U informatici se često pojavljuju zadatci tipa koliko ima
različitih objekata koji zadovoljavaju neke uvjete. Pristup
rješavanja takvih zadataka je specifičan pa je njihova riješenost
vrlo niska. Ovdje će biti prikazani neki od najčešćih načina
rješavanja

Goran Žužić

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia

“cas10” — 2007/3/8 — 18:34 — page 11 — #11pilαy√matχ                               Kombinatorni algoritmi                               Goran Zˇuzˇic´U informatici se cˇesto pojavljuju zadatci tipa koliko ima razlicˇitih objekata koji zadovoljavajuneke uvjete. Pristup rjesˇavanja takvih zadataka je specificˇan pa je njihova rijesˇenost vrlo niska.Ovdje c´e biti prikazani neki od najcˇesˇc´ih nacˇina rjesˇavanja.Osnovna idejaPretpostavimo da imamo dovoljno vremena za generiranje svih moguc´ih objekata pojedinacˇno.Trazˇeni objekt obicˇno se mozˇe rasˇcˇlaniti na podobjekte (npr. rijecˇi na slova) koje pojedinacˇnofiksiramo i tako generiramo ono sˇto se od nas trazˇi.Primjer 1. Ispiˇsi sve rijecˇi duljine dva koristec´i samo mala slova engleske abecede.Rjesˇenje. Recimo da na pocˇetku imamo dvije prazne kuc´ice u koje upisujemo slova. Prvo c´emou prvu kuc´icu upisati slovo ’a’ i onda generirati sve rijecˇi duljine 1 na koje c´emo s lijeve straneprilijepiti slovo a. Potom c´emo isto napraviti za b i tako dalje. . .a aa ba ca d......g ig j......z yz zOvaj nacˇin generiranja lako bismo mogli napisati u pseudokodu. . .procedura generiraj(duljina, rijecˇ S);ako duljina=0ispiˇsi(S);prekini proceduru;u suprotnomza c=’a’ do ’z’ radigeneriraj(duljina−1, S+c)XNasˇ je zadatak na primjer bio da prebrojimo broj takvih rijecˇi (bez formule). Mogli bismo,naravno, umjesto ispisa staviti neki brojacˇ koji bi brojao takve rijecˇi, ali to bi za vec´e vrijednostitrazˇene duljine bilo nemoguc´e zbog velicˇine rjesˇenja.Da radimo s brojacˇem, primijetili bismo da funkcija generiraj stvara isti broj rijecˇi ovisno oargumentu duljini (generiraj(1,S) uvijek generira 26 rijecˇi), pa se ona poziva sa istim argumentomviˇse puta. Ovaj problem viˇsestrukog izracˇunavanja istih vrijednosti nalazi se u cˇlanku o dinamicˇkomprogramiranju.1. Prije nego sˇto krenete dalje cˇitati, bilo bi preporucˇljivo da procˇitate taj cˇlanak.Broj rijecˇi u proceduri generiraj ne ovisi o vec´ fiksiranim slovima, pa slova uopc´e nemaju utjecajana krajnji rezultat. Zbog toga bi dinamicˇko rjesˇenje ovog zadatka izgledalo ovako:F [0] := 1;za I = 1 do duljina radiza c=’a’ do ’z’ radiF [I ] = F [I ] + F [I − 1];Isto tako znamo da postoji 26 ravnopravnih slova u engleskoj abecedi:1Ivo Sluganovic´: Dinamicˇko programiranje, PlayMath br. 7 (2005.)http://playmath.skolstvo.t-com.hr 11“cas10” — 2007/3/8 — 18:34 — page 12 — #12pilαy√matχF [0] = 1;za I = 1 do duljina radiF [I ] = 26 · F [I − 1]Ovo nas opet dovodi do izravne formule koja glasi 26duljina. . .Primjer 2. Koliko ima rijecˇi duljine manje od 20 slova u kojima su sva slova zapisana u neopadajuc´emporetku ako gledamo englesku abecedu (npr. ”g”, ”azz” ili ”abcz”)?Rjesˇenje. Primijetit c´emo da broj generiranih rijecˇi u generatoru viˇse ne ovisi samo o preostalojduljini, nego i o zadnjem slovu. Te su informacije sve sˇto trebamo pamtiti da bismo izracˇunalitrazˇeni broj. Algoritam izgleda ovako:funkcija prebroji(duljina, zadnje slovo)ako smo prije nasˇli vrijednost za argumente (duljina, zadnje slovo) nemamo sˇto racˇunatisuma = 0za svako slovo c od zadnje slovo do ’z’suma = suma + prebroji(duljina-1, c)zapamti u matrici vrijednost suma za argumente (duljina, zadnje slovo)vrati sumaTrazˇenu vrijednost dobit c´emo ako pozovemo prebroji(duljina, ’a’). Sada mozˇemo primijetitida je ovakav problem jako tesˇko analiticˇki rijesˇiti matematicˇkim metodama, puno je laksˇe rjesˇivdinamicˇkim programiranjem.Ovakav algoritam vrlo je efikasan jer c´e se funkcija prebroji izvrsˇavati najviˇse 20 · 26 puta(viˇsestruki pozivi sa istim argumentom odmah c´e se prekinuti zbog memoizacije rjesˇenja), a pritomse petlja izvrsˇiti najviˇse 26 puta, sˇto nam daje najvec´u slozˇenost od 20 · 26 · 26 = 13520 operacija(nekoliko nanosekundi na danasˇnjem racˇunalu). XArgumente funkcije koja nam sluzˇi za prebrojavanje objekata u daljnjem c´emo tekstu zvati stanjedinamicˇkog rjesˇenja. Dakle, stanje u ovom problemu opisano je duljinom i zadnjim slovom u rijecˇi.Primjer 3. Na koliko se nacˇina mozˇe od N objekata izabrati njih K? (N ≤ 20, K ≤ N)Rjesˇenje. Lako mozˇemo shvatiti da je rjesˇenje ovoga ekvivalentno binomnom koeficijentu(NK)koji je jednak2: (NK)=N !(N −K)!K! .Ovakvu formulu mozˇemo lako i efikasno izracˇunati, ali c´e se pritom javiti problem preciznosti jer c´esrednje vrijednosti koje dobivamo racˇunanjem daleko premasˇiti okvir podataka kojima raspolazˇemoiako c´e krajnji rezultat biti relativno malen (20! > 1018). Stoga c´emo pokusˇati nac´i drugi nacˇinrjesˇavanja.Kada pokusˇavamo izracˇunati(NK), promotrimo N -ti objekt. Postoje dvije moguc´nosti: ili c´emoga uzeti ili ga nec´emo uzeti. Te se moguc´nosti ne preklapaju, a ujedno pokrivaju sva moguc´a rjesˇenja.Ukoliko ga uzmemo, onda josˇ moramo u preostalih N−1 objekata uzeti K−1 istih, a ako ga nec´emouzeti, onda u preostalim objektima moramo uzeti njih K, pa prema tome mozˇemo napisati relaciju:(NK)=(N − 1K − 1)+(N − 1K).(Ova formula zove se Pascalova formula.3) Ovakav nacˇin rjesˇavanja uvijek c´e izracˇunati tocˇnuvrijednost broja pod uvjetom da krajnji rezultat stane u koriˇsteni tip podataka:2Po definiciji M ! = M(M − 1) · · · 2 · 1.3Blaise Pascal, (1623. – 1662.) veliki francuski matematicˇar12 PlayMath br. 10 (2006.)“cas10” — 2007/3/8 — 18:34 — page 13 — #13pilαy√matχfunkcija B(n, k)ako smo vec´ izracˇunali vrijednost za (n, k) vrati tu vrijednostako k = 1 onda vrati nako n = k onda vrati 1ako k > n onda vrati 0vrati i zapamti vrijednost B(n− 1, k − 1) + B(n− 1, k)XUvijek treba izracˇunati sve vrijednosti koje mozˇemo izravno dobiti.Primjer 4. Koliko ima rijecˇi sastavljenih od znakova {’a’, ’b’, ’c’} duljine n ≤ 30 koje u sebi ne sadrzˇerijecˇ S? Za n = 3, S = ”ab”, program bi trebao vratiti vrijednost 21 (aaa, aac, aca, acb, acc, baa, bac,bba, bbb, bbc, bca, bcb, bcc, caa, cac, cba, cbb, cbc, cca, ccb, ccc).Rjesˇenje. Koristili bismo ovakav algoritam da zˇelimo prvo generirati sve takve rijecˇi:procedura generiraj(n, rijecˇ R)ako su je sufiks od R jednak S-u tada prekini izvrˇsavanjeako n = 0 ispiˇsi R te prekini izvrˇsavanjegeneriraj(n− 1, R+’a’)generiraj(n− 1, R+’b’)generiraj(n− 1, R+’c’)Svaki put kada pokusˇamo staviti zabranjenu rijecˇ S, program c´e prekinuti daljnje grananje terijecˇi, ali kada bismo kao i ranije pokusˇali proceduru generiraj promijeniti u funkciju prebroji, nebismo dobili nikakvo ubrzanje jer se na prvi