Díaz Díaz, J. Ildefonso

Díaz Díaz, Jesús Ildefonso

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
N°22 Nov . 1980
Actes VII JMNL
RESULTADOS DE COMPARACION PARA ECUACIONES DE EVOLUCION NO LINEA-
LES .
J . Ildefonso Díaz Díaz
Universidad Complutense de Madrid
Universidad de Santander
ABSTRACT . We survey some results of compari%on of solutions for nonli-
near evolution equations . We consider the comparison of solutions sa-
tisfying the same differential equation and different initial data as
well as the case of solutions of distr . :ct differential equations . This
last situation has been firstly considered in a systematic way in a work
of Ph . Benilan jointly the author which is here shortly presented . In both
cases we begin considering the nonlinear problems under, a concrete for-
mulation (in terms of partial differential equations) and later, under
its formulation as an abstract Cauchy problem on a Banach space .
AMS Subject classification scheme 1979 : 350K20, 34G20, 47M06 .
1 . Comparación de so luciones_corr espondientes a disti ntos datos inicia-
les .
Una propiedad típica de las ecuaciones parabólicas de segun-
Supuestos
	
0 < T < +ro, 2 abierto a : otado de RN y k e R, k > 0,
entonces uo 0 implica que u (solución clásica de (1)) es tal que
u(t,x) _> 0 V(t,x) s [O,T) x S2 . Como una consecuencia inmediata de tal
principio podemos asegurar que si u y u son las soluciones (clási-
cas) de (1) correspondientes d los datos iniciales u o y ú o entonces
do arden es el principio del máximo . Así
que si se considera el problema mixto
por ejemplo o, bien conocido
ut - kAu = 0 erg (O,T) x sZ
(1) u = 0 en (O,T) x 92
u(O,x) = uo(x) en 2
u o < ú o implica que u(t,x) _ ú(t,x) V(t,x) < [O,T) x S¿ .
El anterior resultado de comparación de soluciones es de una
gran utilidad en el estudio de (1) (por ejemplo permite asegt:rar la uni-
cidad de soluciones clásicas) y de hecho es también válido para muchos
otros problemas : otras condiciones de contorno, otras ecuaciones parabó-
licas lineales de segundo orden, dominios no acotados etc . (Véase p .e .
Protter-Weimberger [101) .
	
.
También se tienen resultados de comparación de soluciones
(clásicas) para el caso de ecuaciones parabólicas cuasi-lineales de se-
gundo orden . Tal formulación aparece, por ejemplo, en fenómenos de di
fusión del calor en las que el coeficiente de conductividad térmica k
depende (continuamente) de los valores de la temperatura u(t,x) . Su-
puestos constantes p (densidad) así como c ( calor específico), una
simple renormalización conduce a la ecuación .
(2) ut - div (k(u) " grad u) = 0 en (O,T) x s~ .
La estricta positividad de la función k permite asegurar la existencia
de soluciones clásicas para el problema mixto de Dirichlet asociado a
(L) y , :,. ai_ el teorema ,+ ..l v.alor
medio a la difeentonces basta apilv -	 wv
de dos soluciones para reducirse a una nueva ecuación lineal y obtener
de esta forma resultados de comparación . (Véanse los detalles en Lady-
zenskaya-Solonnikov-Uraltceva [81 .) .
La ecuación (2) también aparece en otros importantes proble
mas físicos (véase p .e . el "survey" Díaz [61) incluso bajo la hipótesis
más general de k(r) > 0 Vr s R (coreo por ejemplo k(r) = rm , m > 1) .
La ecuación (2) es ahora una ecuación parabólica cuasilineal degenerada
en el sentido de que pierde su caracter parabólico en los puntos
(x,t) e 2 x (O,T) en los que u(x,t) = 0 . Introduciendo la función
o(s) =
)s
k(r)dr
a
el problema mixto de Dirichlet para la ecuación (2) se formula mediante
32
u t - a~(u) = 0 en (O,T) x 2
S(u) = 0 en (0,T) x 2Q
u(O,x) = u' (x) en
Bajo la sola hipótesis B s C'(R) y o' > 0 en general no existen so-
luciones clásicas y entonces (3) es "resuelto" en términos de solucio-
nes generalizadas e .d . funciones : u s C((O,T) x 2) satisfaciendo que
B(u) e L'(O,T : WO
	
