Domingo, Xavier

Esteva, Francesc

Diposit Digital de Documents de la UAB

Pub . Mat . UABN° 20 Set . 1980Actes VII JMHLSOBRE FUNCIONS DE NEGACIO FEBLE PER LA TEORIA DE CONJUNTS DIFU-SOS .Francesc Esteva, Xavier DomingoDpt . de Matematiques i Estadística, E.T .S .A .B .Universitat Politécnica de Barcelona1 : IntroduccibEl punt de partida del present treball és doble :-Per un costat es parteix del concepte de £unció de nega-ció sobre un conjunt ordenat (C,<) (Sales,[6]) com una aplicacióC -+ C decreixent i tal que per tot x E C és x < T2 (x), estu-d.iades pel mateix Sales i Pla ([3]), i del tractament de les fun-cions de negació en reticles complets i el teorema d'extensib(Esteva, [21) .-Per altre part, en la teoria dels conjunts difusos ([8])es defineixen les negacions com aplicacions decreixentsn:[0,1] - [0,11 tals que n(0) = 1, n(1) =O ; aquestes negacionss'anomenen ordinaries, febles o fortes segons satisfacinx _>	T 2 (x), x _< T2 (x) ó x =-[ 2 (x) respectivament . E . Trillas([5])ha caracteritzat les negacions fortes amó punt de simetria sobreun conjunt J tal que {0,1} C J c[0,11 i 1-J= J mitjan(7ant gene-radors additius . En particular, han quedat caracteritzades peraquesta via funcional totes les funcions de negació forta en[ 0,1] .A partir d'aquests resultats estudiem les negacions feblesen [0,1], donant una descomposició factorial i la caracteritza-cib mitjangant generadors additius en alguns cassos concrets .2 .1 . Com a funcions de [0,1] en [0,1] les negacions febles sbnfuncions n mon5tones decreixents amó n(0) = 1 i n(1) = 0 quecompleixen2 : Estudi de les negacions febles de [0,1] .Proposició 2 .1 .1 . Si n:[0,11- [0,11 és una negacib feble,aleshores :(i) n és(ii) n és(iii) n verificasi es forta .Aixb ens diu quede n (conjunt deun subconjunt derreticle -- cómpletcontinua per 1'esquerra en tot x E [0,1],continua per la dreta en tot x 9! n([0,1]),les lleis . de De Morgan infinites si 1 nomésel conjunt Dn dels punts de discontinuitatcardinal inferior o igual al numerable) ésn([0,11) . El fet d'ésser n([0,11) inf-semi-que'cónté 0 - ¡ 1 -porta a qué izo tot súbconjunt numerable de [0,11 pugui ésser el subconjunt Dn percap negacib feble na una cerca n . Per exemple, no hi haper la dual bn ,--- Q n t 0, f .__Pe	altre part, tvt 1 iav e3Sent certmit duna súccessió de negacions febles (casteixi) sigui una negacib feble, es verifica :Proposició 2 .1 .2 . Tota negacib forta o feble amó unfinit . de punts de discotinuitat és limit uniforme duna suc-cessi6 de negacions febles esgraonades amó un nombre finitde punts che discontinuitat .2 .2 . $n segonbles .(i) Si nlés discontinua en xo ; aleshores(n(x0), n(xo)) .(11) Si (a,b) y¿0 és un interval obert maximal en elés constant, aleshores n té una di.scontinuitati és n (n (b) +) = a i n (n (b) ) = b .en general quede quen ésnombrelloc estudiem la "simetria" de les negacions fe-Proposició 2 .2 .1 . Si n:t0,1j -> [0,1) és una negacib feble,constant enque nen n (b)Aixb ens diu que tota negacib feble conserva, en cert sen-tit, .la simetria que tenen les negacions forte s respectey = x ; només cal identificar el simétric d'un salt amb un trogde funció constant, i reciprocamént .Aquesta constatacib ens porta a definir el que entendremper funció "simétrica" respecte y = x i a veure que una condicibnecessária i suficient perqué f :[0,1] -> [0,1] sigui una negacibfeble és que sigui decreixent i "simétrica" respecte y = x .Donada una negacib n i considerats els conjunts