Tort, Manuel

M. Tort

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Publicacions Matemàtiques

Espacios de sucesiones

Tort, M.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . LTAB
ns 11, i.arg 1979
ESPACIOS DE SUCESIONES
por
Manuel Tort
Se llama espacio de sucesiones a todo subespecie vectorial
del espacio w de todos les sucesiones de números reales o com-
plejos . La teoría de los espacios de sucesiones fue desarrollada
principalmente por KBthe y Toeplitz 112] en 1934 y posteriormente
por K6the [9] y [10] , si bien se encuentran precedentes en traba-
jos anteriores . Su desarrollo .está ligado, el principio, el de lea
teorías de los espacios de Hilbert y de los espacios normados . Más
adelante, el desarrollo de la teoría de los espacios localmente con-
vexos supuso nuevos avances en el estudio. de los espacios de suce-
siones .
Exponemos, a continuación, algunas de las ideas y de los tra-
bajos que llevaron e la consideración de los espacios de sucesiones,
a la definición y estudio de los espacios normados y, en general,
de los espacios vectoriales topol6gicos .
En el estudio de las ecuaciones integrales lineales del tipo
u (X)
	
t
b
,ía
J KcX,y) ue.Y) d y- J(X)
para la función incógnita u, en 1903, I. Fredholm consideró le
analogía entre éstas y los sistemas lineales
n
para obtener la solución de la ecuación integral como cociente de
dos expresiones, siguiendo el método de Cramer . Esta idea se basa
en el método de los coeficientes indeterminados, consistente en
hallar una función incógnita, que se supone desarrollable en serie
69'
cw,v~ (donde las trn son funciones conocidas), calculando los
cooPicisatos an . Este método había llevado a la consideración de
sist&aas lineales con infinitas incógnitas
plato (wn)
6
(con
	
6? ° Ja JIt) wP lt) -4E y
b
,Atr! Ktr.~)wtY) d y =
d
En 1906, Hilbert, utilizando el método de los coeficientes
indeterminados, muestra que, la solución de la ecuación integral
es equivalente a la del sistema de infinitas ecuaciones lineales
x y + F kp, 1 x,
1.4
donde les incógnitas son los coeficientes de Fourier
(b '
x~ $ / u lt) wP lt) dt:
de la función incógnita u respecto a un sistema ortanormal com-
'b¡6
k P " i o u
K<s,h1 ~+P ~sl w~ltr) ds AE ) .
Las soluciones que considera son aquellas para las cuales 574+~.
Es en estos trabajos donde aparece la idea del espacio de las su-
cesiones .de cuadrada sumable, si bien no se ha introducido explíci-
tamente . Este espacio se presente como un paso al limite a partir
de los espacios euclideos de dimensión finita . Hilbert introduce en
este espacio dos tipos de convergencia que son los que se han lla-
mado postariomento convergencia débil y convergencia fuerte .
En 1906, F . Riesz introduce los espacios LF (I) de las funcio-
nos de potencia p-ésima integrable (1 < p estudia el que le
sigue, tres anos más tarde, un trabajo análogo donde se introducen
lós - especios L? (R) de les sucesiones de potencia p-ésima sumable
q" se estudia la dualidad entre estos espacios . Sobre esta cuestión
''~~ . ~ cabe óitar, un resultadó previo demostrado por Landeu en 1907 que
establece que la convergencia de la serie
	
u x , pare toda 'aú-
cesión . (x ) E Lr (N), implica que la sucesión (u) pertenece e
Ll(N) (con L +
:L
1 ) .
11
La definición general de los espacios normados fue dada por
S . Banach, H . Hahn y E . Helly, aunque éste último considera sóla-
mente espacios de sucesiones de números reales o complejos.
En 1921, Helly introduce una noción de norma em los espacios
de sucesiones que generaliza el funcional de Minkowski de un cuer-
po convexo en los espacios de dimensión finita . Si E es un espa
cio de sucesiones dotado de una norma, establece una dualidad entre
E y el espacio E' formado por las sucesiones u - (un) tales que,
para toda x - (x ) e E, la serie uxo	 convergente . Define
una norma en E' por Nul- sup i<u,x>1/ %xg . A partir de estos
s +o
conceptos, la resolución de un sistema en E
~atia xy =ó~ .
i .
donde los u, - (aj. s E; se reduce a resolver les siguientes
cuestiones : 1) Hallar una forma lineal continua L sobre E'
tal que, pera todo i s N', se verifique L(u ;) - b¿ . 2) Determi-
nar si existe algún x s E tal que, para todo u e E', se cumple
L(u) - <u,x) . Pare este último problema no siempre existe solución,
como observe Helly, aun cuando L existe, y, ee limita a dar condi-
ciones suficientes en casos particulares .
En 1927, el procedimiento de Minkoweki-Helly es_utilizado por
H . Hahn en un espacio normado cualquiera pare definir en el dual
una estructure de especia normado completo . Estos resultados son
obtenidos dos años más tarde, de un modo independiente, por S.
Banach . Estos resultados preparen le definición de los especias
localmente convexos, dada por J . van Neumann en 1935 .
Finalmente cabe destacar la teoría de los espacios de sucesio-
nes iniciada por KBthe y Toeplitz en 1934 y desarrollada en años
sucesivos por KBthe . Esta ha utilizado para su desarrollo los avan-
-1 Y .
goa on le teoría de los espacios localmente convexos y ha servido
c=~ cmdolo a data última proporcionando diversos contraejemplos .
Exponemos, a continuación, las definiciones y principales re-
sultados de esta teoría (KSthe [11] §30) .
Si C1 es un conjunto de sucesiones, el conjunto formado por
todas las
	
