Prada Blanco, J.

J. Prada

Crossref

Publicacions Matemàtiques

Espacios de Köthe y series de Dirichlet

Diposit Digital de Documents de la UAB

Publ . Mat . U .A .B .n4 6 des . 1977	79Espacios de K8the series de _DirichletJ . Prada Blanco .INTRODUCCIONEn un trabajo anterior("Series de Dirichlet consi-deradas como espacios de sucesiones" .Collectanea IM.a-themática .0arcelona .En prensa),estudiamos los espa-cios de sucesionesH(r)= a E W e ~nr'< oo H r1 > rH L r] = 1 b (S' w ,/ n N -r` 1n >nsiendo (~ M ) una sucesión de números reales tal que0 :5 A,< X1 5 . ->~K) con la condición lim An/n > 0 (finitao no) .En este trabajo consideramos los mismos espacios,'siendo (I1~rt) cualquier sucesión de números reales talraue 0 < A, Si lim An/n > O,tenemos que Y r¿/ 2 e-anlr~_ é) Z ~,siendo (r~ ) una sucesiónde números reales estrictamente decreciente y conver-gente a r ;evidentemente,lim Am /n > 0 implica,tambien,que d i E N, -:Ij E N 1 ~le ~M(t d) < .,Por lo tanto, este articulo presenta resultados mu-cho más generales que el previamente citado .LA C¿ -DUALIDADProposición-1Los espacios H(r) (r	R y r=- co) son espacios es-calonados de orden uno .(XII) .Pro osici6n 2H(r)X a H Lr~ y H(- oo )X = H C_ ooJDemostraci6n -a) H Ir] C H(r) xy E H¡ [r] =p 1 y,,, 11 e- m , r~ > r, n >, no	Enton-ces y E H(r)Xb) H (r)x C H Cr~u f H(r) x --:V. u pertenece a la envoltura normal deun vector p e- m ~ , P >O .Entonces uM 1 t,: p ,e '"Sea r' tal que r . > r'> r Tenemos e - ~Mt>ovP.e_e- ~MN , d n > noAnalogamente, H(- ce )X = Hx xNota . H Lrl = H(r) y H [_ c°~ = H(- ~)TOPOLOGIAS EN LOS ESPACIOS H(r) y H(- 00 )Consideremos las parejas duales < H Crj , H(r) >y -~ H e- w], H(-°° ) % .Proposición 3Los aspacios H(r) (r é R y r=-	) son de Frechetcon la topología normal .(IX,pag .419) .Proposición 4Supongamos nue br r¿ ri tal nue e- ~m (r` ói E 11(respectivamente, b' i E N, 9 j E N tal que eanl~ 11)y consideremos en H(r) (r 6 R) y H(- no ) las seminor-mas hp ((a,n ))=sup ( 1 am¡ eanP)r p > r yh p ((a 1 ) )=sup ( t a,,1 .eAM~), p C- R (respectiva-mente) .Estas seminormas engendran en H(r) (r E R yr=- oo) una topología -t que coincide con la normal .DemostraciónComo los espacios H(r) (r £ R y r=- oo ) son nu-cleares con la topología normal (IX,pag .98) el re-sultado es trivial .Nota .Una base de entornos para la topologíaviene dada por la familia = ZU~ E , p > r, E>OP .siendo U,,,£) = 2a E H(r)	/Analogamente, (u = i UC?~E)una base de entornos de cero parade H(- 00 ) .proposición-5Supongamos que 3 rC / d rá	te gamos em -ti) 4 1(respectivamente, 3 i 6 N / V j 6 N tengamose A,(~ -~) ~ 1 1 ) y consideremos en H(r) (r 6 R)H(- op ) las seminormas h p ((a m ))=supp > r y hp ((am ))=sup ( 1 am 1 .eAm P ), p E R(respectivamente) .Estas seminormas engendran en H(r)(r E R y r=-Demostraciónuna topologíamenos fina que la topología normal .sultado es trivial .F > 0~ estopologíaestrictamenteComo los espacios H(r) (r 6 R y r=- oo ) no sonnucleares con la topología normal(IX,pag .98) el re-(r~-rá) 4NOta .Si -3 