Gasca, M.

López Carmona, A.

Diposit Digital de Documents de la UAB

Pub . Mat . UABN° 22 Nov . 1980Actes VII JMHLINTERPOLACION POR RECURRENCIA : UNA FORMULA GENERALM . Gasca, A.LÓpez CarmonaDpto . de Ecuaciones FuncionalesUniversidad de GranadaABSTRACT .We give a formula to construct the solution of the interpo-lation problem with nfm linear forms as data from the solutionsof s simpler interpolation problems, extending the results ofG . Mühlbach [2],	[31 .As particular cases of this formula we obtain a Newton,Lagrange and Aitken-Neville formulas for one or several variables.We give an example of interpolation in any six points of R2 byusing polynomials of degree two .1 . Definiciones y notaciones .Sea W un espacio vectorial de funciones de una o variasvariables, con valores en un cuerpo K conmutativo y de caracte-rística cero . Sean m, n E N y n+m ={Li , i=1,2,. .,n+m} un conjunto de n+m formas lineales sobre W . Sea {f1,f2, fntm} un conjun-to de elementos de W linealmente independientes, tales quef 1 'f2, . . ;fn+m(1) det l £nfm 1 = det(Li (fj )) ~ 0, i,j = 1,2 ,ntmy sea V el espacio vectorial que engendran V = <f1, . . .ffntm > .Notemos por~fl'f2' . . . .fn+m(2)	pf £n+ma la función de V que es solución única del problemafl' . 'fn+mn+mpara una cierta función f en el espacio W, la llamaremos funcióninterpoladora de f respecto al conjunto de datos de interpolaci-ón £n+m'Notaremos porfl, . . .,fn+mpf I£n+mI (x)al valor de dicha función en un punto x cualquiera del conjuntode definición de las funciones de W .té apolación256Sean £n,i , i= 1,2, . . .,s, 1< s< m+1, s subconjuntos de nelementos-cada uno de £n+m' Supondremos quef 11 . . .,f n(4) det £)~ 0 i= 1,2, . . . .s .Por otra parte,£denotará la función pertenecier-n,i<fl, . . . .fn> que resuelve el siguiente problema de inter-Por último, notaremos porfl' - 'fnf l' . ' fn£ n, i=L j (f), Li E£ n,iIfl' . . . .fn+m fak £n+mk k - 1 2, . . . . n+mal coeficiente de fk en la función (2) que llamaremos k-ésimadiferencia dividida de f respecto del problema (3) .Teorema 1 .Para todo x del conjunto de definición de las funcionesde W tal que(6) D(x)=se verifica,s n+m	fl' . . .,fn+ E E A i (x) .ak . (fk(x) -pfk £ (x) )i=1 k=n+s n,isiendo a i (x), i=1,2, . . .,s la única solución del sistemarspfn+1fir . . .,£n (x)'- .Pfn+lf l , . . .,f n (x£n,l £n,sf , . . .,f f , . .,fpfn+s-lI l £n,ln1(X),,pfn+s-11 l£I1,Sn(x). . ,fn+m S fl . . . .,fn£ (x) = E a i (x)pf £ (x) +n+m i=1 n,iE a i (X)pf £ (x) = f j (x), j=n+l, . . .,n+s-1ji=1 I n, i IConsecuencias .0i) Para s=m+l, se obtiene la fórmula de Aitken-Neville generali-zada de t21,fl` .,fn+m m+1 fl, . . .,fn(9) pf £ (x) = Eai(x)pf£ (x)n+m i=1 n,iii) Para s= 1, se obtiene la fórmula de Newton generalizada da-da en [31,f 1 , . . .,fn+m(10)	pf i £n+mI (x) = pff1' . 0fn1(x) +£n,in+m fl,. . . .fn+ E ak.(fk (x) -pfk £ (x))k=n+1 n,iiii) Si s=m+1, n=1, se obtiene una fúrmula de Lagrange .2 . Interpol ación en seis puntos de R2 mediante polinomios dearado dos .Se considera el problema de interpolación(11) f(Pi ) =p(P i ), i=1,2, . . .,6, peP2donde los Pi son puntos cualesquiera de R2 .Es evidente quei10X, . . . y yP 1 , . . .,P6es nulo si -y sólo si los puntos Pi están en una cónica . Por tan-to .el problema no tiene solución o no la tiene única salvo enlos casos siguientes :1) Si tres puntos están en una recta r 0 , dos en otra r l y elúltimo no está ni en r 0 ni en r l , (11) se resuelve por el mé-todo de [11 .2) Si no hay tres puntos alineados entre los Pi , sino que seencuentran dos. a dos en rectas r 0 ,r 1 y r2 entonces por elprocedimiento de [1] es imposible tener como espacio de interpolación a P 2 . No obstante, si se puede aplicar dicho mé-todo para hallar la soluciún de los problemas(13) f(P i ) = P(Pi ), i=1,,2,3,4,5(14) f (p i ) = p' (Pi ) , i =1,2,3,4,6258en un subespacio P P 2 , de dimensión cinco cuya basese obtiene por el procedimiento dado en (1'. .Con las soluciones de (13) y (14) y tomando como c;6bien y2 , dependiendo cómo se hayan .elegido g 1 , . . .,g 5 , estamosen las condiciones del teorema 1 con n=5, m=1, s=2, por tantotendremosg1 , . . .,g 6pf	£ (x) = a l (x) pf6con a l (x) y a2 (x) solución del sistema (8) .BIBLIOGRAFIA2 .3 .g 1 , . . . ,g5£ 5,1. . " g5'2x o911 . . .,g5(x) + ~2 (x) pf £ (x)5,2GASCA,M. & MAEZTU,J .I . : "On Lagrange and Hermite interpola-tion in Rk " . Remitido a Num.Math.(1980)MUHLBACH,G . : "The general Neville-Aitken-algorithm and someapplications" . Num.Math .31, (1978)MUHLBACH,G . : "The general recurrence relation for divideddifferences and the general Newton-interpolation algorithmwith applications to trigonometric interpolation" . Num.Math .(1979)