y - (y ) s w , con ¡y,, 1 s 1 x.1, para alguna x - (x .) c- M,
es 11a a la envoltura normal da 2 . Un conjunto de sucesiones se
llame normal o sólido si coincide con su envoltura normal .
Se representa por r el espacio de sucesiones formado por lea
que tienen únicamente un, número finito de términos distintos de
corro . Para cada n e M, se representa por e° la sucesión (xa),
donde x,, - 1 si k = n y x k = 0 si k ¢ n . Las sucesiones e"
forman base del espacio y . Sea x = (xn) un elemento de w .
Para cada m e M se define x-= (xñ) por x = x, si n s m y
x'"- 0 si n > m. Las sucesiones x ^' se llaman las secciones de
x -y pertenecen al espacio
A cada espacio de sucesiones A se le asigna otro, Áx su
ct-dual, forimada por todas las sucesiones u = (u n) teles que la
serie
n a4
Sea absolutamente convergente, para toda x = (xn) .C-
es
.
un espacio de sucesiones normal que contiene Í
. Un
espacio de sucesiones se llama perfecto o de Kfithe si A = j xx .
Si 1 es , un espacio de sucesiones, 'I Yx es el mínimo especia par
facto que contiene a . Un espacio perfecto es normal y contiene i
Los espacios p y w son perfectos y a-dueles el uno del
otro . Los espacios 14 (espacio de las sucesiones (x .,) tales nue
m
la serio 2:x es absolutamente convergente) y 1 °° (espacio de
" las sucesiones acotadas) son perfectos y o(-duales el uno del otro .
Para todo número real p > 1, los espacios lr (espacio de las su-
cesiones tales que la serie L 1x.¡? es convergente) son perfectos
y se tiene
Si a es un espacio de sucesiones que contiene y , d y" su
«-dual
	
a -` forman sistema dual con la forma bilinsal
u  x 
para u = .(u n) e A" y x - (x~) s a . Las topologías débil, de
Mackey y fuerte en un espacio A que contenga Y se considerarén
siempre relativas el sistema dual (A
una sucesi6n (x) se llame positiva si xr, 7, 0, para todo
n s N . Si u - (un) e w , se representa por 1 el d-dual de la
envoltura lineal de u . Si a es un espacio perfecto, A admite la
representacl6n
uiaX
wAo
para los elementos u - (uJ positivos de a x .
En el conjunto de las sucesiones positivas se define la rala-
ci6n de orden : a s b si b - a es positiva . Si a ; b, se tiene
l a n 1 6 . Ell espacio 1 es isomorfo al límite proyectivo de los
especias 1 , para los elementos positivos de ñ X , con las
aplicaciones inclusi6n entre estos espacios .
Sea A un espacio de sucesiones que contiene rP . La topo-
logía definida por el sistema de seminormas
P«(X) = i 1u,X .~
n .1
para u - (u") e 1' , se llama le topología normal en 1 . La
topología normal es la de la convergencia uniforme sobre las envoltu-
ras normales de los elementos de 1 x . puesto que estos conjuntos
son absolutamente convexos y débilmente compactos, la topología nor-
mal es compatible con el sistema dual (1 ,1X) .
En el espacio 1 a coincide la topología normal con la defi-
Si a es un espacio perfecto, la topología de Mackey en ax
ss le polar de la normal en 1 (topología de la convergencia pre-
compacta) y la polar de lá de Mackey en a" es la topología en 1
localmente convexa más fina que tiene los mismos conjuntos compactos
y las mismas sucesiones convergentes que la débil . Es compatible con
I el sistema dual
m
nido por la norma Ux0
	