r~ / 1i r d	tengamos e_ am+ 1(respectivamente, 3 i E N / V j 6 N tengamose`~m(~~ó)~ 1 1 ),los espacios H(r) ( r 6 R y r=- 00 )no son completos con la topología	,Proposición 6Supongamos que J rt / d r d , tengamos eA,, (fl~)~ l i(respectivamente, J i 6 N / V j (- N tengamose~n ( ~ d ) .t 1 1 ) .Entonces,la topología k 3n H(r)(r E Ry r=- 00 ) no es compatible con la pareja dualL H [rj , H(r) > , (r E R y r=- oo ) .DemostraciónSupongamos que en H(r) (r E R) fuese compati-ble con la pareja dual -- 11 [rj , H(r) > . Entonces,todo entorno del origen en la topología débil seriaentorno del origen en la .topologia t .Sea V= l a E H(r) / Zl a M	r.Existe un U~=ia E H(r) / e - ~^~ á a Rt ~ _ Fi i talque V' C V .Consideremos las siguientes sucesiones0 , o > kKa E V pero no pertenecen a V .En efecto : a KE V'F e,l rIM d , n <_ kProposición 7Supongamos que	r~ / r,' , tengamos é_.im(r~_td)`~lA(respectivamente, iC-N / b j E N,tengamosIl a ) .Entonces (H(r), ) =iu E H ~rj /,t r/ 3 rd	 ¡U . 00 1 Y(H(- °°) o )Demostracióna) Sea u c (H(r), y )'.Dado V- 1 a É N (r) / 2l uM . a V GVsiendo V =ta E H(r) / e- (nr - £' 1.1 < ÍV n E N, lo cual no es posible .oEn H(- oo ),la demostración es similar .Consideremos las sucesionesiaM r. .sk, (u o) ; 0 si UM =oa e V1 , d k =0 a < E. V_<">Ar .uM	u M /1 uM i F . b k ~ ¡Z ~ u, e M dz 000~ ,+ áb) Sea u E H Lrj tal que	d. tal Que Zl iu e o0MEntonces u E (H(r), ) En efecto :Dado U = 1 a E H(r) / um . a m 1 -5 e l1 '-3 U , c Vsiendo V' = 2 a E H(r) /riforI .u,¡ eEn H(- oo ) la prueba es similar .TOPOLOGIAS EN LOS ESPACIOS H [r] Y H E-Proposición 8los espacios H Crj (r É R y r=- oo ) son de Mon-tel con la topología de Mackey .(IX,pag .423) .Nota .En H Lrj (r s R y r=- oo ) las topologiasfUI3rte y de Mackey coinciden .Proposición 9Supongamos que d r¿ ~ r~ / e(respectivamente, d i 6 N, 3 j 6 N / e`~^~Entonces,en H Lrj ( r E R y r=- oo ) las topologiasnormal y de Mackey coinciden .DemostraciónEl resultado es inmediáto pdr proposición 6 de XV . .eVd l ami .5 1/ donde P1=85Proposición 10Supongamos n,ue 3 r¿ / b róEntonces,las top'ologlas normalden en H Cr3 , r 6 R .Demostración= ev tengamos e_ e 1y de Mackey no cóinci-Supongamos que ambas topologias coinciden . Sea Y,,ñ m N	. Evidentemente, e am r . e Aro r` _;> 0, b rEntonces, e Aro CI . e AMrc él 1 , d r ¿ . Ahora bien,r.- -> r -t> r ¿ - r < E , d i i i o . Por lo tanto, tenemos que e- 'X',1 6 1 1 , d c O r con lo que la condiciónestablecida no puede cumplirse .Proposición 11Supongamos lim AM/ lg n = O .Entonces,las topolo-glas normal y de Mackey no coinciden en HDe ostrac ónEs una consecuencia inmediata de la siguiente pro-posición :Proposición 12Supongamos que lim A,n/ lg n=O .Entonces, 4Z e ajk 6 N,pero existe una sucesión (xm ), x,>,0 talquea)	x(VL. ek AM -> 0, Vk ENb) 21 x ,n e K ~M = oo , ~é k E N .DemostraciónPongamos ñ,, = SI , . 19 n , n > 1 . SM >0 cuando n_Kñ, -tc S'n _ F .e = n > n ,db>0 y n > n o ( ) .Entonces ~ e-a)n = oUl2Tomemos x = ,. -án L~ nrennmcs1 k JN -~ 1 y dnZ. lg n > ~M .lg n paran suficientemente grande ~m2 .lg nx 0 .b) x .,., . e KAmEl exponente tiende a cero =Ip -~ xM e'diverge .itr ~M ~ixrn e = exp(k .