Bayer Isant, Pilar

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FORMAS CUADRATICAS SOBRE CUERPOS TOTALKCNTE P-ADICOSP.BáyerIntroducciónDado un cuervo de números K y un conjunto finito P deprimos de K , se clasifican las formas cuadráticas sobre elcuerno totalmente P-ádico KP . El anillo de Witt W(Kp) resulta ser no finito .	Su grupo aditivo es estudiado por mediodel invariante de Clifford .1 . Cuernos totalmente P-ádicosEn todo el trabajo K indicará un cuerpo de números . Lasclases de los valores absolutos de K las denominaremos pri-mos de K . El completado de K por la topología definida porun primo p de K se representará por K p . Los primos co-rresnondientes a valores absolutos no ultramétricos serán lla-mados primos del infinito, representándose con la notación p. .Diremos que p  es un primo real o complejo, según que K psea isomorfo a R ó a C , respectivamente .Todas las extensiones algebraicas de K se supondrán in-cluidas en una misma clausuraDefinición 1 .1 .	Sea P ~ 0 un conjunto finito de primos deK . Por cuerpo totalmente P-ádico sobre K (relativo a P)entenderemos la reunión * filtrante de todas las extensionesfinitas de K , en las que todos los primos de P descompo-nen completamente . Se indicará por KP .En el caso de que P conste de un único elemento, p ,escribiremos K p en lugar de KP .Se verifica que :i) Kp = il KpPEP _ii) Si ¢~ es un primo complejo, entonces Kla = Q .wiii) Un elemento x E Q es de Kp si y S610 si su Do-,linomio minimal sobre K descompone en Kp en pro-dueto de factores lineales .Observación 1 .2 . Si K = Q y p es la clase del valor absoluto ordinario, el cuerpo Q se obtiene adjuntando a00el conjunto de los elementos totalmente reales en el sentidoclásico . Ello justifica la denominación dada a los cuerposKP	(#)(aE) Para una mayor información sobre tales extensiones, véase2p2 . Formas cuadráticas sobre KPnUna forma cuadrática diagonal	al Ki se repre-i=1sentará nor al , . . .,an> . La forma a, a> se abreviarápor n <a) .Si P es un conjunto de primos de K como en 1.1 . ,escribiremos P = Pf UP .O	paraponer de manifiesto su partefinita y su Darte no finita . A su ves: escribiremos P w == PrU Pe, siendo Pr el subconjunto de P formado por losprimos del infirito reales y Pc el de los primos complejos.Lema 2.1 . Si P = Pf , la forma 5 <l> es isótropa en S.Demostración . Sea P'={PEZ,p>o + 9 P E P tal que P (1 Z=(p)~Puesto que Qp , C KP bastará probar que 5<1> es isótropaen Qp , . Sean {pl, . . .,p.) los primos deP' congruentescoro 1 (mod 4) y ípm4-1, .`pn J los congruentes coa 3(mod4).Sin restricción podemos suponer que ambos subconjuntos sonm nno vacíos y que P = 2 E P' . Sea a = FI p . , b = P P .o i = 1 1 1=m4-1 1y tomemos c = - a2 4. b2 + 7(ab) 2 . Aumentando si es pre-ciso el número de enteros mimos congruentes con 3 (mod 4),podemos sunoner nue es c> o . Teniendo en cuenta las reglasde descomnosición en un cuerpo cuadrático, se sigue que3- c r= QP, . En virtud del Teorema de Lagrange, existirán cua-2 2 2 2tro enteros ai , de forma que c = al 4. a2 4 a3 4. a4 . Portanto	((-e)1/2,al,a2,a3,a4)será una representación decero de la forma considerada.Proposición 2 .2 . Bajo las condiciones del Lema , toda formacuadrática . de KP de rango mayor o i&ual que cinco , es is6-tropa .Demostración . Sea q una forma cuadrática definida en KP.Teniendo en cuenta 2 .1 . puede obtenerse un cuerpo de núme-ros L totalmente imaginario, tal que K C L C KP y qesté definida en L . Basta entonces aplicar el principio deHasse al cuerpo L .Proposición 2.3 . Si P = P el cuerno Kp es pitagórico(es decir , se verifica queDemostración . Sean x,y E KP	ysea zE Q un elemento talque z2 = x2 4. y2 . Sea t un elemento primitivo de la ex-tensión K/ Q y sean ti , . . . . tr	losconjugados reales de1t . Cada primo real p~ i está asociadoa un monomorfismofi : K ---> R , definido por fi(t) = t i . Para toda exten-si6n de fi a un monomorfismo fi : Q --~ C se verificaráque	fi(x) , fi(y)E R y por tanto, que fi(z)ER . Ello prue-ba que z E KP .Dada una forma. cuadrática q se designarán por dim(q) ,d(q) , s(q) y 6(q) su dimensión, la clase de su determinante,su invariante de Hasse y su signatura total, respectivamente .un cuerpo totalmente P-ádico . Para queTeorema 2 .4 . Seados formas cuadráticas ql	q2definidas en %p sean equi-valentes, es necesario 1 suficiente que1) dim(ql ) = dim(g2) , ' 6(ql ) = <N-(q2) , si P = P- .2) dim(gl ) = dim(g 9 ) * d(q1 ) = d(q2 ) , s(q1 ) = s(q 2 ) .si P = Pfdim(g1 ) = dim(g2 ) , d(q1 ) = d(q2 ) , s(ql) = s(q2 ) ,3)6(q1 ) = (!(q 2 ) , si Pf ~ Á y P. ~Demostración . 1) Si P = P ' y P = 0 , es trivial (en esteG rcaso o' = o ) . Si Pr	, el cuerpo KP es entonces for-malmente real, Dor lo que el resultado se sigue de 2 .3 y delPrincipio local-global de Pfister (153, Cap.VIII) .2) A partir de 2.2 es un resultado clásico .3) Si P = , se reduce P1 caso 2) . Supongamos puesrPr . En virtud del Teorema 3 de [3] , de manera equiva-lente, basta probar que las formas	<l,a,b,ab~ (a,b 6KP ) re-presentan todos los elementos de Kp totalmente positivos .un tal elemento . La forma q = <l,a,b,ab,-x 5 se-Sea x Erá totalmonte indefinida . Sea L = E(a,b,x) , La forma q re-presentará cero en todos los completados L,~ de L . Será portanto is6tropa en L .3 . El anillo de Witt deSe indicará por F un cuerpo (no necesariamente de núme-ros) de característica distinta de dos. Sean W(F) , B(F) yBW(F) el .anillo de Witt, el grupo de Brauer y el grupo deBrauer - Wall, respectivamente, de dicho cuerpo .Recordemos que el invariante de Clifford r : W(F) -0 UN(F)es el ho mo morfismo de grupos definido por r (q) _ [C (q)] ,siendo [C(q)] la clase en B9(q) del álgebra de Clifford deq . Los elementos de BN(q) están en correspondencia biyectiva con las ternas (D, E , a ) E B(F) xY2x F/p2 . Por trans-porte de estructura se obtiene entonces la siguiente ley decomnosici6n de ternas (C51 9 Cap.V)(D , 1 , a) (E , 1 , b) = (D"E " (F) , o , -ab)(D,o,a)(E,o,b)	= (D.E .(F),o,ab) ,(D , o , a) (E , 1 , b) = (D-E " (Fb), 1 , ab) ,se indica la F - álgebra de cuaternionesen donde porde generadores i,j y relaciones i2 = a , j2 = b eSi q es una F - forma de dimensión n , por la repre-sentaci6n anterior se obtiene que r(q)= (c(q),dim0(q),d+(q)),siendo c(q) el invariante de Vlitt de q , dim0(q) la_n n-1dim(q) (mod 2) y d;(q) = (-1) 11 d(q) , el determinantecon signo de q .Sea Q(F) el subgrupo de B(F) generado por las clasesde las álgebras de cuaterniones y B2(F) el subgrupo de B(F)formado por los elementos de orden ti:2 . Entonces Q(F) C B2(F)e Im r C Q(F) x F2x b/P,2 .Pro-pósici6n 3 .1 . Si F es un cuerno en el cual las clasesde las álgebras de cuaterniones constituyen un subgrupo delgrupo de Brauer B(F) , se verifica queIm r Q(F) x F2 xF/F2Demostración . Veamos que los elementos ((F),1 ,t ) y((F.) , o , t) (a, b, t E F) pertenecen a Im r . Puesto queo	s ~a,b,-ab~ (~) = (F) E Q(F) y si aimoq= 1,se verifica que c(<t>®q) = c(q) , se tendrár «t>e <a,b,-ab» = «ab ) , 1, t) . Tomemosq = <-t) I <a,b,-ab) . Entoncesc(q) c <a,b,-ab> - (=-t=&'-) = (~) . Por tanto( <-t>¡<a,b,-ab» = ((B), o , t )Lema .2 . El invariante de Hasse de un esgacio hiperbólicoviene dado gor(-1) C2J~-1F vd(g1),d(q2 )Demostraci6n . Ya que s(gh1 q2 ) = s(gl)`s(q2)~( F )la f6rmula anterior se obtiene fácilmente por inducci6n sobre n.Proposici6=. 