Delshams, Amadeo

A. Delshams

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Notas sobre difusión de Arnold

Delshams, Amadeu

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Pub . Mat . UABN° 22 Nov . 1980Actes VII JMHLNOTAS SOBRE DIFUSION DE ARNOLDAmadeo DelshamsFacultat de MatemátiquesUniversitat de BarcelonaAbstract .- KAM theorem doesn't ensure stability for dynamical systemsclose to integrable Hamiltonian systems when the dimension of the phasespace is more than four . In this case, irregular unstable orbits may oc-cur, arbitrarily close to stable invariant tori . This is the Arnold dif-fusion . We study here some suf£icient conditions which guarantee the exis-tence of this dif-fusion .§1 .- Introducción . Un problema de gran importancia en los sistemas dinámi-cos, y en particular, en los sistemas hamiltonianos, es el problema de lainestabilidad, tanto de tipo local (en el entorno de un conjunto invarian-te por el flujo), como de tipo global . De gran importancia es el teoremade Kolmogorov-Arnold-Moser {1} para sistemas perturbados de sistemas inte-grables, que nos asegura que casi todo toro invariante (en el sentido de lamedida de Lebesgue) del sistema no perturbado, se deforma ligeramente al a-ñadir la perturbación . Esto asegura estabilidad para sistemas con dos gra-dos de libertad, pues los toros invariantes separan la hipersuperficie don-de el hamiltoniano es constante, cosa que no ocurre cuando hay más de dosgrados de libertad, donde una órbita que se apoya en el complementario deestos toros invariantes, próxima en un punto a uno de ellos, puede alejarsehasta una distancia arbitrariamente grande, si logra "esquivar" esta colec-ción de toros invariantes .El primer ejemplo de ello lo dio Arnold {2}, que ideó el proceso de lascadenas de transición, que permiten empalmar las variedades invariantesestable e inestable de distintos toros de transición . Este fenómeno recibeel nombre de difusión de Arnold (para más detalles véase{ 3}) . veamos acontinuación algunas condiciones suficientes para la existencia de estasvariedades invariantes pertenecientes a toros así mismo invariantes, parapasar luego al problema de inestabilidad global .2 7§2 .-Inestabilidad local . Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones :~ 1 E Td~2 E Te rclaramente dividido en dos subsistemas, el primero de ellos con F,f 2n-peiiódicas en	de clase C 1 , siendo el origen I 1 =0,~ 1 =0 un punto fijo hi-eperbólico . Para cada wE R el sistema (1) tiene toros invariantes Tw de ecuaclones I1=0, ~1=0, I 2= w . Aplicando el teorema de Hartman{ 4}, existen va-riedades invariantes inestable y estable Ww, Ww del sistema (1) conWW()Ww =Tw , donde las trayectorias de Wcua se acercan a Tw cuando t-> - ~, ylas trayectorias de Ww se acercan a Tw cuando t Diremos que Tw es untoro con mostachos, siendo WW el mostacho saliente, y Ww el mostacho en-trante .Nos preguntamos ahora : ¿Qué ocurre si perturbamos ligeramente el sistema(1) ? ¿El sistema perturbado contiene toros con mostachos,ei la perturba-ción es suficientemente pequeña? .La respuesta es afirmativa cuando la perturbación no afecta a los torosT w 'Proposición .- Sea el sistema-(2 )IS~1= f(I 1 ,~ 1 ) +28I 1 = F(I 1 ,¢ 1 ) + EG 1 (1 1 ,~ 1 1 2 ,~ 2 ,t) , I2=eg 1 (i 1 ,~ 1 .i2 ,~ 2 ,t) 1 ~2= 12La demostración se hace por el métodoimaciones sucesivas .Así pues, paracon mostachos del sistema(2)continua teniendo torosformados . La existencia delidad local de estos totoscepto global .eG2 (1 1 ,~ 1 ,I2 ,~2 ,t)eg2 (1 1 .~112'~2't)las hipótesis del sistema (1),clase C 2 , 2n-periódica con respecto acon I1,~1,i2,~2,F,f cumpliendocon G=(G 1 ,9 1 ~G 2 9 2 ) de~1'~2't ; anulándose enEntonces, existe e > 00con mostachos del espacio de fases ampliado .Tw	w E Re . G(O,O,w,~2,t) " 2 E Te ,ytG T .tal que si Iel<e o , el toro Tw es un torostandard de las aprox-perturbaciones que se anulan sobre los torosno perturbado, el sistema perturbadocon mostachos, éstos ligeramente de-estos mostachos implica la inestabiinvariantes . Pasemos ahora al con-I1 =_F(I1,~1) 1 =2 0I 1 F Rd ,~1 =f(I 1 r~ 1 ) ~ 2 = 1 2 12 E Re r§3 .