~m .lg n - 1g n)=exp ( - mzag n . ( 1 - k Jmt ) )k .AM8 7Proposición 13. Los espacios H [r]	( r E R y r = - oo ) con la to-pologla fuerte no son metrizables .DemostraciónBasta ver que H(r) ron la topología normal no esnormable ._Am MiSupongamos que V 1 - la E H(r)fuese acotado .Entonces,dado V- a É- H(r)existiría un ~>0 tal que AU I C V .Consideremos las sucesionesA r-a =aK E U~ =D,1 a"6 U .Por tanto, e ~m~rd_ nc_NSi rd. < r . , la condición anterior no puede cum-plirse .En H C- °° .J la prueba es similar .LOS ESPACIOS H ) Y H(C)Sea K, =1z E C / R(z) > r ? . Llamemos H( I~o ) yH(C) a los siguientes espaciosH(	)= if(z) / f (z)= z am .e`~m~, z E a "e H(r)1H(C)=' f(z) / f(z)= 7 a .,~ , m , Z (z L, a E N(-00)1 1Proposición 14Supongamos que V r - , r tal iue ,ad(respectivamente, *V i E N, 3 j E N /e .im(¿-d)E 1 1 )consideremos en H( 1~, ) y H(C) las seminormash p (f(Z))=sup~f(Z)I, Z= x tiy, x ? p > r, y E R yh R (f(z))=sup 1f(z)~ , .= x +iy, x > p, p E R,respec-tivamente .E-:tas seminorm-+i ennendran en H( R, ) yH(C) una topología T tai -, ue (H( (¿ ), T ) es iso-morfo a 1 (r), k ) y (,4 (C), T) a (H(-Demostraciónla topología T dada ?or las seminormas h~ estádada,tambien, por las seminormas h r . siendoLhr . (f(z))=sup If(z)I , z=x t i y,x >ri . >r, y E Ra) Sea '! un entorno de cero en T .Entonces f - ~ (ll)es un entorno de cero env=?f(Z) / sup I ame_aMt I~ E1, z=x+iy,x,~r~ > r,y6Rf~ i (V)=ta / sup I :1 a M	e - :SE, z=x+ iy, x > r` >r, yéR1y8 9Consideremos V~ =Za	/ i am	5 ?e Am d., siendord,tal que e-A,,(r` rí)El i y Ei5£1_ e_~M(r~'-r¡) .Entonces,V~C f -3 (V)b) Sea V un entorno de cero en Z . Entonces, P(V)es un entorno de cero en T .V=1 a E H(r) / e_aMri , a~~ c , r~ > r £f(V)=If(z)= Z a m . e- ~ ^" ~ / eAmre a -r- , a6H(r)~Consideremos V f'=if(z) E H( )/ sup ¿! aM.e_am~~ ~~z= r -t it, t > t o 1V~~ es un entorno de cero en T y además V uC f(V) .En H(C), la prueba es similar .Proposición 15Supongamos que r L ' / V r á « tengamos e- A ^^(I,¿ra) ~ 1 1(respectivamente, 3 i E N / d j E N, tengamose~rol¿~,1 l i ) y consideremos en H( '1~ ) y H(C) las se-minormas h P (f(z))=sup jf(z)j , z=x +¡y, x ? p > r,yÉR y h P (f(z))=sup jf(z)j , z=xt-iy,x > p, p E R,.respectivamente .Estas seminormas engendran en H(9 )y H(C) una topología T pero (H( 2 ), T) y (H(C),T)no son isomorfos a (H(r),	) y (H(- W ), ),res-pectivamente .Demostracióna) Dedo V= l a E H(r) / elatni z r ri > r, F>0 Íf(V) es un entorno de cero an T .Consideremos U =1f(z) / supl -15 a,~ . e I~ F z== r, t it, t > t',Z. Entonces, V " Cf(V) .b) Dado V=If(z) / supl l2 aM .e z= rL' +it , t > t . f~ 1 (V) no es un entorno de .aro en ,pues si lo Fuese un entorno de c^ro V talque f 1 C f -1 (U) siendo U l =la E H(r) / am ~ _Ée~mre ÍConsideremos las sinuientes sucesic^esa -Proposición 16sible .. En H(C), la prueba es similar .Supongamos que -3 r` / dr a . . tengamos1D , n >k^i As r¿a