3 .3. Si s, din, d clasifican completamente lasformas cuadráticas definidas sobre un cuerpo F , el invarian-te de Clifford r : W(F) -~ B!1(F) es inylctivo ( )(#) Sea IF el ideal fundamsntal :de W(F) . La inyectividadde r , en el caso de que I 3F = o , se ha probado en [2] ,Teor. 3. lo . Es usada a su vez para demostrar que I3F = o ,si y s61o ®i s , din y d clasifican ( [2] , Teor . 3 . 11) ;En relación con la inyectividad de r véase también [4] .Demostración . Sea q un elemento del ker r . ..Entonces c(q)=1,dimo(q)= o , d,, (q) = 1 . Para el cálculo de s(q) deben distin-guirse los siguientes casosCa.so 1 .	dim q - 2 (mod 8) . Puesto que c(q) = s(q) y=- d(q) , se tendrá que s(q) = 1 y d(q) = -1 .Caso 2 . dim q - 4 (mod 8) . Se tendrá que d4.(q) = d(q) = 4- 1 ,por lo que c(q) = s(q)(-1F1 ) y en consecuencia,s(q) = ( -l' -l)r : w(xp) '!'_ B2(K,) X "2xd4(q)=Caso dim q = 6 (mod 8) . Ahora dj(q) _ -d(q) _ - 1 yc(q) = s(q)(-1F 1 ) . Así s(q) _ (-1F 1 ) .Caso 4 . dim q - o (mod 8) . De d41(q) = d(q) = 4. 1 , se obtieneque c(q) = s(q)(F) = s(q)Si dim q = 2 n , de 3 .2 y a partir de los resultados anterio-res, se obtiene que s(q) = s( n <l,-1>) , dim q = dim(n<l,-1>)y d(q) = d( n<l,-1» . Por tanto q N n<l,-1> = o Ew(F)En el caso particular que nos ocupa, a partir de 2 .4, 3.1Y 3.3 se obtiene el siguienteTeorema 3 .4 . Sea KP	uncuerpo totalmente P-ádico . Si P= Pf,se verifica queen un isomorfismo de cupos aditivos , siendo la estructura delsegundo miembro la inducida -por W(KP) .Veremos a continuación que los grupos KP/KP	y B2(KP)son ambos no finitos . En este áltimo nos limitaremos al casono diádico .Proposición 3.5 .	21P ~ Pc , el índice [íP : SP] es infinito.Demostración .	Caso1. = Pf C P , La infinitud de ~KP : KPHse obtiene directamente al tener en cuenta que Kp. = KPs unrcuerpo pitagórico que posee infinitas ordenaciones.Caso 2 . Pf -,¿ ¡ó o En este caso construiremos una sucesión2al , a2 , . . . de elementos de no+~~ congruentes mod . En °°--A-p oneral, sea Enuna raíz primitiva n - ésima de la unidad de Q .De las reglas de descomposición en un cuerpo ciclot6mico se de-duce la existencia de un entero s >,l , tal que é é Kp	y2s2x4-1 4 KP . Designemos por P(2) el subconjunto de Pf for-mado por los primos diádicos . Si P(2) ~ 0 seae = max 1e p (K/ Q ) I p E P(2) ) .Sea m = moral un entero elegido de la forma siguiente :mo = 1 si Pf =P(2) .10mo = npi	s	Pf -P(2)~ 0 , siendo (pi ) = P i n a ,Pi> o , los primos obtenidos al recorrer p iel conjunto Pf -P(2).m1 =1 si= 22s"l siEn virtud del Teorema de Dirichlet, se podrá tomar una suce-si6n de enteros primos positivos gl ,g2 , . ., de modo que, pa-ra cada i > 1 , se verifique que qi-1 (mod m) . Sea q - qiun término arbitrario de la sucesión anterior . Consideremossla ecuación - q . Puesto que si p E Pf -P(2), esvp (l -q) > o = vp (22s) y si p EP(2), es vp(1-q» v (a,)== e p (K/Q)(2se4.1) > 2se4.1 >- 2se (K/ Q) = vp (22s) , por apli-caci6n del Lema de Hensel ([6], Cap.II) , se obtiene quesq 6 `p para cada p E Pf. (Si Pr C P , entonces s= 1y obviamente q Etesis las raíces 2 s - ésimas de la unidad están en KP	, se9tendrá que q E 0 k' = k2p (cf . [1] ,Cap.IV) . SeanpEP p 2sal ,a29 . . ., elementos de KP	ta s que al= qi i,> 1 .Probaremos que, salvo a lo sumo en un número finito de casos,los elementos así obtenidos no son congruentes mod KP . Sean341~,bij = g ig j y fij (%) = X2	- bij . Si fij reduce en elP(2)_~ .iP(2) Áp, para todo p E P ) . Ya que por hip6-scuerpo Y se sigue que, necesariamente bij e í2 , o bien.