Se presenta una manera de solucionar ecuaciones cuadráticas a partir de las proposiciones 5 y 6 del libro II de los Elementos de Euclides. Se estudian estas proposiciones, su demostración y aplicación en la solución de las ecuaciones cuadráticas resaltando su valor didáctico. Se presenta además la solución de algunas de las ecuaciones cuadráticas que distinguía Al-Kharizmi, quien utilizaba, al igual que Euclides, la aplicación de áreas en su resolución

Luque, Carlos Julio

Montes, Carlos

Sánchez, Diana

Funes

SOLUCIO´N DE ECUACIONESCUADRA´TICAS A PARTIR DE LOSELEMENTOS DE EUCLIDESDiana Sa´nchez Sa´nchez Carlos Montes FajardoEstudiante Universidad Pedago´gica Nacional Estudiante Universidad Pedago´gica NacionalBogota´ D.C, Colombia Bogota´ D.C, Colombiadiana milena s@hotmail.com dma63 cmontes@uni.pedagogica.edu.coCarlos Julio Luque AriasProfesor Universidad Pedago´gica NacionalBogota´ D.C, Colombiacaluque@uni.pedagogica.edu.coResumenSe presenta una manera de solucionar ecuaciones cuadra´ticas a partir dede las proposiciones 5 y 6 del libro II de los Elementos de Euclides. Seestudian estas proposiciones, su demostracio´n y aplicacio´n en la solucio´nde las ecuaciones cuadra´ticas resaltando su valor dida´ctico. Se presentaadema´s la solucio´n de algunas de las ecuaciones cuadra´ticas que distingu´ıaAl-Kharizmi, quien utilizaba, al igual que Euclides, la aplicacio´n de a´reasen su resolucio´n.1. Introduccio´nLa historia de la matema´tica ha sido estudiada por la dida´ctica de la matema´ticabajo distintos puntos de vista: desde informaciones histo´ricas que sirven paramotivar un nuevo tema, hasta la construccio´n de secuencias dida´cticas inspiradasen la progresio´n histo´rica seguida en el desarrollo de algunas teor´ıas. En cualquiercaso, la historia nos ofrece diferentes situaciones las cuales pueden ser la base deactividades dida´cticas en el aula e incluso puede ser utilizada por el profesorcomo referencia para anticipar dificultades o errores posibles en el aprendizajedel estudiante.Este trabajo centra su intere´s en la resolucio´n de ecuaciones cuadra´ticas dentrode su marco histo´rico, partiendo del contexto geome´trico que sirvio´ como base enMemorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticala antigu¨edad, con el fin de que puedan ser utilizados tambie´n hoy como contextopara la construccio´n de este concepto en aula.Este hecho permite satisfacer diversas necesidades como:Representar las matema´ticas como parte de la cultura humana que evolu-ciona con ella, preparando as´ı el terreno para llegar a la organizacio´n de losconceptos matema´ticos que tienen actualmente.Reconocer la importancia del lenguaje simbo´lico y de las te´cnicas, y lasinsuficiencias y ambigu¨edades de cada formalismo.Construir y profundizar los conceptos matema´ticos que se han elegido porla diversidad con la cual cada e´poca los presenta.Se puede crear una secuencia de situaciones dida´cticas, basadas en la reflexio´nsobre los me´todos de solucio´n de las ecuaciones cuadra´ticos utilizados en cadae´poca, viendo