~Ix ~ . Los espacios a N son de Fréchet
con la topología normal .
Soc á un espacio perfecto . A con la topología normal es
topol6gicamente isomorfo el límite proyectivo de los espacios
dotados de la topología normal, para los elementos positivos de ax ,
con las aplicaciones inclusión entre estos espacios . Por lo tanto
es topoldgicamente isomorfo a un limite proyectivo de espacios de
Fri.échet . De este representación de los espacios perfectos se deduce
una caracterización topolbgica de estos espacios : un espacio de suce-
siones que contiene y, es perfecto si y s61o si es débilmente com-
pleto por sucesiones y si y s61o si es completo con la topología
normal .
En un espacio que contenga
Y
las secciones de una sucesión
convergen hacia ella por la topología débil y por la normal . Si
además el espacio es normal, las secciones convergen por la topolo
gía de Hockey . Un espacio perfecto es tonelada con la topología de
Mackey si y s61a si las secciones de una sucesión convergen por la
topología fuerte .
Un resultado interesante relativo a los subconjuntos compactos
de los espacios perfectos establece aus en un espacio perfecto con
una topología más fina que la débil coinciden los conjuntos compec-
tos, los numerablemente compactos y los compactos por sucesiones . En
un espacio perfecto coinciden los conjuntos débilmente compactos con
los compactos pare la topología normal y las sucesiones débilmente
convergentes con las convergentes para la topología normal .
Consideraremos, a continuación, una cierta clase de espacios
perfectos : los espacios escalonados y co-escalonados . Estas espacios
fueron introducidos por K8the [9) en 1948 . Se establece un método
constructivo de espacios perfectos a partir de una sucesión de su-
cesiones . Las espacios escalonados son espacios de Fréchet con la
topología normal .
Dada una sucesión de sucesiones positivas
	
ek , tal que as ;
al s . . . . .s ak s . . . . , se dice que al es un sistema creciente de
escalones, el cual se llama completo si para cada n E N existe un
k e N tal que al f 0 .
Dado un sistema creciente y completa de escalones a k , los
espacios
se llamen los espacios escalonado y co-escalonado, respectivamente,
correspondientes el sistema de escalones ak . Estos espacios son
perfectos y « -duales el uno del otra .
Más adelante, este concepto es generalizado por Dieudanné y
Gomas [5] , definiendo las espacios escalonados y co-escalonados de
orden p (donde p es un número real mayor o igual que una) de modo
que para p - 1 se tienen los espacios definidos por KBthe .
Si p es un número real mayor o igual que una, se define el
espacia ,1K como el formado por las sucesiones (x~) tales que la
serie
es convergente . El espacio aP coincide con a  en el casa p - 1 .
A partir de los espacios au , se definen los espacios escalo-
nados y co-escalonados de orden p de un modo análogo a la definir
ci6n de los anteriores espacios .
Dado un sistema creciente y completo de escalones a k y un nú-
mero real p mayor o igual que uno, los espacios
I u . I I K ., I P
n=i
00 x
y ~= U ~a a~)
kW
y
i
= U ( aák )
k,,
se llsman los espacios escalonado y co-escalonado de orden p, res-
pectivamente, correspondientes el sistema de escalones
	
ak . Es-
tos espacios son perfectos y d-duales el uno del otro . Para p > 1,
el espacio escalonado de orden p es un espacio de Fréchet refle-
xivo con la topología de Mackey .
Una nueva generalización fue establecida por Dubínsky [6] en
1967, caracterizando los espacios perfectos nue son de Fréchet con
la topología fuerte .
Se llama escalón a todo espacio perfecto A tal que 1~ c ;~ c 1-
y sea de Banach con la topología fuerte . Sea ( AJ une sucesión de
escalones y (al) una sucesión de sucesiones tales que
1) 0 < ak < ak", para todo i,k <s N,
2) l/ak°' ,A k;1 e l/a k Ak , pare
todo k e N . Los espacios
x
s n ak k y ~ z U ak 1k~izl ~='
se llamen los espacios escalonado y-co-escalonado, respectivamente,
sobre el sistema de escalones Estos espacios son perfectos
y c(-duales el uno del otro . El espacio escalonado es de Fréchet con
la topología fuerte . A partir de éstos se caracterizan todos los
espacios perfectos que son de Fréchet con la topología fuerte, si
bien estos últimos no coinciden con los espacios escalonados . No
obstante,. como señala Dubinsky en su trabajo, Y . Komura ha observado
que si se debilita la hipótesis sobre el sistema de escalones, supo-
niendo' 0 < ak . é ak " ', la construcción sigue siendo válida y los es-
pacios escalonados obtenidos de este modo coinciden con los espa-
cios perfectos que sonde Fréchet con la topología fuerte .
a la teoría de los espacios vectoriales topológicos y se ha utiliza-
do para dar contraejemplos en esta teoría . Citaremos, a continuación,
algunos de ellos .
La teoría de los espacios de sucesiones ha servido como modelo
Mediante un espacio escalonado se de un ejemplo de un espacio
que es de Fréchet y de Mantel en el que existe un cociente que no es
espacio de Mantel . Al misma tiempo, este ejemplo demuestra que un,
cociente de un espacio de Fréchet reflexivo no es necesariamente
reflexivo . El ot-dual de este espacio, con la topología fuerte,
proporciona un ejemplo de un espacio DF en el que existe un subas-
pacio cerrado que no es DF . También, mediante un espacio escalonado,
se da un ejemplo de un espacio de Fréchet no distinguido (KBthe (9]
y Grothendieck [7.]) . Este dltimo ejemplo fue utilizado más tarde
por-Anemiya (1] para dar un ejemplo de un espacio DF bornol6gico
cuyo bidual fuerte no es bornol6gico.
En 1963, T . e Y. Komura [8] , utilizando la hipótesis del con-
tinuo, contestan negativamente a dos cuestiones propuestas por KBthe
y por Dieudonné . KBthe se preguntaba si todo espacio perfecto tone
lada era bornol6gico y Dieudanné si el completado de un espacio bor-
nol6gico era bornol6gico . A partir de un espacio de K6the A , defi-
nen el espacio Áa como la adherencia de y con la topología barno-
16gica asociada a la fuerte . a, es un espacio de sucesiones borno-
l6gico con la topología inducida por la fuerte en a . Den un ejemplo
de un espacio perfecto 1 que con la topología fuerte es tonelada y
no bornol6gico. Este espacio es el completado del espacio bornol6gi-
co A., con lo que quedan cerradas las dos cuestiones .
La teoría de KBthe sobre los espacios de sucesiones ha sido ge-
neralizada en varios sentidas : a espacios vectoriales con un álgebra
de 8oole de proyecciones por Cooper (3] , a espacios de sucesiones
con valores en un espacio localmente convexo por Pietsch (14] , a
espacios de funciones localmente integrables por Dieudonné (4] y, en
el caso real, a espacios parcialmente ordenados por Luxemburg y
Zaanen [13] . También se han considerado otros tipos de duelidad, co-
mo la
	
