Presentamos algunos resultados obtenidos con niños entre 11 y 16 años que asistieron al Club de Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional en el I semestre de 2006. La actividad con los niños inicia con una tabla construida a partir del número 1, sumando consecutivamente 0, 1, 2, etc., las sumas parciales de esta tabla, nos dan otra tabla cuyos elementos son los números poligonales; fijamos nuestra atención sobre los números triangulares, en particular cuando las sumas de algunos de ellos también es un número triangular

Jiménez, Haydee

Luque, Carlos Julio

Ruiz, Carlos

Funes

TRIADAS Y N-PLAS DE NU´MEROSTRIANGULARESHaydee Jime´nez Tafur Carlos Ruiz Hue´rfanoUniversidad Pedago´gica Nacional Universidad Pedago´gica NacionalBogota´ D.C, Colombia Bogota´ D.C, Colombiajimenezhaydee@gmail.com kaer26@gmail.comCarlos Julio Luque AriasProfesor Universidad Pedago´gica NacionalBogota´ D.C, Colombiacaluque@uni.pedagogica.edu.coResumenPresentamos algunos resultados obtenidos con nin˜os entre 11 y 16 an˜os que asistieronal Club de Matema´ticas de la Universidad Pedago´gica Nacional en el I semestre de2006. La actividad con los nin˜os inicia con una tabla construida a partir del nu´mero1, sumando consecutivamente 0, 1, 2, etc., las sumas parciales de esta tabla, nos danotra tabla cuyos elementos son los nu´meros poligonales; fijamos nuestra atencio´nsobre los nu´meros triangulares, en particular cuando las sumas de algunos de ellostambie´n es un nu´mero triangular.1. La tabla de partidaIniciemos nuestra actividad construyendo una tabla a partir del nu´mero 1 de la siguienteforma: cada fila comienza con 1, la primera fila se construye sumando 0 a cada te´rminopara conseguir el siguiente, por supuesto es una fila con so´lo unos; en la segunda filasumamos 1 a cada te´rmino para obtener el siguiente, es decir que esta es una fila dondeesta´ la lista de los primeros nu´meros naturales; en la tercera fila repetimos el procedimientode las filas anteriores pero sumando dos, y as´ı sucesivamente para la fila k, sumamos al 1el nu´mero k − 1, y al resultado le sumamos k - 1, para obtener el siguiente, etc. Con esteme´todo obtenemos la siguiente tabla:Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´tica1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 . . .1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 . . .1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 . . .1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 . . .1 7 13 19 25 31 37 43 49 55 . . .1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 . . .1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 . . .1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 . . .1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 . . .1 12 23 34 45 56 67 78 89 100 . . .1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tabla 1Determinemos cua´l es el nu´mero que corresponde a la columna n y a la fila k.En la fila 1 el te´rmino que corresponde a una columna n es 1.En la fila 2 el te´rmino que corresponde a una columna n es n.En la fila 3 tenemos que el nu´mero de la primera columna es 1, el de la segunda columnaes 3, el de la tercera columna es 5, y as´ı sucesivamente; escribiendo esto de otra maneratenemos que:1 −→ 12 −→ 33 −→ 54 −→ 75 −→ 96 −→ 11...n −→ ?502Triadas y n-plas de nu´meros triangularesEl nu´mero en la segunda columna es el de la primera aumentado en el nu´mero anterior