Interpolación por recurrencia : una formula general

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Pub . Mat . UAB
N° 22 Nov . 1980
Actes VII JMHL
INTERPOLACION POR RECURRENCIA : UNA FORMULA GENERAL
M . Gasca, A.LÓpez Carmona
Dpto . de Ecuaciones Funcionales
Universidad de Granada
ABSTRACT .
We give a formula to construct the solution of the interpo-
lation problem with nfm linear forms as data from the solutions
of s simpler interpolation problems, extending the results of
G . Mühlbach [2],
	
[31 .
As particular cases of this formula we obtain a Newton,
Lagrange and Aitken-Neville formulas for one or several variables.
We give an example of interpolation in any six points of R2 by
using polynomials of degree two .
1 . Definiciones y notaciones .
Sea W un espacio vectorial de funciones de una o varias
variables, con valores en un cuerpo K conmutativo y de caracte-
rística cero . Sean m, n E N y n+m ={Li , i=1,2,
. .,n+m} un conjun
to de n+m formas lineales sobre W . Sea {f1,f2, fntm} un conjun-
to de elementos de W linealmente independientes, tales que
f 1 'f2, . . ;fn+m
(1) det l £nfm 1 = det(Li (fj )) ~ 0, i,j = 1,2 ,ntm
y sea V el espacio vectorial que engendran V = <f1, . . .ffntm > .
Notemos por
~fl'f2' . . . .fn+m
(2)
	
pf £n+m
a la función de V que es solución única del problema
fl' . 'fn+m
n+m
para una cierta función f en el espacio W, la llamaremos función
interpoladora de f respecto al conjunto de datos de interpolaci-
ón £n+m'
Notaremos por
fl, . . .,fn+m
pf I
£n+m
I (x)
al valor de dicha función en un punto x cualquiera del conjunto
de definición de las funciones de W .
té a
polación
256
Sean £n,i , i= 1,2, . . .,s, 1< s< m+1, s subconjuntos de n
elementos-cada uno de £n+m' Supondremos que
f 11 . . .,f n
(4) det £
)
~ 0 i= 1,2, . . . .s .
Por otra parte,
£
denotará la función pertenecier-
n,i
<fl, . . . .fn> que resuelve el siguiente problema de inter-
Por último, notaremos por
fl' - 'fn
f l' . ' fn
£ n, i
=L j (f), Li E£ n,i
Ifl' . . . .fn+m f
ak £n+m
k k - 1 2, . . . . n+m
al coeficiente de fk en la función (2) que llamaremos k-ésima
diferencia dividida de f respecto del problema (3) .
Teorema 1 .
Para todo x del conjunto de definición de las funciones
de W tal que
(6) D(x)=
se verifica,
s n+m
	