-4-1 bij C- k4 . Puesto que sólo un número finito de cuerposde la forma Q(bi1/2 ), o bien Q((-4-1b1/4) pueden estarcontenidos en Y , prescindiendo en la sucesión gl,g2 , . . . deun número finito de términos, podemos suponer que todos lospolinomios	f1, son g- irreducibles . Si a a j = x2	 ar2s 2 s~31 -cierto x E K, , se tendría que (aiaj ) = x y fijtendría un cero en Ep . Ya que la extensión Ep / S es deGalois, ello estaría en contradicción con la elección de sDefinición 3 .6 . Sean p E Pf C P y Up	 l conjunto de loselementos x EPtales que v,p (x) = o , para toda valoraciónque extienda la váioración de E: , v p, asociadaa p . El grupo U = (1 Up	serállamado de las unidadespePfdeP.3 .7 . Obsérvese que la demostración de 305 implica que siPf 4 j ,, el indice [U : U ()El siguiente resultado, necesario para la demostraci6n" de3 .9 , se obtiene sin dificultad.Lema .8 . Sea S un cuerpo de námeros , p un primo de g1 2es no finito .AW una clausura algebraica de Kp . Un elemento x E Kpes	x 1 K2p si £ s61o si para todo K- monomorfismof : ¿ ----> '+R , se verifica que f(x) E Kp . .Proposición 3.9 . Sea P un conjunto finito de primos de K ,no diádicos . Si P ~ PC , el subgrupo del grupo de Brauerformado Eor las álgebras de , cuaterniones , B2.(KP) , es no finito .Demostración . Caso 1 . Pf = 0 . Sea g : K1, ----> B2(KP) elhomomorfismo definido por g(x) _ ( lIx) . Veremos- que suKresultadoo de la Proposición setrivial . Seaf : K --i ]Ra un mo-®fft=real posi-tivo y x E K2p . Puesto que P.. eraarbitrario, x 6 KP .Caso 2 . Pf ~ Á . El Teorema de aproximación para valoreslutos permite disponer de un elementotodas las ordenaciones de K asociadas a los primos de Pr ,y tal quep(Ti) = 1 , para todo p E Pf . Sea U el grupode las unidades de Kp	y h : U > B2(KP)el . hom omorfismonúcleo es VI , con lo cual elobtendrá de 3.5 . La inclusión C ker g espues x E ker g ; sean p.. un elemento de Pr C P yel monomorfismo asociado . Para toda extensión de fnomorfismo f : Z ---) c se tendrá que 1 = (-lrá)-1 f x -= ( R ) . En consecuencia, f(x) será un número1 3abso-n E K , negativo paradefinido por h(x) = (~) . Veremos quelo que bastará tener en cuenta 3 .7 . Seado p E Ptendrá queuna unidadel conjunto	{1 , u ,de representantes denecesariamente seráYa que el álgebraKp	éstaúltimay p son arbitrarios, de 3 .8 se deduce queBiblió,-rafíay para todo K- monomorfismoKpp- ádica tal queposibilidad no14ker h = U (ú , porKx E ker h . Para to-f :KP --~K p seADado p E Pf , sea u E Kpu 1 Kp . Puesto que p ~ 2 ,f(n), uf(n) } será un sistema completo. Teniendo en cuenta que vp(f(x))=o,f(x) = 1 (mod 1p) o bien f(x) _ u (mod 1 ).de cuaterniones (f Du) no descompone enKpuede darse . Puesto que fAnálogamente al caso anterior se obtiene que xtanto x E K2 _fy por[1] Báyer,P. : Extensiones maximales de un cuerpo global en lasque un divisor primo descompone completamente . Tesis .Universidad de Barcelona, 1976 .[2] Elman,R ., Lam,T.Y. : On the quaternion symbol homomorpMamgF : k2F~oB(F) . Proc . of Seattle Algebraic K-TheoryConference . Springer, Lecture Notes in 14Taths . 342 (1972),447- 463 .[31	Elman,R ., Lam,T.Y. : Classification Theorems for QuadraticForros over Fields . Comment . Math. Helv. 49(1974),373-381.[41 Laborde,0 . : Formes quadratiques et algébres de Clifford.Bull . Se . math., 21 série, 96 (1972), 199-208 .151 Lam,T.Y. : The algebraic Theory of Quadratic Forros . Benja-mín, 1973 .6] Lang,S . : Algebraic Number Theory . Addison- Wesley, 1970 .7J Tomás,F. : Sobre los normalizados de los grupos de descom-posición. Anales del Inst. de Mat . U.N .A.M., 1973.

