Perelló Valls, Carles

C. Perelló

Crossref

Publicacions Matemàtiques

Problemes amb les equacions de la hidrodinàmica

Diposit Digital de Documents de la UAB

PROBLEMES AMB LES EQUACIONS DE LA HIDRODINÁMICA . (*)Secci6 de Matemátiques .Universitat Autónoma de BarcelonaFa 200 anys que en Euler va proposar les equacionsque imposen condicions a 1'escolament d'un fluid incompres-sible no visc6s . Aquestes equacions en derivades parcialsrelacionen la pressió p i les tres components de la veloci-tat v, considerades com a funcions del temps t i de la po-sici6 xd iv	v = 0Carles Perell6-grad p + fPub . Mat.UABNó :12 Juny 1979Aquí la notacib és la següent : v és el vector (vi ,v2 , v3 ), vt és ót , (v, v) v és el vector E v7óvax .f és la forra deguda a un camp extern (per exemple la grave-tat) i div v = E ax .7Si M és la regi6 a la que está confinat el líquid,s'ha d'imposar la condici6 suplementária de que v sigui tan-gent a la vora de M .. La utilitzaci6 d'aquest sistema d'equacions com amodel del comportament d'un fluid, va portar a resultats queresultaven contradictoris amb les observacions experimentals .(#) Conferéncia presentada al Seminari Barcelona el 4 de Maiga la ETSEIB .81Entre les més sorprenents hi ha'la paradoxa de d'Alembert :fent servir aquestes equacions es demostra que 1'escola-ment estacionar¡ d'un fluid a 1'exterior d'un cos, el qualescolament tendeix a tenir una velocitat constant a 1'infi-nit, no produeix cap forra sobre aquest cos . És a dir, queuna pega submergida en un torrent no experimenta cap forra!Per tal de salvar aquests inconvenients, al segleXIX es van modificar les equacions de manera de tenir encompte 1'efecte duna viscositat lineal . Sota els noma deNavier i de Stokes es coneix el sistema d'equacionsv = 0 a bM .82vt + (v, v) v = -grad p + v i~v + fdivv= 0,on v és 1'anomenat coeficient de viscositat (constant),i pv és el vector	b 2 v8x12A més s'acostuma a imposar la condició de que lavelocitat s'anul .la a les parets del recipient, és a dir,El terme de viscositat salva la paradoxa de 1'Alem-bert al permetre la creaci6 de vorticitat a la capa limit,poguent-se explicar aleshores els fenbmens de sustentaci6i d'arrossegament d'un cos dins d'un escolament torrencial .A canvi d'aixó es complica molt el model matemátic : les so~lucions estacionéries per v de 1'equació d'Euler es podenobtenir, al menys localment, com a gradients de potencials(és a dir, de soluciona de 1'equaci6 del potencial), mentreque aix6 ja no és cert en el ras de Navier-Stokes . El pro-blema és tant difícil que es tenen molt poca exemples d'es-colaments estacionaris que satisfaguin les condicions deNavier-Stokes . Per exemple, ni tan sols es sap si existeixsoluci6 estacionaria de 1'escolament	viscós al voltantd'un cilindre!Hem tingut compte de dir que les equacions posen con-dicions sobre 1'escolament, i no que determinen 1'escolament .Aixb és degut a que no sabem a priori que les equacions juntamb el coneixement de la pressi6 i la velocitat a tots elspunts del fluid en un moment donat, determinen (d'una maneraúnica, és clar), la pressi6 i velocitat en tot temps poste-rior . I aquí precisament es troba un dels problemes més se-riosos de la hidrodinámica : el decidir sobre 1'existéncia,la unicitat, la regularitat i la continuitat de les solucionsde les equacioné d'Euler i de Navier-Stokes, conegut el valord'aquesta soluci6 (p i v) en un moment donat . La soluci6 sa-tisfact6ria d'aquest problema no ha estat encara assolida endimeüsi6 3, perb si en dimensi6 2 . Els resultats coneguts es-tán escampats en una gran quantitat d'articles i en algúnllibre, i no és gens senzill resumir-los en