ae´l, esto es:1 −→ 1 = 1 + 0 = 1 + (1− 1)2 −→ 3 = 2 + 1 = 2 + (2− 1)3 −→ 5 = 3 + 2 = 3 + (3− 1)4 −→ 7 = 4 + 3 = 4 + (4− 1)5 −→ 9 = 5 + 4 = 5 + (5− 1)6 −→ 11 = 6 + 5 = 6 + (6 − 1).Conjeturamos que el nu´mero correspondiente a la columna n esn+ (n − 1) = 2n − 1.Este mecanismo se puede emplear para hallar en una fila k el te´rmino correspondiente ala columna n, con lo que obtenemos:Fila 1 −→ 1Fila 2 −→ nFila 3 −→ 2n− 1Fila 4 −→ 3n− 2Fila 5 −→ 4n− 3Fila 6 −→ 5n− 4...Fila k −→ (k − 1)n − (k − 2).Otra forma de hallar esto, es describir el proceso de construccio´n de la tabla, es decir: Encada fila tenemos que:13 = 1 + 2 = 1 + 1(2)5 = 1 + 2 + 2 = 1 + 2(2)7 = 1 + 2 + 2 + 2 = 1 + 3(2)9 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 + 4(2)11 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 + 5(2)Por tanto en la columna n el te´rmino correspondiente es 1 + [(n− 1)(2)].Este mecanismo se puede emplear para hallar en una fila k el te´rmino correspondiente ala columna n, con lo que obtenemos:503Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´ticaFila 1 −→ 1Fila 2 −→ 1 + [(n− 1)(1)]Fila 3 −→ 1 + [(n− 1)(2)]Fila 4 −→ 1 + [(n− 1)(3)]Fila 5 −→ 1 + [(n− 1)(4)]Fila 6 −→ 1 + [(n− 1)(5)]...Fila k −→ 1 + [(n− 1)(k − 1)].Luego la tabla quedar´ıa como:1 1 1 1 1 1 . . . 11 2 3 4 5 6 . . . n1 3 5 7 9 11 . . . 2n− 11 4 7 10 13 16 . . . 3n− 21 5 9 13 17 21 . . . 4n− 31 6 11 16 21 26 . . . 5n− 41 7 13 19 25 31 . . . 6n− 51 8 15 22 29 36 . . . 7n− 61 9 17 25 33 41 . . . 8n− 71 10 19 28 37 46 . . . 9n− 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1+(k-1) 1+ 2(k-1) 1+ 3(k-1) 1+ 4(k-1) 1+ 5(k-1) . . . (k - 1)n - (k - 2)Tabla 22. Suma de filasCon base en la tabla anterior construimos otra tabla de manera que cada fila es de lassumas parciales de la tabla 1; as´ı la primera fila esta´ formada por los nu´meros naturales,la segunda por la suma de los dos primeros naturales, los tres primeros, etc., es decir quela segunda fila esta´ formada por los nu´meros triangulares, y as´ı sucesivamente.Intentemos sumar los primeros n nu´meros de una fila k sin hacer todos los ca´lculos; porejemplo, para encontrar la suma de los primeros n nu´meros de la fila 4, podemos utilizarun me´todo1 que consiste en colocar en una fila los nu´meros que deseamos sumar y en unasegunda fila escribir los mismos nu´meros pero en el orden opuesto y sumar de la siguientemanera:1LUQUE, C., JIME´NEZ, H., DOMINGUEZ, D., (2007). Algunas sumas en la tabla pitago´rica demultiplicar. En Memorias del XVII Encuentro de Geometr´ıa y V de Aritme´tica, Bogota´ D.C.: UniversidadPedago´gica Nacional.504Triadas y n-plas de nu´meros triangulares1 + 4 + 7 + 10 + . . . + 3n - 23n - 2 + 3(n - 1) - 2 + 3(n - 2) - 2 + 3(n - 3) - 2 + . . . + 13n - 1 + 3n - 1 + 3n - 1 + 3n - 1 + . . . + 3n - 1En todos los casos la suma es la misma, y e´sta se repite n veces, es decir, la suma total esn(3n − 1); pero como se realiza una doble suma, hay que dividir el resultado entre dos,con lo que obtenemos que:1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + · · ·+ (3n − 2) = n(3n − 1)2.Observamos que e´ste procedimiento se puede emplear para hallar la suma de los primerosn nu´meros de una fila k, sin importar que tan grande sea n, o sea:1 + 1+ (k 1) + 1+ 2(k 1) + . . . + (k - 1)n - (k - 2)(k - 1)n - (k - 2) + (k - 1)(n - 1) - (k - 2) + (k - 1)(n - 2) - (k - 2) + . . . + 1(k - 1)n - (k - 3) + (k - 1)n - (k - 3) + (k - 1)n - (k - 3) + . . . + (k - 1)n - (k - 3)Entonces, la suma de los primeros n elementos de la fila k es:1 + (1 + (k1)) + (1 + 2(k1)) + · · ·+ ((k − 1)n − (k − 2)) = n[(k − 1)n− (k − 3)]2.Con estos resultados formamos la tabla:1 2 3 4 5 6 . . . n1 3 6 10 15 21 . . . n(n+1)21 4 9 16 25 36 . . . n(2n)21 5 12 22 35 51 . . . n(3n−1)21 6 15 28 45 66 . . . n(4n−2)21 7 18 34 55 81 . . . n(5n−3)21 8 21 40 65 96 . . . n(6n−4)21 9 24 46 75 111 . . . n(7n−5)21 10 27 52 85 126 . . . n(8n−6)2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2 + (k − 1) 3 + 3(k − 1) 4 + 6(k − 1) 5 + 10(k− 1) 6 + 15(k− 1) . . . n[(k−1)n−(k−3)]2Tabla 3En donde cada fila es una lista de nu´meros poligonales, la segunda fila es de nu´merostriangulares, la tercera de cuadrados, la cuarta de pentagonales y la k-e´sima fila es denu´meros (k + 1) - gonales.3. Triadas de nu´meros triangularesFijemos nuestra atencio´n sobre la segunda fila de la tabla 3, ampliada un poco para quepodamos encontrar algunas regularidades505Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´ticaT1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T13 T14 T151 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 120T16 T17 T18 T19 T20 T21 T22 T23 T24 T25 T26 T27 T28 T29 T30136 153 171 190 210 231 253 276 300 325 351 378 406 435 465T31 T32 T33 T34 T35 T36 T37 T38 T39 T40 T41 T42 T43 T44 . . .496 528 561 595 630 666 703 741 780 820 861 903 946 990 . . .Tabla 4Notamos inicialmente, que en general la suma de dos nu´meros triangulares no es unnu´mero triangular, de la misma forma que la suma de dos impares no es impar; pero adiferencia de estos, si existen algunos pares de triangulares cuya suma es un triangular.Por ejemplo, 6 + 15 = 21 o sea queT3 + T5 = T6.De igual manera,T4 + T9 = T10T5 + T14 = T15T6 + T20 = T21Al observar la secuencia de los sub´ındices de la tercera columna surgen los nu´merostriangulares, correspondientes a los sub´ındices de los de la primera columna; en particular6 es el tercer triangular, 10 es el cuarto, etc., de otro lado el sub´ındice de la segundacolumna es uno menos que el de la tercera, por tanto conjeturamos queTn + TTn−1 = TTn.Este resultado nos permite prever dos relaciones no vistas en un principio:T1 + T0 = T1T2 + T2 = T3.Una forma gra´fica de acceder a estos resultados la conseguimos, por ejemplo en el u´ltimocaso mencionado, si tratamos de ensamblar T2 con T2 para conseguir T3 en la formaFigura 1debemos desarmar uno de los T2 y reubicar los cuadrados unidad sobre T2, como lo muestrala figura 2506Triadas y n-plas de nu´meros triangularesFigura 2En el caso de T3 + T5 = T6, desarmamos T3 y ubicamos los cuadrados unidad sobreFigura 3Para encontrar nuevas triadas podemos invertir el proceso; que ilustramos con T4+ T9 =T10, partimos del primer sumando T4 = 10, para encontrar el segundo sumando desar-mamos T4 y ubicamos en una cuadr´ıcula cuadrada de lado 10 cada cuadrado unidadformando una diagonal,Figura 4El segundo sumando es el triangular que se forma debajo de la diagonal es decir T9 y elresultado es T10.Figura 5507Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´ticaEn general, podemos iniciar con Tn, con n mayor que 1, como primer sumando, el segundosumando es el triangular cuyo ı´ndice es Tn disminuido en 1 y el resultado es TTn .Podr´ıamos pensar que ya terminamos, pero hay casos que no han sido considerados, porejemploT2 + T0 = T2T5 + T6 = T8T6 + T9 = T11T9 + T21 = T23T10 + T26 = T28Si asumimos que la primera fo´rmula corresponde al nu´mero 1, la segunda al 2 y la k-e´simaal nu´mero k, podemos observar dos tipos de regularidades: si k es impar, las filas 1, 3, 5y 7 corresponden aT2 + T0 = T2T6 + T9 = T11T10 + T26 = T28T14 + T51 = T53donde el primer sumando es T2k, y si tratamos de expresar el segundo sumando en te´rminosdel primero, notando que T2 = 3, T6 = 21, T10 = 55, T14 = 105 vemos que9 =21 − 3226 =55 − 3251 =105 − 32y suponemos que el segundo sumando es:TT2k − 32.En general, si k es impar suponemos queT2k + TT2k − 32= TT2k − 32+ 2.Si k es par, las filas 2, 4 y 6 corresponden aT5 + T6 = T8T9 + T21 = T23T13 + T44 = T46508Triadas y n-plas de nu´meros triangularesdonde el primer sumando es T2k+1, y si tratamos de expresar el segundo sumando ente´rminos del primero, notando que T5 = 15, T9 = 45, T13 = 91, vemos que6 =15 − 3221 =45 − 3244 =91 − 32suponemos que el segundo sumando es:TT2k+1 − 32. En general, si k es par conjeturamos queT2k+1 + TT2k+1 − 32= TT2k+1 − 32+ 2.En forma similar al primer caso, podemos usar una ayuda gra´fica; por ejemplo, en el casoT5 + T6 = T8Figura 6Desarmamos T5 y lo ubicamos sobre T6 en una diagonal doble y obtenemos:Figura 7509Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´ticaObservamos que, cada escalo´n del nu´mero triangular inferior, que es el segundo sumando,tiene dos cuadrados a su lado derecho, que forman la doble diagonal y arriba de e´stoshay tres cuadrados, lo que significa que, en este caso, el nu´mero triangular que forme ladiagonal debe ser impar y por tanto no todos los triangulares sirven como primer sumando.Cuando consideramos T6 podemos construir una diagonal doble en una cuadr´ıcula de lado11:Figura 8El nu´mero triangular debajo de la doble diagonal es el segundo sumando y el resultadotiene ı´ndice aumentado en dos, es decir T6 + T9 = T11.Con base en lo que hemos conseguido, intentemos ahora una generalizacio´n buscando unafo´rmula para la suma de dos triangulares cuyo resultado sea un triangular que tenga unsub´ındice tres unidades mayor que el segundo sumando, sabemos que el primer sumandodebe formar una diagonal triple (de tres unidades por cada paso) y los primeros casos enque esto es posible son T5 + T3 = T6 y T6 + T5 = T8 como se ilustra en las figuras 9 y 10Figura 9510Triadas y n-plas de nu´meros triangularesFigura 10Pero estos resultados ya esta´n incluidos en nuestras consideraciones anteriores. Miremosalgunos casos en los cuales los nu´meros triangulares del primer sumando, son menoresque el segundo, como en T8 + T10 = T13 y T9 + T13 = T16, ilustrados en las figuras 11 y12 respectivamente:Figura 11Figura 12Como en el caso de diferencia 2, no todos los nu´meros triangulares pueden ser tomadoscomo primer sumando, algunos de ellos son:T5 = 15 T6 = 21 T8 = 36 T9 = 45notemos que todos son mu´ltiplos de tres y en cada caso la diagonal triple esta´ formadapor un mu´ltiplo de 3 ma´s un tria´ngulo superior de 6 unidades, que corresponde con T3;511Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´ticasiguiendo el mismo me´todo aplicado en los casos anteriores de expresar el sub´ındice delsegundo sumando en te´rminos del primero, suponemos que las triadas de diferencia tresesta´n dadas por:Tk + TTk − 33= TTk − 33+ 3.si Tk es mu´ltiplo de tres.Si observamos las siguientes graficas, correspondientes a la parte superior de las triadasde diferencia 4, 5 y 6 