C- V, k=1,2 . .Entonces a kE f - ~ (U) E~ e- ds=od n E N =,> ~l e -4 (r` -rd ) z Co , lo cual no es po-91(respectivamente,	-3 1 E N / 1f j E N , tengamos11 ) y ( Am) independiente sobre Z .Enton-ces los espacios H( 'I'~ ) y H(C) con la topología Tson isomorfos a los espacios H(r) y H(- 00) con latopología normal,respectivamente .DemostraciónEs una consecuencia inmediata de las siguiente pro-posiciónProposición 17Sea ( (K ) independiente sobre Z .Si a 6 H(r),entoncesv111(a,J .e_'Amr=sup I -z- a,,e-Amz I , zmr'+iy,yé R,r i > rSi a E H(- oo ),entonces_ 1 _¡Z i a,( .eAmr=supl ti am eA, a I , z=r~t iy,y E R,r~C-RDemostraciónDados ~ EC,0 <_ k _-1 n talesKexiste y E R tal quel e1 Ak ó - ~KI < F , 0 < k cn (Teorema de Kronecker)va G H(r) op ~ 1 a,( .e -A, r <que ( Su I =l y f > 0e	- a K /IaKI G £~ F ~Is K I " e K ~ ~ a k . e - KS Ik<m,EntoncesConsideremos los números complejos a-c/la K ¡ , k < nvEntonces,existe un y E R tal Quee _ A r N ' e -i. AKa er_ A r ~lIaK I " aKEn H(- oo ), la prueba es similar .Nota .Si consideramos H( l~ ) y H(C) con la topolo-gia compacto-abierta T 1 , tenemos que T es más fina queT :Ademas,si-9 r,.	rd ,tengamos e )`t 1 ,(respectivamente,si i 6N / V j 6 N,tengamose `k~ ` (C-) CF 11 ),H( ÍZ ) y H(C) con la topología T lno son isomorfos a H(r) y H(- oa ) con la topologíanormal,respectivamento .SIBLIOGRAFIA1 .- Sesicovitch,A .$,"Almost Periodic Functions" .Cam-bridge at the University Press .Dover Publications,Inc .1954 .II .-Cerdá Martín,J .L .ODualidad de Kbthe y funcionesanaliticas" .Collectanea Mathemática .Volumen XXII,157-169 .Barcelona,1971 .111 .-Diebdonna,J .°Sur les espaces de K¿;the" .J .Analy-se Math .81-115 .1951 .IV .-Fremlin,D.H ."Dn Kithe spaces" .Dissertation .Cam -bridge,1966 .V .-Garling,D .J .H ."On topological sequence spaces" .Proc .Camb .Phil .Soc .63 .997-1019 .1967 .VI .-Gar1ing,D .J .H ."The	='and ó =dunlity of sequencespaces" .Proc .Camb .Phí1 .Soc .Q3 .963-981 .1967 .VII .-Hardy,G .H . and Riesz,M ."Dirichlet Series" .Ste-chert-Hafner Service Ñgency,New York and London .1964 .VIII .-Komura,T and Komura,Y ."Sur les espetes parfaitsdes suites et leurs gánéralisations" .J .Math .Soc .Japan .15 .319-338 .1963 .IX .-KVthe,G."Topological Vector Spaces I" .Springer-Verlag .Berlin .Heidelbe-, g .New York .1969 .X.--M andelbrojt,S ."Series adhérentes .Regularisation dessuites,Applications" .Gauthiers-Villars .1952 .XI .-Pietsch,A ."Nuclear Locally Convex Spaces" .Sprin-ger-Verlag .Berlin .Heidalberg .N ":iw York .1972 .XII .-Prada Blanco,J ."Series de Dirichlet consideradascomo espacios de sucesiones" .Collectanea Mathemática .En prensa .XIII .-Sargent,IJ .L .C ."Some sequence spaces related tothe lp spaces" .J .London .Math .Soc .35 .161-171 .1960 .XIV .-Toeplitz,C ."Dir linearen vollkommenen Raume delFunktionen theorie" .Comm .Math .He1 .23 .222-242 .1949 .XV .-Tort Pinilla,M ."Consideraciones sobre la topolo-gia no_mal en los espacios de Kóthe" .Actas de las pri-meras jornadas matemáticas, .luso-españolas .203-216 .1973 .

