Se expone la metodología de la verosimilitud empírica y se compara con la verosimilitud paramétrica como resultado de una investigación para determinar intervalos de confianza para la media basados en la verosimilitud paramétrica y empírica. La verosimilitud empírica es un método no paramétrico de inferencia estadística, en el cual no se tiene que asumir que los datos que se analicen tengan que provenir de una familia de distribución conocida. Los métodos no paramétricos dan intervalos de confianza y pruebas de hipótesis con validez que no dependen sobre fuertes supuestos distribucionales. Este es un método alternativo en la enseñanza de la estadística, utilizando cálculos directos sin usar la distribución asintótica

Delgado, Gonzalo

Funes

La Metodología de la Verosimilitud Empírica Gonzalo Delgado Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de GuerreroMéxicodeggonzalo@aol.comProbabilidad y Estadística — Superior ResumenSe expone la metodología de la verosimilitud empírica y se compara con la verosimilitud paramétrica como resultado de una investigación para determinar intervalos de confianza para la media basados en la verosimilitud paramétrica y empírica. La verosimilitud empírica es un método  no paramétrico de inferencia estadística, en el cual no se tiene que asumir que los datos que se analicen tengan que provenir de una familia de distribución conocida. Los métodos no paramétricos dan intervalos de confianza y pruebas de hipótesis con validez que no dependen sobre fuertes supuestos distribucionales. Este es un método alternativo en la enseñanza de la estadística, utilizando cálculos directos sin usar la distribución asintótica.  IntroducciónEl enfoque de la Verosimilitud Empírica es relativamente reciente, la aparición del libro de A.B. Owen “Empirical Likelihood” en el año 2001, ocasionó un crecimiento en el uso de las inferencias basadas en la verosimilitud empírica Las inferencias estadísticas que se basan en la función de verosimilitud empírica pertenecen al campo de la Inferencia no Paramétrica. La función de verosimilitud empírica depende únicamente de las observaciones realizadas. Una ventaja de la verosimilitud empírica sobre la verosimilitud paramétrica, es que el uso de la primera no requiere suponer que las observaciones provienen de determinada distribución de probabilidad, lo que la hace más flexible, por otro lado, la verosimilitud empírica alcanza la confiabilidad de los métodos no paramétricos. En los métodos de verosimilitud paramétrica se supone que la distribución conjunta de todos los datos disponibles tiene una forma conocida y una o más cantidades conocidas. Un problema con las inferencias de verosimilitud paramétrica es que no podemos conocer cual familia paramétrica usar. La verosimilitud empírica puede utilizarse para hacer inferencias estadísticas, tanto estimaciones como dócimas de hipótesis, la existencia de una versión no paramétrica del teorema de Wilk’s, para la distribución de )(log2 PR  (donde )(PR   es el perfil de verosimilitud), permite calcular intervalos de confianza para la media. En este trabajo de investigación se compara la verosimilitud paramétrica con la verosimilitud  empírica y  se hace un estudio por simulación de los intervalos de confianza, donde se comparan los resultados que se obtienen utilizando la verosimilitud empírica con los obtenidos empleando la verosimilitud paramétrica, asumiendo: a) una distribución normal b) una distribución no normal, considerando tamaños de muestras grandes y pequeñas. 43Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol.18Los programas para las simulaciones se hicieron en Matlab 6.5 release 13. Fundamentos Teóricos  Función de Distribución Empírica. Sean n realizaciones sobre una variable aleatoria (v.a) real Y , denotadas por .,...,, 21 nYYYLa función de distribución empírica de , se define por la función , dada por: .,...,, 21 nYYY  yFn  ¦ d niyYn inyF11 G ,   con ff y ,       donde ®¯­ !d dyYyYiiyYi    si  0,  si   ,1GVerosimilitud no Paramétrica Sean realizaciones independientes sobre una v.a. Y  con función de distribución . La verosimilitud no Paramétrica, para la función  de distribución F, se define como .,...,, 21 nYYYoF     > @  niii YFYFFL1, donde    iFi YYPYF      y    iFi YYPYF d entonces, la diferencia    > @ ii YFYF  representa, para cada , la verosimilitud en . Por tanto,  representa, exactamente, la verosimilitud de la muestra. iY iY   > niii YFYF1@Si es una v.a. contínua, entonces Y   yyYP      0 , por tanto,     yyFyF oo  , lo que implica que para las variables aleatorias