Negrini, Paolo

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svolgimento compito 25/01/2016 Compl.AnalisiMat e Ric.Operativa

 1 Elementi di Analisi Matematica e Ricerca Operativa – prova del 15 febbraio 2016 1) Discutere il seguente problema di Programmazione Lineare:  Trovare il massimo di p x1, x2, x3, x4( ) = 4x1 ! x2 + x3 + 8x4  con i vincoli xk ! 0 1" k " 4( )  e 5x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 122x1 + x2 + x3 + x4 = 5!x1 ! 3x2 ! x3 + 2x4 " 2#$%&%   (può essere utile notare che, posto A5 =001!"##$%&&, risulta A1 = A3 + A4 ! 2A5 , A2 = 2A3 ! A4 + A5  e B = 3A3 + 2A4 + A5 ). Svolgimento.  Siccome la terza relazione è in forma di disuguaglianza, introduciamo la variabile “di scarto” x5 ! 0  e riscriviamo il sistema nella forma  5x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 122x1 + x2 + x3 + x4 = 5!x1 ! 3x2 ! x3 + 2x4 + x5 = 2"#$%$     cioè     x j Ajj=15& = B  dove gli Aj  sono le colonne della matrice dei coefficienti e B la colonna dei termini noti. Seguendo l’indicazione fornita scegliamo come base di  A* = !3 , l’insieme  B1 = A3, A4,A5{ } . Si costruisce allora la prima tabella del simplesso come segue:  A1 A2 A3 A4 A5 Bxv1 = x3 cv1 = c3 = 1 1 2 1 0 0 3xv2 = x4 cv2 = c4 = 8 1 !1 0 1 0 2xv3 = x5 cv3 = c5 = 0 !2 1 0 0 1 15 !5 0 0 0 19z1 ! c1( ) z2 ! c2( ) z3 ! c3( ) z4 ! c4( ) z5 ! c5( ) z( ) Siccome z2 ! c2 < 0  e almeno uno degli  !!,2  è positivo, bisogna operare la “trasformazione pivotale” facendo entrare nella base il vettore A2  al posto di uno di quelli presenti.  Il criterio di uscita impone di calcolare  !1"1,2= 32      e     !3"3,2= 1 . Siccome il minore dei due è !3"3,2= 1 , esce il vettore Av3 = A5 .  La trasformazione pivotale avviene operando sulle righe della matrice della tabella in modo che le colonne della base canonica figurino, nell’ordine, in corrispondenza di A3, A4, A2 .  Con semplici calcoli si ottiene la nuova tabella del simplesso relativa alla base  B2 = A3, A4, A2{ } :  A1 A2 A3 A4 A5 Bxv1 = x3 cv1 = c3 = 1 5 0 1 0 !2 1xv2 = x4 cv2 = c4 = 8 !1 0 0 1 1 3xv3 = x2 cv3 = c2 = !1 !2 1 0 0 1 1!5 0 0 0 5 24z1 ! c1( ) z2 ! c2( ) z3 ! c3( ) z4 ! c4( ) z5 ! c5( ) z( )  2 Siccome z1 ! c1 < 0  e almeno uno degli  !!,1  è positivo, bisogna operare la “trasformazione pivotale” facendo entrare nella base il vettore A1  al posto di uno di quelli presenti.  Siccome il solo  !!,1  con valore positivo è !1,1 = 5 , esce il vettore Av1 = A3 .  La trasformazione pivotale avviene operando sulle righe della matrice della tabella in modo che le colonne della base canonica figurino, nell’ordine, in corrispondenza di A1, A4, A2 .  Con semplici calcoli si ottiene la nuova tabella del simplesso relativa alla base  B3 = A1, A4, A2{ } :  A1 A2 A3 A4 A5 Bxv1 = x1 cv1 = c1 = 4 1 0 15 0 ! 25 15xv2 = x4 cv2 = c4 = 8 0 0 15 1 35 165xv3 = x2 cv3 = c2 = !1 0 1 25 0 15 750 0 1 0 3 25z1 ! c1( ) z2 ! c2( ) z3 ! c3( ) z4 ! c4( ) z5 ! c5( ) z( ) Siccome adesso tutti gli z j ! c j  sono ! 0 , l’algoritmo è terminato; la funzione obiettivo ha massimo nella regione ammissibile, il massimo vale z = 25  ed è assunto per x1, x2, x3, x4, x5( ) = 15 , 75 ,0,165 ,0( ) . 2) Sia f x( ) = x4 ! x3 + x 3 .  a) Dimostrare che f è adatta per definire una distribuzione T = Tf  di tipo funzione.  