pogled stanja uopc´e ne poklapaju (funkcija nec´e nikadabiti pozvana viˇse puta s istim argumentom). Potom mozˇemo uvidjeti da ako je S =”bbb”, da c´eprebroji(10, ”aa”) te prebroji(10, ”bc”) vratiti uvijek isti rezultat. Odgovor na pitanje zasˇto je totako lezˇi u cˇinjenici da ovo sˇto nas zanima nije cijela rijecˇ koju smo prije generirali nego samo njezinnajvec´i sufiks koji je ujedno i prefiks zabranjene rijecˇi S. Imajuc´i to na umu, jasno je da se stanjemozˇe opisati preostalom duljinom, te brojem slova u sufiksu generirane rijecˇi koja podudaraju sarijecˇju S. Takav pristup dovodi nas do algoritma sa najvec´om slozˇenosti 30 · 30:funkcija prebroji( n, rijecˇ R )odbaci prefiks od R koji ne mozˇe sudjelovati u daljnjem stvaranju rijecˇi Sako smo izracˇunali vrijednost za (n, R), vratimo jusuma = 0suma = suma + prebroji(n− 1, R+’a’)suma = suma + prebroji(n− 1, R+’b’)suma = suma + prebroji(n− 1, R+’c’)vrati te zapamti sumaXDakle, osnovna ideja svih ovakvih problema je da nademo zajednicˇko stanje pomoc´u kojegmozˇemo opisati objekt koji moramo napraviti, a potom nademo relaciju izmedu stanja. Pone-kad stanje nije toliko ocˇito kao u primjeru 2. i 4., gdje smo morali uvesti nove argumente funkcijikako bismo efikasno mogli izracˇunati trazˇeni podatak, ali u vec´ini zadataka ono je vidljivo na prvipogled, pogotovo nakon nekoliko provjezˇbanih zadataka.Zadatci za vjezˇbuZa kraj slijedi nekoliko zadataka za vjezˇbu:1. Na koliko nacˇina mozˇemo pravilno napisati n ≤ 50 otvorenih/zatvorenih zagrada? Za n = 3rezultat je 5, a nizovi su: ”((()))”, ”()(())”, ”(())()”, ”(()())” te ”()()()”.ulaz: 7 rezultat: 1430http://playmath.skolstvo.t-com.hr 13“cas10” — 2007/3/8 — 18:34 — page 14 — #14pilαy√matχ2. Koliko ima razlicˇitih permutacija brojeva 1, 2, . . .N ≤ 50 takvih da oni tvore tocˇno K rastuc´ihpodnizova (uzastopnih znakova)? Niz 1, 3, 2 ima dva rastuc´a podniza (1, 3) te (2).3. Na koliko nacˇina mozˇemo grupu od N ≤ 13 ljudi jedinstvenih visina poredati u neki redoslijedtako da tocˇno A njih vidi lijevo, a tocˇno B njih desno? Osoba vidi na neku stranu ako joj seu tom smjeru ne nalazi nijedna osoba viˇsa od nje.ulaz: 10 4 4 rezultat: 90720ulaz: 3 1 2 rezultat: 14. Nadi sumu f(1) + f(2) + . . . f(n) gdje n ≤ 10000 ako definiramo:f(x) :=0, ako je x = 1;1 + f(x/2), ako je x paran;1 + f(3x + 1), inacˇe.ulaz: 2 rezultat: 35. Koliko ima rijecˇi duljine n ≤ 39 sastavljenih od {’a’, ’b’, ’c’} takvih da u sebi ne sadrzˇe ni S1ni S2?ulaz: 3 ab ba rezultat: 17ulaz: 5 abc abb rezultat: 1896. Na koliko nacˇina mozˇemo izabrati podskup od rijecˇi S (S je duljine manja ili jednaka 50) takavda kada obriˇsemo sve znakove indeksi koji su sadrzˇani u tom podskupu, dobijemo palindrom,tj. rijecˇ koja se jednako cˇita sa lijeve i desne strane (”a”, ”aba”, ”autootua” su primjeripalindroma dok ”mama” ili prazna rijecˇ nisu palindromi)?ulaz: aaaa rezultat: 15ulaz: baobab rezultat: 22Pojasˇnjenje 1. ulaza: kakav god podskup izabrali, osim kada bismo brisali sve znakove, rezultatje uvijek palindrom. Buduc´i da postoji 24 podskupa od 4 znaka, a 1 nije dozvoljen, rjesˇenjejest 24 − 1 = 15.Hint : prosˇirite stanje josˇ jednim argumentom da ne biste brojali iste podskupove viˇse puta.14 PlayMath br. 10 (2006.)

Kombinatorni algoritmi

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hrčak - Portal of scientific journals of Croatia