In this paper mathematical models for heat transfer with melting or solidification are considered . These models are variants of the well-known Stefan's problem which are of considerable interest in many fields as metal casting, nuclear reactor safety, purificación of materials, et

Bermúdez de Castro, Alfredo

Diposit Digital de Documents de la UAB

Pub . Mat . UABNo 22 Nov .	1980Actes VII JMHLMODELOS MATEMATICOS EN SOLIDIFICACION : APLICACIONES EN METALUR-GIA .Alfredo Bermúdez de CastroDpto . d e Ecuaciones FuncionalesUniversidad de Santiago de CompostelaAbstrac t .- In this paper mathematical models for heat transfer withmelting or sol~dification are considered . These models are variants ofthe well-known Stefan's problem which are of considerable interest inmany fields as metal casting, nuclear reactor safety, purificación ofmaterials, etc .INTROD000ION .-Los procesos de transmisión de calor con cambio de estadoaparecen en numerosos campos de las ciencias aplicadas y la tecnología .A modo de ejemplo citemos la solidificación de coladas en metalurgia,la fusión del hielo y solidificación del agua, la purificación de mate-riales, la congelación de alimentos, el almacenamiento de la energía,etc .Desde un punto de vista físico los fenómenos de transmi-sión de calor con cambio de estado difieren de los ordinarios por el hecho de que, mientras que en estos la entalpía es una función continua,en aquellos presenta una discontinuidad de salto en la superficie de separación de ambas fases .Desde un punto de vista matemático, la dificultad fundame_ntal estriba en que no se conoce a priori la evolución de esta superfi-cie a lo largo del tiempo ; se trata de un problema de "frontera libre" .Las diferentes formulaciones que se conocen responden almismo objetivo : transformar las ecuaciones de partida, válidas en cadafase por separado, en una sola ecuación que tenga validez en la totalidad de la región ocupada por el cuerpo, con independencia de la posiciónde las fases .Mayor dificultad se presenta cuando la temperatura de cam-bio de fase es variable y constituye una incógnita adicional del problema . Así por ejemplo, en la solidificación de ciertas aleaciones dichatemperatura depende fuertemente de la concentración de soluto,cuya evo-lución está regida a su vez por otro conjunto de ecuaciones en deriva-das parciales .Por si fuera poco en el momento de la solidificación tienelugar un rechazo de soluto (ó a veces de disolvente) de la fase sólidahacia la líquida . Por consiguiente la concentración no es continua yesto es fuente de nuevas dificultades como se verá más adelante .En este artículo se presentan algunos modelos para la sim_ulación (desde un punto de vista térmico) de procesos de cambio de esta-do . Asimismo se dan formulaciones que permiten el análisis matemático -de los mismos y su resolución numérica .El plan es el siguiente :1 .- El modelo de Stefan2 .- El modelo de Stefan con convección3 .- Problemas con dos materiales4 .- La solidifcación de una aleación .1 .- El modelo de Stefan .Con objeto de facilitar la comprensión vamos a considerar -un ejemplo concreto : la solidificación del acero en colada continua (verSAGUEZ-LARRECQ[1 ] ) . La figura 1 es una representación esquemática deuna planta de colada continua . Si 0S y 0L designan la temperatura enlas fases - sólida y líquida, respectiva=mente, el modelo de Stefan estableceque :21 4En la superficie de separaciónEn el sólidoEn el líquido30Fig . 