las posibilidades y los l´ımites de cada uno en particular, insistiendoen los estudiantes la idea de que las matema´ticas evolucionan y que no son unaciencia hecha y esta´tica.2. El A´lgebra Geome´trica2.1. EuclidesLos griegos, aunque se cree que conoc´ıan los me´todos de los babilonios(me´todospuramente algebraicos) para la resolucio´n de ecuaciones, desarrollaron me´todosgeome´tricos para resolverlas y comprobar algunas de sus propiedades propiedades.En el libro II de Los Elementos, de Euclides(300 a. De C.), hay 14 proposi-ciones que permiten resolver problemas algebraicos. Actualmente, nuestra a´lge-bra simbo´lica los podr´ıa resolver ra´pidamente, pero el a´lgebra geome´trica resultaimportante en la escuela por su valor dida´ctico, debido a que sus procedimien-tos involucra la aplicacio´n de a´reas, situacio´n que es ma´s significativa para losestudiantes que una simple transposicio´n simbo´lica.A continuacio´n se presenta un me´todo de solucio´n para las ecuaciones cuadra´ticasde la formaax− x2 = b2 y ax+ x2 = b2.300Solucio´n de Ecuaciones Cuadra´ticas a partir de Los Elementos . . .Basada en la proposicio´n 5 de los elementos de Euclides, procedimiento conocidocomo “aplicacio´n de a´reas ”.Proposicio´n 5. Si se divide una recta en partes iguales y desiguales, el recta´ngulocomprendido por las partes desiguales de la recta entera, mas el cuadrado de ladiferencia entre una de las dos partes iguales y una parte desigual, es equivalenteal cuadro de la mitad de la recta dada.A G D BK L TME H ZNXDemostracio´n. Div´ıdase la recta AB en partes iguales por el punto G y en partesdesiguales por el punto D. Constru´yase el cuadrado GEZB sobre la recta GB;tra´cese la BE; por el punto D la DH paralela a GE y BZ; por el T la KMparalela a las AB y EZ y por el A la AK paralela a las GL y BM . Puestoque los complemento GT y TZ son iguales, an˜a´dase el DM comu´n y entonces elrecta´ngulo entero GM sera´ equivalente al DZ entero; pero el GM es igual al ALpor que la recta AG es igual a la GB, y, por tanto, el AL tambie´n sera´ igual alDZ. An˜a´dase el recta´ngulo GT comu´n, entonces el AT sera´ equivalente al gnomonMNX; pero el AT esta comprendido por las rectas AD y DB por que la DTes igual a la DB; luego el gnomon MNX sera´ equivalente a dicho recta´ngulo.An˜a´danse ahora el LH comu´n, que equivale a cuadrado de GD y el gnomonMNX mas el cuadrado LH sera´ equivalente al recta´ngulo comprendido por lasrecta AD y DB mas el cuadrado de GD; pero el gnomonMNX y el cuadrado LHforman el cuadrado GEZB, que es el construido sobre GB; luego el recta´ngulocomprendido por las rectas AD y DB mas el cuadrado de GD equivale a cuadradode GB.A continuacio´n mostraremos una secuencia lo´gica, que se puede convertir en se-cuencia dida´ctica, para el caso de la solucio´n de ecuaciones cuadraticas de laforma ax − x2 = b2, cuya proposicio´n final es la proposicio´n 5 del libro II deEuclides. (Debe leerse de abajo hacia arriba)301Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaProposicio´n 5 del libro III-NC1 I-NC2 II-DEF2 