contínuas  FL  será igual a cero. Teorema  Sean  v.a. reales, independientes, idénticamente distribuidas según . Sea  su función de distribución empírica. Sea  cualquier función de distribución.nYYY ,...,, 21 oF nFFSi , entonces FFn z    nFLFL  . (ver Owen (2001), una demostración más detallada en Delgado (2004)). Razón de verosimilitud no paramétrica.La razón de verosimilitud es utilizada en la estadística no Paramétrica para hacer pruebas de hipótesis y determinar regiones de confianza. En el caso general, gracias al teorema de Wilk’s, se conoce la distribución asintótica de    > @KK LL /log2 0 , donde 0K es un valor del parámetro bajo la hipótesis nula, y en base a esa distribución hacemos las inferencias. 44La Metodología de la Verosimilitud Empírica Si el interés está centrado en construir una región de confianza para K , entonces si  KL  es mucho menor que , se excluye el valor de ¹¸·©¨§ KL K  de la región de confianza para 0K . Si interesa una función T  de K   KTT   y se quiere construir una región de confianza para T , lo que se hace es tomar la imagen de la región de confianza para K :, donde el umbral  se selecciona de acuerdo al teorema de Wilk’s, es decir, de acuerdo a la distribución , con un número de grados de libertad igual a la dimensión de  ^   ¿¾½®¯­ ¹¸·©¨§t KKKTT cLL: c2FT .Sea una distribución, se define la razón de verosimilitud no paramétrica como: , donde  es la verosimilitud no paramétrica. F     nFLFLFR /  FLPerfil de razón de verosimilitud no Paramétrica.Supóngase que se está interesado en un parámetro  FT T , es decir, T  es una función de la distribución . Supóngase que la función  pertenece a una familia U  de distribuciones, que usualmente es una familia muy general. F FSe define el perfil de razón de verosimilitud no paramétrica como:      ^ `UFFTFRSupR   ,: TTEmpates en las observaciones Si  paraji yy  ji z , se dice que hay un empate. Supóngase que no existen empates en las observaciones: Considérese una distribución , tal que la probabilidad en el valor F iy  es un número ipEntonces, se tiene que: , . Por tanto, 11d¦ niip     niipFL1        niinnpFLFLFR1…(1)Supóngase que existen empates en las observaciones: Sea  el número de valores distintos en la muestra. Si el valor se repite en la muestra  veces y tiene probabilidad  bajo , entonces k jz1tjn ip F  FR  se calcularía como  jjnkj jjnkjjjnnpppFR    ¸¸¹·¨¨©§ ¸¸¸¹·¨¨¨©§ 11….. (2).  Si en los datos hay empates, pero se utiliza (1) en lugar de (2), se obtiene el mismo perfil de razón de verosimilitud  TR , y esto es así  para cualquier familia de distribuciones U  y cualquier función  FT , ya que si se consideran pesos específicos  para las observaciones, y éstos pesos se seleccionan de forma tal  niwi ,...,1   45Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol.18que: para todo  se cumplaji zy  ¦  ji zyi ij wp : . Donde las probabilidades corresponden a una distribución . La verosimilitud de  quedará definida entonces por ,  y cuando hay empates este valor no es único. Un valor de jpF F niiw1T  entra en la región de confianza sí y sólo sí para alguna  conF   T FT  el valor mayor de niiw1 excede al umbral, es decir, solo hay que considerar el valor máximo de  sobre los pesos que generan . Este máximo se alcanza cuando  niiw1jp )()( / ii jji npw  , con  determinado por . El máximo para una dada es: )(ij)( ijizy  F     ¸¸¹·¨¨©§ kinjnki jj jjnFLnp11.El procedimiento detallado de cálculo del perfil de verosimilitud  PR  puede verse en Delgado (2004) Método de cálculo para un ntervalo de confianza para la media Dar un intervalo de confianza para la media P , significa dar los límites P (superior) yP  (inferior), para los cuales      1,00    rRR PP ; del cálculo del perfil de verosimilitud se obtiene (Delgado (2004)) que   …………….(3). Los límites en (3) pueden usarse separadamente en la búsqueda. Hay que encontrar    nYYY dddd  PP1 P  que cumpla   0rR  P , lo cual puede hacerse encontrando el valor  PR  en cada valor P  candidato. Esta búsqueda puede ser lenta, una más rápida se obtiene si se reformula el problema de la siguiente manera:optimizar bajo las restricciones  y , por lo que el lagrangiano quedaría como , derivando  respecto a  e igualando a cero se obtiene ¦ niiiYw1¦  niiw11    01loglog rnwnii  ¦     ¦¦¦   »¼º«¬ª  niiniiinii wrnwYwG1210111loglog KKG iw21KK ii Yw , por lo que ¦¦   ni iniiYw1 211 KK, resolviendo para 1K  queda 11 211 »¼º«¬ª ¦ni iY KKK , de donde se obtiene 46La Metodología de la Verosimilitud Empírica   ¦  njjiiYYw11212KK.  