1	+P(e L )c(0L ) U ax3 = 0(1 .3) es= e L= e (temperatura de solidificación) .a -~ t(1 .4) k(0S ) grad 0S *N-k(0L ) grad eL *N= p(0)L V~NS(1 .1) p(9 )c(e )a6- Eá(k(e )a 9S)+S S aT i=1 ax, S _ ax .aeS+p(0S )c(0S ) U ax =o3ae ae(1 .2) p(0L)c(OL) aTL-iÉ1 axi (k(0S )axi )+Siendo U la velocidad de .de5cer,so de la colada, L el calarlatente de fusión, V la velocidad de avance de la interfase y N un ve .2-tor unitario normal a ésta .A las ecuaciones (1 .1)-(1 .4) habría que añadir las condici_ones de contorno y la condición-inicial .Si suponemos que el proceso se encuentra en estado estacio-nario los términos con derivadas temporales desaparecen . Además la tran_smisión de calor por conducción en la dirección de avance x 3 puede despr_eciarse frente a la que tiene lugar por convección de manera que las ecu_aciones (1 .1) (1 .2) se reducen aEn el sólido(1 .5)	p(es)c(es)Uax-iE1 ax i(k(es)ax.)= 03 iEn el líquido(1 .6) p(eL )c(oL ) UaeL-iE1 ax . (k(6L) a8L) = O3 i iNótese que (1 .5) (1 .6) son ecuaciones de tipo parabólico, por consiguie'_nte tomando como condición inicial (en x3= 0) la temperatura de vertidodel acero, podemos integrarlas paso a paso y seguir la evolución de latemperatura de una sección en su descenso .La ecuación (1 .4) deberá sustituirse porDe De(1 .7) k(e ) ES:n-k(e ) É L n .= p(e)c(9)L Uv-ñS i=1 ax . i L i=1 ax . 1donde v es la velocidad de avance de la interfase en el plano x x res-pecto a x3 y ñ1 2= (n1 ,n2 ) es un vector unitario en la dirección (N1 ,N2 ) .Existen fundamentalmente tres formulaciones del problema deStefan (1 .5)-(1 .7) que comentamos brevemente a continuación . Por las ra-zones apuntadas más arriba escribiremos t en lugar de x 3 y x= (x 1 ,x2 ) .ni) Formulación en temperatura .- Sea R el abierto de R ocupado por el material y Q= SIx]O,T[ . Para te]O,T[ se denotan 52S(t), aL (t)los subconjuntos de 2 ocupados por las fases sólida y líquida respectivamente y se define en Q una función 9 del siguiente modo :(1 .8) e(x,t)=0S(x,t) si xegS (t)(x,t) si XC2 L (t)Entonces, bajo ciertas hipótesis de regularidad y mediantefórmulas de Green no es difícil probar (ver LIONS [2]) que e verifica(1 .9)	U aHa~e) -div (k(e)grad 6)= 0Siendo H el operador maximal monótono en R .e -0 p(y)c(y)dysi 0<0íe e(1 .10) H(0)- [ ~Op(y)c(y)dy, p(Y)c(y)dy+p()L] si 0=0consideradoque pruebanp(e)L+lop(y)c(y)dy si e>eH(0(x,t)) representa la entalpía local del puto x en elinstante t, de modo que (1 .9) expresa algo evidente desde el punto devista físico : la variación de entalpía local por unidad de tiempo esigual al calor que se transmite por conducción .Es bien conocido que cuando el número de variables espacia-les es superior a uno, la existencia de solución clásica del problema deStefan es una cuestión abierta . Por este motivo numerosos autores hanuna formulación débil obtenida a partir de (1 .9), para laresultados de existencia y unicidad (ver OLEINIK [31 , KAME-NOMOTSKAYA [41 , LADYZENSKAi'A-SOLONNIKOV-URALTCEVA [5] , FRIEDMANN [6]) .Un problema más difícil es el di la regularidad de la sol_ución débil y de la frontera libre . Aquí de nuevo los resultados obteni-dos dependen-de la dimensión espacial . Si.-ésta es uno y no hay fuentesde calor distribuidas (esto úlLimu ocurre en (1 .9  , -MIED~ J.., [ 7 ] haprobado la continuidad de la solución débil, y el mismo autor en [81 laanaliticidad de la frontera libre .En dimensión superior a uno los resultados que se conocenen este sentido, lo son para el llamado problemasiste en considerar que la temperatura en una dee igual a la temperatura de cambio de estado . EnKINDERLEHRER [91 han demostrado un resultado defrontera libre y másnuidad de la solución débil .21 6con una fase, que con-las fases es constanteeste caso FRIEDMANN-regularidad para larecientemente CAFFARELLI-FRIEDMANN [101 la conti-En cuanto a los métodos numéricos existen varios que par-ten de la formulación en temperatura . Dejando a un lado el caso unidi-mensional para el cual existe una abundante bibliografía, merece destacarse en primer lugar el artículo de KAMENOMOSTKAYA [41 donde se pruebala convergencia del esquema explícito . Por su parte MEYER [111 consid_era un problema regularizado (obtenido al aproximar H por una familia defunciones contínuas) para el que prueba la convergencia del esquema im-plícito .También SAGUEZ-LARRECO [11 discretizan en tiempo el problema mediante un esquema implícito, aunque sin regularización previa dela función H . En cada paso de tiempo resuelven la ecuación obtenida conun algoritmo de multiplicadores de BERMUDEZ-MORENO [121 .iil	_Formulación en en ; .e.l_pía .