poques paraules .El primer en obtenir resultats interessants va ser en Leray,que va publicar els seus resultats 1'any 1934, obrint totauna nova etapa, no només en 1'estudi de la hidrodinámica, si-no en 1'estudi de les equacions d'evoluci6 . El treball va serseguit per en E . Hopf, que va publicar els seus resultats al1951, i per Ladixenskaia, que va ser la primera en escriureun llibre contenint .els resultats (miri's la bibliografia alfinal) . En el problema hi ha treballat i hi segueix treballanttot un estol de matemátics, entre els que podem esmentarJudovic, Kato, Fujita, Foias, Lions, Prodi, Sobolevski ,Iooss, Temam, etc . .El mbtode utilitzat per a tots aquests resultats esbasa en la utilitzaci6 de les anomenades solucions "febles",es a dir, de funcions que satisfan les solucions sense serderivables en el sentit clássic, sin6 en el sentit de laTeoria de Distribucions . Més precisament, les solucions escerquen en el espai del tipus de Lebesgue	(LP ), o del ti-pus de Sobolev (HS ' P ) .Per a donar una idea de com s'aborda el problema,farem 1'esboc duna demostració, en el cae de M campacta,deguda a en Weissler (vbgis el llibre de Marsden i McCrackenesmentat a la bibliografia) . Es comenga per reduir les equa-cions de Navier-Stokes a equacions d'evolució en un espaiconvenient . Per a fer aix6 es tracta d'eliminar p, el ques'aconsegueix, per exemple, utilitzant la descomposició úni-ca d'un camp vectorial en un camp solenoidal i un camp gra-dient . En forma precisa, tenim que si Hs és 1'espai de So-bolev de les funcions a M que tenen derivades a LZ fine a1'ordre s, i si X és un camp que té les seves components aHs , llavors existeix un camp Y amb componente a Hs i unelement o de Hs+l , tals que X = Y + grad 0, amb div Y = 0i Y paral.lelaabM .A més Y i 0 s6n ñnics amb aquesta propie-tat . Si es defineik la projecci6 P dels camps en el campsdedivergbncia nula i paral.lels a óM mitjangant PX = Y, i siapliquem P a les equacions de Navier-Stokes, obtenim :84vt = P(v¿v - (v'o)v) = T(v)'és a dir, la derivada del camp v respecte a t resultaser una funci6 de v . Malauradament no podem aplicar di-rectament ele teoremes d'existbncia i unicitat de solu-ció per a equacions diferencials ordinbries en espais deBanach, perqué T fa baixar 1'ordre de 1'espai de Sobolev .Per a solventar aquesta dificultat, s'observa que 1'equa-ci6 lineal vt = vPpv determina un semigrup analític d'o-peradors (anéleg al que apareix a 1'equació del calor), ique la norma de exp (vP¿)t com a operador de Hl a H2 ésintegrable a tot interval [O,T] . Escrivint llavors la so-lució al temps t com una perturbaci6 d'aquesta, mitjan-cant una fórmula del tipus de la de variaci6 de parémetres,i fent servir el que'certa aplicació és contractiva, esdemostra que existeix una soluci6 local a H2 . El comprobarque aquesta solució és diferenciable si la condici6 inicialho és i que existeix per tota t > 0 si M esté a IR 2 exigeixmés feina . Fem notar que si M és a IR 3 és un problema encaraobert el demostrar que no hi ha sólucions que s'escapin a1'infinit en un temps finit . També és notable que no s'hapogut demostrar més que dependéncia continua de les solucionsrespecte a t! En el cas de que M no sigui compacte el pro-blema esté molt poc tocat, emcara que és clar que s'han dedemanar condicions a 1'infinit ben precises per a poder as-solir algún resultat .Per les equacions d'Euler la situacib és encara mésdifícil, i una manera de demostrar que les solucions de laequació d'evoluci6 resultant existeixen és fer tendir v a 0a les equacions de Navier-Stokes . Cal remarcar aquí el tre-ball de Arnold, que mostra que les solucions de les equacions,de