d'elementspositius Pn (x< n (x)) ,	negatius Nn (x> n(x» i fixos Fn (x = n(x) )(vid . [2]), vist que Nn i Pn sbn subintervals disjunts amó unpunt de separacib s, hi ha dues possibilitats :(1) Fn = {s}, i aleshores Nn =[ 0,s) i Pn = (s,1],(2) Fn =0, i aleshores Nn =[0,s] i Pn = (s,1] .El nivell de simetria duna negacib n ([41 i [51) es defi-neix com sn = , V (a nn (a)) = A (a ,4 n (a)) .aE [ 0,1] aE [ 0,1]En el cas (1) és evident que el nivell de simetria de n ésel punt s, peró en el (2) tenim que V (a nn(a)) =s, iaE[0,1](a v n(a)) = n(a), i per tant sembla lógic prendre coma E [ 0,11a nivell de simetria 1'interval (s,n(s)) . En aquest cas parla-rem, doncs, de 1' interval de simetria de la negacib n .3 : Descomposicib factorial de les negacions febles .Sigui n una negacib feble amó un nombre finit de punts dediscontinuitat ; N defineix una descomposicib de [0,1] en subin-tervals Ii d'extrems superiors bi en els que n és constant o con-tinua i estrictament decreixent . Sigui K ={¡;ni, , és constant},1i K' = { (i,j) ;n(Ii) = I j } . Aleshores :Proposicib 3 .1 . Si n és una negacib feble en [0,1] amó un nombrefinit de punts de discontinuitat, existeixen negacions fortes nide [0,11 tals que :n ( .i Ej ) E K' n1 lli~ Ij; i E Kn (b i ) 1 21 .(on 1C representa la funció característica de C i A la diferén-cia simétrica)Reciprocament :Proposició	3 .2 . Sigui I , = [0,a 1 ] , I i = (ai_11 a i] i = 2, . . . . k unapartició de [0,ak ] . Tota familia de funcions fi :[0,11 -; [0,11i =1 . . .k tals que cada f . és o una constant o una negació forta,1fi(ai) >fi;1 (ai ) per i= 1 . . .k, i fk(ak) iak, defineix una únicanegació n de (0,11 tal que ni, . = fi I I, i Nn = [0,ak ], donadaper : i in = E a l 1 I, i E fil l .o(f(a . ) .f .(a .) 1 ak 1 (a f (a H .iEK i, iizK i k' k k4 : Generadors additius per a negacions febles .A partir dels resultats de Esteva ([2]) i Trillas ([5]) ob-tenim generadors additius per a les negacions febles de [0,1]amó imatge simétrica respecte del punt 1/2 . Concretament :Proposiciú 4 . 1 . Si n és una üegaciú feble en [ 0, i] amb imatgésimétrica respecte del punt 1/2 i interval de simetria (s,n(s)),existeixen funcions creixents i bijectives f :n([0,1]) U (s,n(s))- " n ([ 0, 1] ) U (s, n (s) ) tals que :f-1 (f (1)-f(^{yen([0,1]) ; y>x}) )si xE[0,1]-(s,.n(sl),{S si xE (s,n(s)) .Reciprocament :Proposició 4 .2 . Si { 0, 1 } C J C [ 0, 1 ] i J=1-J, tota funcióf:J -. J creixent i bijectiva defineix (per (&)) una única nega-ció feble n:[0,1]- [0,1] amó interval de simetria (s,t) (ons = sup {x E J ; f (x) > x} i t = inf {x E J ; f (x) < x}) i n ([ 0, 1]) = J .REFER%NCIES1 . BODIOU,G . "Théorie dialectique des probabilités", GauthierVillars, Paris (1964)2 . ESTEVA,F . "Contribución al estudio de la estructura del con-junto de negaciones definidas en un retículoStochastica, Vol.l nó 1(1975), 49-66 .3 . PLA,J . "Sobre negaciones en retículos", Actas II JornadasHispano-Lusas de Matemáticas, Madrid 1973 .4 . PREPARATA,F .P .-YEH,R.T . "Continuously Valued Logic", Journ .of Comp . and Syst . Sci ., 6 (1972), 397-418 .5 . TRILLASE . "Sobre funciones de negación en la teoría de con-juntos difusos", Stochastica, Vol .III,nó 1 (1979),47-59 .6 . SALES,F . de A . "Aplicaciones de Galois en conjuntos ordena-dos y en retículos", Collect . Mathem . Vol.XXI, 1(1970) 19-39 .7 . SALES,F . de A . "Algebras de Hilbert", Curso monográfico dedoctorado, Univ . de Barcelona, 1973 .8 . ZADEH,L. "Fuzzy sets", Inf . and Control, 8 (1965), 338-353 .

