Bruna, Joaquim

J. Bruna

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Cuasianalicitidad en clases de funciones diferenciables de cuadrado sumable

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CUASIANALITICIDAD EN CLASES DE FUNCIONES DIFERENCIABLESDE CUADRADO SUMARLEdesignará espacio normal de sucesiones . En analogía condefinimos la claseporJ . BrunaEl (R) ={f eC 00 (IR ) ;	f (n) es acotada y (uf (n) u ),e X }D~ CR) ={fe C' (IR) ; f (n) e L(IR) y (lf( nt) . ex } .la clase D~ (I2 ) se llamará cuasianalítica si f e D~ (IR ) y f(n)(c) =0n = 0,1,2, . . . implican f=-O . Nos proponemos encontrar caracteri-zaciones de la cuasianaliticidad de la clase DI (iR ),La no cuasianaliticidad de la clase DI(IR) equivale a laexistencia de f e Da (I2 ) con f (t) = 0 si t :5 0. y f 7é 0 . Un teoremade Paley-Wiener establece que la transformación de Fourier-Laplace es una isometría entre L2 (0,co) y el espacio H2 (n+ ) delas funciones holomorfas en el slmiplano r+ de los ze Q con1 6Re z> 0 que verificansup0<S<-con norma	u FII 2 = C .2n =1 . Una integración por partes da_12n MjF(x+iy))2dy=C <Aquí vamos a ver cómo es F si tomamos f en D 1 (IR ) . Empeze-mos por tomar f e C °° (IR), nula para t 5 0, y tal que f (n) e L .PonemosF a (z)-f(n) (t) e-tz dt . Fa e H2 (TT+) . n .= 0, 1, . . .0Veamos q W--que F ( z1) =z n F l( z )1 " Por Lnducción, basta verle paraF(z) = fte-tz 1 - + f (t) e-tz dt .,0 dComo f está acotada, se deduce F1 (z) = zF(z) . Recíprocamente,supongamos que z' F (Z) e H2(n+ ) , n = 0, 1, . . . El teorema de Paley-Wiener dice que z'F(z) es la transformada de Fourier-Laplace de una fn e L2	(0,°°)con (1 fn 11 2 = 11 z'F¡¡ 2 . vamos17a ver que fo está definida por todo, que fo e C °° (IR) y quef (n) = f0 aPara lo primero basta	ver pues que Fx (y) = F(x+iy) ,	 táenL1 para x -10 . Peroes el producto de Y-* 1x + iy y Y, F (x+ iy) (x +¡y) . La primera tienecuadradox2+ y9 ,integrable, y la segunda está en L2 por hipótesis .Por tanto,está definida para todo t . Puesto que z°F verifica las mismas condiciones, tambiénetx + °°F (x + iy) e1tY2n dy,-1,Fx(Y) = F (x + ¡Y) x + iy F (x + iy) (x+ iy)fo (t) 2li 1 F (z) etz dzYfn (t) 2TT1 J.F (z) z°etzdzYestá definida para todo t . Comparando, se deduce que fo e C (IR)Y que fo(n) = f, .Se ha demostrado pues la siguiente variante del teorema de Pa-ley-Wiener :" Sea f e C °° (iR) , nula para t< 0, y tal que f (n) e L2 , n = 0, 1, . . .Se defineF (z) = r co f (t) e-tz dt,para, Re z > 0J 0Entonces zn F (z) e H2 (rr+ ) n = 0, 1, . . . y u z° F II 2 = Ij f (n) 11 2 . Reciproca-mente, si F es holomorfa en rr + y z° F (z) e H2(rt+) , n = 0, 1, . . . exis-te f e C °° (IR), nula para t <_ 0, y tal que f (n) e L2, n = 0, 1, . . . y F esla transformada de Fourier-Laplace de f "Especializando a funciones de D~ (7R ), se tiene18Teor ema 1 . La clase DI(IR) no es cuasianalítica si y sólo si existeuna función F holomorfa en tr+ tal que zn F e H2 (n+ )	n= 0, 1, . . . y( si z° F 11 2 )IIE XNos proponemos encontrar ahora otro tipo de condición paraala no cuasianaliticidad de la clase D (I2 ) . Buscaremos la imagenD, CR) de D (IR ) por la transformación de Fourier-Plancherel . La ca-racterizaci6n de D1(IR) se basa en el siguiente lema, de sencillademostración.Lema . Sea f B L2 (IR), ¡su transformada de Fourier-Planchecél .Las condiciones siguientes son equivalentes :(a) f esta definida por todo, fE C 00 (IR ) y f (n) £ L2 (IR )(b).hin .	