I-PRO43I-NC3 I-PRO4 I-PRO34I-PRO31 I-PRO46 I-PRO10I-PRO26 I-PRO27I-PRO27I-PRO16I-PRO4 I-PRO15 I-PRO10I-PRO13I-NC3I-PRO11I-NC2I-NC1I-NC1 I-PRO33 I-PRO31 I-PRO11I-PRO8 I-PRO1I-PRO4 I-PRO9 I-PRO1I-NC9 I-PRO8 I-PRO1 I-NC1I-PRO7I-PRO5 I-PRO2I-NC3 I-PRO4 I-NC1 I-NC3 I-PRO1ma´s concisamente las Nociones Comunes, Definiciones y Proposiciones que seutilizan son los siguientes:Libro I Nocio´n Comu´n 1 Libro I Nocio´n Comu´n 2Libro I Nocio´n Comu´n 3 Libro I Nocio´n Comu´n 9Libro I Proposicio´n 1 Libro I Proposicio´n 2Libro I Proposicio´n 4 Libro I Proposicio´n 5Libro I Proposicio´n 7 Libro I Proposicio´n 8Libro I Proposicio´n 9 Libro I Proposicio´n 10Libro I Proposicio´n 11 Libro I Proposicio´n 13Libro I Proposicio´n 15 Libro I Proposicio´n 26Libro I Proposicio´n 27 Libro I Proposicio´n 31Libro I Proposicio´n 33 Libro I Proposicio´n 34302Solucio´n de Ecuaciones Cuadra´ticas a partir de Los Elementos . . .Libro I Proposicio´n 43 Libro I Proposicio´n 46Libro II Definicio´n 2De otra forma, para resolver la ecuacio´n de segundo gradoax − x2 = b2, la aplicacio´n de la proposicio´n anterior equivale a lo siguiente:sobre la l´ınea recta AB, determinamos un segmento AB = a y construimos unrecta´ngulo ABMK de a´rea a ·x. Fijando en e´ste un cuadrado de lado x, DBMT ,obtenemos un nuevo recta´ngulo ADTK de a´rea ax− x2, que es igual al a´rea deun cuadrado de lado b.Completando ahora la figura con otro cuadrado de ladoa2, GBFE, se deduce,del uso de la Proposicio´n 5 que el cuadrado GBFE de a´rea(a2)2excede delrecta´ngulo ADTK de a´rea ax− x2 = b2, en el cuadrado LTHE de lado a2− x;en nuestra notacio´n se tendr´ıa,(ax− x2) +((a2)− x)2=(a2)2b2 +((a2)− x)2=(a2)2((a2− x)2=(a2)2− b2(a2)− x =√(a2)2− b2x =(a2)−√(a2)2− b2que permite solucionar la ecuacio´n dada ax− x2 = b2.EjemploPara solucionar la ecuacio´n 10x − x2 = 21, se realiza el siguiente procedimientoutilizando la proposicio´n 5:5− x5x10x2303Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´tica(10x − x2) + (5− x)2 = 5221 + (5− x)2 = 25(5− x)2 = 45− x = 23 = xPara la solucio´n de ecuaciones cuadraticas de la forma ax + x2 = b2, Podemosusar la proposicio´n 6 de los Elementos de Euclides,que dice:Proposicio´n 6. Si se divide una recta en dos partes iguales y se prolonga, elrecta´ngulo comprendido por la recta entera, ma´s la prolongacio´n, y por la prolon-gacio´n, junto con el cuadrado de la recta mitad y la prolongacio´n.A G DBK L TME H ZNXODemostracio´n. Div´ıdase la recta AB en dos por el punto G y prolo´nguese hastaD. Constru´yase sobre la recta GD el cuadrado GEZD; tra´cese la DE; por elpunto B la BH paralela a las EG y DZ; por el T la KM paralela a las AB yEZ y por el A la AK paralela a las GL y DM .Puesto que AG es igual a GB, tambie´n sera´ igual al recta´ngulo AL al GT , y comoeste es igual al TZ, el AL sera´ igual al TZ.Si se an˜ade el recta´ngulo comu´n GM , el AM sera´ equivalente a gnomon NXO;pero el AM esta´ comprendido por las rectas AD y DB porque DM es igual DB;luego tambie´n el gnomon NXO sera´ equivalente al recta´ngulo comprendido porAD y DB