p -dualidad . Si A es un espacio de sucesiones se define 1p; .su
-dual, como el espacio de las sucesiones (u,,)6 n+ tales que,
para toda (xJ o A , la serie
	
L u"x" sea convergente . El
~y-cWal de un espacio contiene el W -dual y si el espacio es normal
ambos dueles coinciden . Un espacio de sucesiones A , que contiene ,
y su p -dual forman sistema dual con la forma bilineal (u,x> = L
".e
para u = (uJa A' y x a (x") e a
Describiremos brevemente la generalización de Dieudonné a
espacios de funciones localmente integrables . Los espacios de su-
cesiones se presentan el considerar N con la topología y la me-
diera discretas.
Sea E un espacio topológico localmente compacto numerable
el infinito con una medida de Radon positiva . Se represente por S1
el espacio de les clases de funciones localmente integrables en E .
Si r es une parte de 11 , el conjunto A. formado por les fun-
ciones f o 11 tales que, para toda g s r , fg sea integrable
es un subespucio vectorial de J1 ; se dice que & es un espacio
de KBthe y r un conjunto de definición de & . Se define A.x
como el espacio de KBthe definido sobre A. . /l y Aa contienen
el espacio 1 (espacio de las clases de funciones medibles y acotadas
con soporte compacto) y forman sistema dual con,la forma bilineal
Se estudian topologías relativas a este dualidad y se generalizan
resultados establecidos pare espacios de sucesiones .
(1] ANEUM, I . "Soma examples of (F)- and (DF)-spaces': Proc . Japan
Acad.33, 169-1?1 (1957) .
[2] BOURBAKI, N . "Elementos de historia de las matemáticas" Alianza
Editorial (1972) .
<f .,) = f fi 'r
BIBLI06RAFIA
(3] COOPER, J .L.B . "Coordinated linear spaces" . Proc . London Math .
Soc ., III . ser. 3, 305-327 (1953) .
[4] DIEUDONNE, J .
	
"Sur les especes de Kbthe" . J . Analyse Meth . 1,
B1-115 (1951) .
f5] DIEUDONNE, J . y GOMES, A .P . "Sur carteins especes vectoriels
topologiques" . C .R . Acad . Sci . Paris 230, 1129-1130 (1950) .
[6] DUSINSKY, E . "Perfect Fréchet spaces" . Meth . Ann. 174, 186-194
(1967) . .
[7] GROTHENDIECK, A . "Sur les especes (F) et (DF)" . Summa Bresil .
Math . 3, 57-123 (1954) .
[8] KOMURA, T . e Y . "Sur les especes parfaits de suites et leurs
généralisations" . J . Math . Soc . Japen 15, 319-338 (1963) .
[9] KÓTHE, G . "Die Stufenriume, Bine einfeche Klesse linearer
vollkommener R5ume" . Math . Z . 51, 317-345 (1948) .
[10] KOTHE, G . r'NeubegrOndung dar Theorie dar vollkommenen RAume" .
Math . Nechr . 4, 70-80 (1951) .
(11] KOTHE, G . "Topological vector spaces I" . Die Grundlheren dar
Mathematischen Wissenschaften 8 .159 Springer-Verleg (1969) .
[12] KOTHE, G . y TOEPLITZ, 0. "Lineare Rilume mit unendlichen vielen
Koordinaten und rrlinge unendlicher Matrizen" . J. reine engew . Math .
171, 193-226 (1934) .
[13] LUXEMBURG, W.A .J . y ZAANEN, A.C . "Notes on Sanach function
spaces" . VIII-XIII . Nederl . Akad . Wetensch . Indeg . Math . 26,
104-119, 360-376, 493-543 (1964) .
[14] PIETSCH, A . rlVerallgemeinerte vollkommene Folgenrdume" .
Schriftenreihe d . Institute d. Math . Oeutsche Akad . Wiss . Helft 12,
Akademie-Verleg Berlin (1962) .