, t° f E L2 (]R )En tal caso f) = (it)°fSe obtiene la caracterizaciónDk (IR) = {f e L2 (IR) / t- f E L2 (IR), n=0,1, . . . y ( tnf 2)ñ E Xy para plantear la no cuasianaliticidad en estos términos necesi-tamos saber cómo es f si f E D' «R) es nula par t <_ 0 .Para ello usamos la siguiente proposición que ya esta enunciada en [1] :Yroposici6n 1 . - sea § E L2 (IR ) , l ? 0 c.p.t . Una condición nece-saria y suficiente para que exista f E L2 (0,-) tal queI f I = $ es que+co 1 log § (t) I- 00 1 + t2Para la demostración basta enunciar la proposición en términosde la transformada de Laplace F de f . Se sabe que f coincide conla función F 'p', definida casi por todo a partir de F porF°'(y) = lim F(x+ iy) (Fatou) . Resulta la siguiente : "parax-* 0le L2, I Z 0 c.p.t ., una condición necesaria y suficiente'para que1 9dt <°°exista F e HI (n+ )	tal que I F. ¡= 1 es que +00log ~ (t)~ . dt< 00 ",~_oc 1+t2Enunciado así, no es más que una conocida propiedad del espacioH (r ) (ver [23) .Supongamos ahora que 1f e C °° (IR) , f (n) e L2 (IR) n=0,1, . . .f(t)=0 para t'50 . Entonces § = lflverifica taI e L2 (Ii) y+°° Ilog (tes dt <m . Recíprocamente, sí 1 verifica estas -ondi- CCciones, la proposición 1 da una f e L2 (0,-) tal que ifl= y puesto que ta f e L~? (I2), se puede tomar, por el lema, f de clase C aacon todas las derivadas en L2 . Por tanto, se tieneProposición 2 .- Sea § s L2 (IR ) , § ? 0 c.p.t . Para que existaf a C °° (IR), nula par t <_ 0, con todas las derivadas en L2 y tal que2I f I =I es condición necesaria y suficiente que ta 4 s L (12) ,n=0,1, . . . y +- Ilogt)I dt <-00De aquí , .ise puede deducir la caracterización de la no cuasianáliticidad de D~(I2),que se buscaba :Teorema 2 .- La clase D~(I2) no es cuasianalítica si y sólo siexiste I ? 0 c.p.t . tal quen=0.1, . . . y ( dta ~1 2 ) j,f J,cEste último teorema servirá para dar una caracterización dela cuasianaliticidad de la clase D1 (IZ) sin salizse del espacioTeorema 3 .- La - clase D~(It) no es cuasianalitica si y sólo siaexiste v = (ñ) eX tal que, si Tv(r) = sup r , r>0, esvnlog Tv(r)r2dr<m -yllig ~at)I dt < -, ta 0 eL2 (I2 )Para la demostración del teorema, supongamos que DI (II2) no escuasianalítica y sea 1 como en el teorema 2 . Tomemos vp = Ut°IU2y pasemos a comprobar la divergencia de la integral :log--r= = -2	logS+ °o (T) 2n ) ~ (t) 12 dt <_n - Go1 r+1 t 2n g 1 r .}1 2< -2logS, ( r) ,, (t), dt'5 -2log (t), dt 5r r< -rr+ ' log 1$ MI dt< r +1 1log ~ (t)1 dt .,J JrEsto es válido para cada n, por tanto°° log Tv(r) dr Pr+~r2 dr S J 1r2J r1log § (t) 1 dt < °° .Para el reciproco supongamos que vF-X hace la integral convergente . Entonces, la función 1 definida por2 1 1(t) - 1-- .~ t2	4 . ( ¡tl 1está en las condiciones del teorema 2 . //Resumiendo :Teorema : Las condiciones siguientes son equivalentesTv(r) = supa(a) la clase D (IR) no es cuasianalítica .(b) 9 F holomorfa en R+ tal que zn F e H2 (rr+ ) y ( liz F112 e ,n(c) existe § ? o c.p.t . tal que t"I (t) e L (IR) ,( Ilt° ~~~~) n ea y LC Ilog §~(1 dt < ao ,o, l+t(d) existe v e X tal que 10-	g ~v(V) dr <°°, dondernrvnlas clases clásicas corresponden a X-= Meh [o] .Entonces (d) equivale a(e)	Si T (r) =supB I B L I O G R A F I A_r n	~ 00 log T(v)Z`-- dr < .Ma 1 r11] PALEY and WIENER " Fourier transforms in the complex domain"A.M.S,(Collog . Publ .,XIX)12] HOFFMAN, K . "Banach Spres of Analytic Functions" Prentice-Hall( Series in Modern Analysis)13] CUFI,J y CERI]A,J .L . "Algunas clases de funciones diferencia-les" . Aparecerá en Collectanea .