Sobre funcions de negació feble per la teoria de conjunts difusos

F. Esteva

X. Domingo

Crossref

Publicacions Matemàtiques

Esteva Massaguer, Francesc

Domingo, X.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
N° 20 Set . 1980
Actes VII JMHL
SOBRE FUNCIONS DE NEGACIO FEBLE PER LA TEORIA DE CONJUNTS DIFU-
SOS .
Francesc Esteva, Xavier Domingo
Dpt . de Matematiques i Estadística, E.T .S .A .B .
Universitat Politécnica de Barcelona
1 : Introduccib
El punt de partida del present treball és doble :
-Per un costat es parteix del concepte de £unció de nega-
ció sobre un conjunt ordenat (C,<) (Sales,[6]) com una aplicació
C -+ C decreixent i tal que per tot x E C és x < T2 (x), estu-
d.iades pel mateix Sales i Pla ([3]), i del tractament de les fun-
cions de negació en reticles complets i el teorema d'extensib
(Esteva, [21) .
-Per altre part, en la teoria dels conjunts difusos ([8])
es defineixen les negacions com aplicacions decreixents
n:[0,1] - [0,11 tals que n(0) = 1, n(1) =O ; aquestes negacions
s'anomenen ordinaries, febles o fortes segons satisfacin
x _>
	
T 2 (x), x _< T2 (x) ó x =-[ 2 (x) respectivament . E . Trillas([5])
ha caracteritzat les negacions fortes amó punt de simetria sobre
un conjunt J tal que {0,1} C J c[0,11 i 1-J= J mitjan(7ant gene-
radors additius . En particular, han quedat caracteritzades per
aquesta via funcional totes les funcions de negació forta en
[ 0,1] .
A partir d'aquests resultats estudiem les negacions febles
en [0,1], donant una descomposició factorial i la caracteritza-
cib mitjangant generadors additius en alguns cassos concrets .
2 .1 . Com a funcions de [0,1] en [0,1] les negacions febles sbn
funcions n mon5tones decreixents amó n(0) = 1 i n(1) = 0 que
compleixen
2 : Estudi de les negacions febles de [0,1] .
Proposició 2 .1 .1 . Si n:[0,11- [0,11 és una negacib feble,
aleshores :
(i) n és
(ii) n és
(iii) n verifica
si es forta .
Aixb ens diu que
de n (conjunt de
un subconjunt de
rreticle -- cómplet
continua per 1'esquerra en tot x E [0,1],
continua per la dreta en tot x 9! n([0,1]),
les lleis . de De Morgan infinites si 1 només
el conjunt Dn dels punts de discontinuitat
cardinal inferior o igual al numerable) és
n([0,11) . El fet d'ésser n([0,11) inf-semi-
que'cónté 0 - ¡ 1 -porta a qué izo tot súbcon
junt numerable de [0,11 pugui ésser el subconjunt Dn per
cap negacib feble na una cerca n . Per exemple, no hi ha
per la dual bn ,--- Q n t 0, f .
__Pe
	
altre part, tvt 1 iav e3Sent cert
mit duna súccessió de negacions febles (cas
teixi) sigui una negacib feble, es verifica :
Proposició 2 .1 .2 . Tota negacib forta o feble amó un
finit . de punts de discotinuitat és limit uniforme duna suc-
cessi6 de negacions febles esgraonades amó un nombre finit
de punts che discontinuitat .
2 .2 . $n segon
bles .
(i) Si nlés discontinua en xo ; aleshores
(n(x0), n(xo)) .
(11) Si (a,b) y¿0 és un interval obert maximal en el
és constant, aleshores n té una di.scontinuitat
i és n (n (b) +) = a i n (n (b) ) = b .
en general que
de que
n és
nombre
lloc estudiem la "simetria" de les negacions fe-
Proposició 2 .2 .1 . Si n:t0,1j -> [0,1) és una negacib feble,
constant en
que n
en n (b)
Aixb ens diu que tota negacib feble conserva, en cert sen-
tit, .la simetria que tenen les negacions forte s respecte
y = x ; només cal identificar el simétric d'un salt amb un trog
de funció constant, i reciprocamént .
Aquesta constatacib ens porta a definir el que entendrem
per funció "simétrica" respecte y = x i a veure que una condicib
necessária i suficient perqué f :[0,1] -> [0,1] sigui una negacib
feble és que sigui decreixent i "simétrica" respecte y = x .
Donada una negacib n i considerats els conjunts d'elements
positius Pn (x< n (x)) ,
	