' (Q)) así como
IT
j [ at ~i - N ax. ax i
B(u)] dx dt +
a s2 i=i i
para toda función test C e C'([O,T] x 9) con C = 0 sobre ({T} x s~) ~~
V (92x [O,T]) . La existencia de tales soluciones generalizadas es es-
tablecida mediante paso al límite de soluciones de problemas cuasiline_a
les no degenerados y de esta forma de nuevo se tienen la comparación de
soluciones ahora en casi-para-todo punto . (Véase p .e . Oleinik [91) .
Otra manera diferente de "resolver" (3) radica en la teoría
abstracta de ecuaciones de evolución sobre espacios de Banach . De en-
tre las muchas ventajas de este nuevo enfoque aquí solo haremos incapié
en dos de ellas : En primer lugar es posible tratar (3) bajo la única
hipótesis de B función real continua no decreciente, lográndose así
la consideración de nuevos e importantes problemas como p .e . el denomi-
nado problema de Stefan así como los surgidos de la física de plasmas,
de la teoría de Control térmico etc . (véase Díaz [61) . Por otra parte
la teoría abstracta conduce a resultados muy generales de comparación,
explitando incluso estimaciones de la diferencia de soluciones .
En concreto, el problema (3) puede ser reescrito como un pro
blema abstracto de Cauchy
(PAC)
jc(O,x) u o (x)dx = 0
du +Au=0dt
u(0) = uo
siendo u(t) (= u(t, " )) función de [O,T] a valores en el espacio de
Banach X = L'(Q), una vez que se define el operador A iediante
D(A) = {u e L'(2) : B(u) e WO'" (Q) y . AB(u) e L'(sa)}
Au = -AB(u) si u e D(A) .
(Tamü,én (3) puede ser reescrito en forma de (PAC) sobre el espacio
X = H- ~(Q) . Brez = s [31) .
Los resultados ±, . .rrerales de la teoría abstracta (') permiten
la resolución de cPAC) en cérin, ;us de s(,Iuciones débiles ("nild solutions")
es decir de funciones u e C([O,T1 :X) cales que u(t) = l -iu u n (t) sien
do un (t) = xk s1 Kñ < t < (k+1) T con Ixkl ' L'(Q) cLrdas por
(4) n
n n
X k
	
- xk-1 + A(xk) = 0 k = 1,2, . . .T
n
v
vo = uo
Para la existenci¿ de la_, funciones u n (t) e~- ¡irás que su -`iciente el su-
poner que uo 6 5-:.4 T así como
R(I+ ;,,A) = X, Va > 0 .
Por otra parte la convergencia de ¡u n (t)} cuanün n + se tiene ase
gurada si (I+XA) - ' es una contracción (c, . : ición qué -irve de defini
ción a los operadores acretivo~ en X) e .d . si
(6) Ilur - U2 IIX _- II(ur-u2) + a(Au,-Au2) IIX Va > 0
Con frecuencia las ~-uluciones eébiles u (t) son derrotadas por u(t) =
= S(t)uo para inLicar así a le familia de operadores S(t) (t > 0) que
además tienen estructura de seinigrupo de contracciones sobre X, e .d .
(7) IIS(t)uo - S(t)u o II X ._IIUO-VOII X	, vt > 0 .
La te^ría abstracto también contempla resultados de compara
ción para las sol ciones de (PAC) cuando el espacio X es un espacio
de Banach reticul,do (e .d . existe un cono cerrado convexo X+ que defi
ne una relación de orden sobre X mediante u, < u2 sii u2-u ; e X+ )
Es entonces fácil demostrar (~~ase Benilan [11) que si A es un opera-
dor T-acretivo sobre X (en e sentido de que
(8) il(u,-u2)+ II X -II[(ü~-u2) + a(Au,-Au2)}+
siendo h = max(r,h)) se tiere que
(') Véase p.e . e artículo panorámico de Evans [71 .
34
En consecuencia bajo la hipótesis de S función real conti
nua no decreciente no sólo se tiene la comparación de soluciones sino
incluso la estimación
(10)
	
J
(u(t,x)-v(t,x))+dx < J (uo(x)-vo(x))+
S2 si
como traducción literal de (9) .
Frente a las obvias ventajas del enfoque abstracto, es jus-
to señalar que no siempre es sencillo reformular el problema en ecuaci_o
nes en derivadas parciales en términos de (PAC) . Este es el caso p .e .,
de cuando las condiciones de contorno son no homogéneas . Aun en estas
circunstancias es posible "inspirarse" en la teoría abstracta para obt_e
ner estimaciones de una naturaleza semejante a (10) . Así por ejemplo
en Díaz [51 es obtenida la comparación de soluciones para el problema
P(f,uo,9)
1¡(S(t)uo -S(t)vo)
- 11x :~II(uo-vo) II X para todo t > 0 .
La noción de operador T-acretivo fué primeramente introduci
do por Brezis-Stampacchia [4] y más tarde desarrollada por numerosos a_u
tores (Calvert, Kenmochi, Picard, Benilan, etc), obteniéndo una genera
lización al cuadro no lineal de ciertos aspectos de la teoría del poten
cial . La clase de los operadores T-acretivos
contiene a una gran variedad de operadores no
entre los que se encuentra el operador
nilan 1 ) .
sobre el espacio L 1 (S2)
lineales de segundo orden
A( .) = (Véase p .e . Be-
ut - AB(u) = f en (O,T)
-
9n s y(u) + 9 en (O,T) x 928
u(0, " ) = u o	e 2
x S2
Supuestos g y y grafos maximales monótonos de R Z con 0 e S(0) n
n y(0) y cuando se varían a la vez los datos f, g y uo .
2 . Comparación de soluciones correspondientes a distintos operadores .
A ve~. es . resulta de una gran utilidad la comparación de solu
ciones correspondientes a problemas dados mediante diferentes operado-
res . Cuando la diferencia entre los dos operadores nn afecta al térmi
no de difusión no es dificil obtener la comparación de soluciones a partir
35
de resultados del tipo de la sección anterior . A modo de ejemplo cita-
remos el siguiente resultado :
Proposición 1 .
	