Euler es poden interpretar com a geodésiques en unavarietat riemanniana de dimensi6 infinita . (Es poden con-sultar els llibres de Arnold i de Marsden esmentats a labibliografia) .Observem que el teorema d'existénc 'ia i unicitatens d6na una aplicaci6 Ft de H en H, tal que si v és elcamp de velocitats al temps inicial, Ftv 1'és al temps t .Si F esté definit per tota t > 0 aix6 és conegut com atun semisistema dinámic (com en el cas de M a IR ) . En elcas de que no estigui definit per tota t > 0 es parla d'unsemisistema dinámic local .Per una v donada, l'aplicació de 1'interval (0,-)a H donada per F tv és la trajectória de v, i descriu a1'espai d'estats de la velocitát .H,, 1'evoluci6 d'aquestcamp en el temps . Les solucions estacionáries corresponena punts de repós o d'equilibri d'aquest sistema, i en ellsFtv és constant .Un problema natural i que pot ser d'importánciapráctica, és el de 1'estabilitat de les solucions estacio-náries . Suposem que es sap que hi ha un escolament torren-cial estacionar¡ al voltant d'un cos, si aquest escolament,com a punt critic del sistema dinámic és estable, les peti-tes perturbacions no 1'afectaran molt, en canvi, si és ines-table, una petita perturbació pot modificar molt 1'escola-ment en el curs del temps . Donarem un exemple per il .lustrarel problema . Per a viscositats altes i velocitats petites,s'observa experimentalment que 1'escolament torrencialal voltant d'un cilindre (es suposa molt llarg), ambeix perpendicular a la direcci6 del flux a 1'infinit,té una soluci6 estacionaria simétrica respecte al pládeterminat per 1'eix i la direcci6 limit del flux . Ma-temáticament es demostra que aquesta soluci6 és global-ment asimptóticament estable, és a dir, que es parteixide l' estat qze sigui, ,	amb el temps es tendeix al mateix estat es-tacionar¡ . Ara bé, si s'augmenta la velocitat o es dis-minueix la viscositat, s'observa experimentalment que86a partir de ceit valor, el flux comenta a fuetejar pas-sat el cilindre submergit . És com si la solució estacio-n&ria hagués deixat de ser estable i tot tendis a unasoluci6 periódica : els camps de velocitat van canviantamb el temps duna fais6 periódica . Matemáticament aix6no esté encara explicat satisfactóriament, (encara quem'acaven d'arrivar noves de que en Bábenkóv ho ha fet iencara no ho ha publicat), peró 1'explicaci6 sembla serdel següent tipus :En el cas de viscositat alta la soluci6 estacio-nária vo és tal que totes les trajectóries Ftv tendeixena v0	quan t -i -. Aixó es pot deduir d'un estudi de 1'es-pectre de la part lineal Tt de Ft al punt vo , que és unsemigrup d'operádors lineals . Si 1'espectre de Tt estácontingut a un compacte de 1'interior del cercle unitarials complexs, llavors voés asimptbticament .estable . Sia 1'ánar variant la viscositat v s'arriva a un valor criticv c . tal que un parell de eigenvalors simples i conjugatscreuen el cercle per sortir-se'n, pot ocorrer que vo (quedepén de v, és clar), deixi de ser estable, i que apareixiuna trajectbria periódica prop d'ella, que atregui lestrajectóries del seu entorn . Aix6 és conegut com, a bi-furcaci6 de Hopf . (Végis el llibre de Marsden-McCrackenesmentat a la bibliografia) . El problema de determinar1'espectre de la part lineal de Ft a vo és tan seriósque fins ara no hi ha publicat cap resultat on es tinguiprou control com per veure com. es perd l'estabilitat . Enuna publicaci6 recent es tracta un problema semblant perun disc girant al si d'un liquid . Es tenen tots els resultats satisfactóriament, peró fautor, incapac de provar-ho, ha de suposar que els valors propis,que surten delcercle unitari s6n simples .Un altra exemple