Garay de Pablo, José

Diposit Digital de Documents de la UAB

Pub . Mat . UABN° 21 Oct . 1980Actes VII JMHLDIFERENCIAS DE FUNCIONES DE PRYMJosé Garay de PabloDpto . de Teoría de FuncionesUniversidad de ZaragozaResumen :Se estudia el comportamiento de funciones que se obtie-nen como diferencias de dos funciones de Prym,observando unagran analogía con las funciones exponenciales .Estas funcionesjuegan un papel interesante en ciertos problemas sobre dieléc-tricos .En este trabajo se obtienen resultados para ciertos casosparticulares,quedando pendiente hacer un estudio más general .Sea la función F(z)=P(b,z)-P(a,z), (0< a< b<+-),donde lasfunciones del segundo miembro son las correspondientesde Prym,también llamadas funciones gamma incompletas .La representación integral de F esF(z)=Jh e-t tz-1 dty por consiguiente(ZI	Re F(z)= Js e-t tX-1 cos(y log t) dt(3) Im F(z)= 5 e-t tX-1 sen(y log t) dtfuncionesDe la misma representación integral se deduce que F es en-tera,y 6 bien observando (2) y (3) 6 también como consecuenciadel principio de la reflexión de Schwarz resulta F(z)=F(z) porlo cual nos limitaremos a estudiar F en el semiplano superior .Veremos con detalle el caso 1< a< b,señalando que para elcaso a< b<,1' un estudio paralelo da resultados análogos .Teorema 1 .Si F(z) :,~0 resulta F( n) (z),É0 YneN .Demostraci6n :Si F=U+iV,derivando en (2) se deduceS-U = ~q e -t tx-1	(log t) n cos(y log t) dto c"y en consecuencia si U(z)¢0 se tiene -U (2)9,0 VneN .Análogarelación existe entre V y sus derivadas .Ahora basta queF tn) =7U + i ~~VTeorema 2 .-Vc > O,existe x 0eR tal que !F(x+iy)I< E Vx< x0 ,8yeR .Demostración :Basta observar que en las integrales (2) y (3)el factor tx-1 converge a 0 y los otros factores están acotadosuniformemente respecto de y .# .En lo que sigue haremos a = y2(log b-log a)A={ zeC, 0 c Im z < a),Teorema 3 .-Sea K un compacto en (O,a ) .Y M> O,existe x0eRtal que IF (x+iy)I > M Kx > x0,8yeK .Demostración :Seand =a - max K, e < 5 log b-log alog b+log aSi ahora A eK, a-E < y< a +E , a!~=tt~-b,resulta que y logtvaria dentro de un intervalo de longitud menor que u/2 .Por lo tatanto ... . . .. al menos de las .. . fun ciones sen_ros,-sen h -cos se T_r1,an- .tiene estrictamente mayor que un cieto r positivo .Entonces exis-te j > O,tal queIF(x+iy»>M,Vx> ,Vye(a- E XTE) .Ahora basta aplicar la compacidad de K .# .Teorema 4 .-F no se anula en A .Demostración :Se razona en forma análoga a la demostracióndel teorema anterior,rstudiando el intervalo de variación dey log t .# .Corolario.-F es conforme en A .Demgstración :Es consecuencia de los teoremas 1 y 4 .# .Teorema 5 .-Sea h un número natural menor quelog blog b-log aEntonces F transforma la banda7r (h-1) < Im z < Tr h2 log a 2 log ben un subconjunto del j-ésimo cuadrante,donde j=h(4) .188Demostravión :En primer lugar nótese que la banda es no va-cía por la desigualdad del eninciado.De la misma desigualdad sededuce que cuando t e y varían en sus correspondientes interva-los,se tieney en consecuenciasen(y log t)=cos(y log t)=Tí (h-1 )(y	log t~ n2h0.>0 si j=1,2<~ 0 si j=3,4>0 si j=1,4<0 si j=2,3y como los otros factores de los integrandos de (2) y (3) sonpositivos,resulta la afirmación del teorema .# .Teorema 6 .-En las condiciones del teorema anterior y si ade-más h> l,existe una curva analítica P contenida en la banda B :n (h-1) < Im z < 7r (h-1)21og b 21og atal quea)La proyección Z-->Re z de P sobre Rb) F (I') rstá contenidates j-1 y j .c)F(B) está contenidaparte de la banda B superiord)F(B) está contenida en(j-1)-ésimoparte de la banda B inferior a P .Demostraci6n :Lo haremos para el caso particular de h=2,sien-es biyectiva .en el semieje que separa los cuadran-en el j-ésimo cuadrante,donde B es laa P .yc 37T21og a 21og bcuadrante siendo B" lado los demás casos de tratamiento análogo .Fijamos x en R y consideramos la función G(y)=Im F(x+iy) .Se tiene 5G'(y)=- 1 e-t tx-1 log t sen(y log t) dtPor razonamientos de igual naturaleza que los anteriores cuandoresulta G'(y)c 0 y por consiguiente G es esrtictamente decrecciente .Observando ahora los valores de G en los extremos de esteintervalo y en los del enunciado del teorema se sigue que exis-189te un g(x) en el intervalo19021og b' 21og atal que Im F(x+iw) es mayor,igual o menor que cero según que wsea respectivamente menor,igual o mayor que g(x) .Finalmente r es una curva analítica por ser la imagen porF-1 de una semirrecta .# .En vista de los resultados que preseden aparece en el plano .complejo una sucesión finita de bandas tal que la imagen de cadaBn está contenida en el n-ésimo cuadrante .Notaremos con I-n lacurva que separa Bn y Bn+1'Teorema 7.-Sea3	2Dn-U Bn+k U ~U rn+kk=0 k=0Entonces F es una biyecci6n entre Dn\ y- C-in-1,R¢Demostraci6n :La inyectividad se prueba utilizando la siguiente propiedad de las funciones analíticas :"Sea f una función analítica sobre- una región convexa,tal .que la parte real de la derivada es positiva .Entonces f es in-yectiva ."En nuestrá caso hay que considerar como región convexa lasbandas que aparecen en los enunciados de los teoremas 5 y 6,ycomo función f las funciones F,-F,iF 6 -iF se.gún los casos .La suprayectividad es consecuencia de los teoremas 2 y 3 ydel corolario del teorema 4 .# .