Sea A un opucadon 1-¡<,:netc:vo bobte L 1 (S2) y sean a
y á dos gna6os maxúna .ees morótonos de R Z .tales que 0 e a(0) n á(0)
(2)
.
Sean u y u 6oeue íones déb.<1u de eos probtem"
36
dt +Au+a(u)3 0 dt +Aú+á(ú)30
u(0) = uo ú(0) = úo
síendo uo s DA-+7(x, úo e D(A+á) . Supongamos 6ínabnente que u o y ú o
no camb.í.an de sígno en 2, b¡endo uo < uo . Entoncu sí
lao(r~i < Jao(r)I
ee tiene que u( ;; ) < ú(t) Vt s[O,Tl, c .p.t . punto de 2 .
(La demostración se reduce a la consideración de los problemas estacio-
narios v + Av t a(v) 3 uo y v + A: + á(v) a úo mostrándose entonces
que v < v c .p .t . punto de S2) .
La situación es bastante más compleja si los operadores tie
nen diferente término de difusión . Incluso bajo las condiciones más có
modas de regularidad sobre los datos resulta problemático el encontrar h_i
pótesis sencillas que impliquen la comparación de sóluciones . A modo de
ilustración nos -eferiremos al problema (3) que ahora resultará cómodo rees,
cribir como
t ~(w)
- Al< = 0 en (O,T) x 2
P* (~,wo) w = 0 en (O,T) x 92
w(0, " ) = w~
siendo wo = O(U0) y w(t,x) = ~(u(t,x)) .
( Z ) Este es el - ;aso de a y á funciones reales no decrecientes tales que
a (0) = á(0) = 0
( 3 ) ao (r) y ác (r) designar a los elementos de los conjuntos a(r) y
á (r) de norma mínima .
Teorema 1 . (Benilan - Díaz [21) . Sean ~i e C Z (R) con ~i(0) = 0 u
~i > 0 ase. como wó e C(2)
tales que w!(x) = 0 Vx e ase , i = 1,2 .
Supongamos g,ínalmenne que Zas s.íguíente,6 iu:p6tesíe áon sa.tí,sbecha :
(11)
	
wó wó en S2
(12) ~i(r) > ~i(r) Vr P-1R
(13) Awi < 0 en s2
Entoneu sí wi es ea so.2ucí.ón (elásíca) de PWi , wó), i = 1,2, se.
Uene
w,(t,x) < w2(t,x)
pana todo (t,x) e'f0,T1 x 2
Idea de la demostración (4) . Si v = w1-w2 se tiene que
y por tanto
siendo
y
4v = ~ i(w1)
awI - $ i(w2) aw2at at
av
at
- - , 1 " Av + F(t,x,v) = h(t,x)
=
a
F(t,x,v)
-5-t- w2(t,x)
(O ;(v+w2(t,x)-$4(w2(t,x)))
~i(v+wz(t,x))
a w(t,x)
h(t,x) = at
2
(XP2(w2(t,x))-~j(w2(t,x))) "
~ ;(wl(t,x))
De la monotonía de ~, y la hipótesis (12) se concluye que si
t w2(t,x) < 0 entonces h(t,x) < 0 y por tanto
vt Ti
1wr Av + F(t,x,v)<0 en (O,T) x S2
v < 0 en ({o}xsz) U (O,T)xa52
con lo que en dicho caso el principio del máximo es satisfecho por v
----------------------------
( 4 ) La demostración detallada, de hecho referente a un enunciado más ge
neral, se encuentra en el artículo citado .
(véase el Teorema 2 .9 de [81' ., entonces se concluiría que v(t,x) < 0
V(t,x) e [O,T] x Z y equivalentemente la conclusión deseada . Ahora
bien llamando z =
8t W2
se tiene que
y derivando respecto de t .
y por tanto z satisface
Contraejempló :
Sean S2 = (0,2 , r) y uo k
que si k > 0 el problema
P k
_
~2(W2)Zt + ~"z(W2) " Z2 = AZ
z
	
-	, 1 Az + °(W2) , Z 2 = 0 en (O,T) x S2t~w17 ZT-
z = 0 en (O,T) x an
2
z(0, .) _ _ ~wo < 0 en 52~2 w2 -
y entonces el Teorema 2 .9 de [8] permite asegurar que z < 0 en [O,T]xñ
La hipótesis (13) parece caprichosa, sin embargo el siguien-
te contraejemplo muestra la necesidad de su imposición :
Wz(W2)Zt = AW2
_ ser, 2x
k
- kuxx = . 0 . en (O,T) x St
u(0,t) = u(2ir,t) = 0
u(O,x) = uo k (x) - en 0
Es fácil comprobar
tiene como solución de la función uk (t,x) = k sen 2x
" e-4tk . Entonces
si k > 1 se tiene que ur(t,x) < kuk (t,x) Vt e [O,T] si x e [n,2,rl
y sin embargo ur(t,x) > k " uk (t,x) Vt e [O,T] si x e [0, ir] . (Nó-
tese que Pk coincide con (3, haciendo O(s) = k " s) .
Al igual que en la sección anterior, es posible obtener una
versión abstracta del Teorema 1 que permita debilitar las hipótesis de
regularidad y que a la vez explicita ciertas estimaciones .
Teorema 2 .
	