- Es 1>, que resulta de hace-t, e,:(1 .9) el. cambio de variable : u= H(0) . Si K (lenOta !.a primi.tiv .t r)v '', c ;, :,pasa por el origen se tiene :(1 .11) U -.t ,(K H i )u- 0aEsta formulación la uti .LL :a pc,, ves_ ;iii.uir, ra SREZIS [13J(ver también LIONS [2j , BREZIS [14] ) . Más recierrtementc: A .DA;1LAJ31AM [15]ha considerado condiciones de contorno irás generales y obteni .io mayor regularidad . Sus resultados son aplicaciones de la teoría de semigrupos .La resolución numérica de (1 .11) se abo .^da en los artícu-los de CIAVALDINI [16 1, DEGUEIL [171BREZS-ROGERS-BERGER (181 etc .iii) Formulación con inecuaciones variacionales - Ha sido introducida por DUVAUT [191 para el problema con una fase y por DUVAUT[20] y FREDMOND [211 , separadamente, para el problema. con dos fases .En ambos casos se define una nueva incógnita ("grosso modo" la integralen tiempo de la temperatura) la cual es solución de una inecuación va-riacional de evolución de primera o segunda especie según que el númerode fases sea uno o dos .Resultados numéricos sobre esta formulación pueden verseen AGUIRRE-FREMOND [221 , SAGUEZ [231 .2 .- El modelo de Stefan con convección . (ve^ BERMUDEZ-SAGUEZ i24 ]) .El modelo (1 .1)-(1 .4) supone que la transmisión de caloren las direcciones x 1 ó x 2 se realiza solamente por conducción . Ahorabien existen casos (como el de la colada continua a nivel de la lingotera), en los que tienen lugar movimientos en la fase líquida que obl_igan a considerar la transmisión por convección, introduciendo en (1 .2)un término suplementario . Procediendo de este modo,en lugar de (1 .9)se obtiene la ecuación :(2 .1) [JBá~O)-div (k(0) grad 0)+p(6)c(0)W .grad (6-6) += OEn BERMUDEZ-SAGUEZ [241 se prueban resultados de existen-cia y unidad de solución para una ecuación de evolución no lineal queincluye a (2 .1) como caso particular .3 .- Problemas con dos materiales .Cuando una masa de metal fundido se enfría en un molde, laparte que solidifica en último lugar sufre una contracción debido alaumento de densidad, originándose una cavidad llamada "rechupe" (ver p .ej . RUDDLE (251 ) . Es d: gran interés predecir la situación del rechupecon objeto de evitarlo o al menos desplazarlo a otro lugar, lo cualpuede realizarse modificando el poder enfriador de ciertas partes delmolde 6 disponiendo "mazarotas" que alimenten de metal líquido las par-tes que solidifican en último lugar .217Veamos como el modelo de Stefan puede adaptarse para simu-lar este proceso . Primeramente nótese que ahora nos interesa el fenóme-no transitorio, así que no se podrán hacer las simplificaciones del §l,y por tanto, salvo casos especiales con ciertas simetrías (p . ej . enpiezas cilíndricas), el dominio 52 será tridimensional .Sean 21 y S22 las regiones ocupadas por el metal fundido yel molde, respectivamente, y 52= 12 1 U S2 2 (ver fig . 2) .