Diferencias de funciones de Prym

Garay de Pablo, J.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
N° 21 Oct . 1980
Actes VII JMHL
DIFERENCIAS DE FUNCIONES DE PRYM
José Garay de Pablo
Dpto . de Teoría de Funciones
Universidad de Zaragoza
Resumen :Se estudia el comportamiento de funciones que se obtie-
nen como diferencias de dos funciones de Prym,observando una
gran analogía con las funciones exponenciales .Estas funciones
juegan un papel interesante en ciertos problemas sobre dieléc-
tricos .En este trabajo se obtienen resultados para ciertos casos
particulares,quedando pendiente hacer un estudio más general .
Sea la función F(z)=P(b,z)-P(a,z), (0< a< b<+-),donde las
funciones del segundo miembro son las correspondientes
de Prym,también llamadas funciones gamma incompletas .
La representación integral de F es
F(z)=
J
h e-t tz-1 dt
y por consiguiente
(ZI
	
Re F(z)= Js e-t tX-1 cos(y log t) dt
(3) Im F(z)= 5 e-t tX-1 sen(y log t) dt
funciones
De la misma representación integral se deduce que F es en-
tera,y 6 bien observando (2) y (3) 6 también como consecuencia
del principio de la reflexión de Schwarz resulta F(z)=F(z) por
lo cual nos limitaremos a estudiar F en el semiplano superior .
Veremos con detalle el caso 1< a< b,señalando que para el
caso a< b<,1' un estudio paralelo da resultados análogos .
Teorema 1 .Si F(z) :,~0 resulta F( n) (z),É0 YneN .
Demostraci6n :Si F=U+iV,derivando en (2) se deduce
S
-U = ~q e -t tx-1
	