(Benilan-Díaz [21) . Sean A i opcnadon es T-acne.tívo3 sobre
X ehpaeío de Banacli netc:eufado . Sean u i .6ueue.ionu déb.íX.e,~ de. (PAC)
eonne~ po nd,.ente s cLL ope~cadon A i	y al datu iru:Cíal uó , i = 1,2 . Su
pongamoh que fais síguíentu lúp6tu.ís son satívsgecha~s .
(14) 3 0 : D A2 -r X contí.nua tal que A2oc A10(~) pana -todo
e D(A2)
(15) K.a aplí,eací.6n I-0 ()tespec . (0 - I)) eon3enva e2 orden
en X .
(16) R(I+XA2) ? D+ (A2), (D+ (A2) = {u e D(A) : A2u fl X + ~ O})-
(17) u 2 e D+ (A2)
Entonces paAa todo t e [O,T] se tc:ene
(18) II(u1(t) - Ou2(t)+ II _ II(uó -Ouó)+ II
[r.eepec . II (OU2(t) - ul (t) )+ II ~ II (0uó - uó)+ II )
El Teorema 2 puede sf°r ahora aplicado a una clase muy amplia
de problemas no lineales en ecuaciones en derivadas parciales entre los
que se encuentra el problema (3) . Para poner ésto último de manifiesto
supongamos por simplicidad 0 i e C'(R) con ~i > 0, i = 1,2 . Entonces
definamos la aplicación 0 : 1- 1 (12) -> L' (s~) dada por
0(~) = (~ l - -O -z) 0 si 0 e L 1 (52) .
Supuesto entonces la hipótesis (12) se tiene que (01 0 132)' < 1 y por
tanto 0 conserva el orden sobre L'(2) . Por otra. parte las hipótesis
(14) y (16) son trivialmente satisfechas y (17) se tiene cuando (13) es
también supuesta . La estimación (18) ahora implica de manera obvia la
conclusión del Teorema 1 .
Algunos problemas diferentes de (3) a los que el Teorema 2
puede ser aplicado se refieren a los casos de : .
i) condiciones de contorno más generales que las de (3) ta
les como las de P(f,uo,0) .
40
siendo
3 . BIBLIOGRAFIA .
ii) Substitución en (3) del operador diferencial A por Ap
N á au
P-1
au~u= 1 -
	
1 , 1< p<p i=l ax i ax i	a i
iii) Problemas cuasilineales de primer orden tal como
au
at +
a B(u) = f en (O,T) x (0,1)G x
B(u( " ,0)) = 0 en (0,T)
u(0, " ) = u o	en (0,1) .
Finalmente señalemos que el Teorema 2 y sus aplicaciones, se
presentan como una nueva y útil herramienta para el establecimiento de
diferentes propied,ides cualitativas de las soluciones de (PAC) que enr_i
quecen las °escuetas'respuestas de existencia y unicid ;:J establecidas
hasta el iuomento .
[11 Ph . BENILAN : Equati ons d'evolution dans un espace de Banach quel-
conque et appl-ica tions . These Université d'Orsey . 1972 .
[2] Ph . BENILAN y J .I . DIAZ : "Comparison of solutions of nonlinear
evolución problems with different nonlinear- terms" . Aparecerá .
[3] H . BREZIS : "Monotonicity methods in Hilbert spaces and some ap-
plications to nonlinear differential equations" . En Contri
butions to Nonlinear Functional Analysis . Editor E . Zaran-
tonello .
[41 H . BREZIS y G . STAMPACCHIA : "Sur la régularité de la solution
d'inequations elliptiques" . Bull . Soc . Math . France . 9 6
1968, pp . 153-180 .
[51 J .I . DIAZ : "Solutions with compact support for some degenerate
parabolic problems" . Nonlinear Analysis, Theory, Methods
and Applic . 3, n°- 6, 1979 . pp . 831-847 .
[61 J .I . DIAZ : "Propiedades cualita tivas de ciertos problemas parabó-
licos no lineales : Una clasifiación para los modelos de di
fusión del calor" . Memoria XIV de la Real Academia de Cien
cias . Madrid . 1980 .
[71
	
L .C . EVANS : "Application of nonlinear Semigroup Theory to Certain
Partial Differential Equations" . En Nonl inear Evolutions
Equations . Editor M .G . Crandall . Academic Press, 1978 .
[8] O .A . LADYZENSKAYA, V .A . SOLONNIKOV y N .N . URALTCEVA : "Linear and
Quasilinear Equations of Parabolic Type . Trans] . of Math .
Monographs A .M .S . 1968 .
[9] O .A . OLEINIK : "On some degenerate quasilinear parabolic equations" .
Semi . Inst . Naz . Alta Mat . Ediz . Cremonese . Roma 1965, pP .
335-371 .
[101 M . PROTTER y H .F . WEIMBERGER . Maximum princi_les in Differential
Equations . Prentice-Hall, 1967 .