- Inestabilidad global . Una propiedad importante del sistema(1), que no habíamos citado, es que los toros CTw son toros detransición, es decir que entornos arbitrarios de dos puntos ar-bitrarios del mostacho entrante y saliente respectivamente, es-tán conectados por órbitas del sistema (1), siempre y cuando wesea	inconmensurable ( E n .w .=0, n .E Z -n=0, i=1, . . . . n), pues1 1 1 ientonces cada órbita del subsistema (1b) es densa . Es de espe-rar que esto también se cumpla en el sistema perturbado (2),aunque parece ser necesario imponer unas condiciones más res-trictivas a w . Actualmente se está trabajando en ello .Expliquemos brevemente el mecanismo que asegura la inestabi-lidad global . Se basa en encontrar una cadena de toros de tran-sición T 1 , . . . . T n , tales que para cada i, la variedad invarianteinestable Wu del toro T, corta transversalmente a la variedadinvariante estable Wi+1 del toro T i+1 (W u w`Wi+1)' Así se puedeasegurar que un entorno arbitrario de un punto x 1 E WS está co-nectado con cualquier entorno de cualquier punto x E Wu por unan nórbita del sistema . Para poder aplicar este mecanismo de cade-nas de transición, es necesario primeramente estudiar bajo quécondiciones se cumple Wu¡EW,, en nuestro sistema perturbado (2),ssiendo Wu el mostacho saliente de T_ , W el mostacho entrantew w wde T del sistema (2), para dos frecuencias w,w E Re . Esto equi-wvale, a resolver unas ecuaciones que en el caso en que el sis-tema (1) sea integrable, se simplifican considerablemente, puespodemos suponer Ww C Ww , por ejemplo . Sean V s ,Vu las ecuacionesde estas variedades invariantes del sistema no perturbadc (1),0 0 0 0 0 0 0de flujo ~(t-t ,x ), x =(I1,41,I2,~2) . Trabajando en primera a-proximación, obtenemos la siguienteProposición . Transversalidad de las variedades invariantes0 0 o o o o o 0Sea y =(x ,t )=(I1,~1,I2,~2,t ) . Si1 ° ) vs(iol~0 =8Vs o 0 0 0 0 o o 0 0-eJtóóÍ1(I1(t-t ,I1,~1) .~1(t-t ,I1 .~1))01((t-t ,x ),t-t ) ++ dVs0 0 0 (t-t0 il0 0 ó(I (t-t I ) .0 0~1 1 ,0 1 ))g 1 Wt-t x ),t-t ) }dt1IZ-w= -ef c2 (4)(t-to ,x 0 ),t-to)dtto2 92°)i ' Di{ iV-(I1(t-t°,I°,~o),~1(t-to,I°,~o))G1(~(t-to,x0),t-t°) +1qVu	o'0'0	0 0 0 0 0 0+ -1 (I (t-t I ) (t-t I ))g (tp(t-t ,x ),t-t )}dt = 0ó 1 1 1 1 ' 1 ' 1' 1 1Z'- -w = el G 2 Wt-t o ,x0),t-to)dt3°) Para to fijo, x0 es solución única de 1°) y 2-).(Aquí porsolución única se sobreentiende que la diferencial sea inversi-ble . Así, la ecuación f(x)=0 tendrá solución única si existe xtal que f(x)=0 y Df(x) es inversible) .Entonces, bajo las hipótesis 1°),2°),3°), Wu 7Tiws en y o .w wFijémonos que las integrales contienen únicamente el flujodel sistema no perturbado (1), que se supone conocido . Estaproposición aplicada a cada caso particular (mediante el cálcu-lo efectivo de las integrales dé 1°),2°)),es la que nos da lascondiciones suficientes para la existencia de cadenas de tran-sición para una sucesión w 1 , . . ,w n tsuficientemente adecuadosrpara que los toros T w . . ,Tw	 antoros de transición, con1 I I,lo que se puede establecer la inestabilidad global . _§4 .- Bibliografía{1} Arnold, V.I . Proof of a theorem of A.N . Kolmogorov on theinvariance of quasi-periodic motions under small perturba-tions of the hamiltonian, Russian Math . Surveys V 18 N 5,1 .963, pag . 9-36 .{ 2} Arnold, V .I . Instability of dynamical systems with severaldegrees of freedom, Sov . Math . Doklady . V 5 N 3, 1 .964,pag . 581-585 .{ 3} Arriold, V.I . et Avez,A . Problémes Ergodiques de la Mécani-que Classique, Gauthier-Villars, 1 .967 .{4} Hartman, P . Ordinary Differential Equations, John Wiley,1 .964 .

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