Prada, J.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Publ . Mat . U .A .B .
n4 6 des . 1977
	
79
Espacios de K8the series de _Dirichlet
J . Prada Blanco .
INTRODUCCION
En un trabajo anterior("Series de Dirichlet consi-
deradas como espacios de sucesiones" .Collectanea IM.a-
themática .0arcelona .En prensa),estudiamos los espa-
cios de sucesiones
H(r)= a E W e ~nr'< oo H r1 > r
H L r] = 1 b (S' w ,/ n N -
r` 1
n >n
siendo (~ M ) una sucesión de números reales tal que
0 :5 A,< X1 5 . ->~K) con la condición lim An/n > 0 (finita
o no) .
En este trabajo consideramos los mismos espacios,
'siendo (I1~rt) cualquier sucesión de números reales tal
raue 0 < A, Si lim An/n > O,tenemos que Y r¿
/ 2 e-anlr~
_ é) Z ~,siendo (r~ ) una sucesión
de números reales estrictamente decreciente y conver-
gente a r ;evidentemente,lim Am /n > 0 implica,tambien,
que d i E N, -:Ij E N 1 ~le ~M(t d) < .,
Por lo tanto, este articulo presenta resultados mu-
cho más generales que el previamente citado .
LA C¿ -DUALIDAD
Proposición-1
Los espacios H(r) (r
	
R y r=- co) son espacios es-
calonados de orden uno .(XII) .
Pro osici6n 2
H(r)X a H Lr~ y H(- oo )X = H C_ ooJ
Demostraci6n -
a) H Ir] C H(r) x
y E H¡ [r] =p 1 y,,, 11 e- m , r~ > r, n >, no	Enton-
ces y E H(r)X
b) H (r)x C H Cr~
u f H(r) x --:V. u pertenece a la envoltura normal de
un vector p e- m ~ , P >O .Entonces uM 1 t,: p ,e '"
Sea r' tal que r . > r'> r Tenemos e - ~Mt>ov
P.e_e- ~MN , d n > no
Analogamente, H(- ce )X = H
x x
Nota . H Lrl = H(r) y H [_ c°~ = H(- ~)
TOPOLOGIAS EN LOS ESPACIOS H(r) y H(- 00 )
Consideremos las parejas duales < H Crj , H(r) >
y -~ H e- w], H(-°° ) % .
Proposición 3
Los aspacios H(r) (r é R y r=-
	
) son de Frechet
con la topología normal .(IX,pag .419) .
Proposición 4
Supongamos nue br r¿ ri tal nue e- ~m (r` ói E 11
(respectivamente, b' i E N, 9 j E N tal que eanl~ 11)
y consideremos en H(r) (r 6 R) y H(- no ) las seminor-
mas hp ((a,n ))=sup ( 1 am¡ e
anP
)r p > r y
h p ((a 1 ) )=sup ( t a,,1 .e
AM~
), p C- R (respectiva-
mente) .Estas seminormas engendran en H(r) (r E R y
r=- oo) una topología -t que coincide con la normal .
Demostración
Como los espacios H(r) (r £ R y r=- oo ) son nu-
cleares con la topología normal (IX,pag .98) el re-
sultado es trivial .
Nota .Una base de entornos para la topología
viene dada por la familia = ZU~ E , p > r, E>O
P .
siendo U,,,£) = 2
a E H(r)
	