y si se an˜ade el recta´ngulo comu´n LH, que equivale al cuadrado deGB, el recta´ngulo comprendido por AD y DB mas el cuadrado de GB equivalenal gnomon NXO y el cuadrado LH; pero el gnomon y este cuadrado forman elcuadrado GEDZ que es el construido sobre GD, l.q.q.d.A continuacio´n mostraremos una secuencia lo´gica, para la solucio´n de ecuacionescuadraticas de la forma ax − x2 = b2, cuya proposicio´n final es la proposicio´n 5del libro II de Euclides.304Solucio´n de Ecuaciones Cuadra´ticas a partir de Los Elementos . . .Proposicio´n 6 del libro III-NC1 I-NC2 II-DEF2 I-PRO43I-NC3 I-PRO4 I-PRO34I-PRO31 I-PRO46 I-PRO10I-PRO26 I-PRO27I-PRO27I-PRO16I-PRO4 I-PRO15 I-PRO10I-PRO13I-NC3I-PRO11I-NC2I-NC1I-NC1 I-PRO33 I-PRO31 I-PRO11I-PRO8 I-PRO1I-PRO4 I-PRO9 I-PRO1I-NC9 I-PRO8 I-PRO1 I-NC1I-PRO7I-PRO5 I-PRO2I-NC3 I-PRO4 I-NC1 I-NC3 I-PRO1I-PRO34I-PRO29 I-PRO36de una forma mas sinte´tica las Nociones Comunes, Definiciones y Proposicionesque se utilizan son los siguientes:Libro I Nocio´n Comu´n 1 Libro I Nocio´n Comu´n 2Libro I Nocio´n Comu´n 3 Libro I Nocio´n Comu´n 9Libro I Proposicio´n 1 Libro I Proposicio´n 2Libro I Proposicio´n 4 Libro I Proposicio´n 5Libro I Proposicio´n 7 Libro I Proposicio´n 8Libro I Proposicio´n 10 Libro I Proposicio´n 11305Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaLibro I Proposicio´n 13 Libro I Proposicio´n 15Libro I Proposicio´n 16 Libro I Proposicio´n 26Libro I Proposicio´n 27 Libro I Proposicio´n 29Libro I Proposicio´n 31 Libro I Proposicio´n 33Libro I Proposicio´n 34 Libro I Proposicio´n 36Libro I Proposicio´n 43 Libro I Proposicio´n 46Libro II Definicio´n 2Es decir que, para resolver la ecuacio´n de segundo grado ax + x2 = b2, la apli-cacio´n de la proposicio´n anterior equivale a lo siguiente: sobre la l´ınea recta AB,determinamos un segmento AB = a y construimos, por una parte, un segmentoABTK de a´rea a ·x, y de otra , por prolongacio´n del segmento AB el recta´nguloADMK de a´rea ax + x2, que exceda al recta´ngulo anterior en un cuadrado dea´rea x2, y que es igual al a´rea de un cuadrado de lado b, es decir, ax+ x2 = b2.Completando ahora la figura con otro cuadrado de lado a2, LTHE y con elrecta´ngulo de lados x ya2, TMZH, en nuestra notacio´n se tendr´ıa,ax+ x2 +(a2)2=(a2+ x)2b2 +(a2)2=(a2+ x)2√b2 +(a2)2=√(a2+ x)2√b2 +(a2)2=a2+ xx =√b2 +(a2)2− a2que permite solucionar la ecuacio´n ax+ x2 = b2.EjemploPara solucionar la ecuacio´n 6x + x2 = 72, se realiza el siguiente procedimiento:306Solucio´n de Ecuaciones Cuadra´ticas a partir de Los Elementos . . .3 + x36x6x x232(10x+ x2) + 32 = (3 + x)272 + 9 = (3 + x)281 = (3 + x)29 = 3 + x6 = x2.2. Al-Khwarizmi“Mamad ben Musa al-Khwarizmi”es considerado uno de los precursores del a´lge-bra por la importancia de su obra y la forma como este resolv´ıa las ecuaciones.nacio´ y murio´ en Bagdad, se sabe poco de sus primeros an˜os. Seguramente eraoriginario de la ciudad persa de Khwarizmi (actual Jiva). Fue matema´tico, as-tro´nomo y geo´grafo. Su contribucio´n a las matema´ticas esta´ estudiada con algunaextensio´n en El legado