Tort Pinilla, Manuel

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Pub . Mat . LTABns 11, i.arg 1979ESPACIOS DE SUCESIONESporManuel TortSe llama espacio de sucesiones a todo subespecie vectorialdel espacio w de todos les sucesiones de números reales o com-plejos . La teoría de los espacios de sucesiones fue desarrolladaprincipalmente por KBthe y Toeplitz 112] en 1934 y posteriormentepor K6the [9] y [10] , si bien se encuentran precedentes en traba-jos anteriores . Su desarrollo .está ligado, el principio, el de leateorías de los espacios de Hilbert y de los espacios normados . Másadelante, el desarrollo de la teoría de los espacios localmente con-vexos supuso nuevos avances en el estudio. de los espacios de suce-siones .Exponemos, a continuación, algunas de las ideas y de los tra-bajos que llevaron e la consideración de los espacios de sucesiones,a la definición y estudio de los espacios normados y, en general,de los espacios vectoriales topol6gicos .En el estudio de las ecuaciones integrales lineales del tipou (X)	tb,íaJ KcX,y) ue.Y) d y- J(X)para la función incógnita u, en 1903, I. Fredholm consideró leanalogía entre éstas y los sistemas linealesnpara obtener la solución de la ecuación integral como cociente dedos expresiones, siguiendo el método de Cramer . Esta idea se basaen el método de los coeficientes indeterminados, consistente enhallar una función incógnita, que se supone desarrollable en serie69'cw,v~ (donde las trn son funciones conocidas), calculando loscooPicisatos an . Este método había llevado a la consideración desist&aas lineales con infinitas incógnitasplato (wn)6(con	6? ° Ja JIt) wP lt) -4E yb,Atr! Ktr.~)wtY) d y =dEn 1906, Hilbert, utilizando el método de los coeficientesindeterminados, muestra que, la solución de la ecuación integrales equivalente a la del sistema de infinitas ecuaciones linealesx y + F kp, 1 x,1.4donde les incógnitas son los coeficientes de Fourier(b 'x~ $ / u lt) wP lt) dt:de la función incógnita u respecto a un sistema ortanormal com-'b¡6k P " i o uK<s,h1 ~+P ~sl w~ltr) ds AE ) .Las soluciones que considera son aquellas para las cuales 574+~.Es en estos trabajos donde aparece la idea del espacio de las su-cesiones .de cuadrada sumable, si bien no se ha introducido explíci-tamente . Este espacio se presente como un paso al limite a partirde los espacios euclideos de dimensión finita . Hilbert introduce eneste espacio dos tipos de convergencia que son los que se han lla-mado postariomento convergencia débil y convergencia fuerte .En 1906, F . Riesz introduce los espacios LF (I) de las funcio-nos de potencia p-ésima integrable (1 < p estudia el que lesigue, tres anos más tarde, un trabajo análogo donde se introducenlós - especios L? (R) de les sucesiones de potencia p-ésima sumableq" se estudia la dualidad entre estos espacios . Sobre esta cuestión''~~ . ~ cabe óitar, un resultadó previo demostrado por Landeu en 1907 queestablece que la convergencia de la serie	u x , pare toda 'aú-cesión . (x ) E Lr (N), implica que la sucesión (u) pertenece eLl(N) (con L +:L1 ) .11La definición general de los espacios normados fue dada porS . Banach, H . Hahn y E . Helly, aunque éste último considera sóla-mente espacios de sucesiones de números reales o complejos.En 1921, Helly introduce una noción de norma em los espaciosde sucesiones que generaliza el funcional de Minkowski de un cuer-po convexo en los espacios de dimensión finita . Si E es un espacio de sucesiones dotado de una norma, establece una dualidad entreE y el espacio E' formado por las sucesiones u - (un) tales que,para toda x - (x ) e E, la serie uxo	 convergente . Defineuna norma en E' por Nul- sup i<u,x>1/ %xg . A partir de estoss +oconceptos, la resolución de un sistema en E~atia xy =ó~ .i .donde los u, - (aj. s E; se reduce a resolver les siguientescuestiones : 1) Hallar una forma lineal continua L sobre E'tal que, pera todo i s N', se verifique L(u ;) - b¿ . 