Negrini, Paolo

Almae Matris Studiorum Campus

svolgimento prova scritta An.Ric.Op. 25/01/2016

 1 Elementi di Analisi Matematica e Ricerca Operativa – prova del 25 gennaio 2016 1) Discutere il seguente problema di Programmazione Lineare:  Trovare il massimo di p x1, x2, x3( ) = 8x1 + x2 + 8x3  con i vincoli xk ≥ 0 1≤ k ≤ 3( )  e  3x1 + x2 + 2x3 ≤ 53x1 + x2 + x3 = 37x1 + 2x2 + x3 = 5⎧⎨⎪⎩⎪   (può essere utile notare che, posto A4 =100⎛⎝⎜⎜⎞⎠⎟⎟, risulta A1 = 4A2 − A3 + A4  e B = 2A2 + A3 + A4 ) Svolgimento.  Siccome la prima relazione è in forma di disuguaglianza, introduciamo la variabile “di scarto” x4 ≥ 0  e riscriviamo il sistema nella forma  3x1 + x2 + 2x3 + x4 = 53x1 + x2 + x3 = 3⎧⎨⎩     cioè     x j Ajj=14∑ = B  dove gli Aj  sono le colonne della matrice dei coefficienti e B la colonna dei termni noti. Seguendo l’indicazione fornita scegliamo come base di  A* = !3 , l’insieme  B1 = A2, A3, A4{ } . Si costruisce allora la prima tabella del simplesso come segue:  A1 A2 A3 A4 Bxv1 = x2 cv1 = c2 = 1 4 1 0 0 2xv2 = x3 cv2 = c3 = 8 −1 0 1 0 1xv3 = x4 cv3 = c4 = 0 1 0 0 1 1−4 0 0 0 10z1 − c1( ) z2 − c2( ) z3 − c3( ) z4 − c4( ) z( ) Siccome z1 − c1 < 0  e almeno uno degli  αℓ,1  è positivo, bisogna operare la “trasformazione pivotale” facendo entrare nella base il vettore A1  al posto di uno di quelli presenti.  Il criterio di uscita impone di calcolare  β1α1,1= 12      e     β3α3,1= 1. Siccome il minore dei due è β1α1,1= 12 , esce il vettore Av1 = A2 .  La trasformazione pivotale avviene operando sulle righe della matrice della tabella in modo che le colonne della base canonica figurino, nell’ordine, in corrispondenza di A1, A3, A4 .  Con semplici calcoli si ottiene la nuova talella del simplesso relativa alla base  B2 = A1, A3, A4{ } :  A1 A2 A3 A4 Bxv1 = x1 cv1 = c1 = 8 1 14 0 0 12xv2 = x3 cv2 = c3 = 8 0 14 1 0 32xv3 = x4 cv3 = c4 = 0 0 − 14 0 1 120 3 0 0 16z1 − c1( ) z2 − c2( ) z3 − c3( ) z4 − c4( ) z( )  2 Siccome adesso tutti gli z j − c j  sono ≥ 0 , l’algoritmo è terminato; la funzione obiettivo ha massimo nella regione ammissibile, il massimo vale z = 16  ed è assunto per x1, x2, x3, x4( ) = 12 ,0, 32 , 12( ) . 2) Sia f x( ) = x4−2x2+1x4−1 .  a) Dimostrare che f è adatta per definire una distribuzione T = Tf  di tipo funzione.  b) Descrivere la distribuzione ′T , derivata di T in  ′D !( ) . Svolgimento. a) La funzione è definita e continua in  ! − −1;1{ } ; bisogna soltanto mostrare che f è localmente sommabile.  Ciò è vero perché f è limitata, essendo  f x( ) = x2 −1x4 −1=sgn x2−1( )x2 +1 quindi f x( ) ≤1  in tutti i punti del suo dominio.  (Essendo infinitesima dell’ordine di 1x2  per x→ ±∞ , f è in effetti sommabile in  ! , ma ciò non è qui rilevante).  b) f è continua in  ! − −1;1{ }  e ha due singolarità di prima specie in x = −1  e x = 1 , con salto di ampiezza rispettivamente −1 e 1; quindi la derivata di Tf  in  ′D !( )  è  Tf( )′ = T ′f − δ x +1( ) + δ x −1( )  cioè, per ogni funzione test ϕ ,   Tf( )′ ,ϕ = ′f x( )ϕ x( ) dx!∫ − ϕ −1( ) +ϕ 1( ) =−2xsgn x2−1( )x2+1( )2ϕ x( ) dx!⌠⌡⎮⎮−ϕ −1( ) +ϕ 1( ) . 3) Un tizio riceve 1000€ in prestito da una banca, da restituire in unica soluzione dopo due anni al tasso 4% annuo.  Al momento di pagare, non avendo il denaro per estinguere il debito, il debitore chiede il denaro di cui ha bisogno un usuraio, che gli presta quanto occorre per ripagare la banca, al tasso 3% mensile.  