Los números de Fibonacci han cautivado por muchos años al ser humano por sus aplicaciones en la vida cotidiana y en otras disciplinas. En este documento se presenta el origen de los números de Fibonacci, sus propiedades y su contribución a las matemáticas

Ávila, Jesús

Funes

LOS NU´MEROS DE FIBONACCIJesu´s Antonio A´vila G.Profesor Universidad del TolimaTolima, Colombiajavila@ut.edu.co1. Introduccio´nDesde los tiempos ma´s antiguos los nu´meros han cautivado al ser humano, no solopor su aplicacio´n inmediata a la vida cotidiana sino por la riqueza teo´rica y “sim-ple” que se encuentra dentro de ellos. Existe una gran cantidad de nu´meros conpropiedades especiales, entre ellos se pueden citar los nu´meros primos, nu´merosperfectos, nu´meros amigos, sociables, etc. Como puede verse la lista es bastantelarga y lo ma´s interesante es que cada clase de estas ha conducido a importantese interesantes estudios teo´ricos. Los nu´meros de Fibonacci son algunos de los quema´s frutos han dado, pues cuentan con asiduos matema´ticos y aficionados que sehan dedicado a la bu´squeda de las relaciones ma´s insospechadas de estos nu´meroscon la pintura, la mu´sica, la arquitectura, la poes´ıa, la biolog´ıa, la economı´a, etc.2. El Origen de los Nu´meros de FibonacciAunque pudiera parecer extran˜o, el origen de estos nu´meros resulta de un proble-ma sencillo sobre conteo de conejos. Conside´rese un par de conejos adultos machoy hembra, encerrados en un cercado, donde pueden anidar y criar. Supo´ngaseque los conejos empiezan a procrear a los dos meses de nacidos, engendrandosiempre un u´nico par macho-hembra y a partir de ese momento, cada uno de losmeses siguientes un par ma´s de iguales caracter´ısticas. Admitiendo que no murieseninguno de los conejos, ¿ cua´ntos contendr´ıa el cercado al cabo de un an˜o? Puesobservando la Figura 1, se nota que el nu´mero de conejos al cabo de cada mescorresponden a la sucesio´n 1,2,3,5,8,... donde cada nu´mero es precisamente lasuma de los dos anteriores.Esta sucesio´n es precisamente la sucesio´n de Fibonacci, nombre con el que seconoc´ıa a Leonardo de Pisa, tal vez el matema´tico europeo ma´s grande de laMemorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaEdad Media. Su obra ma´xima se llama Liber Abaci, conclu´ıda en el an˜o 1202 ydonde se inclu´ıa el problema antes mencionado.Figura 13. Formulacio´n Matema´tica y PropiedadesLos Nu´meros de Fibonacci son la sucesio´n 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... y en general eln− e´simo nu´mero se denota por Fn, as´ı entonces F1 = F2 = 1, F3 = 2, etc.Existen much´ısimas propiedades de los nu´meros de Fibonacci, tantas que la re-vista The Fibonacci Quarterly se ha publicado por 40 an˜os sin interrupcio´n.Algunas de ellas se enuncian a continuacio´n:1. El n− e´simo nu´mero de Fibonacci esta´ dado por (Fo´rmula de Binet)Fn =1√5[(1 +√52)n−(1−√52)n]2. La sucesio´n formada por los cocientes de cada nu´mero de Fibonacci y el an-terior(11,21,32,53, ...)tiende a φ =1 +√52. Este nu´mero es conocido comonu´mero a´ureo, el cual tiene relacio´n con algunas proporciones este´ticas.70Los Nu´meros de Fibonacci3. Identidad de Cassini [3]: El cuadrado de cada nu´mero Fn se diferencia en±1 del producto de los dos nu´meros situados a sus lados, es decirFn−1Fn+1 − F 2n = (−1)n4. Dados cuatro nu´meros de Fibonacci consecutivos, la diferencia de cuadradosentre el tercero y el segundo es igual al producto del primero con el cuarto,es decirF 2n+2 − F 2n+1 = FnFn+35. Esta propiedad es asombrosa!! El rec´ıproco del unde´cimo nu´mero de Fi-bonacci (89), puede ser obtenido de la misma sucesio´n, sumando de lasiguiente