2) Determi-nar si existe algún x s E tal que, para todo u e E', se cumpleL(u) - <u,x) . Pare este último problema no siempre existe solución,como observe Helly, aun cuando L existe, y, ee limita a dar condi-ciones suficientes en casos particulares .En 1927, el procedimiento de Minkoweki-Helly es_utilizado porH . Hahn en un espacio normado cualquiera pare definir en el dualuna estructure de especia normado completo . Estos resultados sonobtenidos dos años más tarde, de un modo independiente, por S.Banach . Estos resultados preparen le definición de los especiaslocalmente convexos, dada por J . van Neumann en 1935 .Finalmente cabe destacar la teoría de los espacios de sucesio-nes iniciada por KBthe y Toeplitz en 1934 y desarrollada en añossucesivos por KBthe . Esta ha utilizado para su desarrollo los avan--1 Y .goa on le teoría de los espacios localmente convexos y ha servidoc=~ cmdolo a data última proporcionando diversos contraejemplos .Exponemos, a continuación, las definiciones y principales re-sultados de esta teoría (KSthe [11] §30) .Si C1 es un conjunto de sucesiones, el conjunto formado portodas las	y - (y ) s w , con ¡y,, 1 s 1 x.1, para alguna x - (x .) c- M,es 11a a la envoltura normal da 2 . Un conjunto de sucesiones sellame normal o sólido si coincide con su envoltura normal .Se representa por r el espacio de sucesiones formado por leaque tienen únicamente un, número finito de términos distintos decorro . Para cada n e M, se representa por e° la sucesión (xa),donde x,, - 1 si k = n y x k = 0 si k ¢ n . Las sucesiones e"forman base del espacio y . Sea x = (xn) un elemento de w .Para cada m e M se define x-= (xñ) por x = x, si n s m yx'"- 0 si n > m. Las sucesiones x ^' se llaman las secciones dex -y pertenecen al espacioA cada espacio de sucesiones A se le asigna otro, Áx suct-dual, forimada por todas las sucesiones u = (u n) teles que laserien a4Sea absolutamente convergente, para toda x = (xn) .C-es.un espacio de sucesiones normal que contiene Í. Unespacio de sucesiones se llama perfecto o de Kfithe si A = j xx .Si 1 es , un espacio de sucesiones, 'I Yx es el mínimo especia parfacto que contiene a . Un espacio perfecto es normal y contiene iLos espacios p y w son perfectos y a-dueles el uno delotro . Los espacios 14 (espacio de las sucesiones (x .,) tales nuemla serio 2:x es absolutamente convergente) y 1 °° (espacio de" las sucesiones acotadas) son perfectos y o(-duales el uno del otro .Para todo número real p > 1, los espacios lr (espacio de las su-cesiones tales que la serie L 1x.¡? es convergente) son perfectosy se tieneSi a es un espacio de sucesiones que contiene y , d y" su«-dual	a -` forman sistema dual con la forma bilinsalu  x para u = .(u n) e A" y x - (x~) s a . Las topologías débil, deMackey y fuerte en un espacio A que contenga Y se considerarénsiempre relativas el sistema dual (Auna sucesi6n (x) se llame positiva si xr, 7, 0, para todon s N . Si u - (un) e w , se representa por 1 el d-dual de laenvoltura lineal de u . Si a es un espacio perfecto, A admite larepresentacl6nuiaXwAopara los elementos u - (uJ positivos de a x .En el conjunto de las sucesiones positivas se define la rala-ci6n de orden : a s b si b - a es positiva . Si a ; b, se tienel a n 1 6 . Ell espacio 1 es isomorfo al límite proyectivo de losespecias 1 , para los elementos positivos de ñ X , con lasaplicaciones inclusi6n entre estos espacios .Sea A un espacio de sucesiones que contiene rP . La topo-logía definida por el sistema de seminormasP«(X) = i 1u,X .~n .1para u - (u") e 1' , se llama le topología normal en 1 . Latopología normal es la de la convergencia uniforme sobre las envoltu-ras normales de los elementos de 1 x . puesto que estos conjuntosson absolutamente convexos y débilmente compactos, la topología nor-mal es compatible con el sistema dual (1 ,1X) .En el espacio 1 a coincide la topología normal con la defi-Si a es un espacio perfecto, la topología de Mackey en axss le polar de la normal en 1 (topología de la convergencia pre-compacta) y la polar de lá de Mackey en a" es la topología en 1localmente convexa más fina que tiene los mismos conjuntos compactosy las mismas sucesiones convergentes que la débil . Es compatible conI el sistema dualmnido por la norma Ux0	~Ix ~ . Los espacios a N son de Fréchetcon la topología normal .Soc á un espacio perfecto . A con la topología normal estopol6gicamente isomorfo el límite proyectivo de los espaciosdotados de la topología normal, para los elementos positivos de ax ,con las aplicaciones inclusión entre estos espacios . Por lo tantoes topoldgicamente isomorfo a un limite proyectivo de espacios deFri.