irtteressant el constitueix elmoviment d'un liquid entre dos cilindres coaxials,suposant que el cilindre exterior esté quiet ique es fa girar 1'interior amb una velocitat constant,w, que seré el parémetre del nostra problema . Per a wbaixa s'observa (i es demostra mateméticament) que hi hauna solucib estacionéria amb simetria tant axial comlongitudinal, és a dir, invariant tant per girs al voltantde 1'eix com per translacions en la seva direccib . Perun cert valor w, es produeix la primera bifurcació : elflux estable discretitza la seva simetria longitudinal i,sense deixar de ser estacionar¡, es formen uns comparti-ments anul .lars, coneguts com a cel.les de Taylor, cada unentre. els dos cilindres i dos plans perpendiculars a 1'eix,i on el liquid, a més de girar al voltant de 1'eix, va gi-rant al voltant de la trajectbria circular al centre delcompartiment, i de manera d'anar alternant el sentit d'a-quest gir d'un compartiment al següent . Per a valors dew encara més grans, també 1'estructura en cel.les esta-cionéries deixa de ser estable, i es presenta un movimentno estacionar¡, en que les cel .les s'ondulen i giren alvoltant de 1'eix . Per valors de w encara més grans s'ob-serva un comportament turbulent . Per a més detalls delque passa es pot consultar el llibre de Marsden i McCracken.L'anélisi matemétic dels fenbinsis esmentats encaraés molt incomplert i el que manca és precisemant, al menysper les dues primeres bifurcacions,	' un bon coneixementdels espectres dels operadors involucrats . En el mateixllibre de Marsden i McCracken hi ha un-article d'en Schec-ter on fé un anélisi matemétic correcte, peró hipotétic,en quan a que ha de suposar que els espectres fan el queels hi toca per que tot vagi bé .88Després del problema de la estabilitat i les bi-furcacions, tocarem un problema més conflictiu : el de laturbuléncia . Encara no esté clar el que es vol dir perturbuléncia en un sentit matemétic, encara que en un sentitfisic es designa aixi un estat en el que sembla que lesparticles es moguin duna manera caótica . En alguns ex-periment s'ha observat que 1'aparici6 de la turbulénciacoincideix amb 1'aparici6 d'un continu d'harmóniques a1'anélisi de Fourier-de la velocitat de les particules,per comptes de les freqüéncies discretes que s'observen enels fluxs no turbulents (Végis 1'article de Bowen al"Tur-bulence Seminar") .En Leray va suggerir que la turbuléncia era degu-da a que les solucions de la equacions no eren diferencia-bles en aquestes condicions pel que el model de Navier-Stokes no era vélid . Més modernament en Landan va suposarque la turbuléncia era un moviment quasi-periódic, ambuna quantitat gran de frequéncies independents com perque f6s molt complicat . Aquesta idea s'ha portat mésendavant, en el sentit de que la turbuléncia es podriapresentar com a resultat de bifurcacions successives,cada una aportant noves freqüencies, i acumulant-seen nombres infinit .(com a les catástrofes genera.litzadesd'en Thom) . En els darrers temps els matemétics, almenys els qui utilitzen el llenguatge dels sistemes diná-mics, es senten inclinats a rebutjar les hipótesis ante-riors . Aixó és degut a dos fets : primer a que els méto-des numérics d'en Chorin (végis el llibre d'en Marsden),han permés integrar .les equacions per números de Rey-nolds molt grans (vol dir viscositats molt petites o ve-locitats molt grans), i han conseguit una resolució proubona com per explicar la-formaci6 de,vartexs en el fluxtorrencial passat un cilindre . Áix6 sembla indicar que,encara per aquests escolaments d'apariéncia turbulenta,les equeacions s6n válidas i les solucions diferenciables .En seg6n lloc