b) Descrivere la distribuzione T 4( ) , derivata quarta di T in  !D !( ) . Svolgimento. a) La funzione è continua in  ! ; quindi è localmente sommabile.  Questo è sufficiente per assicurare che f è adatta per definire una distribuzione. b) f è C!  in  ! ! {0} ; si può scrivere f x( ) = x4 ! x3 1! sgn x( )  quindi le derivate sono, per x ! 0 ,  f x( ) = x4 ! x3 1! sgn x( )"f x( ) = 4x3 ! 3x2 1! sgn x( )""f x( ) = 12x2 ! 6x 1! sgn x( )"""f x( ) = 24x ! 6 1! sgn x( )f 4( ) x( ) = 24 Le derivate prima e seconda di f esistono anche in 0 (con valore 0); non la derivata terza, essendo  limx!0+"""f x( ) = 0 ; limx!0#"""f x( ) = #12 . Dunque !!!f x( )  è continua in  ! ! {0} , e ha una singolarità di prima specie in 0 con salto di ampiezza 12.  Perciò Tf( ) 4( ) = Tf 4( ) +12! , cioè per ogni funzione test ! "D R( ) ,   Tf( ) 4( ) , ! = 24 ! x( ) dx!" +12! 0( ) . 3) Enrico commissiona lavori di ristrutturazione di casa sua a un artigiano.  Sull fattura dei lavori lo Stato riconosce un rimborso del 50% in 10 rate annuali di uguale importo, cioè per ogni 100€ fatturati Enrico riceverà 5€ all’anno, a partire da tra un anno e per 10 anni.  L’artigiano (scorrettamente) propone a Enrico  3 di non rilasciargli fattura, praticandogli in tal caso uno sconto.  Calcolare quale sconto percentuale rende preferibile (prescindendo da considerazioni etiche) il pagamento “in nero”, se il tasso di mercato è 2% (bisogna confrontare lo sconto immediato con il valore attuale delle rate di rimborso statale). Svolgimento. Ragioniamo su 100€ di spesa fatturata.  Posto v = 11+ i =11,02 , il valore attuale delle rate di rimborso fiscale è  V = 5 !vkk=110" = 5 ! v 1# v10( )1# v = 44,91. Il pagamento “in nero” conviene quindi se lo sconto offerto è superiore a 44,91€ su ogni 100€ da fatturare, cioè se lo sconto è superiore a 44,91%. (commento: i valori adottati sono abbastanza realistici.  La fatturazione e il conseguente beneficio fiscale, oltre a rispettare la legge, convengono perché difficilmente chi paga in nero ottiene uno sconto tanto consistente) 4) Sia f x( ) = x2 sen 1x( ) se x ! 00 se x = 0"#$%$.  Mostrare che f è lipschitziana in ogni intervallo limitato I, cioè esiste L > 0  tale che ! x1, x2 "I , f x1( )# f x2( ) $ L x1 # x2  (applicare il Teorema del valor medio, verificando che sono soddisfatte le condizioni che ne autorizzano l’uso).    Mostrare poi che la proprietà vale in effetti su tutto  !  .  Svolgimento.  La funzione f è derivabile in  ! ; la derivabilità sussiste anche in 0 essendo   !f 0( ) = limx"0x2 sen 1x( )x = limx"0 xsen1x( ) = 0 . La derivata di f, negli x ! 0 , è  !f x( ) = 2xsen 1x( )" cos 1x( )  In ogni intervallo limitato !M ,M[ ]  !f  è limitata, essendo  !f x( ) " 2xsen 1x( ) + cos 1x( ) " 2M +1  Allora, se x, y! "M ,M[ ]  si ha  f x( )! f y( ) = "f z( ) # x ! y $ 2M +1( )# x ! y  (z  è un opportuno valore compreso tra x e y, la cui esistenza è assicurata da Teorema del valor medio). In effetti la derivata di f è limitata in  ! , perché limx!+"2xsen1x( ) = 2 , quindi esiste M > 0  tale che, se x > M  allora 2xsen 1x( ) < 3  e quindi !f x( ) < 4 ; quindi per ogni  x !!  è !f x( ) <max 4, 2M +1{ } , e il ragionamento svolto sopra è quindi valido per x, y qualunque. 