échet . De este representación de los espacios perfectos se deduceuna caracterización topolbgica de estos espacios : un espacio de suce-siones que contiene y, es perfecto si y s61o si es débilmente com-pleto por sucesiones y si y s61o si es completo con la topologíanormal .En un espacio que contengaYlas secciones de una sucesiónconvergen hacia ella por la topología débil y por la normal . Siademás el espacio es normal, las secciones convergen por la topología de Hockey . Un espacio perfecto es tonelada con la topología deMackey si y s61a si las secciones de una sucesión convergen por latopología fuerte .Un resultado interesante relativo a los subconjuntos compactosde los espacios perfectos establece aus en un espacio perfecto conuna topología más fina que la débil coinciden los conjuntos compec-tos, los numerablemente compactos y los compactos por sucesiones . Enun espacio perfecto coinciden los conjuntos débilmente compactos conlos compactos pare la topología normal y las sucesiones débilmenteconvergentes con las convergentes para la topología normal .Consideraremos, a continuación, una cierta clase de espaciosperfectos : los espacios escalonados y co-escalonados . Estas espaciosfueron introducidos por K8the [9) en 1948 . Se establece un métodoconstructivo de espacios perfectos a partir de una sucesión de su-cesiones . Las espacios escalonados son espacios de Fréchet con latopología normal .Dada una sucesión de sucesiones positivas	ek , tal que as ;al s . . . . .s ak s . . . . , se dice que al es un sistema creciente deescalones, el cual se llama completo si para cada n E N existe unk e N tal que al f 0 .Dado un sistema creciente y completa de escalones a k , losespaciosse llamen los espacios escalonado y co-escalonado, respectivamente,correspondientes el sistema de escalones ak . Estos espacios sonperfectos y « -duales el uno del otra .Más adelante, este concepto es generalizado por Dieudanné yGomas [5] , definiendo las espacios escalonados y co-escalonados deorden p (donde p es un número real mayor o igual que una) de modoque para p - 1 se tienen los espacios definidos por KBthe .Si p es un número real mayor o igual que una, se define elespacia ,1K como el formado por las sucesiones (x~) tales que laseriees convergente . El espacio aP coincide con a  en el casa p - 1 .A partir de los espacios au , se definen los espacios escalo-nados y co-escalonados de orden p de un modo análogo a la definirci6n de los anteriores espacios .Dado un sistema creciente y completo de escalones a k y un nú-mero real p mayor o igual que uno, los espaciosI u . I I K ., I Pn=i00 xy ~= U ~a a~)kWyi= U ( aák )k,,se llsman los espacios escalonado y co-escalonado de orden p, res-pectivamente, correspondientes el sistema de escalones	ak . Es-tos espacios son perfectos y d-duales el uno del otro . Para p > 1,el espacio escalonado de orden p es un espacio de Fréchet refle-xivo con la topología de Mackey .Una nueva generalización fue establecida por Dubínsky [6] en1967, caracterizando los espacios perfectos nue son de Fréchet conla topología fuerte .Se llama escalón a todo espacio perfecto A tal que 1~ c ;~ c 1-y sea de Banach con la topología fuerte . Sea ( AJ une sucesión deescalones y (al) una sucesión de sucesiones tales que1) 0 < ak < ak", para todo i,k <s N,2) l/ak°' ,A k;1 e l/a k Ak , paretodo k e N . Los espaciosxs n ak k y ~ z U ak 1k~izl ~='se llamen los espacios escalonado y-co-escalonado, respectivamente,sobre el sistema de escalones Estos espacios son perfectosy c(-duales el uno del otro . El espacio escalonado es de Fréchet conla topología fuerte . A partir de éstos se caracterizan todos losespacios perfectos que son de Fréchet con la topología fuerte, sibien estos últimos no coinciden con los espacios escalonados . Noobstante,. como señala Dubinsky en su trabajo, Y . Komura ha observadoque si se debilita la hipótesis sobre el sistema de escalones, supo-niendo' 0 < ak . é ak " ', la construcción sigue siendo válida y los es-pacios escalonados obtenidos de este modo coinciden con los espa-cios perfectos que sonde Fréchet con la topología fuerte .a la teoría de los espacios vectoriales topológicos y se ha utiliza-do para dar contraejemplos en esta teoría . Citaremos, a continuación,algunos de ellos .La teoría de los espacios de sucesiones ha servido como modeloMediante un espacio escalonado se de un ejemplo de un espacioque es de Fréchet y de Mantel en el que existe un cociente que no esespacio de Mantel . Al misma tiempo, este ejemplo demuestra que un,cociente de un espacio de Fréchet reflexivo no es necesariamentereflexivo . El ot-dual de este espacio, con la topología fuerte,proporciona un ejemplo de un espacio DF en el que existe un subas-pacio cerrado que no es DF . También, mediante un espacio escalonado,se da un ejemplo de un espacio de Fréchet no distinguido (KBthe (9]y Grothendieck [7.]) . Este dltimo