Cuasianaliticidad en clases de funciones diferenciables de cuadrado sumable

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CUASIANALITICIDAD EN CLASES DE FUNCIONES DIFERENCIABLES
DE CUADRADO SUMARLE
designará espacio normal de sucesiones . En analogía con
definimos la clase
por
J . Bruna
El (R) ={f eC 00 (IR ) ;
	
f (n) es acotada y (uf (n) u )
,
e X }
D~ CR) ={fe C' (IR) ; f (n) e L(IR) y (lf( nt) . ex } .
la clase D~ (I2 ) se llamará cuasianalítica si f e D~ (IR ) y f
(n)
(c) =0
n = 0,1,2, . . . implican f=-O . Nos proponemos encontrar caracteri-
zaciones de la cuasianaliticidad de la clase DI (iR ),
La no cuasianaliticidad de la clase DI(IR) equivale a la
existencia de f e Da (I2 ) con f (t) = 0 si t :5 0. y f 7é 0 . Un teorema
de Paley-Wiener establece que la transformación de Fourier-La
place es una isometría entre L2 (0,co) y el espacio H2 (n+ ) de
las funciones holomorfas en el slmiplano r+ de los ze Q con
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Re z> 0 que verifican
sup
0<S<-
con norma
	
u FII 2 = C .
2
n =1 . Una integración por partes da
_1
2n M
jF(x+iy))
2
dy=C <
Aquí vamos a ver cómo es F si tomamos f en D 1 (IR ) . Empeze-
mos por tomar f e C °° (IR), nula para t 5 0, y tal que f (n) e L .
Ponemos
F a (z)
-f(n) (t) e-tz dt . Fa e H2 (TT+) . n .= 0, 1, . . .
0
Veamos q W--que F ( z1) =z n F l( z )1 " Por Lnducción, basta verle para
F(z) = f
te
-tz 1 - + f (t) e-tz dt .,
0 d
Como f está acotada, se deduce F1 (z) = zF(z) . Recíprocamente,
supongamos que z' F (Z) e H
2
(n+ ) , n = 0, 1, . . . El teorema de Pa
ley-Wiener dice que z'F(z) es la transformada de Fourier-
Laplace de una fn e L2	(0,°°)con (1 fn 11 2 = 11 z'F¡¡ 2 . vamos
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a ver que fo está definida por todo, que fo e C °° (IR) y que
f (n) = f0 a
Para lo primero basta
	