fl' . . .,fn
+ E E A i (x) .ak . (fk(x) -pfk £ (x) )
i=1 k=n+s n,i
siendo a i (x), i=1,2, . . .,s la única solución del sistema
rs
pfn+1
fir . . .,£n (x)'- .Pfn+l
f l , . . .,f n (x
£n,l £n,s
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n
1(X),,pfn+s-11 l£I1,S
n
(x)
. . ,fn+m S fl . . . .,fn
£ (x) = E a i (x)pf £ (x) +
n+m i=1 n,i
E a i (X)pf £ (x) = f j (x), j=n+l, . . .,n+s-1
ji=1 I n, i I
Consecuencias .
0
i) Para s=m+l, se obtiene la fórmula de Aitken-Neville generali-
zada de t21,
fl` .,fn+m m+1 fl, . . .,fn
(9) pf £ (x) = E
ai(x)pf
£ (x)
n+m i=1 n,i
ii) Para s= 1, se obtiene la fórmula de Newton generalizada da-
da en [31,
f 1 , . . .,fn+m
(10)
	
pf i £
n+m
I (x) = pf
f1' . 0fn1
(x) +
£n,i
n+m fl,
. . . .fn
+ E ak.(fk (x) -pfk £ (x))
k=n+1 n,i
iii) Si s=m+1, n=1, se obtiene una fúrmula de Lagrange .
2 . Interpol ación en seis puntos de R2 mediante polinomios de
arado dos .
Se considera el problema de interpolación
(11) f(Pi ) =p(P i ), i=1,2, . . .,6, peP2
donde los Pi son puntos cualesquiera de R2 .
Es evidente que
i
10X, . . . y y
P 1 , . . .,P6
es nulo si -y sólo si los puntos Pi están en una cónica . Por tan-
to .el problema no tiene solución o no la tiene única salvo en
los casos siguientes :
1) Si tres puntos están en una recta r 0 , dos en otra r l y el
último no está ni en r 0 ni en r l , (11) se resuelve por el mé-
todo de [11 .
2) Si no hay tres puntos alineados entre los Pi , sino que se
encuentran dos. a dos en rectas r 0 ,r 1 y r2 entonces por el
procedimiento de [1] es imposible tener como espacio de in
terpolación a P 2 . No obstante, si se puede aplicar dicho mé-
todo para hallar la soluciún de los problemas
(13) f(P i ) = P(Pi ), i=1,,2,3,4,5
(14) f (p i ) = p' (Pi ) , i =1,2,3,4,6
258
en un subespacio P P 2 , de dimensión cinco cuya base
se obtiene por el procedimiento dado en (1'. .
Con las soluciones de (13) y (14) y tomando como c;6
bien y2 , dependiendo cómo se hayan .elegido g 1 , . . .,g 5 , estamos
en las condiciones del teorema 1 con n=5, m=1, s=2, por tanto
tendremos
g1 , . . .,g 6
pf
	
£ (x) = a l (x) pf
6
con a l (x) y a2 (x) solución del sistema (8) .
BIBLIOGRAFIA
2 .
3 .
g 1 , . . . ,g5
£ 5,1
. . " g5'
2x o
911 . . .,g5
(x) + ~2 (x) pf £ (x)5,2
GASCA,M. & MAEZTU,J .I . : "On Lagrange and Hermite interpola-
tion in Rk " . Remitido a Num.Math.(1980)
MUHLBACH,G . : "The general Neville-Aitken-algorithm and some
applications" . Num.Math .31, (1978)
MUHLBACH,G . : "The general recurrence relation for divided
differences and the general Newton-interpolation algorithm
with applications to trigonometric interpolation" . Num.Math .
(1979)


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