Formas cuadráticas sobre cuerpos totalmente p-adicos

Báyer, P.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

FORMAS CUADRATICAS SOBRE CUERPOS TOTALKCNTE P-ADICOS
P.Báyer
Introducción
Dado un cuervo de números K y un conjunto finito P de
primos de K , se clasifican las formas cuadráticas sobre el
cuerno totalmente P-ádico KP . El anillo de Witt W(Kp) re
sulta ser no finito .
	
Su grupo aditivo es estudiado por medio
del invariante de Clifford .
1 . Cuernos totalmente P-ádicos
En todo el trabajo K indicará un cuerpo de números . Las
clases de los valores absolutos de K las denominaremos pri-
mos de K . El completado de K por la topología definida por
un primo p de K se representará por K p . Los primos co-
rresnondientes a valores absolutos no ultramétricos serán lla-
mados primos del infinito, representándose con la notación p. .
Diremos que p  es un primo real o complejo, según que K p
sea isomorfo a R ó a C , respectivamente .
Todas las extensiones algebraicas de K se supondrán in-
cluidas en una misma clausura
Definición 1 .1 .
	
Sea P ~ 0 un conjunto finito de primos de
K . Por cuerpo totalmente P-ádico sobre K (relativo a P)
entenderemos la reunión * filtrante de todas las extensiones
finitas de K , en las que todos los primos de P descompo-
nen completamente . Se indicará por KP .
En el caso de que P conste de un único elemento, p ,
escribiremos K p en lugar de KP .
Se verifica que :
i) Kp = il Kp
PEP _
ii) Si ¢~ es un primo complejo, entonces Kla = Q .w
iii) Un elemento x E Q es de Kp si y S610 si su Do-,
linomio minimal sobre K descompone en Kp en pro-
dueto de factores lineales .
Observación 1 .2 . Si K = Q y p es la clase del valor ab
soluto ordinario, el cuerpo Q se obtiene adjuntando a
00
el conjunto de los elementos totalmente reales en el sentido
clásico . Ello justifica la denominación dada a los cuerpos
KP	(#)
(aE) Para una mayor información sobre tales extensiones, véase
2
p
2 . Formas cuadráticas sobre KP
n
Una forma cuadrática diagonal
	
al Ki se repre-
i=1
sentará nor al , . . .,an> . La forma a, a> se abreviará
por n <a) .
Si P es un conjunto de primos de K como en 1.1 . ,
escribiremos P = Pf UP .O	paraponer de manifiesto su parte
finita y su Darte no finita . A su ves: escribiremos P w =
= PrU P
e
, siendo Pr el subconjunto de P formado por los
primos del infirito reales y Pc el de los primos complejos.
Lema 2.1 . Si P = Pf , la forma 5 <l> es isótropa en S.
Demostración . Sea P'=
{PEZ,
p>o + 9 P E P tal que P (1 Z=(p)~
Puesto que Qp , C KP bastará probar que 5<1> es isótropa
en Qp , . Sean {pl, . . .,p.) los primos de
P' congruentes
coro 1 (mod 4) y ípm4-1, .`pn J los congruentes coa 3(mod4).
Sin restricción podemos suponer que ambos subconjuntos son
m n
no vacíos y que P = 2 E P' . Sea a = FI p . , b = P P .
o i = 1 1 1=m4-1 1
y tomemos c = - a2 4. b2 + 7(ab) 2 . Aumentando si es pre-
ciso el número de enteros mimos congruentes con 3 (mod 4),
podemos sunoner nue es c> o . Teniendo en cuenta las reglas
de descomnosición en un cuerpo cuadrático, se sigue que
3
- c r= QP, . En virtud del Teorema de Lagrange, existirán cua-
2 2 2 2tro enteros ai , de forma que c = al 4. a2 4 a3 4. a4 . Por
tanto
	
((-e)1/2,al,a2,a3,a4)
será una representación de
cero de la forma considerada.
Proposición 2 .2 . Bajo las condiciones del Lema , toda forma
cuadrática . de KP de rango mayor o i&ual que cinco , es is6-
tropa .
Demostración . Sea q una forma cuadrática definida en KP.
Teniendo en cuenta 2 .1 . puede obtenerse un cuerpo de núme-
ros L totalmente imaginario, tal que K C L C KP y q
esté definida en L . Basta entonces aplicar el principio de
Hasse al cuerpo L .
Proposición 2.3 . Si P = P el cuerno Kp es pitagórico
(es decir , se verifica que
Demostración . Sean x,y E KP	y
sea zE Q un elemento tal
que z2 = x2 4. y2 . Sea t un elemento primitivo de la ex-
tensión K/ Q y sean ti , . . . . tr	losconjugados reales de
1
t . Cada primo real p~ i está asociado
a un monomorfismo
fi : K ---> R , definido por fi(t) = t i . Para toda exten-
si6n de fi a un monomorfismo fi : Q --~ C se verificará
que
	
