Verdera Melenchón, Joan

Verdera, Joan

Diposit Digital de Documents de la UAB

Pub . Mat . UABN° 21 Oct . 1980Actes VII JMHLUNA CARACTERIZACION DE LOS CONJUNTOS DE PICO-INTERPOLACION DEUNA CIERTA CLASE DE ALGEBRAS UNIFORMESJoan VerderaDpt . de Teoria de FuncionsUniversitat de BarcelonaABSTRACT . Let A be a uniform algebra on a compact space X, letB be a (commutative) extension of A finitely generated amó pro-jective as A-módule and letu be the projection from the maxi-mal ideal space of B onto that of A . We show that if B is a un¡form algebra then a G a subset K of u-1 (X) is a peak-interpola-tion set for B if and only if tr(K)is a peak-interpolatión	set for A .Sea A un álgebra de Banach compleja, commutative y unitariay sea B una extensión (conmutativa) de A, finitogenerada i pro-yectiva como A-módulo . Indiquemos . por MB y MA a los espectros deideales maximales de B y de A, dotados de la topología de Guel-fand y por u a la aplicación de MB en MA definida mediante larelación u (~)=~/A	v~emB.La situación precedente puede ilustrarse mediante el siguiente ejemplo : considérese un polinomio mónico a coeficientes de A,digamos a(x), y fórmese el cociente Aa del anillo de polinomiosa coeficientes en A por el ideal principal generado por a(x) . Esfácil ver que Aa es libre de dimensión el grado de a(x) . Las ex-tensiones Aa fueron introducidas por Arens y Hoffman en [11 yhan sido estudiadas desde distintos puntos de vista por Linelberg,Craw, Dales y Mc Clure entre otros . En 1974 A . Magid demuestra[21 que es posible dotar a B de una estructura de álgebra de Ba-nach, asociada naturalmente a la de A, iniciando así el estudiodel "morfismo proyectivo" entre álgebras de Banach . En [31 el261autor dió una descripción de la estructura de U : l resulta serque u es un homeomorfismo local salvo en los puntos de un cerrado (de M B ) sin interior . También se conoce una condiciónnecesaria y suficiente para que B sea uniforme si A lo es [3]f(x)=1 tixEK ydonde f es la transformada de Guelfand de f .I f (x) 1 <1	FIxCX\ K,Recordemos también que Y=n -1 (X) es , una frontera para B siA es un álgebra uniforme sobre X [3] .Ahora podemos enunciar :El objeto de la presente nota es enunciar dos resultadosque resuelven el problema de caracterizar los conjuntos de pico-interpolación de B en términos de los de A con hipótesis de uni-formidad sobre A y B . Las demostraciones se publicarán a su de-bido tiempo .Recordemos ahora una serie de conceptos bien conocidos . SiC es un álgebra de Banach (compleja, conmutativa y unitaria), Xuna frontera de C y K un subconjunto de X, se dice que K es unconjunto pico para C sobre X si 3fEC tal queK es un conjunto pico generalizado para C sobre X si es unaintersección de conjuntos pico para .C sobre X .K es un conjunto pico-interpolación (pico-interpolación ge-neralizado) para C sobre X si es un conjunto pico (pico genera-lizado) y toda función continua compleja sobre K es la restric-ción de una f con feC .Si C es uniforme sobre un compacto X se suele prescindir dela referencia a la frontera en relación con los conjuntos pico .TEOREMA 1 . . Si A es un álgebra uniforme sobre un compacto Xy K C Y es un conjunto pico-interpolación generalizado, (resp .pico-interpolación) para B sobre Y, entonces n(K) es un conjunto pico-interpolación generalizado (resp . pico-interpolación)para A .TEOREMA 2 . Si A es un álgebra uniforme sobre un compacto X,si B es uniforme (y entonces consideramos B como álgebra uni-forme sobre Y) y. K C Y, son equivalente :(1) K es pico-interpolación generalizado para B .(2) 7r(K) es pico-interpolación generalizado para A .(3) K C -ff -1 (H) para cierto H C X, H pico-interpolación genera-lizado para A .El término "generalizado" puede suprimirse por doquier sise supone que K es un G6 ,También puede demostrarse que, incluso cuando A es el álge-bra del disco, un resultado análogo al teorema 2 para conjuntosde interpolación no es cierto .REFERENCIAS .Arens-Hoffman, Algebraic extensions of normed algebras,P .A .M .S . 7 (1956), 203-210 .[21	A . Magid, Projective extensions of Banach algebras,P .A .M .S . 54 (1976), 154-156 .[3] J . Verdera, On finitely generated and projective exten-sions of Banach algebras, aparecerá en P .A .M .S .