sembla que la turbuléncia no apareixal cap de moltes bifurcacions que incrementin gradulamentel nombre de frequéncies, sino que, al cap d'un parell otres de bifurcacions, ja apareix el continu de frequén-cies (com en el cas ressenyat del flux entre dos cilin-dres) . Aix6 fa pensar en la possibilitat del següent me-canisme : per a valors grans de viscositat es té una solu-ci6 estacionária asimptóticament estable . Al disminuir laviscositat es perd l'estabilitat, i apareix una varietatinvariant de dimensi6 finita (1 o 2 en general), a la quetendeixen totes les traject6ries Ftv i on passen les cosesinteressants : per exemple pot haver-hi la trajectóriatancada asimptóticament estable corresponent a la bifur-caci6 de Hopf . Aquesta trajectória tancada pot perdrela seva estabilitat per altres valors de la viscositat,i es pot separar d'ella un tor invariant de dimensi6dos, diguem, asimptóticament estable, on el flux tendi-rá encara a brbites tancades (genéricament) . Del tor bi-dimensional es pot separar, al perdre aquest l'estabili-tat, un tor tridimensional, per exemple, que sigui asimp-tóticament estable . Dins d'aquest tor de dimensi6 tres elflux ja pot ser molt complicat . Tant que, si hi ha el ques'ha batejat amó el nom de "strange attractor" en anglés,i que nosaltres anomanem atractor-complicat, es podriatenir un bon candidat per a la turbuléncia, doncs les tra-jectbries que tendeixen a un d'aquests atractor tenen uncomportament bastant caótic .Aquests atractors complicats han sigut detectatsen sistemes dinámics a espais de tres dimensions, i en par-ticular s6n molt coneguts els exemples de Lorenz i Rikitake .El seu comportament és molt estable, en el sentit de quepersisteixen sota perturbacions, el que els fa uns bons can-didats;. en contra de les solucions quasiperibdiques, que nos6n gens genériques . Els primers en suggerir que la turbu-léncia es pot deure a la preséncia d'atractors complicatsi que essencialment és un fenbmen de sistemes dinámics endimensi6 finita van ser Ruelle i Takens (végis bibliogra-fia) . Per a tenir més informacib sobre aquests atractorsrecomenem llegir 1'article del Marsden al Turbulence Seminarbé el meu esmentat a la bibliografia .	,Aquests ens semblen els problemes relacionats ambsistemes dinámics més importants de la hidrodinámica, almenys per el que fá als liquids incompressibles . Si .s'admet compressibi itat o transmisi6 de calor, llavors lesequacions es compliquen encara més i es poden presentarfenbmens com el de la convexi6, que és ric en problemesmatemátics, perb que ja no tocarem aquí .BIBLIOGRAFIAMarsden, J., McCraken, M . "The Hopf bifurcation and itsapplications" . Springer, New York, 1976Marsden, J., "Applications of global analysis in mathema-tical physics" . Publish or Perish, Boston,1979 .Leray, J . "Sur le mouvement d'un liquide visqueux remplis-sant 1'espace" . Acta Math . 63 (1934), 193-248 .0Ruelle, D ., Takens, F . "On the nature of turbulence" . Comm .Math . Phys . 20(1971), 167-192 ."Turbulence Seminar", Berkeley 1976/1977", Lec-ture Notes 615, Springer, New York, 1977 .Arnold, V.I . "Méthodes Mathematiques de la Mécanique clas-sique" . MIR. Moscd . 1976 .Ladixenskaia, O.A . "The mathematical Theory of viscous Incom-pressible Flow" . Annals of Math . Studies 11,Princeton, 1947 .Perell6, C . "Turbulencia y atractores complicados" Acta delI Congres de Ecuaciones Diferenciales y Aplica-clones, El Escorial, 1978 .

http://ddd.uab.cat/pub/pubsecmat/02102978v12/02102978v12p81.pdf

Problemes amb les equacions de la hidrodinàmica

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Crossref

Diposit Digital de Documents de la UAB