fi(x) , fi(y)E R y por tanto, que fi(z)ER . Ello prue-
ba que z E KP .
Dada una forma. cuadrática q se designarán por dim(q) ,
d(q) , s(q) y 6(q) su dimensión, la clase de su determinante,
su invariante de Hasse y su signatura total, respectivamente .
un cuerpo totalmente P-ádico . Para queTeorema 2 .4 . Sea
dos formas cuadráticas ql	q2
definidas en %p sean equi-
valentes, es necesario 1 suficiente que
1) dim(ql ) = dim(g2) , ' 6(ql ) = <N-(q2) , si P = P- .
2) dim(gl ) = dim(g 9 ) * d(q1 ) = d(q2 ) , s(q1 ) = s(q 2 ) .
si P = Pf
dim(g1 ) = dim(g2 ) , d(q1 ) = d(q2 ) , s(ql) = s(q2 ) ,3)
6(q1 ) = (!(q 2 ) , si Pf ~ Á y P. ~
Demostración . 1) Si P = P ' y P = 0 , es trivial (en esteG r
caso o' = o ) . Si Pr	, el cuerpo KP es entonces for-
malmente real, Dor lo que el resultado se sigue de 2 .3 y del
Principio local-global de Pfister (153, Cap.VIII) .
2) A partir de 2.2 es un resultado clásico .
3) Si P = , se reduce P1 caso 2) . Supongamos puesr
Pr . En virtud del Teorema 3 de [3] , de manera equiva-
lente, basta probar que las formas
	
<l,a,b,ab~ (a,b 6KP ) re-
presentan todos los elementos de Kp totalmente positivos .
un tal elemento . La forma q = <l,a,b,ab,-x 5 se-Sea x E
rá totalmonte indefinida . Sea L = E(a,b,x) , La forma q re-
presentará cero en todos los completados L,~ de L . Será por
tanto is6tropa en L .
3 . El anillo de Witt de
Se indicará por F un cuerpo (no necesariamente de núme-
ros) de característica distinta de dos. Sean W(F) , B(F) y
BW(F) el .anillo de Witt, el grupo de Brauer y el grupo de
Brauer - Wall, respectivamente, de dicho cuerpo .
Recordemos que el invariante de Clifford r : W(F) -0 UN(F)
es el ho mo morfismo de grupos definido por r (q) _ [C (q)] ,
siendo [C(q)] la clase en B9(q) del álgebra de Clifford de
q . Los elementos de BN(q) están en correspondencia biyec
tiva con las ternas (D, E , a ) E B(F) xY2
x F/p2 . Por trans-
porte de estructura se obtiene entonces la siguiente ley de
comnosici6n de ternas (C51 9 Cap.V)
(D , 1 , a) (E , 1 , b) = (D"E " (F) , o , -ab)
(D,o,a)(E,o,b)
	
= (D.E .(F),o,ab) ,
(D , o , a) (E , 1 , b) = (D-E " (Fb), 1 , ab) ,
se indica la F - álgebra de cuaternionesen donde por
de generadores i,j y relaciones i2 = a , j2 = b e
Si q es una F - forma de dimensión n , por la repre-
sentaci6n anterior se obtiene que r(q)= (c(q),dim0(q),d+(q)),
siendo c(q) el invariante de Vlitt de q , dim0(q) la
_n n-1
dim(q) (mod 2) y d;(q) = (-1) 11 d(q) , el determinante
con signo de q .
Sea Q(F) el subgrupo de B(F) generado por las clases
de las álgebras de cuaterniones y B2(F) el subgrupo de B(F)
formado por los elementos de orden ti:2 . Entonces Q(F) C B2(F)
e Im r C Q(F) x F2
x b/P,2 .
Pro-pósici6n 3 .1 . Si F es un cuerno en el cual las clases
de las álgebras de cuaterniones constituyen un subgrupo del
grupo de Brauer B(F) , se verifica que
Im r Q(F) x F2 x
F/F2
Demostración . Veamos que los elementos ((F),1 ,t ) y
((F.) , o , t) (a, b, t E F) pertenecen a Im r . Puesto que
o	
s ~a,b,-ab~ (~) = (F) E Q(F) y si aimoq= 1,
se verifica que c(<t>®q) = c(q) , se tendrá
r «t>e <a,b,-ab» = «ab ) , 1, t) . Tomemos
q = <-t) I <a,b,-ab) . Entonces
c(q) c <a,b,-ab> - (=-t=&'-) = (~) . Por tanto
( <-t>¡<a,b,-ab» = ((B), o , t )
Lema .2 . El invariante de Hasse de un esgacio hiperbólico
viene dado gor
(-1) C2J~-1F v
d(g1),d(q2 )
Demostraci6n . Ya que s(gh1 q2 ) = s(gl)`s(q2)~( F )
la f6rmula anterior se obtiene fácilmente por inducci6n sobre n.
Proposici6=. 3 .3. Si s, din, d clasifican completamente las
formas cuadráticas definidas sobre un cuerpo F , el invarian-
te de Clifford r : W(F) -~ B!1(F) es inylctivo ( )
(#) Sea IF el ideal fundamsntal :de W(F) . La inyectividad
de r , en el caso de que I 3F = o , se ha probado en [2] ,
Teor. 3. lo . Es usada a su vez para demostrar que I3F = o ,
si y s61o ®i s , din y d clasifican ( [2] , Teor . 3 . 11) ;
En relación con la inyectividad de r véase también [4] .
Demostración . Sea q un elemento del ker r . ..Entonces c(q)=1,
dimo(q)= o , d,, (q) = 1 . Para el cálculo de s(q) deben distin-
guirse los siguientes casos
Ca.so 1 .
	
