Pusat Pengajian Jarak Jauh, PPJJ

Repository@USM

UNIVERSITI SAINS MALAYSIAPeperiksaan Semester KeduaSidang Akademik 2002/2003Februari/Mac 2003JIM 417/4 — Persamaan Pembezaan SeparaMasa: 3 jamSila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi SEMBILAN muka surat yangbercetak sebelum anda memulakan peperiksaan.Jawab SEMUA soalan.Baca arahan dengan teliti sebelum anda menjawab soalan.Setiap soalan diperuntukkan 100 markah....2/-1803- 2 -	 [JIM 417]1.	 Katakan F fungsi sebarangan, manakala u(x, y, z) = c i dan v(x, y,	 C2dengan c 1 dan c2 pemalar membentuk penyelesaian persamaandx	 dy	 dzP	 Q	 RTunjukkan bahawa penyelesaian am persamaan pembezaan separa linearr, az	 a=ZY —	 .ax	 aydengan P, Q dan R fungsi-fungsi x, y dan z adalahF(u, v) = 0.Seterusnya, selesaikan persamaan pembezaan separaau	 aux ax— + y—ay = nu, n adalah pemalar.(100 markah)...3/-18041	 41	 !I	 ill- 3 -	 [JIM 417]Dengan menggunakan kaedah pemisahan pembolehubah, selesaikan masalah nilaiawal-sempadan berikut:a2 u _ e2 a2u = 0at`	 ax2u(x, 0) = f(x),auat—(x, 0) = g(x),u(0, t) = 0,u(e, t) = 0,0 < x < t, t > 00 < x < t0 < x < .et > 0t > 0.(100 markah)(a) Cari siri Fourier, pada selang –2  x  2 bagi fungsi yang ditakrifkan olehf(x) ={2, – 2  x  0x, 0 < x .. 2. •(50 markah)(b) Satu batang logam panjangnya 100 cm dan hujungnya pada x = 0 dan x = 100ditebat. Pada mulanya, separuh batang logam itu dari hujung x = 0 bersuhu60°C manakala separuh lagi bersuhu 40°C.Tentukan syarat awal-sempadan bagi masalah di atas.Can suhu batang logam pada masa t jika persamaan pembezaan separayang terbentuk daripada masalah di atas diberi oleh8 2 u	 1 au 0<x<100, t > 0 .ax e	 k at(50 markah)...4/-18054	 [JIM 417]4.	 Jelmaan Laplace bagi u(x, t) ditakrifkan seperti berikut:Z{u(x, t)} = fe-st u(x , t)dt = F(x, s).Tunjukkan bahaway{ a— u(x, t)	 =	 s) – u(x, 0)at	dengan Ti(x, s) =	 t)}.(15 markah)Seterusnya, dapatkan{2' u(x, t)}atatdalam sebutan u(x, s), u(x, 0) dan — u(x, 0) .(25 markah)(c) Dengan menggunakan keputusan dalam (a) dan (b), selesaikan persamaanpembezaan separa—a u(x, t) + 2—a u(x, t) = 0, x > 0, t > 0ax	 atjika u(0, t) = 0 dan u(x, 0) = 1.(60 markah)...5/-1806- 5 -	 [JIM 417]5.	 Dengan menggunakan jelmaan Laplace, selesaikan2a	 5u(x, t) = ax , u(x , t), x > 0, t > 0u(x, 0) = 0, x > 0u(0, t) = f(t), t > 0had u(x, t) = 0, t > 0X-)XDiberi	 {e-a 'f } = ae-a2/ 4t -2-Ntrut3    (100 markah)...6/-1807[JIM 417]6-Senarai Rumusux =	 + u,171x= tqy + urinxtixx = u,x2 + 2u 77 4x r1x + umi 17x2 + tqxx + u„rix„,uxy. = u4x4y + 1,1577 (4x 71y	 + uwi 7lx 7" y +	 + u„7]xxxy.U = 71 C	 74	 714YY	+ZY	CY r/ Y +U	 +	 YY +U71 YYf (x) a +	 an kos (—Ina + bn sinn=1	(—nR:012	 L	 Ldengan1 LLa = — f f (x) dxLLa = —1 f f (x) kos (nzx	  dx,	 n = 1, 2, 3, ...11	 L-L	 L/L= 1	(nn;ebn	 L .1 f (x) sin 	  dx,	 n = 1, 2, 3, ...L	 La	 ( n7cx\f (x) =	 +	 kos2 Ln=1dengan	L	ra, = —2 i f (x) kos ivrx	L 0	 Ldx,	 n = 1, 2, 3, ...f (x) =	 bn sinn=1dengan2 Lbn = — f (x)sin0nirx\   L   ( n7CX dx,	 n	 1, 2, 3, ...  L      1809...7/-[JIM 417]-7-f (x) = 1- y c e'2 -d„denganc =	 f(x)e'dx,	 n=0, + 1, + 2,...y - a 2y = 0 mempunyai penyelesaiandx2y = Ae	 + Be'y = C kosh ax + Dsinh axd2 y + a2y = 0 mempunyai penyelesaiandx2y = A kos ax + Bsin axr 2 d2 R + r —dR - nR = 0dr 2	 drR = C rn +Dn.rd2 R	 dRr 	 + — = 0 mempunyai penyelesaiandr-	 drR = A + B en rf (0] = F (a) =-\1	 1	 f (t) elar dt27r.1 f (x) =	 "	,V2n-'[F(a)] = ,	 	 IF(a)	 dx...8/-181017 1-	 UT TnLFc(n) kosZ[f (n) (t)] = s n F(s) —Z[(t)] = — (s) =sn-1 f (0)—	 —sf (n-2) (0)— f (n-1)(0)d	 (t)]ds[JIM 417]8T[ f (x)] = Fc (n) = — f f (x) sin 117rx dx, n=1,2, ...L 0f (x) =	 1 [F,(n)] =	 Fs (n) sin n7aLT[f (x)] = Fc (n) =	 f f (x)kos n 71X dx, 77 = 1, 2, ...L 0f (x) = —I [ F, (71 )] = Fj,,°) +n=1alf"(x)l= 2n [f(0)—(-1)n f ( 70] — n2 F,-(n)[f"(x )] =	 ( 70— f i ( 0 )] — n2 Fc(n)7l"Z[f (t)] = F(s)	 fe -si f (t)dt0Z[ew f (t)] = F(s — a){	 0 , t < aJikag(t) = f (t — a), t>0makaZ[g(t)]	 F(s)f f (u) duoZ -1 [F(s) G(s)] = f (u)g(t—u)du = f * g1811F(s) f(t)	 {f(t)} = F(s)1trt , n = 1, 2, 3, ...eatkos atsin atkosh atsinh att kos btt sin bteat kos bteat sin bt    1n!        n+I1       s — a     2	 2S + aa    s 2 + a 2    s2 — aa    s2_ a2s2 — a2   (s 2 +	 )22bs  (s 2 + 1)2)2s — a (s — a) 2 +b  (s — a) 2 + 1329	 [JIM 417]Jadual Jelmaan Laplace- 0000000 -1812

JIM 417-4 - Persamaan Pembezaan Separa Mac 2003.

http://eprints.usm.my/27292/1/JIM_417%2D4_%2D_Persamaan_Pembezaan_Separa.PDF

JIM 417-4 - Persamaan Pembezaan Separa Mac 2003.

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository@USM