del Islam (pa´g. 498-504). Es posible que fuera e´l quien dioa nuestros lenguajes el te´rmino “a´lgebra”, por el t´ıtulo de su libro al-Jabr wa’l-muqabala, esto es, “Ciencias de Reduccio´n y Cancelacio´n”. Su importancia enla historia de las matema´ticas no estriba en este interesante detalle, sino en elhecho de que fue el primero en presentar un tratado sistema´tico sobre tal materia.Tomo´ tanto de los conocimientos griegos como de los hindu´es, e influyo´ en el pen-samiento matema´tico ma´s que ningu´n otro escritor medieval. Su principal aporteconsistio´ en la aplicacio´n de los nombres de los nu´meros hindu´es a la solucio´nnume´rica de las ecuaciones. Y en segundo lugar, su contribucio´n, “a la solucio´nde las ecuaciones lineales que constituyo´ el reconocimiento definitivo de la apli-cacio´n de axiomas a la transposicio´n de te´rminos y la reduccio´n de fraccionesimpl´ıcitas a expl´ıcitas”. Sus dos soluciones a la ecuacio´n cuadra´tica x2 + px = qestaban basadas en me´todos griegos. Por otra parte, no considero la ra´ız nega-tiva, lo mismo que los posteriores escritores persas, de hecho, no fue reconocidahasta el siglo XVII. Ni tampoco se intereso´ por las ecuaciones cu´bicas, aunque elte´rmino “cubo”tuvo que serle familiar.307Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaEl escritor musulma´n iran´ı Muhammad Ibn Husain Bahaudd´ın al-Amil´ı (1547-1621) dice que, segu´n al-Khwarizmi, la reduccio´n de una ecuacio´n se lleva acabo utilizando las operaciones de al-jabr (“completacio´n”, el proceso de re-mover te´rminos negativos de la ecuacio´n) y al-muqabala (“balanceo”, el procesode reducir los te´rminos positivos de la misma potencia cuando suceden de am-bos lados de la ecuacio´n. Luego, Al-Khwarizmi, basandose en estas operaciones,muestra co´mo resolver los seis tipos de ecuaciones, usando me´todos de solucio´nalgebraicos y geome´tricos.La cuales son:Cuadrados iguales a ra´ıces.Cuadrados iguales a nu´meros.Ra´ıces iguales a nu´meros.Cuadrados y ra´ıces iguales a nu´meros, es decir ; x2 + bx = cCuadrados y nu´meros iguales a ra´ıces, es decir ; x2 + c = bxRa´ıces y nu´meros iguales a cuadrados, es decir ; bx+ c = x2A continuacio´n se presenta el me´todo de solucio´n de Al - Khwarizmi para los tresu´ltimos casos.Cuadrados y ra´ıces iguales a nu´meros x2 + bx = c.Por ejemplo, para resolver la ecuacio´n x2 + 10x = 39, se escribe :un cuadrado y diez ra´ıces son iguales a 39 unidades. O sea, cua´l es el cuadradoque, combinado con diez de sus ra´ıces, dara´ una suma total de 39. La manerade resolver este tipo de ecuacio´n es tomar la mitad de las ra´ıces mencionadas.Ahora, las ra´ıces en el problema que tenemos ante nosotros son diez. Por lo tanto,tomamos 5 que multiplicadas por s´ı mismas dan 25, una cantidad que agregara´s a39 dando 64. Habiendo extra´ıdo la ra´ız cuadrada de esto, que es 8, sustraemos deall´ı la mitad de las ra´ıces, 5, resultando 3. Por lo tanto el nu´mero tres representauna ra´ız de este cuadrado.308Solucio´n de Ecuaciones Cuadra´ticas a partir de Los Elementos . . .5 