dim q - 2 (mod 8) . Puesto que c(q) = s(q) y
=- d(q) , se tendrá que s(q) = 1 y d(q) = -1 .
Caso 2 . dim q - 4 (mod 8) . Se tendrá que d4.(q) = d(q) = 4- 1 ,
por lo que c(q) = s(q)(-1F1 ) y en consecuencia,
s(q) = ( -l
' -l
)
r : w(xp) '!'_ B2(K,) X "2
x
d4(q)=
Caso dim q = 6 (mod 8) . Ahora dj(q) _ -d(q) _ - 1 y
c(q) = s(q)(-1F 1 ) . Así s(q) _ (-1F 1 ) .
Caso 4 . dim q - o (mod 8) . De d41(q) = d(q) = 4. 1 , se obtiene
que c(q) = s(q)(F) = s(q)
Si dim q = 2 n , de 3 .2 y a partir de los resultados anterio-
res, se obtiene que s(q) = s( n <l,-1>) , dim q = dim(n<l,-1>)
y d(q) = d( n<l,-1» . Por tanto q N n<l,-1> = o Ew(F)
En el caso particular que nos ocupa, a partir de 2 .4, 3.1
Y 3.3 se obtiene el siguiente
Teorema 3 .4 . Sea KP	uncuerpo totalmente P-ádico . Si P= Pf,
se verifica que
en un isomorfismo de cupos aditivos , siendo la estructura del
segundo miembro la inducida -por W(KP) .
Veremos a continuación que los grupos KP/KP
	
y B
2(KP)
son ambos no finitos . En este áltimo nos limitaremos al caso
no diádico .
Proposición 3.5 .	21P ~ Pc , el índice [íP : SP] es infinito.
Demostración .	Caso1. = Pf C P , La infinitud de ~KP : KPH
se obtiene directamente al tener en cuenta que Kp. = KPs un
r
cuerpo pitagórico que posee infinitas ordenaciones.
Caso 2 . Pf -,¿ ¡ó o En este caso construiremos una sucesión
2
al , a2 , . . . de elementos de no+~~ congruentes mod . En °°--A-p o
neral, sea E
n
una raíz primitiva n - ésima de la unidad de Q .
De las reglas de descomposición en un cuerpo ciclot6mico se de-
duce la existencia de un entero s >,l , tal que é é Kp	y
2
s
2x4-1 4 KP . Designemos por P(2) el subconjunto de Pf for-
mado por los primos diádicos . Si P(2) ~ 0 sea
e = max 1e p (K/ Q ) I p E P(2) ) .
Sea m = moral un entero elegido de la forma siguiente :
mo = 1 si Pf =P(2) .
10
mo = npi
	s
	
Pf -
P(2)
~ 0 , siendo (pi ) = P i n a ,
Pi> o , los primos obtenidos al recorrer p i
el conjunto Pf -
P(2)
.
m1 =1 si
= 22s"l si
En virtud del Teorema de Dirichlet, se podrá tomar una suce-
si6n de enteros primos positivos gl ,g2 , . ., de modo que, pa-
ra cada i > 1 , se verifique que qi-
1 (mod m) . Sea q - qi
un término arbitrario de la sucesión anterior . Consideremos
s
la ecuación - q . Puesto que si p E Pf -
P(2)
, es
vp (l -q) > o = vp (
22s) y si p E
P(2)
, es vp(1-q» v (a,)=
= e p (K/Q)(2se4.1) > 2se4.1 >- 2se (K/ Q) = vp (22s) , por apli-
caci6n del Lema de Hensel ([6], Cap.II) , se obtiene que
s
q 6 `p para cada p E Pf
. (Si Pr C P , entonces s= 1
y obviamente q E
tesis las raíces 2 s - ésimas de la unidad están en KP	, se
9
tendrá que q E 0 k' = k2p (cf . [1] ,Cap.IV) . Sean
pEP p 2
s
al ,a29 . . ., elementos de KP	ta s que al= qi i,> 1 .
Probaremos que, salvo a lo sumo en un número finito de casos,
los elementos así obtenidos no son congruentes mod KP . Sean
341~,
bij = g ig j y fij (%) = X2	- bij . Si fij reduce en el
P(2)
_~ .
i
P(2) Á
p
, para todo p E P ) . Ya que por hip6-
s
cuerpo Y se sigue que, necesariamente bij e í2 , o bien.
-4-1 bij C- k4 . Puesto que sólo un número finito de cuerpos
de la forma Q(bi
1/2 )
, o bien Q((-4-1b1/4) pueden estar
contenidos en Y , prescindiendo en la sucesión gl,g2 , . . . de
un número finito de términos, podemos suponer que todos los
polinomios
	