manera:0, 01123581321345589144233. . .0, 011235955056.......189= 0, 0112359550561797....6. Una interesante relacio´n entre π y los nu´meros de Fibonacci, esta´ dada porla siguiente ecuacio´n [5]:π4=∞∑k=1arctan(1F2k+1)7. La siguiente ecuacio´n relaciona los nu´meros de Fibonacci, con tal vez losnu´meros ma´s especiales de las matema´ticas π, i, e [4]:Fk =k∑m=15k−m2 ei(m−1)π2+i(k−m) tan−1 (−2)(2k −mm− 1)71Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaEn la bibliograf´ıa se encuentra una amplia gama de propiedades de los nu´merosde Fibonacci. All´ı se relaciona esta sucesio´n con los nu´meros primos, cuadrados,cubos, nu´meros de Lucas, etc.4. Buscando Otras PropiedadesNo es dif´ıcil observar que muchas de las personas que han hecho contribuciones in-teresantes a la teor´ıa de estos nu´meros, son jo´venes o´ no tienen muchos conocimien-tos de matema´ticas. Realmente aqu´ı es donde radica la belleza y simplicidad engeneral, de toda la teor´ıa de nu´meros. Un ejemplo de lo anteriormente dicho fueMark Feinberg quien a los 14 an˜os introdujo los nu´meros de Tribonacci y abrio´ elcamino a toda la gama que de aqu´ı se desprende. En este sentido vamos a intentarencontrar algunas propiedades utilizando la nocio´n de determinante.Consideremos en principio las tres matrices como se muestran a continuacio´n.Obse´rvese que en ellas esta´n colocados los nu´meros de Fibonacci en su orden.⎡⎣ 1 1 23 5 813 21 34⎤⎦⎡⎣ 1 2 35 8 1321 34 55⎤⎦⎡⎣ 2 3 58 13 2134 55 89⎤⎦Ahora al hallar el determinante de estas matrices se obtiene respectivamente 0,0, 0. De aqu´ı se puede inferir una propiedad general as´ıdet⎡⎣ Fn Fn+1 Fn+2Fn+3 Fn+4 Fn+5Fn+6 Fn+7 Fn+8⎤⎦ = 0Sin embargo esta propiedad ya es conocida y de hecho puede generalizarse au´nma´s [3].Entonces, debemos seguir otro camino. De las tres matrices anteriores, se obtienenlas siguientes submatrices:[1 213 34] [1 321 55] [2 534 89]Ahora al hallar el determinante de estas tres matrices se obtiene respectivamente8, −8, 8. Esto nos dice que all´ı hay una posible propiedad, la cual se puede escribir72Los Nu´meros de Fibonaccimatema´ticamente as´ıFnFn+8 − Fn+2Fn+6 = ±8Aunque en la literatura consultada esta propiedad no se encuentra, es probableque se obtenga a partir de algunas conocidas. Sin embargo lo ma´s interesante esla forma en que fue obtenida, utilizando determinantes!!!! Algo importante pararecordar es que estas posibles propiedades son realmente conjeturas y solamentecon una demostracio´n formal, se prueba que son propiedades.5. Comentarios FinalesLa sucesio´n de Fibonacci es tal vez la mina de oro de los matema´ticos, pues alparecer las propiedades que posee son inagotables. Adema´s, a partir de ella sepueden definir otras nociones interesantes como nu´meros de Tribonacci, Tetranac-ci, Pentanacci y as´ı sucesivamente; los Polinomios de Fibonacci, las Q-matricesde Fibonacci y las Funciones Hiperbo´licas de Fibonacci [3], entre muchas otras.Invito a los lectores a introducirse en este maravilloso mundo y por que´ no aencontrar propiedades au´n no descubiertas.Bibliograf´ıa[1] M. Gardner, Miscela´nea Matema´tica, Biblioteca Cient´ıfica Salvat,Barcelona, 1987.[2] R. Jime´nez y otros, Teor´ıa de Nu´meros para Principiantes, Universidad Na-cional de Colombia, Bogota´, 1999.[3] http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html[4] http://users.net/hsejar/maths/fibonacci/index.htm[5] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpi.html73

Los números de Fibonacci

http://funes.uniandes.edu.co/5845/1/%C3%81vilaLosn%C3%BAmerosGeometr%C3%ADa2005.pdf

Los números de Fibonacci

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Funes