respectivamente,Figura 13notamos que son T4, T5 y T6; reuniendo las informaciones precedentes y acomodando unpoco su forma, tenemos que el segundo y tercer sumando son en cada casoT(Tk − T11)y T(Tk − T11+ 1)T(Tk − T22)y T(Tk − T22+ 2)T(Tk − T33)y T(Tk − T33+ 3)...T(Tk − Tnn)y T(Tk − Tnn+ n)con lo que llegamos a la fo´rmula:Tk + TTk − tnn= TTk − Tnn+ n.So´lo nos falta encontrar los valores de k para los que son va´lidas las anteriores igualdades.Para la diferencia 1, es decir n = 1, todos los valores de k nos dan una fo´rmula va´lida.Si n = 2, los primeros nu´meros triangulares que nos dan una fo´rmula va´lida son:512Triadas y n-plas de nu´meros triangularesT5 T9 T13 T17 T21T6 T10 T14 T18 T22De nuevo, las acomodamos para que el patro´n surja y teniendo la forma para una fila laotra es inmediata.La segunda fila es2 × 3, 2 × 5, 2 × 7, 2 × 9, 2 × 11, · · · , 2(2m+ 1) = 4m+ 2En la primera fila, cada sub´ındice de los nu´meros triangulares es uno menos que los dela segunda fila, por lo tanto estos tienen la forma 4m+ 1. Este resultado coincide con loobtenido en los pa´rrafos anteriores.Para las triadas de diferencia 3, los primeros nu´meros triangulares que nos reportan unafo´rmula va´lida son:T5 T8 T11 T14 T17T6 T9 T12 T15 T18Los sub´ındices de los nu´meros triangulares de la segunda fila ya los hab´ıamos mencionadoy corresponden a los mu´ltiplos de tres, a partir de 6, los de la primera fila son uno menosque los de la segunda, o sea que tiene la forma: 3m−1 con m ≥ 1. En resumen la fo´rmulaTk + TTk − 33= TTk − 33+ 3.Es va´lida si k = 3m o si k = 3m− 1 con m ≥ 1.Para n = 4, obtenemosT11 T19 T27 T35 T43 . . .T12 T20 T28 T36 T44 . . .cuya segunda fila es de la forma:4 × 3, 4× 5, 4 × 7, 4× 9, 4 × 11, 4 × 13, · · · , 4(2m+ 1) = 8m+ 4y la primera fila es uno menos, o sea 8m+ 3.De manera similar, llegamos a que las triadas de diferencia 5, 6 y 7 tienen como primersumando los nu´meros triangulares con sub´ındicesT5m+4 y T5m+5 T12m+5 y T12m+6 T7m+6 y T7m+7513Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´ticaEn general, conjeturamos que para las diferencias impares los sub´ındices del primer suman-do tienen como coeficiente de m la misma diferencia impar y los sumandos son: ese impary el impar menos 1.Para las diferencias pares los sub´ındices del primer sumando, tienen como coeficiente dem el doble de la diferencia y los sumandos son esa diferencia par y la diferencia menos 1.En resumen, tenemos que con los sumandos de las formas siguientes, conseguimos triadasde nu´meros triangulares de diferencia d:Tdm+(d−1)Tdm+dPara d imparT(2d)m+(d−1)T(2d)m+dPara d par.4. N-plas de nu´meros triangularesConsideremos ahora la suma de tres nu´meros triangulares cuya suma sea un nu´mero trian-gular, lo que llamaremos una cua´drupla de nu´meros triangulares. El la tabla 4, observamosqueT1 + T2 + T3 = T4T1 + T3 + T6 = T7T1 + T4 + T10 = T11T1 + T5 + T15 = T16T1 + T6 + T21 = T22En esta lista, vemos que el sub´ındice del tercer sumando es el nu´mero triangular corres-pondiente al sub´ındice del segundo sumando; es decir queT2 = 3T3 = 6T4 = 10T5 = 15T6 = 21En la listaT2 + T3 + T8 = T9T2 + T4 + T12 = T13T2 + T5 + T17 = T18T2 + T6 + T23 = T24T2 + T7 + T30 = T31514Triadas y n-plas de nu´meros triangularesque inicia con T2 como primer sumando, el ı´ndice del tercer sumando es el nu´mero trian-gular correspondiente al sub´ındice del segundo sumando disminuido en 2.En la listaT3 + T4 + T15 = T16T3 + T5 + T20 = T21T3 + T6 + T26 = T27T3 + T7 + T33 = T34T3 + T8 + T41 = T42que inicia con T3 como primer sumando, el ı´ndice del tercer sumando es el nu´mero trian-gular correspondiente al sub´ındice del segundo sumando disminuido en 5.Y enT4 + T5 + T24 = T25T4 + T6 + T30 = T31T4 + T7 + T37 = T38T4 + T8 + T45 = T46T4 + T9 + T54 = T55que inicia con T4 como primer sumando, el ı´ndice del tercer sumando es el nu´mero trian-gular correspondiente al sub´ındice del segundo sumando disminuido en 9. Ya tenemosvarias regularidades que organizaremos en la siguiente tabla:Primer sumando Segundo sumando Tercer sumando TotalT1 T1+k TT1+k+(T1−1) TT1+k+(T1−1)+1 = TT1+k+T1T2 T2+k TT2+k+(T2−1) TT2+k+(T2−1)+1 = TT2+k+T2T3 T3+k TT3+k+(T3−1) TT3+k+(T3−1)+1 = TT3+k+T3T4 T4+k TT4+k+(T4−1) TT4+k+(T4−1)+1 = TT4+k+T4............Tn Tn+k TTn+k+(Tn−1) TTn+k+(Tn−1)+1 = TTn+k+TnTabla 5Ya tenemos una forma de armar cua´druplas triangulares de diferencia uno a partir de unnu´mero triangular cualquiera. Por ejemplo si iniciamos con T7:1. Escogemos un k arbitrario, por ejemplo 5.2. Sumamos 5 al sub´ındice 7 y obtenemos el segundo sumando T12.3. El sub´ındice del total es T12 + T7 = 78 + 28 = 106.515Memorias XVII encuentro de geometr´ıa y V de aritme´tica4. Restamos 1 al sub´ındice del total para as´ı obtener el sub´ındice del tercer sumando106 − 1 = 105.5. Formamos la cua´drupla triangular:T7 + T12 + T105 = T106.En general,Tn + Tn+k + TTn+k+Tn−1 = TTn+k+Tn.Esta fo´rmula la podemos generalizar para n-plas de nu´meros triangulares, tomando mnu´meros triangulares, los sumamos y con ello establecemos el sub´ındice del triangularsuma; por ejemplo, si tomamos los primeros 5 nu´meros triangulares obtenemos la siguienteexpresio´n:T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + = TT1+T2+T3+T4+T5 = T35.El ultimo sumando que en la ecuacio´n anterior fue reemplazado por  se determinarestando 1 al ı´ndice del triangular suma, es decir que  corresponde a T34, o sea queT1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T34 = T35La diferencia entre el u´ltimo sumando y el triangular suma es un nu´mero natural cualquiera,en este caso 35, y 35 es el siguiente nu´mero natural que se adiciona a T34 para obtener T35Por tanto; al adicionar tantos nu´meros triangulares como queramos, sin importar queestos sean consecutivos, podemos establecer una n-pla triangular al tomar esta sumacomo sub´ındice del triangular total y a la suma menos uno como el sub´ındice de u´ltimotriangular sumando; por ejemplo:T3 + T5 + T7 + T10 + T103 = TT3+T5+T7+T10 = T104En conclusio´n, la siguiente expresio´n representa sumas de n nu´meros triangulares, siendoel u´ltimo triangular sumando y el triangular suma, triangulares consecutivos:Bibliograf´ıa[1] BEILER, A. Recreations in the theory of numbers. New York: Dover. 1966.[2] JIME´NEZ, R., GORDILLO, E., RUBIANO, G. Teor´ıa de nu´meros para principi-antes. Segunda Edicio´n. Bogota´, D.C.: Facultad de Ciencias, Universidad Nacional.2004.[3] LUQUE, C., MORA, L., PA´EZ, J., Actividades matema´ticas para el desarrollo deprocesos lo´gicos: Contar e Inducir. Bogota´: D.C.: Universidad Pedago´gica Nacional.2002.[4] OGILVY, C., ANDERSON J. Excursions in number theory. New York: Dover.1988.516

Triadas y n-plas de números triangulares

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Triadas y n-plas de números triangulares

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