Una caracterización de los conjuntos de pico-interpolación de una cierta clase de álgebras uniformes

Verdera, J.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
N° 21 Oct . 1980
Actes VII JMHL
UNA CARACTERIZACION DE LOS CONJUNTOS DE PICO-INTERPOLACION DE
UNA CIERTA CLASE DE ALGEBRAS UNIFORMES
Joan Verdera
Dpt . de Teoria de Funcions
Universitat de Barcelona
ABSTRACT . Let A be a uniform algebra on a compact space X, let
B be a (commutative) extension of A finitely generated amó pro-
jective as A-módule and letu be the projection from the maxi-
mal ideal space of B onto that of A . We show that if B is a un¡
form algebra then a G a subset K of u-1 (X) is a peak-interpola-
tion set for B if and only if tr(K)is a peak-interpolatión
	
set for A .
Sea A un álgebra de Banach compleja, commutative y unitaria
y sea B una extensión (conmutativa) de A, finitogenerada i pro-
yectiva como A-módulo . Indiquemos . por MB y MA a los espectros de
ideales maximales de B y de A, dotados de la topología de Guel-
fand y por u a la aplicación de MB en MA definida mediante la
relación u (~)=~/A	v~emB.
La situación precedente puede ilustrarse mediante el siguien
te ejemplo : considérese un polinomio mónico a coeficientes de A,
digamos a(x), y fórmese el cociente Aa del anillo de polinomios
a coeficientes en A por el ideal principal generado por a(x) . Es
fácil ver que Aa es libre de dimensión el grado de a(x) . Las ex-
tensiones Aa fueron introducidas por Arens y Hoffman en [11 y
han sido estudiadas desde distintos puntos de vista por Linelberg,
Craw, Dales y Mc Clure entre otros . En 1974 A . Magid demuestra
[21 que es posible dotar a B de una estructura de álgebra de Ba-
nach, asociada naturalmente a la de A, iniciando así el estudio
del "morfismo proyectivo" entre álgebras de Banach . En [31 el
261
autor dió una descripción de la estructura de U : l resulta ser
que u es un homeomorfismo local salvo en los puntos de un ce
rrado (de M B ) sin interior . También se conoce una condición
necesaria y suficiente para que B sea uniforme si A lo es [3]
f(x)=1 tixEK y
donde f es la transformada de Guelfand de f .
I f (x) 1 <1
	
FIxCX\ K,
Recordemos también que Y=n -1 (X) es , una frontera para B si
A es un álgebra uniforme sobre X [3] .
Ahora podemos enunciar :
El objeto de la presente nota es enunciar dos resultados
que resuelven el problema de caracterizar los conjuntos de pico-
interpolación de B en términos de los de A con hipótesis de uni-
formidad sobre A y B . Las demostraciones se publicarán a su de-
bido tiempo .
Recordemos ahora una serie de conceptos bien conocidos . Si
C es un álgebra de Banach (compleja, conmutativa y unitaria), X
una frontera de C y K un subconjunto de X, se dice que K es un
conjunto pico para C sobre X si 3fEC tal que
K es un conjunto pico generalizado para C sobre X si es una
intersección de conjuntos pico para .C sobre X .
K es un conjunto pico-interpolación (pico-interpolación ge-
neralizado) para C sobre X si es un conjunto pico (pico genera-
lizado) y toda función continua compleja sobre K es la restric-
ción de una f con feC .
Si C es uniforme sobre un compacto X se suele prescindir de
la referencia a la frontera en relación con los conjuntos pico .
TEOREMA 1 . . Si A es un álgebra uniforme sobre un compacto X
y K C Y es un conjunto pico-interpolación generalizado, (resp .
pico-interpolación) para B sobre Y, entonces n(K) es un conjun
to pico-interpolación generalizado (resp . pico-interpolación)
para A .
TEOREMA 2 . Si A es un álgebra uniforme sobre un compacto X,
si B es uniforme (y entonces consideramos B como álgebra uni-
forme sobre Y) y. K C Y, son equivalente :
(1) K es pico-interpolación generalizado para B .
(2) 7r(K) es pico-interpolación generalizado para A .
(3) K C -ff -1 (H) para cierto H C X, H pico-interpolación genera-
lizado para A .
El término "generalizado" puede suprimirse por doquier si
se supone que K es un G6 ,
También puede demostrarse que, incluso cuando A es el álge-
bra del disco, un resultado análogo al teorema 2 para conjuntos
de interpolación no es cierto .
REFERENCIAS .
Arens-Hoffman, Algebraic extensions of normed algebras,
P .A .M .S . 7 (1956), 203-210 .
[21
	
A . Magid, Projective extensions of Banach algebras,
P .A .M .S . 54 (1976), 154-156 .
[3] J . Verdera, On finitely generated and projective exten-
sions of Banach algebras, aparecerá en P .A .M .S .