ver pues que Fx (y) = F(x+iy) ,	 táen
L1 para x -10 . Pero
es el producto de Y-* 1
x + iy y Y, F (x
+ iy) (x +¡y) . La primera tiene
cuadrado
x2+ y9 ,
integrable, y la segunda está en L2 por hipótesis .
Por tanto,
está definida para todo t . Puesto que z°F verifica las mismas condi
ciones, también
etx + °°
F (x + iy) e1tY2n dy,-1,
Fx(Y) = F (x + ¡Y) x + iy F (x + iy) (x
+ iy)
fo (t) 2li 1 F (z) etz dz
Y
fn (t) 2TT1 J
.
F (z) z°
etz
dz
Y
está definida para todo t . Comparando, se deduce que fo e C (IR)
Y que fo
(n) = f, .
Se ha demostrado pues la siguiente variante del teorema de Pa-
ley-Wiener :
" Sea f e C °° (iR) , nula para t< 0, y tal que f (n) e L2 , n = 0, 1, . . .
Se define
F (z) = r co f (t) e-tz dt,para, Re z > 0
J 0
Entonces zn F (z) e H2 (rr+ ) n = 0, 1, . . . y u z° F II 2 = Ij f (n) 11 2 . Reciproca
-mente, si F es holomorfa en rr + y z° F (z) e H2(rt+) , n = 0, 1, . . . exis-
te f e C °° (IR), nula para t <_ 0, y tal que f (n) e L2, n = 0, 1, . . . y F es
la transformada de Fourier-Laplace de f "
Especializando a funciones de D~ (7R ), se tiene
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Teor ema 1 . La clase DI(IR) no es cuasianalítica si y sólo si existe
una función F holomorfa en tr+ tal que zn F e H2 (n+ )
	
n= 0, 1, . . . y
( si z° F 11 2 )IIE X
Nos proponemos encontrar ahora otro tipo de condición para
a
la no cuasianaliticidad de la clase D (I2 ) . Buscaremos la imagen
D, CR) de D (IR ) por la transformación de Fourier-Plancherel . La ca-
racterizaci6n de D1(IR) se basa en el siguiente lema, de sencilla
demostración.
Lema . Sea f B L2 (IR), ¡su transformada de Fourier-Planchecél .
Las condiciones siguientes son equivalentes :
(a) f esta definida por todo, fE C 00 (IR ) y f (n) £ L2 (IR )
(b)
.
hin .	, t° f E L2 (]R )
En tal caso f) = (it)°f
Se obtiene la caracterización
Dk (IR) = {f e L2 (IR) / t- f E L2 (IR), n=0,1, . . . y ( tnf 2)ñ E X
y para plantear la no cuasianaliticidad en estos términos necesi-
tamos saber cómo es f si f E D' «R) es nula par t <_ 0 .
Para ello usamos la siguiente proposición que ya esta enuncia
da en [1] :
Yroposici6n 1 . - sea § E L2 (IR ) , l ? 0 c.p.t . Una condición nece-
saria y suficiente para que exista f E L2 (0,-) tal que
I f I = $ es que
+co 1 log § (t) I
- 00 1 + t2
Para la demostración basta enunciar la proposición en términos
de la transformada de Laplace F de f . Se sabe que f coincide con
la función F 'p', definida casi por todo a partir de F por
F°'(y) = lim F(x+ iy) (Fatou) . Resulta la siguiente : "para
x-* 0
le L2, I Z 0 c.p.t ., una condición necesaria y suficiente'para que
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dt <°°
exista F e HI (n+ )
	