ejemplo fue utilizado más tardepor-Anemiya (1] para dar un ejemplo de un espacio DF bornol6gicocuyo bidual fuerte no es bornol6gico.En 1963, T . e Y. Komura [8] , utilizando la hipótesis del con-tinuo, contestan negativamente a dos cuestiones propuestas por KBthey por Dieudonné . KBthe se preguntaba si todo espacio perfecto tonelada era bornol6gico y Dieudanné si el completado de un espacio bor-nol6gico era bornol6gico . A partir de un espacio de K6the A , defi-nen el espacio Áa como la adherencia de y con la topología barno-16gica asociada a la fuerte . a, es un espacio de sucesiones borno-l6gico con la topología inducida por la fuerte en a . Den un ejemplode un espacio perfecto 1 que con la topología fuerte es tonelada yno bornol6gico. Este espacio es el completado del espacio bornol6gi-co A., con lo que quedan cerradas las dos cuestiones .La teoría de KBthe sobre los espacios de sucesiones ha sido ge-neralizada en varios sentidas : a espacios vectoriales con un álgebrade 8oole de proyecciones por Cooper (3] , a espacios de sucesionescon valores en un espacio localmente convexo por Pietsch (14] , aespacios de funciones localmente integrables por Dieudonné (4] y, enel caso real, a espacios parcialmente ordenados por Luxemburg yZaanen [13] . También se han considerado otros tipos de duelidad, co-mo la	p -dualidad . Si A es un espacio de sucesiones se define 1p; .su-dual, como el espacio de las sucesiones (u,,)6 n+ tales que,para toda (xJ o A , la serie	L u"x" sea convergente . El~y-cWal de un espacio contiene el W -dual y si el espacio es normalambos dueles coinciden . Un espacio de sucesiones A , que contiene ,y su p -dual forman sistema dual con la forma bilineal (u,x> = L".epara u = (uJa A' y x a (x") e aDescribiremos brevemente la generalización de Dieudonné aespacios de funciones localmente integrables . Los espacios de su-cesiones se presentan el considerar N con la topología y la me-diera discretas.Sea E un espacio topológico localmente compacto numerableel infinito con una medida de Radon positiva . Se represente por S1el espacio de les clases de funciones localmente integrables en E .Si r es une parte de 11 , el conjunto A. formado por les fun-ciones f o 11 tales que, para toda g s r , fg sea integrablees un subespucio vectorial de J1 ; se dice que & es un espaciode KBthe y r un conjunto de definición de & . Se define A.xcomo el espacio de KBthe definido sobre A. . /l y Aa contienenel espacio 1 (espacio de las clases de funciones medibles y acotadascon soporte compacto) y forman sistema dual con,la forma bilinealSe estudian topologías relativas a este dualidad y se generalizanresultados establecidos pare espacios de sucesiones .(1] ANEUM, I . "Soma examples of (F)- and (DF)-spaces': Proc . JapanAcad.33, 169-1?1 (1957) .[2] BOURBAKI, N . "Elementos de historia de las matemáticas" AlianzaEditorial (1972) .<f .,) = f fi 'rBIBLI06RAFIA(3] COOPER, J .L.B . "Coordinated linear spaces" . Proc . London Math .Soc ., III . ser. 3, 305-327 (1953) .[4] DIEUDONNE, J .	"Sur les especes de Kbthe" . J . Analyse Meth . 1,B1-115 (1951) .f5] DIEUDONNE, J . y GOMES, A .P . "Sur carteins especes vectorielstopologiques" . C .R . Acad . Sci . Paris 230, 1129-1130 (1950) .[6] DUSINSKY, E . "Perfect Fréchet spaces" . Meth . Ann. 174, 186-194(1967) . .[7] GROTHENDIECK, A . "Sur les especes (F) et (DF)" . Summa Bresil .Math . 3, 57-123 (1954) .[8] KOMURA, T . e Y . "Sur les especes parfaits de suites et leursgénéralisations" . J . Math . Soc . Japen 15, 319-338 (1963) .[9] KÓTHE, G . "Die Stufenriume, Bine einfeche Klesse linearervollkommener R5ume" . Math . Z . 51, 317-345 (1948) .[10] KOTHE, G . r'NeubegrOndung dar Theorie dar vollkommenen RAume" .Math . Nechr . 4, 70-80 (1951) .(11] KOTHE, G . "Topological vector spaces I" . Die Grundlheren darMathematischen Wissenschaften 8 .159 Springer-Verleg (1969) .[12] KOTHE, G . y TOEPLITZ, 0. "Lineare Rilume mit unendlichen vielenKoordinaten und rrlinge unendlicher Matrizen" . J. reine engew . Math .171, 193-226 (1934) .[13] LUXEMBURG, W.A .J . y ZAANEN, A.C . "Notes on Sanach functionspaces" . VIII-XIII . Nederl . Akad . Wetensch . Indeg . Math . 26,104-119, 360-376, 493-543 (1964) .[14] PIETSCH, A . rlVerallgemeinerte vollkommene Folgenrdume" .Schriftenreihe d . Institute d. Math . Oeutsche Akad . Wiss . Helft 12,Akademie-Verleg Berlin (1962) .

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Espacios de sucesiones

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