Resultados de comparación para ecuaciones de evolución no lineales

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Pub . Mat . UABN°22 Nov . 1980Actes VII JMNLRESULTADOS DE COMPARACION PARA ECUACIONES DE EVOLUCION NO LINEA-LES .J . Ildefonso Díaz DíazUniversidad Complutense de MadridUniversidad de SantanderABSTRACT . We survey some results of compari%on of solutions for nonli-near evolution equations . We consider the comparison of solutions sa-tisfying the same differential equation and different initial data aswell as the case of solutions of distr . :ct differential equations . Thislast situation has been firstly considered in a systematic way in a workof Ph . Benilan jointly the author which is here shortly presented . In bothcases we begin considering the nonlinear problems under, a concrete for-mulation (in terms of partial differential equations) and later, underits formulation as an abstract Cauchy problem on a Banach space .AMS Subject classification scheme 1979 : 350K20, 34G20, 47M06 .1 . Comparación de so luciones_corr espondientes a disti ntos datos inicia-les .Una propiedad típica de las ecuaciones parabólicas de segun-Supuestos	0 < T < +ro, 2 abierto a : otado de RN y k e R, k > 0,entonces uo 0 implica que u (solución clásica de (1)) es tal queu(t,x) _> 0 V(t,x) s [O,T) x S2 . Como una consecuencia inmediata de talprincipio podemos asegurar que si u y u son las soluciones (clási-cas) de (1) correspondientes d los datos iniciales u o y ú o entoncesdo arden es el principio del máximo . Asíque si se considera el problema mixtopor ejemplo o, bien conocidout - kAu = 0 erg (O,T) x sZ(1) u = 0 en (O,T) x 92u(O,x) = uo(x) en 2u o < ú o implica que u(t,x) _ ú(t,x) V(t,x) < [O,T) x S¿ .El anterior resultado de comparación de soluciones es de unagran utilidad en el estudio de (1) (por ejemplo permite asegt:rar la uni-cidad de soluciones clásicas) y de hecho es también válido para muchosotros problemas : otras condiciones de contorno, otras ecuaciones parabó-licas lineales de segundo orden, dominios no acotados etc . (Véase p .e .Protter-Weimberger [101) .	.También se tienen resultados de comparación de soluciones(clásicas) para el caso de ecuaciones parabólicas cuasi-lineales de se-gundo orden . Tal formulación aparece, por ejemplo, en fenómenos de difusión del calor en las que el coeficiente de conductividad térmica kdepende (continuamente) de los valores de la temperatura u(t,x) . Su-puestos constantes p (densidad) así como c ( calor específico), unasimple renormalización conduce a la ecuación .(2) ut - div (k(u) " grad u) = 0 en (O,T) x s~ .La estricta positividad de la función k permite asegurar la existenciade soluciones clásicas para el problema mixto de Dirichlet asociado a(L) y , :,. ai_ el teorema ,+ ..l v.alormedio a la difeentonces basta apilv -	 wvde dos soluciones para reducirse a una nueva ecuación lineal y obtenerde esta forma resultados de comparación . (Véanse los detalles en Lady-zenskaya-Solonnikov-Uraltceva [81 .) .La ecuación (2) también aparece en otros importantes problemas físicos (véase p .e . el "survey" Díaz [61) incluso bajo la hipótesismás general de k(r) > 0 Vr s R (coreo por ejemplo k(r) = rm , m > 1) .La ecuación (2) es ahora una ecuación parabólica cuasilineal degeneradaen el sentido de que pierde su caracter parabólico en los puntos(x,t) e 2 x (O,T) en los que u(x,t) = 0 . Introduciendo la funcióno(s) =)sk(r)drael problema mixto de Dirichlet para la ecuación (2) se formula mediante32u t - a~(u) = 0 en (O,T) x 2S(u) = 0 en (0,T) x 2Qu(O,x) = u' (x) enBajo la sola hipótesis B s C'(R) y o' > 0 en general no existen so-luciones clásicas y entonces (3) es "resuelto" en términos de solucio-nes generalizadas e .d . funciones : u s C((O,T) x 2) satisfaciendo queB(u) e L'(O,T : WO	' (Q)) así comoITj [ at ~i - N ax. ax iB(u)] dx dt +a s2 i=i ipara toda función test C e C'([O,T] x 9) con C = 0 sobre ({T} x s~) ~~V (92x [O,T]) . La existencia de tales soluciones generalizadas es es-tablecida