tal que I F. ¡= 1 es que +00
log ~ (t)~ . dt< 00 "
,~_oc 1+t2
Enunciado así, no es más que una conocida propiedad del espacio
H (r ) (ver [23) .
Supongamos ahora que 1f e C °° (IR) , f (n) e L2 (IR) n=0,1, . . .
f(t)=0 para t'50 . Entonces § = lflverifica taI e L2 (Ii) y
+°° Ilog (tes dt <m . Recíprocamente, sí 1 verifica estas -ondi
- CC
ciones, la proposición 1 da una f e L2 (0,-) tal que ifl= y pues
to que ta f e L~? (I2), se puede tomar, por el lema, f de clase C aa
con todas las derivadas en L2 . Por tanto, se tiene
Proposición 2 .- Sea § s L2 (IR ) , § ? 0 c.p.t . Para que exista
f a C °° (IR), nula par t <_ 0, con todas las derivadas en L2 y tal que
2
I f I =I es condición necesaria y suficiente que ta 4 s L (12) ,
n=0,1, . . . y +- Ilogt)I dt <
-00
De aquí , .ise puede deducir la caracterización de la no cuasianá
liticidad de D~(I2),que se buscaba :
Teorema 2 .- La clase D~(I2) no es cuasianalítica si y sólo si
existe I ? 0 c.p.t . tal que
n=0.1, . . . y ( dta ~1 2 ) j,f J,
c
Este último teorema servirá para dar una caracterización de
la cuasianaliticidad de la clase D1 (IZ) sin salizse del espacio
Teorema 3 .- La - clase D~(It) no es cuasianalitica si y sólo sia
existe v = (ñ) eX tal que, si Tv(r) = sup r , r>0, esvn
log Tv(r)
r2
dr<m -
y
llig ~
a
t)I dt < -, ta 0 eL2 (I2 )
Para la demostración del teorema, supongamos que DI (II2) no es
cuasianalítica y sea 1 como en el teorema 2 . Tomemos vp = Ut°IU2
y pasemos a comprobar la divergencia de la integral :
log
--r= = -
2
	
log
S+ °o (T) 2n ) ~ (t) 12 dt <_
n - Go
1 r+1 t 2n g 1 r .}1 2
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, ( r) ,, (t), dt'5 -
2
log (t), dt 5
r r
< -rr+ ' log 1$ MI dt
< r +
1 1log ~ (t)1 dt .
,J Jr
Esto es válido para cada n, por tanto
°° log Tv(r) dr Pr+~
r2 dr S J 1
r2
J r
1log § (t) 1 dt < °° .
Para el reciproco supongamos que vF-X hace la integral conver
gente . Entonces, la función 1 definida por
2 1 1
(t) - 1-- .~ t2	4 . ( ¡tl 1
está en las condiciones del teorema 2 . //
Resumiendo :
Teorema : Las condiciones siguientes son equivalentes
Tv(r) = sup
a
(a) la clase D (IR) no es cuasianalítica .
(b) 9 F holomorfa en R+ tal que zn F e H2 (rr+ ) y ( liz F112 e ,n
(c) existe § ? o c.p.t . tal que t"I (t) e L (IR) ,
( Ilt° ~~~~) n ea y LC Ilog §~(1 dt < ao ,
o, l+t
(d) existe v e X tal que 10-	g ~v(V) dr <°°, donde
r
n
r
vn
las clases clásicas corresponden a X-= Meh [o] .
Entonces (d) equivale a
(e)
	
Si T (r) =sup
B I B L I O G R A F I A
_r n	~ 00 log T(v)Z`-- dr < .
Ma 1 r
11] PALEY and WIENER " Fourier transforms in the complex domain"
A.M.S,(Collog . Publ .,XIX)
12] HOFFMAN, K . "Banach Spres of Analytic Functions" Prentice-Hall
( Series in Modern Analysis)
13] CUFI,J y CERI]A,J .L . "Algunas clases de funciones diferencia-
les" . Aparecerá en Collectanea .


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