(3 .2)de reactoresFig .xe52 1 : H(x,e)=[Jop1(y)c1(y)dy,fop1 (y)c1 (y)dy+p(e) L] 0=0Se tratatravés de una tuberíaes más bajo que elregión interior delíquido ende la tubeclásico de(3 .3) x£62 . H(x,e)=121 8si x£522	H(x,0)=10p2(y)c2(y)dyGtro . Problema con dos materiales ; giie -,urge en el egt.dinnucleares (ver EL GENK-CRONENBERG [26]), es el siguiente :de transportar un líquido a alta temperatura, aconstruida con otro material cuyo punto de fusiónde solidificación del líquido . Se comprende que la -la tubería va a fundirse, al tiempo que una capa decontacto con ella se solidifica . Para evitar la fusión totalría, ésta se refrigera en su exterior con un líquido frío .Como en el ejemplo anterior, la diferencia con el problemaStefan está en la función entalpía que ahora viene dada por :1 0p 1 (y)c1 (y)dy	e<afep(e)L- f0 p1 (y)c1(y)dy ~~ e>ee pi (y)c i (y)dy0La diferencia con los problemas en losque interviene un solo material es queahora la éntalpía depende no sólo de latemperatura sino también de x . Concrpt_amente :p i (y)c -_ (y)dye<é .0 p i (y)c i (y)dy+p i (B i )Lile=e i0pi(y) c i (y)dy +pi (o i) Lie>e .i0donde 0i , L i , St i (i= 1,2) designan, respectivamente, la temperatura defusión, el calor latente y las regiones ocupadas por el líquido que setransporta (i=1) y la tubería (i=2) .eé4 .- Solidificación de una aleación .Como se ha dicho en la introducción, en este caso la temp_eratura de solidificación depende de la concentración de soluto (verCHALMERS [2']) . Denotando por Cs (resp . CL ) dicha concentración en la fase sólida .(resp . líquida), se tendrá :En el sólidoEn el líquido(4 .4)acs(4 .1)	at-DS 4CS= O (DS : coef . de difusión)aCL(4 .2)at-DL ACL= O (DL : coef . de difusión)Además la concentración no es una función contínua en la interfase : lacomposición del sólido que se forma difiere de la del líquido en equil_ibrio con él, cómo muestra el siguiente diagrama . Su interpretación essencilla . Sea CA la concentración de unpunto de la aleación en estado líquido,que se enfría progresivamente . Cuandose alcance la temperatura ~, dicho pun-to se solidificará y, en ese momento,rechazará soluto hacia la zona líquidahasta que su concentración sea CB .B CA 1 1Fig . 3 Si - y - son las pendientes de las~S aLrectas de la figura, la ley de conservación de la masa impone la siguiente ecuación en la interfase :(4 .3) DS grad CS «N - DL grad CL " N= (aS-aL ) (g-6d )V "Ndonde 6d es la temperatura de solidificación del disolvente y g la tem-peratura a la que solidificará cada punto de 51 .Para resolver (4 .1)-(4 .3), FIX [28] sugiere la introduc-ción de la nueva función incógnita :W=CS6V= +e en la fase sólidaSosen la fase líquidaque tiene un significado físico preciso "W(x,t) es la temperatura a laque cambiaría de estado el punto x a la vista de la concentración quetiene en el tiempo t" . Por consiguiente, la interfase en el tiempo t será :(4 .5)	Il(t)= {XCS2 : 6(x,t)= W(x,t)}y la función g vendrá dada por :(4 .6) g(x)= W(x,t) si xcR(t)ción de la ecuación(4 .10) HW(e)=A partir de (4 .1)-(4 .3) no Ps difícil probar que W es solu G (W)8(4 .7) at -div(M0 (W)grad W)= 0donde Ge y Me vienen dadas por :(4 .9) M e (W)=-0L (6"-ed ) si W<e(4 .8) G0(W)= 1 [-aL(e-ed),S(6-10dsi w=e-aS(W-e d ) si W>e- °L DLsi W<ePor otra parte la ecuación que rige la evolución de la temperatura continúa siendo (1 .9) ó (2 .1) (con U=1) pero la entalpía locales ahora función de W :fe0P(y)c(y)dy si e<WW0 p(y)c(y)dy, p(W)L+Wfop(y)c(y)dy] si e=Wp(W)L+l0 p(y)c(y)dy si e>WLa existencia de una solución para las ecuaciones (4 .8) y(1 .9) con H definida por (4 .10), así como el desarrollo de métodos nu-méricos para su resolución con justificación matemática, parecen cuestiones abiertas . No obstante, con respecto a este último tema, lasideas contenidas en el artículo de FIX [28] junto con el algoritmo deBERMUDEZ-MORENO [12] para resolver problemas multivocos conducen a al-goritmos convergentes como parecen indicar algunas experiencias realiza_das con ordenador (BERMUDEZ-SAGUEZ [29]) .BIBLIOGRAFIAC .SAGUEZ, M .LARRECQ . Controle de systémes á frontiére l .ibru : Application á la coulée continue d'acier . 4eme Cvl . ir,- . sur,les Méthodes de Calcul Sc . e t Technique . Versailles (1979) .[2] J .L .LIONS . Quelques méthodes de resolution de probléines aux limi-tes nonlinéaires . Dunod . Paris (1969) .