Para encontrar P  , hay que resolver , o sea, resolver: > @  012 loglog rnwnii  ¦ K    0112121loglog rYYnnjjini »»»»¼º««««¬ª¦¦  KK, buscando para 2K  entre  y . Para encontrarf )1(YP  se tiene que buscar para 2K  entre   y   )(nY f . Una vez determinado el valor de 2K , se calculan los pesos  y con ellosiw P  y P .Programas computacionales utilizados Se elaboraron dos programas en Matlab 6.5 reléase 13, con las siguientes características: 1) UFunctionPrincipalEste programa permite calcular los intervalos de verosimilitud empírica y paramétrica, además de los tradicionales, para datos generados a partir de una distribución normal Los parámetros que se pueden variar en el programa son: x La varianza x La media x Valor del umbral x Tamaño de la muestra b) UPrincipalNoNormalEste programa genera observaciones según una distribución normal y luego destruye la normalidad, de acuerdo a  la selección del usuario, al cual se le pide que introduzca el número de observaciones a eliminar y el lugar donde éstas serán eliminadas; usando la siguiente notación:0 o al extremo izquierdo 1 o al extremo derecho 2 o a ambos extremos el usuario debe seleccionar los parámetros de entrada de la misma forma que se hace en el programa UfunctionPrincipalAnálisis de las corridas a) Bajo normalidad de las observaciones 1. La verosimilitud paramétrica (VP), por lo general produce intervalos más estrechos que la que produce  la verosimilitud empírica (VE) 47Acta Latinoamericana de Matemática Educativa Vol.182. La verosimilitud empírica produce intervalos que contienen al verdadero valor del parámetro con una frecuencia altísima (0.9788), mientras que la frecuencia correspondiente a la verosimilitud paramétrica  es muy baja (0.55) 3. Los intervalos basados en la VP son más críticos para tamaños de varianza moderados (16), no presentan diferencia de acuerdo a los tamaños muestrales. El cambio de un valor de   a  1465.0 r 0359.0 r   introduce una ligera diferencia, favoreciendo al valor  0.1465. 4. Para la verosimilitud empírica se reportó la menor amplitud promedio para el tamaño muestral más pequeño (n = 20), sin embargo para la verosimilitud paramétrica se obtuvo en el tamaño muestral más grande (n = 60). 5. Con ambas verosimilitudes, mientras más pequeña es la varianza se obtienen intervalos de amplitudes más pequeñas. 6. Las diferencias entre las amplitudes promedios para los dos valores del umbral considerados, son pequeñas. 7. La amplitud máxima-mínima se obtuvo siempre con la VP  con una frecuencia de   0.8527,  las amplitudes de los intervalos basados en la VE superaron esas máximas- mínimas.b) Bajo distribuciones asimétricas o distribuciones con colas truncadas. 1. No se observan diferencias notables en las amplitudes promedios de los intervalos correspondientes a ambas verosimilitudes, cuando varía el tamaño de la muestra. 2. El cambio del valor del umbral de  0.1465  a  0.0359  afecta más cuando se trabaja con la verosimilitud paramétrica. 3. Con varianzas pequeñas las dos verosimilitudes arrojan intervalos de longitudes promedios similares y la diferencia crece en la medida que crece la varianza, favoreciendo a la verosimilitud paramétrica.Conclusiones 1) El trabajo que se presenta abarca la teoría relativa a la estimación de intervalos de confianza para la media,2) Se analiza el comportamiento de los intervalos de verosimilitudes empíricas y paramétricas, a través de estudios por simulaciones. 3) Los intervalos de confianza basados en la VE con mayor frecuencia contienen a la verdadera media y son más amplios que los basados en la VP Referencias Bibliográficas  Owen, A. (2001). Empirical Likelihood. Monographs on Statistics and Applied Probability 92. London: Chapman & Hall/CRC. Cox, R. &  Hinkley, V. (1974). Theoretical Statistics. London: Chapman & Hall.48La Metodología de la Verosimilitud Empírica Castell, E. y Delgado, G. (2004). Intervalos de confianza para la media basados en la verosimilitud paramétrica y empírica: un estudio comparativo por simulación. XII Congreso Latino-Iberoamericano de Investigación de Operaciones y Sistemas. La    Habana, Cuba. Delgado, G. (2004). Intervalos de confianza paramétricos y basados en la verosimilitud empírica. Tesis de Maestría, Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Guerrero, México. DiCiccio, T.J., P.Hall, y J.P.Romano (1989). Comparison of Parametric and Empirical Likelihood Functions. Biométrica, 76(3), 465-476. Hall, P. (1990). Pseudo-Likelihood Theory for Empirical Likelihood. Ann. Stat., 18(1), 121-140. 49

La metodología de la verosimilitud empírica

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