/
Analogamente, (u = i UC?~E)
una base de entornos de cero para
de H(- 00 ) .
proposición-5
Supongamos que 3 rC / d rá	te gamos e
m -ti) 4 1
(respectivamente, 3 i 6 N / V j 6 N tengamos
e A,(~ -~) ~ 1 1 ) y consideremos en H(r) (r 6 R)
H(- op ) las seminormas h p ((a m ))=sup
p > r y hp ((am ))=sup ( 1 am 1 .e
Am P ), p E R
(respectivamente) .Estas seminormas engendran en H(r)
(r E R y r=-
Demostración
una topología
menos fina que la topología normal .
sultado es trivial .
F > 0~ es
topología
estrictamente
Como los espacios H(r) (r 6 R y r=- oo ) no son
nucleares con la topología normal(IX,pag .98) el re-
(r~-rá) 4
NOta .Si -3 r~ / 1i r d	tengamos e
_ am
+ 1
(respectivamente, 3 i E N / V j 6 N tengamos
e`~m(~~ó)~ 1 1 ),los espacios H(r) ( r 6 R y r=- 00 )
no son completos con la topología
	
,
Proposición 6
Supongamos que J rt / d r d , tengamos e
A,, (fl~)~ l i
(respectivamente, J i 6 N / V j (- N tengamos
e~n ( ~ d ) .t 1 1 ) .Entonces,la topología k 3n H(r)(r E R
y r=- 00 ) no es compatible con la pareja dual
L H [rj , H(r) > , (r E R y r=- oo ) .
Demostración
Supongamos que en H(r) (r E R) fuese compati-
ble con la pareja dual -- 11 [rj , H(r) > . Entonces,
todo entorno del origen en la topología débil seria
entorno del origen en la .topologia t .
Sea V= l a E H(r) / Zl a M	
r.
Existe un U~=
i
a E H(r) / e - ~^~ á a Rt ~ _ Fi i tal
que V' C V .
Consideremos las siguientes sucesiones
0 , o > k
K
a E V pero no pertenecen a V .En efecto : a KE V
'
F e
,l r
I
M d , n <_ k
Proposición 7
Supongamos que
	
r~ / r,' , tengamos é_
.im(r~_td)`~lA
(respectivamente, iC-N / b j E N,tengamos
I
l a ) .Entonces (H(r), ) =iu E H ~rj /
,t r
/ 3 rd	 ¡U . 00 1 Y
(H(- °°) o )
Demostración
a) Sea u c (H(r), y )'
.
Dado V- 1 a É N (r) / 2l uM . a V GV
siendo V =
t
a E H(r) / e- (n
r - £' 1.1 < Í
V n E N, lo cual no es posible .
o
En H(- oo ),la demostración es similar .
Consideremos las sucesiones
i
aM r
. .
s
k, (u o) ; 0 si UM =o
a e V1 , d k =0 a < E. V
_
<">
Ar .
uM	u M /1 uM i F . b k ~ ¡Z ~ u, e M dz 00
0
~ ,+ áb) Sea u E H Lrj tal que
	
d
. tal Que Zl iu e o0M
Entonces u E (H(r), ) En efecto :
Dado U = 1 a E H(r) / um . a m 1 -5 e l
1 '
-3 U , c V
siendo V' = 2 a E H(r) /
rifo
rI .
u,¡ e
En H(- oo ) la prueba es similar .
TOPOLOGIAS EN LOS ESPACIOS H [r] Y H E-
Proposición 8
los espacios H Crj (r É R y r=- oo ) son de Mon-
tel con la topología de Mackey .(IX,pag .423) .
Nota .En H Lrj (r s R y r=- oo ) las topologias
fUI3rte y de Mackey coinciden .
Proposición 9
Supongamos que d r¿ ~ r~ / e
(respectivamente, d i 6 N, 3 j 6 N / e`~^~
Entonces,en H Lrj ( r E R y r=- oo ) las topologias
normal y de Mackey coinciden .
Demostración
El resultado es inmediáto pdr proposición 6 de XV . .
e
V
d l ami .5 1/ donde P1=
85
Proposición 10
Supongamos n,ue 3 r¿ / b ró
Entonces,las top'ologlas normal
den en H Cr3 , r 6 R .
Demostración
= e
v tengamos e_ e 1
y de Mackey no cóinci-
Supongamos que ambas topologias coinciden . Sea Y,,
ñ m N
	