f
1
, son g- irreducibles . Si a a j = x2	 ar
2s 2 s~31 -cierto x E K, , se tendría que (aiaj ) = x y fij
tendría un cero en Ep . Ya que la extensión Ep / S es de
Galois, ello estaría en contradicción con la elección de s
Definición 3 .6 . Sean p E Pf C P y Up	 l conjunto de los
elementos x E
P
tales que v,p (x) = o , para toda valoración
que extienda la váioración de E: , v p
, asociada
a p . El grupo U = (1 Up	serállamado de las unidades
pePf
de
P
.
3 .7 . Obsérvese que la demostración de 305 implica que si
Pf 4 j ,, el indice [U : U ()
El siguiente resultado, necesario para la demostraci6n" de
3 .9 , se obtiene sin dificultad.
Lema .8 . Sea S un cuerpo de námeros , p un primo de g
1 2
es no finito .
AW una clausura algebraica de Kp . Un elemento x E Kp
es
	
x 1 K2p si £ s61o si para todo K- monomorfismo
f : ¿ ----> '+R , se verifica que f(x) E Kp . .
Proposición 3.9 . Sea P un conjunto finito de primos de K ,
no diádicos . Si P ~ PC , el subgrupo del grupo de Brauer
formado Eor las álgebras de , cuaterniones , B2.(KP) , es no finito .
Demostración . Caso 1 . Pf = 0 . Sea g : K1, ----> B2(KP) el
homomorfismo definido por g(x) _ ( lIx) . Veremos- que su
K
resultadoo de la Proposición se
trivial . Sea
f : K --i ]R
a un mo-
®fft=
real posi-
tivo y x E K2p . Puesto que P.. era
arbitrario, x 6 KP .
Caso 2 . Pf ~ Á . El Teorema de aproximación para valores
lutos permite disponer de un elemento
todas las ordenaciones de K asociadas a los primos de Pr ,
y tal que
p
(Ti) = 1 , para todo p E Pf . Sea U el grupo
de las unidades de Kp	y h : U > B2(KP)
el . hom omorfismo
núcleo es VI , con lo cual el
obtendrá de 3.5 . La inclusión C ker g es
pues x E ker g ; sean p.. un elemento de Pr C P y
el monomorfismo asociado . Para toda extensión de f
nomorfismo f : Z ---) c se tendrá que 1 = (-lrá)
-1 f x -= ( R ) . En consecuencia, f(x) será un número
1 3
abso-
n E K , negativo para
definido por h(x) = (~) . Veremos que
lo que bastará tener en cuenta 3 .7 . Sea
do p E P
tendrá que
una unidad
el conjunto
	
{1 , u ,
de representantes de
necesariamente será
Ya que el álgebra
Kp	éstaúltima
y p son arbitrarios, de 3 .8 se deduce que
Biblió,-rafía
y para todo K- monomorfismo
Kp
p- ádica tal que
posibilidad no
14
ker h = U (ú , porK
x E ker h . Para to-
f :KP --~K p se
A
Dado p E Pf , sea u E Kp
u 1 Kp . Puesto que p ~ 2 ,
f(n), uf(n) } será un sistema completo
. Teniendo en cuenta que vp(f(x))=o,
f(x) = 1 (mod 1p) o bien f(x) _ u (mod 1 ).
de cuaterniones (
f D
u) no descompone en
K
puede darse . Puesto que f
Análogamente al caso anterior se obtiene que x
tanto x E K2 _
f
y por
[1] Báyer,P. : Extensiones maximales de un cuerpo global en las
que un divisor primo descompone completamente . Tesis .
Universidad de Barcelona, 1976 .
[2] Elman,R ., Lam,T.Y. : On the quaternion symbol homomorpMam
gF : k2F~
o
B(F) . Proc . of Seattle Algebraic K-Theory
Conference . Springer, Lecture Notes in 14Taths . 342 (1972),
447- 463 .
[31
	
Elman,R ., Lam,T.Y. : Classification Theorems for Quadratic
Forros over Fields . Comment . Math. Helv. 49(1974),373-381.
[41 Laborde,0 . : Formes quadratiques et algébres de Clifford.
Bull . Se . math., 21 série, 96 (1972), 199-208 .
151 Lam,T.Y. : The algebraic Theory of Quadratic Forros . Benja-
mín, 1973 .
6] Lang,S . : Algebraic Number Theory . Addison- Wesley, 1970 .
7J Tomás,F. : Sobre los normalizados de los grupos de descom-
posición. Anales del Inst. de Mat . U.N .A.M., 1973.


Formas cuadráticas sobre cuerpos totalmente p-ádicos

P. Bayer

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Formas cuadráticas sobre cuerpos totalmente $p$-ádicos

Formas cuadráticas sobre cuerpos totalmente p-adicos

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