[3] O .OLEINIK . A method of solution of the general Stefan problem . So-viet Math . Dokl . 1 (1960) p . 1350-1354 .[4] S .L .KAMENOMOSTKAYA . On Stefan's problem . Math . Sb . 53 (1965)p . 485-514 .[5] O .LADIZENSKAYA, V .SOLONNIKOV, N .URALTCEVA . Linear and quasilinearequations of parabolic type . Transl . Math . Monographs,vol . 23, A .M .S . Providence (1968) .A .FRIEDMANN . The Stefan problem in several space variables . Trans .Amer . Math . Soc . 133 (1968), p . 51-87 .[7] A .FRIEDMANN . One dimensional Stefan problems with nonmonotone freeboundary . Trans . Amer . Math . Soc . 133 (1968),p . 89-114 .[8] A .FRIEDMANN . Analiticiy of the free boundary for the Stefan problem .Arch . Rat . Mech .'and Analysis . 61 (1976), p . 97-125 .[9] A .FRIEDMANN, D .KINDERLEHRER . A one phase Stefan problem . Ind . Univ .Math . J . 24 (1975), p . 1005-1035 .[101 L .CAFFARELLI, A .FRIEDMANN . Continuity of the temperature in the Stefan problem . Ind .Uriiv .Math .J . 2 8 (1979), p . 53-70 .[11] G .H .MEYER . Multidimensional Stefan oroblems . SIAM J . Num . Anal . 10(1973), p . 522-538 .[12] A .BERMUDEZ, C .MORENO . Duality methods for solving variational ine-qualities . Comp . and Math . with . Appl . (1980) .[13] H .BREZIS . On some degenerate parabolic equations . Proc .Symp . on nonlinear functional analysis . Chicago (1968) de Proc . Symp .Pure Math . AMS (1970) .[14] H .BREZIS . Monotonicity methods in Hilbert spaces and some applica-tions to nonlinear partial differential equations . En _Con-tributions to nonlinear functional analysis . Ed . E .H .ZARANTONELLO, Academic Press (1971) .[15] A .DAMLAMIAN . Some results on the multi-phase Stefan problem . Commun .Partial Differ . Eq . 2 (1977), p . 1017-1044 .[16] J .CIAVALDINI . Analyse numérique d'un problime de Stefan á deux pha-ses par une methode d'éléments finis . SIAM J . Num . Anal . 12(1977) .[17] A .DEGUEIL . Resolution par une methode d'elements finis d'un pro-bléme ele Stefan en termes de temperature et tenéur en ma-terian non gélé . Tesis Ser ciclo . Univ . Bordeaux I (1977) .[18] HAREZIS, J .CA .ROGERS, A .E .BERGER . A numerical method for solvingthe problem u t -4f(u)=0 .[19] G .DUVAUT . Resolution d'un probléme de Stefan . C .R . Acad . Sci . Pa-ris, 276 (1973), p . 1461-1463 .[20] G .DUVAUT . Problémes á frontiére libre en théorie des milieux con-tinus . Rapport du LABORIA n°- 185 (1976) .[21] M .FREMOND . Frost propagation in porous media . Int . Conf . en Comp .Methods in nonlinear Mechanics . Austin (1974) .[22] J .AGUIRRE, M .FREMOND . Frostpropagation in wet porous media enApplications of Methods of Functional Analysis in Mecha-nics . Lecture Notes in Mathematics n°- 503 . Springer .[23] C .SAGUEZ . Estudio de problemas con frontera libre : Simulación ycontrol óptimo . Publicaciones del Dpto . d e Ecuaciones Fun-cionales . Universidad de Santiago (1980) .[24] A.BERMUDEZ, C .SAGUEZ . Une équation non-linéaire intervenant en so-lidificati .on . (De próxima aparición) .[25] RA .RUDDLE . The solidification of castings . The Institute of Me-. tals . London (19571 .[26] M .S . EL-GENK, A .W .CRONENBERG . Stefan-like problems in finite geo-metry . AICHE Symp . Series . Heat Transfer-San Diego (1979) .[27] B .CHALMERS . Principles of solidification . John Wiley New York(1964) .[28] G .J .FIX . Numerical methods for alloy solidification problems . EnMoving boundary problems . Ed . D .G .WILSON, A .D .SALOMON,P .T .BOGGS . Academic Press, New York (1978) .[29] A .BERMUDEZ, C .SAGUEZ . Trabajo sin publicar .

Modelos matemáticos en solidificación : aplicaciones en metalurgia

http://ddd.uab.cat/pub/pubsecmat/02102978v22/02102978v22p213.pdf

Modelos matemáticos en solidificación : aplicaciones en metalurgia

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Diposit Digital de Documents de la UAB