. Evidentemente, e am r . e Aro r` _;> 0, b r
Entonces, e Aro CI . e AMrc él 1 , d r ¿ . Ahora bien,
r.- -> r -t> r ¿ - r < E , d i i i o . Por lo tanto, tene
mos que e- 'X',1 6 1 1 , d c O r con lo que la condición
establecida no puede cumplirse .
Proposición 11
Supongamos lim AM/ lg n = O .Entonces,las topolo-
glas normal y de Mackey no coinciden en HDe ostrac ón
Es una consecuencia inmediata de la siguiente pro-
posición :
Proposición 12
Supongamos que lim A,n/ lg n=O .Entonces, 4Z e aj
k 6 N,pero existe una sucesión (xm ), x,>,0 tal
que
a)
	
x(VL
. e
k AM -> 0, Vk EN
b) 21 x ,n e K ~M = oo , ~é k E N .
Demostración
Pongamos ñ,, = SI , . 19 n , n > 1 . SM >0 cuando n
_Kñ, -tc S'n _ F .
e = n > n ,db>0 y n > n o ( ) .
Entonces ~ e-
a)
n = oU
l2
Tomemos x = ,. -
án L~ n
rennmcs
1 k JN -~ 1 y dn
Z
. lg n > ~M .lg n para
n suficientemente grande ~m
2 .lg n
x 0 .
b) x .,., . e K
Am
El exponente tiende a cero =Ip -~ xM e'
diverge .
i
tr ~M ~ixrn e = exp(k .~m .lg n - 1g n)
=exp ( - mzag n . ( 1 - k Jmt ) )
k .AM
8 7
Proposición 13
. Los espacios H [r]
	
( r E R y r = - oo ) con la to-
pologla fuerte no son metrizables .
Demostración
Basta ver que H(r) ron la topología normal no es
normable .
_Am MiSupongamos que V 1 - la E H(r)
fuese acotado .Entonces,dado V- a É- H(r)
existiría un ~>0 tal que AU I C V .
Consideremos las sucesiones
A r-
a =
aK E U~ =D,1 a"6 U .Por tanto, e ~m~rd_ nc_N
Si r
d
. < r . , la condición anterior no puede cum-
plirse .
En H C- °° .J la prueba es similar .
LOS ESPACIOS H ) Y H(C)
Sea K, =1z E C / R(z) > r ? . Llamemos H( I~o ) y
H(C) a los siguientes espacios
H(
	
)= if(z) / f (z)= z am .e
`~m~, z E a "e H(r)1
H(C)=' f(z) / f(z)= 7 a .,~ , m , Z (z L, a E N(-00)
1 1
Proposición 14
Supongamos que V r - , r tal iue ,a
d
(respectivamente, *V i E N, 3 j E N /
e .im(¿-d
)E 1 1 )
consideremos en H( 1~, ) y H(C) las seminormas
h p (f(Z))=sup~f(Z)I, Z= x tiy, x ? p > r, y E R y
h R (f(z))=sup 1f(z)~ , .= x +iy, x > p, p E R,respec-
tivamente .E-:tas seminorm-+i ennendran en H( R, ) y
H(C) una topología T tai -, ue (H( (¿ ), T ) es iso-
morfo a 1 (r), k ) y (,4 (C), T) a (H(-
Demostración
la topología T dada ?or las seminormas h~ está
dada,tambien, por las seminormas h r . siendo
L
hr . (f(z))=sup If(z)I , z=x t i y,x >ri . >r, y E R
a) Sea '! un entorno de cero en T .Entonces f - ~ (ll)
es un entorno de cero en
v=?f(Z) / sup I am
e_aMt I~ E1, z=x+iy,x,~r~ > r,y6R
f~ i (V)=ta / sup I :1 a M	e - :SE, z=x+ iy, x > r` >r, yéR
1
y
8 9
Consideremos V~ =
Z
a
	