x5x52 5xx25xComo vemos, no inclu´ıan te´rminos negativos y las soluciones negativas tampocoeran aceptadas. Segu´n el algoritmo anterior se pod´ıa llegar a la siguiente formulapara resolver x2 + bx = c :x2 + 2( b2)x = cx2 + 2( b2)x+( b2)2= c+( b2)2(x+b2)2= c+( b2)2x+b2=√c+( b2)2x =√c+( b2)2− b2b2xb2x( b2)2 ( b2)xx2( b2)xCuadrados y nu´meros iguales a ra´ıces x2 + c = bxPara resolver esta ecuacio´n, supon´ıa que x2 estaba representado por un cuadrado,de modo que un lado de este cuadrado era x , a partir de este constru´ıan unrecta´ngulo cuya a´rea era c. La figura entera, o sea el recta´ngulo valdra´ x2 + c309Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticay tambie´n bx , puesto que un lado del recta´ngulo es x , el otro lado valdr´ıa b.Tomando el punto medio de este lado, es decir,b2y construyendo un cuadradoque valdr´ıa( b2)2.xbb2b2− xx2 cSe puede ver que hay dos recta´ngulos iguales en la figura, entonces el a´rea delcuadro negro valdra´( b2− x)2, luego se tendra:( b2− x)2+ c =( b2)2( b2− x)2=( b2)2− cb2− x =√( b2)2− cx =b2−√( b2)2− cEjemploResolver la ecuacio´n x2 + 21 = 10x Aplicando el metodo se obtenia que:x1055− xx2 21310Solucio´n de Ecuaciones Cuadra´ticas a partir de Los Elementos . . .(5− x)2 + 21 = 52(5− x)2 = 25− 21(5− x)2 = 45− x = 2x = 3Ra´ıces y nu´meros iguales a cuadrados bx+ c = x2Representa x2 por el cuadrado ABCD cuyo lado AB es x, y tomando BE iguala b, de modo que EFCB representa bx y, por consiguiente ADFE sera´ igual ac puesto que bx+ c = x2. Tomando el punto medio G de EB y construyendo elcuadrado EGHI que valdr´ıa( b2)2y el AGKL, el recta´ngulo LDFM sera´ iguala IHKM por ser LD = GB = EG = IH yLM = IM = AG − EG; luego el cuadrado ALKG equivale a la suma delrecta´ngulo ADFE y del cuadrado EGHI y valdra´ por lo tanto c +(b2)2y sulado AG =√c+(b2)2luego;x =√c+( b2)2+b2A L DEI M FGH KB CEjemploResolver la ecuacio´n x2 = 3x + 4. Representa x2 por el cuadrado ABCD cuyolado AB es x, y tomando BE igual a 3, de modo que EFCB representa 3x y,por consiguiente ADFE sera´ igual a 4 puesto que 3x+4 = x2. Tomando el puntomedio G de EB se construye el cuadrado EGHI de a´rea94y el cuadrado AGKL.311Memorias XV Encuentro de Geometr´ıa y III de Aritme´ticaEl recta´ngulo LDFM sera´ igual a IHKM por ser LD = GB = EG = IHy LM = IM = AG − EG; luego el cuadrado ALKG equivale a la suma delrecta´ngulo ADFE y del cuadrado EGHI y valdra´ por lo tanto 4 +94y su ladoAG =√4 +94luego;x =√4 +94+32x = 4Bibliograf´ıa[1] EUCLID, The thirteen books of Euclid´s elements, Volume I Introductionand Books I,II., Dover Publications, Inc, New York.[2] LUQUE, C., MORA, L., PAEZ, J., Actividades matema´ticas para el desa-rrollo de procesos lo´gicos: contar e inducir, Universidad Pedago´gica Nacional,Ediciones Antropos, 2002.[3] El Phys, Historia descriptiva de las ciencias matema´ticas., Vol II.312

Solución de ecuaciones cuadráticas a partir de los elementos de Euclides

http://funes.uniandes.edu.co/5856/1/S%C3%A1nchezSoluci%C3%B3nGeometr%C3%ADa2005.pdf

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