5) Sia, per  x !! ,   x!" #$ = max n%! ; n & x{ } .  Poniamo, per x ! "2, 32#$ %& , f x( ) = t ! t"# $% dt0x& .  Disegnare il grafico di f e descriverne le proprietà (continuità, derivabilità, monotonia)    4           Le figure mostrano i grafici di y = x!" #$  e y = x ! x"# $% , rispettivamente.  La funzione integrale f definita come sopra è continua per note proprietà; per il Teorema fondamentale del Calcolo integrale f è derivabile in ogni punto in cui è continua la funzione integranda  x! x ! x"# $%  cioè, nell’intervallo considerato !2,32"# $% , ovunque tranne in –1 e 1, e nei punti in cui f  è derivabile, !f x( ) = x " x#$ %& .  Nei punti –1 e 1 il grafico di f ha due punti angolosi. Siccome g x( ) = !f x( ) = x " x#$ %&  è sempre ! 0 , f e crescente in tutto il dominio, ed è costante (con valore 0) tra 0 e 1, perché g è nulla in questo intervallo.  Infine f è convessa [rispettivamente: concava] tra –2 e 0 [tra 1 e 32 ].  Naturalmente è facile ricavare le espressioni esplicite di f x( )  nei diversi tratti del dominio osservato; ma ciò non è necessario per tracciare il grafico di f. 6) Con probabilità uguale a 12  il famoso cantante Tommy Brown sarà l’ospite d’onore all’inaugurazione della discoteca Stellina (evento  E1 ); in questo caso ci saranno moltissimi clienti; con probabilità 14  Brown farà solo una breve apparizione verso sera ( E 2 ), e l’affluenza sarà minore; infine, con probabilità 14  Tommy Brown non si presenterà affatto ( E 3 ), e la notizia provocherà scarsa affluenza di clienti.  Il ￿2.0 ￿1.5 ￿1.0 ￿0.5 0.5 1.0 1.5￿3￿2￿1￿3 ￿2 ￿1 1 2 3￿3￿2￿112￿3 ￿2 ￿1 1 2 32468 5 proprietario deve decidere se fare provvista di spuntini e bevande “Scarsa”, “Media” o “Abbondante”; le previsioni di guadagno (in migliaia di Euro) nei diversi casi sono riassunte nella seguente tabella    S M AE1 3 5 6 12E 2 3 5 4 14E 3 3 2 1 14  a) Stabilire quale scelta conviene al proprietario, per rendere massimo il guadagno atteso.  b) Il manager di Tommy, in cambio di una buona mancia, è disposto a informare il proprietario della discoteca sule intenzioni del cantante, prima che il gestore ordini le provviste.  Calcolare qual è l’importo massimo della mancia che il gestore deve essere disposto a pagare per acquisire l’informazione, sempre secondo il criterio del massimo guadagno atteso. Svolgimento. a) Le speranze matematiche di guadagno sono indicate nella seguente tabella, che completa quella fornita nel testo:   S M AE1 3 5 6 12E 2 3 5 4 14E 3 3 2 1 14(medie) 3 174 174 Perciò le decisioni M e A sono indifferenti, entrambe preferibili a S. b) Disponendo della informazione perfetta, il gestore realizzerà in corrispondenza di ciascun evento  E i  il guadagno massimo di quel caso, perché si approvvigionerà opportunamente.  Il guadagno atteso in presenza di perfetta informazione è perciò uguale a 12 !6 + 14 !5 + 14 !3= 5 ; perciò l’incremento di guadagno atteso è 5 ! 174 = 34 , vale a dire 750€.  È questo il valore della perfetta informazione, massimo importo che il gestore deve essere disposto a offrire al manager di Tommy in cambio dell’informazione    

http://campus.unibo.it/218384/1/ARO20160215sol.pdf

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