln a y que b1 = lnb, se despejaa = ea1 = 62.3619 y b = eb1 = 0.924385Finalmente, la ecuación y = abx + TA se convierte enTemperatura = 62.3619 · 0.924385Minutos + 31.51Se calcula el coeficiente de correlación lineal entre x y y1 para varios valores de TA, buscando alguno que dé un coeficiente muy cercano a 1. . .o más bien a −1, ya que la relación es decreciente.4 Revista digital Matemática, Educación e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 13, No 1. Agosto− Febrero 2013.Al graficar los puntos en la figura 1.1 junto con esta ecuación se comprueba que efectivamente la ecuación describelas observaciones muy precisamente.Figura 1.3 Regresión para la temperatura como función del tiempo1.3 Evolución de la población de Costa RicaEn la figura 1.4 se ve la evolución de la población de Costa Rica, entre los años 1522 y 2000, según datos del InstitutoNacional de Estadística y Censos.Figura 1.4 Población de Costa Rica como función del añoAnálisis de regresión para la población de Costa Rica. Luis A.Acuña P.Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)Revista digital Matemática, Educación e I nternet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 13, No 1. Agosto− Febrero 2013. 5La fuente de datos para ese gráfico es la siguiente tabla.Año Población Año Población Año Población1522 27 200 1801 52 591 1892 243 2051569 17 479 1824 65 393 1927 471 5241611 15 538 1836 78 365 1950 800 8751700 19 293 1844 93 871 1963 1 336 2741720 19 437 1864 120 499 1973 1 871 7801741 24 126 1875 153 250 1984 2 416 8091751 24 022 1883 182 073 1995 3 301 2101778 34 212 1888 205 731 2000 3 810 179Tabla 1.3En el gráfico es claro que la relación entre población y tiempo no es lineal. Más bien parece exponencial, y entoncespuede plantearse una ecuación de la formay = abtdonde y es la población y t el año.Si la ecuación propuesta es correcta, entonces al tomar logaritmo natural en ambos lados se obtiene la relación lineallny = ln(abt) = ln a+ t lnbo bieny1 = a1 + b1tdonde y1 = lny, a1 = ln a y b1 = lnb.La siguiente tabla contiene los valores de los datos transformados.t y1 t y1 t y11522 7.3278 1801 7.4961 1892 7.54541569 7.3582 1824 7.5088 1927 7.56371611 7.3846 1836 7.5153 1950 7.57561700 7.4384 1844 7.5197 1963 7.58221720 7.4501 1864 7.5305 1973 7.58731741 7.4622 1875 7.5364 1984 7.59291751 7.4679 1883 7.5406 1995 7.59841778 7.4832 1888 7.5433 2000 7.6009Tabla 1.4Y el gráfico de y1 como función de t es el siguiente.6 Revista digital Matemática, Educación e Internet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 13, No 1. Agosto− Febrero 2013.Figura 1.5 y1 = lny como función de t¡Sorpresa! Tampoco la relación entre y1 y t es lineal, de modo que la propuesta y1 = a1 + b1t no es satisfactoria. Elgráfico sugiere que la relación entre t y y1 es más bien cuadrática: y1 = at2 + bt+ c.Para estimar los coeficientes a, b y c en la ecuación anterior podrían usarse técnicas de regresión múltiple, como semencionó en la primera sección. Pero otra opción es escribir la relación cuadrática en la formay1 = a(t− h)2 + kque es una forma alterna para la ecuación de una parábola, donde el punto (h,k) es el vértice. La ventaja de estaforma en el caso en estudio es que fácilmente se estima h de manera visual para no necesitar regresión múltiple. Enefecto, se observa en el gráfico que h ≈ 1640 (el valor de t donde se alcanza el vértice), así que la ecuación puedeescribirse comoy1 = ax+ kdonde se define la nueva variable x = (t− 1640)2. Esta ecuación, y1 = ax + k, también es lineal, pero no se puedeconfiar en que sea aceptable antes de ver el gráfico. Afortunadamente, en el gráfico de x vs y1, a continuación, senota que la relación sí es casi exactamente lineal.Figura 1.6 y1 como función de x = (t− 1640)2Revista digital Matemática, Educación e I nternet (http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/). Vol 13, No 1. Agosto− Febrero 2013. 7El análisis de regresión para y1 = ax+ k arroja los coeficientes a= 4.2629× 10−5, k = 9.6273. Entonces, devolviendolos cambios de variables que se hicieron, resultay1 = 4.2629× 10−5x+ 9.6273lny = 4.2629× 10−5(t− 1640)2 + 9.6273y = exp[4.2629× 10−5(t− 1640)2 + 9.6273]= 15173.8 · 1.00004263(t−1640)2(donde exp es la función exponencial natural).El gráfico siguiente muestra los puntos que habíamos visto en la figura 1.4 junto con el gráfico de la ecuaciónanterior. Como se ve, la regresión es bastante precisa.Figura 1.7 Curva de regresión para la población como función del tiempoFinalmente, se acepta la siguiente ecuación como aproximación de la población de Costa Rica en función del año:Población = 15173.8 · 1.00004263(Año−1640)2Bibliografía[1] Acuña, L. (2004). Estadística aplicada con Fathom (1era ed). Costa Rica: Editorial Tecnológica de Costa Rica.[2] Devore, J. (2006). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias (6ta ed). México: Thomson Paraninfo.Análisis de regresión para la población de Costa Rica. Luis A.Acuña P.Derechos Reservados © 2012 Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/)

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Acuña P., Luis A.

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