(log t) n cos(y log t) dt
o c"
y en consecuencia si U(z)¢0 se tiene -U (2)9,0 VneN .Análoga
relación existe entre V y sus derivadas .
Ahora basta que
F tn) =7U + i ~~V
Teorema 2 .-Vc > O,existe x 0eR tal que !F(x+iy)I< E Vx< x0 ,8yeR .
Demostración :Basta observar que en las integrales (2) y (3)
el factor tx-1 converge a 0 y los otros factores están acotados
uniformemente respecto de y .# .
En lo que sigue haremos a = y
2(log b-log a)
A={ zeC, 0 c Im z < a),
Teorema 3 .-Sea K un compacto en (O,a ) .Y M> O,existe x0eR
tal que IF (x+iy)I > M Kx > x0,8yeK .
Demostración :Sean
d =a - max K, e < 5 log b-log a
log b+log a
Si ahora A eK, a-E < y< a +E , a!~=tt~-b,resulta que y logt
varia dentro de un intervalo de longitud menor que u/2 .Por lo ta
tanto ... . . .. al menos de las .. . fun ciones sen_ros,-sen h -cos se T_r1,an- .
tiene estrictamente mayor que un cieto r positivo .Entonces exis-
te j > O,tal que
IF(x+iy»>M,Vx> ,Vye(a- E XTE) .
Ahora basta aplicar la compacidad de K .# .
Teorema 4 .-F no se anula en A .
Demostración :Se razona en forma análoga a la demostración
del teorema anterior,rstudiando el intervalo de variación de
y log t .# .
Corolario.-F es conforme en A .
Demgstración :Es consecuencia de los teoremas 1 y 4 .# .
Teorema 5 .-Sea h un número natural menor que
log b
log b-log a
Entonces F transforma la banda
7r (h-1) < Im z < Tr h
2 log a 2 log b
en un subconjunto del j-ésimo cuadrante,donde j=h(4) .
188
Demostravión :En primer lugar nótese que la banda es no va-
cía por la desigualdad del eninciado.De la misma desigualdad se
deduce que cuando t e y varían en sus correspondientes interva-
los,se tiene
y en consecuencia
sen(y log t)=
cos(y log t)=
Tí (h-1 )
(
y
	
log t~ n2h
0.
>0 si j=1,2
<~ 0 si j=3,4
>0 si j=1,4
<0 si j=2,3
y como los otros factores de los integrandos de (2) y (3) son
positivos,resulta la afirmación del teorema .# .
Teorema 6 .-En las condiciones del teorema anterior y si ade-
más h> l,existe una curva analítica P contenida en la banda B :
n (h-1) < Im z < 7r (h-1)
21og b 21og a
tal que
a)La proyección Z-->Re z de P sobre R
b) F (I') rstá contenida
tes j-1 y j .
c)F(B) está contenida
parte de la banda B superior
d)F(B) está contenida en(j-1)-ésimo
parte de la banda B inferior a P .
Demostraci6n :Lo haremos para el caso particular de h=2,sien-
es biyectiva .
en el semieje que separa los cuadran-
en el j-ésimo cuadrante,donde B es la
a P .
yc 37T
21og a 21og b
cuadrante siendo B" la
do los demás casos de tratamiento análogo .
Fijamos x en R y consideramos la función G(y)=Im F(x+iy) .
Se tiene 5
G'(y)=- 1 e-t tx-1 log t sen(y log t) dt
Por razonamientos de igual naturaleza que los anteriores cuando
resulta G'(y)c 0 y por consiguiente G es esrtictamente decrec
ciente .Observando ahora los valores de G en los extremos de este
intervalo y en los del enunciado del teorema se sigue que exis-
189
te un g(x) en el intervalo
190
21og b' 21og a
tal que Im F(x+iw) es mayor,igual o menor que cero según que w
sea respectivamente menor,igual o mayor que g(x) .
Finalmente r es una curva analítica por ser la imagen por
F-1 de una semirrecta .# .
En vista de los resultados que preseden aparece en el plano .
complejo una sucesión finita de bandas tal que la imagen de cada
Bn está contenida en el n-ésimo cuadrante .Notaremos con I-n la
curva que separa Bn y Bn+1'
Teorema 7.-Sea
3
	
2
Dn-U Bn+k U ~U rn+k
k=0 k=0
Entonces F es una biyecci6n entre Dn\ y- C-i
n-1,R¢
Demostraci6n :La inyectividad se prueba utilizando la siguien
te propiedad de las funciones analíticas :
"Sea f una función analítica sobre- una región convexa,tal .
que la parte real de la derivada es positiva .Entonces f es in-
yectiva ."
En nuestrá caso hay que considerar como región convexa las
bandas que aparecen en los enunciados de los teoremas 5 y 6,y
como función f las funciones F,-F,iF 6 -iF se.gún los casos .
La suprayectividad es consecuencia de los teoremas 2 y 3 y
del corolario del teorema 4 .# .


http://ddd.uab.cat/pub/pubsecmat/02102978v21/02102978v21p187.pdf

Diferencias de funciones de Prym

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Diposit Digital de Documents de la UAB

Revistes Catalanes amb Accés Obert