/ i am	5 ?e Am d., siendo
r
d,
tal que e-A,,(r` rí)El i y Ei5£1_ e_~M(r~'-r¡) .
Entonces,V~C f -3 (V)
b) Sea V un entorno de cero en Z . Entonces, P(V)
es un entorno de cero en T .
V=1 a E H(r) / e_aMri , a~~ c , r~ > r £
f(V)=If(z)= Z a m . e- ~ ^" ~ / e
Amre a -r- , a6H(r)~
Consideremos V f'=if(z) E H( )/ sup ¿! aM
.e_am~~ ~~
z= r -t it, t > t o 1
V~~ es un entorno de cero en T y además V uC f(V) .
En H(C), la prueba es similar .
Proposición 15
Supongamos que r L ' / V r á « tengamos e- A ^^
(I,¿ra) ~ 1 1
(respectivamente, 3 i E N / d j E N, tengamos
e~rol¿~,1 l i ) y consideremos en H( '1~ ) y H(C) las se-
minormas h P (f(z))=sup jf(z)j , z=x +¡y, x ? p > r,
yÉR y h P (f(z))=sup jf(z)j , z=xt-iy,x > p, p E R,
.respectivamente .Estas seminormas engendran en H(9 )
y H(C) una topología T pero (H( 2 ), T) y (H(C),T)
no son isomorfos a (H(r),
	
) y (H(- W ), ),res-
pectivamente .
Demostración
a) Dedo V= l a E H(r) / elatni z r ri > r, F>0 Í
f(V) es un entorno de cero an T .
Consideremos U =1f(z) / supl -15 a,~ . e I~ F z=
= r, t it, t > t',
Z
. Entonces, V " Cf(V) .
b) Dado V=If(z) / supl l2 aM .e z= rL' +
it , t > t . f~ 1 (V) no es un entorno de .aro en ,
pues si lo Fuese un entorno de c^ro V tal
que f 1 C f -1 (U) siendo U l =la E H(r) / am ~ _Ée~mre Í
Consideremos las sinuientes sucesic^es
a -
Proposición 16
sible .
. En H(C), la prueba es similar .
Supongamos que -3 r` / d
r a . . tengamos
1
D , n >k
^i As r¿
a C- V, k=1,2 . .Entonces a kE f - ~ (U) E~ e- d
s=o
d n E N =,> ~l e -4 (r` -rd ) z Co , lo cual no es po-
91
(respectivamente,
	
-3 1 E N / 1f j E N , tengamos
11 ) y ( A
m
) independiente sobre Z .Enton-
ces los espacios H( 'I'~ ) y H(C) con la topología T
son isomorfos a los espacios H(r) y H(- 00) con la
topología normal,respectivamente .
Demostración
Es una consecuencia inmediata de las siguiente pro-
posición
Proposición 17
Sea ( (K ) independiente sobre Z .
Si a 6 H(r),entonces
v
111
(a,J .e_'Amr=sup I -z- a,,
e-Amz I , zmr'+iy,yé R,r i > r
Si a E H(- oo ),entonces
_ 1 _
¡Z i a,( .e
Amr
=supl ti am e
A, a I , z=r~t iy,y E R,r~C-R
Demostración
Dados ~ EC,0 <_ k _-1 n tales
K
existe y E R tal que
l e1 Ak ó - ~
K
I < F , 0 < k cn (Teorema de Kronecker)
v
a G H(r) op ~ 1 a,( .e -A, r <
que ( Su I =l y f > 0
e	
- a K /IaKI G £
~ F ~Is K I " e K ~ ~ a k . e - K
S I
k<m,
Entonces
Consideremos los números complejos a-c/la K ¡ , k < nv
Entonces,existe un y E R tal Que
e _ A r N ' e -i
. AK
a e
r
_ A r ~l
IaK I " a
K
En H(- oo ), la prueba es similar .
Nota .Si consideramos H( l~ ) y H(C) con la topolo-
gia compacto-abierta T 1 , tenemos que T es más fina que
T :
Ademas,si-9 r,.
	
rd ,tengamos e )`t 1 ,
(respectivamente,si i 6N / V j 6 N,tengamos
e `k~ ` (C-) CF 11 ),H( ÍZ ) y H(C) con la topología T l
no son isomorfos a H(r) y H(- oa ) con la topología
normal,respectivamento .
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http://ddd.uab.cat/pub/pubsecmat/02102978v6/02102978v6p79.pdf

Espacios de Köthe y series de Dirichlet

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