mediante paso al límite de soluciones de problemas cuasiline_ales no degenerados y de esta forma de nuevo se tienen la comparación desoluciones ahora en casi-para-todo punto . (Véase p .e . Oleinik [91) .Otra manera diferente de "resolver" (3) radica en la teoríaabstracta de ecuaciones de evolución sobre espacios de Banach . De en-tre las muchas ventajas de este nuevo enfoque aquí solo haremos incapiéen dos de ellas : En primer lugar es posible tratar (3) bajo la únicahipótesis de B función real continua no decreciente, lográndose asíla consideración de nuevos e importantes problemas como p .e . el denomi-nado problema de Stefan así como los surgidos de la física de plasmas,de la teoría de Control térmico etc . (véase Díaz [61) . Por otra partela teoría abstracta conduce a resultados muy generales de comparación,explitando incluso estimaciones de la diferencia de soluciones .En concreto, el problema (3) puede ser reescrito como un problema abstracto de Cauchy(PAC)jc(O,x) u o (x)dx = 0du +Au=0dtu(0) = uosiendo u(t) (= u(t, " )) función de [O,T] a valores en el espacio deBanach X = L'(Q), una vez que se define el operador A iedianteD(A) = {u e L'(2) : B(u) e WO'" (Q) y . AB(u) e L'(sa)}Au = -AB(u) si u e D(A) .(Tamü,én (3) puede ser reescrito en forma de (PAC) sobre el espacioX = H- ~(Q) . Brez = s [31) .Los resultados ±, . .rrerales de la teoría abstracta (') permitenla resolución de cPAC) en cérin, ;us de s(,Iuciones débiles ("nild solutions")es decir de funciones u e C([O,T1 :X) cales que u(t) = l -iu u n (t) siendo un (t) = xk s1 Kñ < t < (k+1) T con Ixkl ' L'(Q) cLrdas por(4) nn nX k	- xk-1 + A(xk) = 0 k = 1,2, . . .Tnvvo = uoPara la existenci¿ de la_, funciones u n (t) e~- ¡irás que su -`iciente el su-poner que uo 6 5-:.4 T así comoR(I+ ;,,A) = X, Va > 0 .Por otra parte la convergencia de ¡u n (t)} cuanün n + se tiene asegurada si (I+XA) - ' es una contracción (c, . : ición qué -irve de definición a los operadores acretivo~ en X) e .d . si(6) Ilur - U2 IIX _- II(ur-u2) + a(Au,-Au2) IIX Va > 0Con frecuencia las ~-uluciones eébiles u (t) son derrotadas por u(t) == S(t)uo para inLicar así a le familia de operadores S(t) (t > 0) queademás tienen estructura de seinigrupo de contracciones sobre X, e .d .(7) IIS(t)uo - S(t)u o II X ._IIUO-VOII X	, vt > 0 .La te^ría abstracto también contempla resultados de comparación para las sol ciones de (PAC) cuando el espacio X es un espaciode Banach reticul,do (e .d . existe un cono cerrado convexo X+ que define una relación de orden sobre X mediante u, < u2 sii u2-u ; e X+ )Es entonces fácil demostrar (~~ase Benilan [11) que si A es un opera-dor T-acretivo sobre X (en e sentido de que(8) il(u,-u2)+ II X -II[(ü~-u2) + a(Au,-Au2)}+siendo h = max(r,h)) se tiere que(') Véase p.e . e artículo panorámico de Evans [71 .34En consecuencia bajo la hipótesis de S función real continua no decreciente no sólo se tiene la comparación de soluciones sinoincluso la estimación(10)	J(u(t,x)-v(t,x))+dx < J (uo(x)-vo(x))+S2 sicomo traducción literal de (9) .Frente a las obvias ventajas del enfoque abstracto, es jus-to señalar que no siempre es sencillo reformular el problema en ecuaci_ones en derivadas parciales en términos de (PAC) . Este es el caso p .e .,de cuando las condiciones de contorno son no homogéneas . Aun en estascircunstancias es posible "inspirarse" en la teoría abstracta para obt_ener estimaciones de una naturaleza semejante a (10) . Así por ejemploen Díaz [51 es obtenida la comparación de soluciones para el problemaP(f,uo,9)1¡(S(t)uo -S(t)vo)- 11x :~II(uo-vo) II X para todo t > 0 .La noción de operador T-acretivo fué primeramente introducido por Brezis-Stampacchia [4] y más tarde desarrollada por numerosos a_utores (Calvert, Kenmochi, Picard, Benilan, etc), obteniéndo una generalización al cuadro no lineal de ciertos aspectos de la teoría del potencial . La clase de los operadores T-acretivoscontiene a una gran variedad de operadores noentre los que se encuentra el operadornilan 1 ) .sobre el espacio L 1 (S2)lineales de segundo ordenA( .) = (Véase p .e . Be-ut - AB(u) = f en (O,T)-9n s y(u) + 9 en (O,T) x 928u(0, " ) = u o	e 2x S2Supuestos g y y grafos maximales monótonos de R Z con 0 e S(0) nn y(0) y cuando se varían a la vez los datos f, g y uo .2 . Comparación de soluciones correspondientes a distintos operadores .A ve~. es . resulta de una gran utilidad la comparación de soluciones correspondientes a problemas dados mediante diferentes operado-res . Cuando la diferencia entre los dos operadores nn afecta al término de difusión no es dificil obtener la comparación de soluciones a partir35de resultados del tipo de la sección anterior . A modo de ejemplo cita-remos el siguiente resultado :Proposición 1 .	Sea A un opucadon 1-¡<,:netc:vo bobte L 1 (S2) y sean ay á dos gna6os maxúna .ees morótonos de R Z .tales que 0 e a(0) n á(0)(2).Sean u y u 6oeue íones déb.<1u de eos probtem"36dt +Au+a(u)3 0 dt +Aú+á(ú)30u(0) = uo ú(0) = úosíendo uo s DA-+7(x, úo e D(A+á) . Supongamos 6ínabnente que u o y ú ono camb.í.an de sígno en 2, b¡endo uo < uo . Entoncu sílao(r~i < Jao(r)Iee tiene que u( ;; ) < ú(t) Vt s[O,Tl, c .p.t . punto de 2 .(La demostración se reduce a la consideración de los problemas estacio-narios v + Av t a(v) 3 uo y v + A: + á(v) a úo mostrándose entoncesque v < v c .p .t . punto de S2) .La situación es bastante más compleja si los operadores tienen diferente término de difusión . Incluso bajo las condiciones más cómodas de regularidad sobre los datos resulta problemático el encontrar h_ipótesis sencillas que impliquen la comparación de sóluciones . A modo deilustración nos -eferiremos al problema (3) que ahora resultará cómodo rees,cribir comot ~(w)- Al< = 0 en (O,T) x 2P* (~,wo) w = 0 en (O,T) x 92w(0, " ) = w~siendo wo = O(U0) y w(t,x) = ~(u(t,x)) .( Z ) Este es el - ;aso de a y á funciones reales no decrecientes tales quea (0) = á(0) = 0( 3 ) ao (r) y ác (r) designar a los elementos de los conjuntos a(r) yá (r) de norma mínima .Teorema 1 . (Benilan - Díaz [21) . Sean ~i e C Z (R) con ~i(0) = 0 u~i > 0 ase. como wó e C(2)tales que w!(x) = 0 Vx e ase , i = 1,2 .Supongamos g,ínalmenne que Zas s.íguíente,6 iu:p6tesíe áon sa.tí,sbecha :(11)	wó wó en S2(12) ~i(r) > ~i(r) Vr P-1R(13) Awi < 0 en s2Entoneu sí wi es ea so.2ucí.ón (elásíca) de PWi , wó), i = 1,2, se.Uenew,(t,x) < w2(t,x)pana todo (t,x) e'f0,T1 x 2Idea de la demostración (4) . Si v = w1-w2 se tiene quey por tantosiendoy4v = ~ i(w1)awI - $ i(w2) aw2at atavat- - , 1 " Av + F(t,x,v) = h(t,x)=aF(t,x,v)-5-t- w2(t,x)(O ;(v+w2(t,x)-$4(w2(t,x)))~i(v+wz(t,x))a w(t,x)h(t,x) = at2(XP2(w2(t,x))-~j(w2(t,x))) "~ ;(wl(t,x))De la monotonía de ~, y la hipótesis (12) se concluye que sit w2(t,x) < 0 entonces h(t,x) < 0 y por tantovt Ti1wr Av + F(t,x,v)<0 en (O,T) x S2v < 0 en ({o}xsz) U (O,T)xa52con lo que en dicho caso el principio del máximo es satisfecho por v----------------------------( 4 ) La demostración detallada, de hecho referente a un enunciado más general, se encuentra en el artículo citado .(véase el Teorema 2 .9 de [81' ., entonces se concluiría que v(t,x) < 0V(t,x) e [O,T] x Z y equivalentemente la conclusión deseada . Ahorabien llamando z =8t W2se tiene quey derivando respecto de t .y por tanto z satisfaceContraejempló :Sean S2 = (0,2 , r) y uo kque si k > 0 el problemaP k_~2(W2)Zt + ~"z(W2) " Z2 = AZz	-	, 1 Az + °(W2) , Z 2 = 0 en (O,T) x S2t~w17 ZT-z = 0 en (O,T) x an2z(0, .) _ _ ~wo < 0 en 52~2 w2 -y entonces el Teorema 2 .9 de [8] permite asegurar que z < 0 en [O,T]xñLa hipótesis (13) parece caprichosa, sin embargo el siguien-te contraejemplo muestra la necesidad de su imposición :Wz(W2)Zt = AW2_ ser, 2xk- kuxx = . 0 . en (O,T) x Stu(0,t) = u(2ir,t) = 0u(O,x) = uo k (x) - en 0Es fácil comprobartiene como solución de la función uk (t,x) = k sen 2x" e-4tk . Entoncessi k > 1 se tiene que ur(t,x) < kuk (t,x) Vt e [O,T] si x e [n,2,rly sin embargo ur(t,x) > k " uk (t,x) Vt e [O,T] si x e [0, ir] . (Nó-tese que Pk coincide con (3, haciendo O(s) = k " s) .Al igual que en la sección anterior, es posible obtener unaversión abstracta del Teorema 1 que permita debilitar las hipótesis deregularidad y que a la vez explicita ciertas estimaciones .Teorema 2 .	