negatius Nn (x> n(x» i fixos Fn (x = n(x) )
(vid . [2]), vist que Nn i Pn sbn subintervals disjunts amó un
punt de separacib s, hi ha dues possibilitats :
(1) Fn = {s}, i aleshores Nn =[ 0,s) i Pn = (s,1],
(2) Fn =0, i aleshores Nn =[0,s] i Pn = (s,1] .
El nivell de simetria duna negacib n ([41 i [51) es defi-
neix com sn = , V (a nn (a)) = A (a ,4 n (a)) .
aE [ 0,1] aE [ 0,1]
En el cas (1) és evident que el nivell de simetria de n és
el punt s, peró en el (2) tenim que V (a nn(a)) =s, i
aE[0,1]
(a v n(a)) = n(a), i per tant sembla lógic prendre com
a E [ 0,11
a nivell de simetria 1'interval (s,n(s)) . En aquest cas parla-
rem, doncs, de 1' interval de simetria de la negacib n .
3 : Descomposicib factorial de les negacions febles .
Sigui n una negacib feble amó un nombre finit de punts de
discontinuitat ; N defineix una descomposicib de [0,1] en subin-
tervals Ii d'extrems superiors bi en els que n és constant o con-
tinua i estrictament decreixent . Sigui K ={¡;ni, , és constant},
1
i K' = { (i,j) ;n(Ii) = I j } . Aleshores :
Proposicib 3 .1 . Si n és una negacib feble en [0,1] amó un nombre
finit de punts de discontinuitat, existeixen negacions fortes ni
de [0,11 tals que :
n ( .i Ej ) E K' n1 lli~ Ij
; i E K
n (b i ) 1 21 .
(on 1C representa la funció característica de C i A la diferén-
cia simétrica)
Reciprocament :
Proposició
	
3 .2 . Sigui I , = [0,a 1 ] , I i = (ai_11 a i] i = 2, . . . . k una
partició de [0,ak ] . Tota familia de funcions fi :[0,11 -; [0,11
i =1 . . .k tals que cada f . és o una constant o una negació forta,1
fi(ai) >fi;1 (ai ) per i= 1 . . .k, i fk(ak) iak, defineix una única
negació n de (0,11 tal que ni, . = fi I I, i Nn = [0,ak ], donada
per : i i
n = E a l 1 I, i E fi
l l .o(f(a . ) .f .(a .) 1 ak 1 (a f (a H .iEK i, iizK i k' k k
4 : Generadors additius per a negacions febles .
A partir dels resultats de Esteva ([2]) i Trillas ([5]) ob-
tenim generadors additius per a les negacions febles de [0,1]
amó imatge simétrica respecte del punt 1/2 . Concretament :
Proposiciú 4 . 1 . Si n és una üegaciú feble en [ 0, i] amb imatgé
simétrica respecte del punt 1/2 i interval de simetria (s,n(s)),
existeixen funcions creixents i bijectives f :n([0,1]) U (s,n(s))
- " n ([ 0, 1] ) U (s, n (s) ) tals que :
f-1 (f (1)-f(^{yen([0,1]) ; y>x}) )si xE[0,1]-(s,.n(sl),
{S si xE (s,n(s)) .
Reciprocament :
Proposició 4 .2 . Si { 0, 1 } C J C [ 0, 1 ] i J=1-J, tota funció
f:J -. J creixent i bijectiva defineix (per (&)) una única nega-
ció feble n:[0,1]- [0,1] amó interval de simetria (s,t) (on
s = sup {x E J ; f (x) > x} i t = inf {x E J ; f (x) < x}) i n ([ 0, 1]) = J .
REFER%NCIES
1 . BODIOU,G . "Théorie dialectique des probabilités", Gauthier
Villars, Paris (1964)
2 . ESTEVA,F . "Contribución al estudio de la estructura del con-
junto de negaciones definidas en un retículo
Stochastica, Vol.l nó 1(1975), 49-66 .
3 . PLA,J . "Sobre negaciones en retículos", Actas II Jornadas
Hispano-Lusas de Matemáticas, Madrid 1973 .
4 . PREPARATA,F .P .-YEH,R.T . "Continuously Valued Logic", Journ .
of Comp . and Syst . Sci ., 6 (1972), 397-418 .
5 . TRILLASE . "Sobre funciones de negación en la teoría de con-
juntos difusos", Stochastica, Vol .III,nó 1 (1979),
47-59 .
6 . SALES,F . de A . "Aplicaciones de Galois en conjuntos ordena-
dos y en retículos", Collect . Mathem . Vol.XXI, 1
(1970) 19-39 .
7 . SALES,F . de A . "Algebras de Hilbert", Curso monográfico de
doctorado, Univ . de Barcelona, 1973 .
8 . ZADEH,L. "Fuzzy sets", Inf . and Control, 8 (1965), 338-353 .


http://ddd.uab.cat/pub/pubsecmat/02102978v20/02102978v20p73.pdf

Sobre funcions de negació feble per la teoria de conjunts difusos

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Diposit Digital de Documents de la UAB

Crossref

Revistes Catalanes amb Accés Obert