(Benilan-Díaz [21) . Sean A i opcnadon es T-acne.tívo3 sobreX ehpaeío de Banacli netc:eufado . Sean u i .6ueue.ionu déb.íX.e,~ de. (PAC)eonne~ po nd,.ente s cLL ope~cadon A i	y al datu iru:Cíal uó , i = 1,2 . Supongamoh que fais síguíentu lúp6tu.ís son satívsgecha~s .(14) 3 0 : D A2 -r X contí.nua tal que A2oc A10(~) pana -todoe D(A2)(15) K.a aplí,eací.6n I-0 ()tespec . (0 - I)) eon3enva e2 ordenen X .(16) R(I+XA2) ? D+ (A2), (D+ (A2) = {u e D(A) : A2u fl X + ~ O})-(17) u 2 e D+ (A2)Entonces paAa todo t e [O,T] se tc:ene(18) II(u1(t) - Ou2(t)+ II _ II(uó -Ouó)+ II[r.eepec . II (OU2(t) - ul (t) )+ II ~ II (0uó - uó)+ II )El Teorema 2 puede sf°r ahora aplicado a una clase muy ampliade problemas no lineales en ecuaciones en derivadas parciales entre losque se encuentra el problema (3) . Para poner ésto último de manifiestosupongamos por simplicidad 0 i e C'(R) con ~i > 0, i = 1,2 . Entoncesdefinamos la aplicación 0 : 1- 1 (12) -> L' (s~) dada por0(~) = (~ l - -O -z) 0 si 0 e L 1 (52) .Supuesto entonces la hipótesis (12) se tiene que (01 0 132)' < 1 y portanto 0 conserva el orden sobre L'(2) . Por otra. parte las hipótesis(14) y (16) son trivialmente satisfechas y (17) se tiene cuando (13) estambién supuesta . La estimación (18) ahora implica de manera obvia laconclusión del Teorema 1 .Algunos problemas diferentes de (3) a los que el Teorema 2puede ser aplicado se refieren a los casos de : .i) condiciones de contorno más generales que las de (3) tales como las de P(f,uo,0) .40siendo3 . BIBLIOGRAFIA .ii) Substitución en (3) del operador diferencial A por ApN á auP-1au~u= 1 -	1 , 1< p<p i=l ax i ax i	a iiii) Problemas cuasilineales de primer orden tal comoauat +a B(u) = f en (O,T) x (0,1)G xB(u( " ,0)) = 0 en (0,T)u(0, " ) = u o	en (0,1) .Finalmente señalemos que el Teorema 2 y sus aplicaciones, sepresentan como una nueva y útil herramienta para el establecimiento dediferentes propied,ides cualitativas de las soluciones de (PAC) que enr_iquecen las °escuetas'respuestas de existencia y unicid ;:J establecidashasta el iuomento .[11 Ph . BENILAN : Equati ons d'evolution dans un espace de Banach quel-conque et appl-ica tions . These Université d'Orsey . 1972 .[2] Ph . BENILAN y J .I . DIAZ : "Comparison of solutions of nonlinearevolución problems with different nonlinear- terms" . Aparecerá .[3] H . BREZIS : "Monotonicity methods in Hilbert spaces and some ap-plications to nonlinear differential equations" . En Contributions to Nonlinear Functional Analysis . Editor E . Zaran-tonello .[41 H . BREZIS y G . STAMPACCHIA : "Sur la régularité de la solutiond'inequations elliptiques" . Bull . Soc . Math . France . 9 61968, pp . 153-180 .[51 J .I . DIAZ : "Solutions with compact support for some degenerateparabolic problems" . Nonlinear Analysis, Theory, Methodsand Applic . 3, n°- 6, 1979 . pp . 831-847 .[61 J .I . DIAZ : "Propiedades cualita tivas de ciertos problemas parabó-licos no lineales : Una clasifiación para los modelos de difusión del calor" . Memoria XIV de la Real Academia de Ciencias . Madrid . 1980 .[71	L .C . EVANS : "Application of nonlinear Semigroup Theory to CertainPartial Differential Equations" . En Nonl inear EvolutionsEquations . Editor M .G . Crandall . Academic Press, 1978 .[8] O .A . LADYZENSKAYA, V .A . SOLONNIKOV y N .N . URALTCEVA : "Linear andQuasilinear Equations of Parabolic Type . Trans] . of Math .Monographs A .M .S . 1968 .[9] O .A . OLEINIK : "On some degenerate quasilinear parabolic equations" .Semi . Inst . Naz . Alta Mat . Ediz . Cremonese . Roma 1965, pP .335-371 .[101 M . PROTTER y H .F . WEIMBERGER . Maximum princi_les in DifferentialEquations . Prentice-Hall, 1967 .

Resultados de comparación para ecuaciones de evolución no lineales

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