Dopo un altro anno, per sua fortuna, il debitore riesce a saldare il conto con l’usuraio, estinguendo ogni debito.  a) Quanto ha pagato il nostro per estinguere il debito con l’usuraio?  b) Quanto vale il tasso medio annuo per il debitore, cioè, quale tasso annuo avrebbe prodotto dopo tre anni il montante che il nostro ha pagato per estinguere il debito? Svolgimento. a) L’importo dovuto alla banca dopo due anni è 1000 ⋅ 1,04( )2 = 1081,60 ; questo importo deve essere capitalizzato per altri 12 mesi al tasso mensile 3%, producendo un montante uguale a 1081,60 ⋅ 1,03( )12 = 1542,10 .  Questo è l’importo pagato a saldo. -2 -1 0 1 2 3-1.0-0.50.51.0 3 b) Il tasso i cercato deve soddisfare la relazione 1000 ⋅ 1+ i( )3 = 1542,10 , ossia 1+ i( )3 = 1,5421 , i = 1,54213 −1= 0,15533  cioè 15,533%. 4) Dimostrare che:  a) non esiste alcun x ≥ 0  tale che ex = sen x .  b) (più difficile) non esiste alcun x ≥ 0  tale che ex = 2sen x . Svolgimento. a) Sia f x( ) = ex − sen x .  Allora f 0( ) = 1  e ′f x( ) = ex − cos x  è ≥ 0  per ogni x ≥ 0 , perché ex ≥1 mentre cos x ≤1 .  Perciò f è crescente in 0,+∞[ [ , e siccome f 0( ) = 1 , i valori di f x( )  sono positivi per ogni x ∈ 0,+∞[ [ .  b) Sia g x( ) = ex − 2sen x .  Per ogni x > 0 , per il Teorema di Lagrange esiste t ∈ 0, x] [  tale che  g x( )− g 0( ) = ′g t( ) ⋅ x = et − 2cos t( ) ⋅ x  e quest’ultima espressione è > −x  perché et >1  e 2cos t ≤ 2 ; quindi, tenendo presente che g 0( ) = 1  otteniamo che per ogni x > 0 , g x( ) >1− x .  Ciò assicura che g x( ) ≥ 0 ∀ x ∈ 0,1[ ] ; in particolare g 1( ) > 0 .  Inoltre, per x ≥1  si osserva che ′g x( ) = ex − 2cos x ≥ e− 2 > 0 ; quindi g è strettamente crescente in 1,+∞[ [ , e siccome g 1( ) > 0 , g assume soltanto valori positivi. Vediamo anche una elegante soluzione alternativa, che mi è stata suggerita da una studentessa (Debora D.T.) La retta tangente a y = ex  in 0,1( )  ha equazione: y = x +1 .  La retta tangente a y = 2sen x  nel punto di ascissa π3  è parallela alla retta tangente all’esponenziale, e ha equazione y = x − π3 + 3 .  Siccome − π3 + 3 <1 , quest’ultima retta sta sotto alla precedente.  Nell’intervallo 0,π[ ]  la funzione  x ex  è convessa, mentre  x 2sen x  è concava; perciò  2sen x ≤ x − π3 + 3 < x +1≤ ex  Per x > π  la disuguaglianza 2sen x < ex  è ovvia, essendo 2sen x ≤ 2  e ex > eπ > 2 . 5) Verificare in base alla definizione di limite che limx→exln x = e . Svolgimento.  Bisogna mostrare che, detta f x( ) = xln x , si ha che  ∀ε > 0 ∃U  intorno di e tale che ∀ x x ∈Dom. f( )∩U − e{ }⇒ f x( )− e < ε( ) . L’applicazione del Teorema di Lagrange permette di concludere rapidamente:  f x( )− e = f x( )− f e( ) = ′f c( ) ⋅ x − e    per un  c  tra x  ed  e ; è ′f x( ) = ln x −1ln x( )2; supponiamo per esempio x ∈ 2,3[ ]  (che è un intorno di e),  Allora ′f x( ) ≤ ln 3−1ln2  e quindi -1 1 2 3 4-2-11234 4  f x( )− e = f x( )− f e( ) = ′f c( ) ⋅ x − e ≤ ln 3−1ln2 ⋅ x − e ; quest’ultima espressione è < ε  se x ∈ e− ε⋅ln2ln3−1 , e+ ε⋅ln2ln3−1⎤⎦ ⎡⎣ ; quindi un intorno U di e con le caratteristiche desiderate è U = e− ε⋅ln2ln3−1 , e+ ε⋅ln2ln3−1⎤⎦ ⎡⎣∩ 2,3[ ] . Si potrebbe però desiderare di svolgere la verifica senza fare uso del calcolo differenziale (nell’applicazione di Lagrange).  Questo riesce ancora abbastanza facilmente. Conviene ancora limitare la scelta di x a un intervallo stabilito, pensiamo ancora x ∈ 2,3[ ] . Allora  xln x − e ≤xln x −eln x +eln x − e =1ln x x − e +eln x 1− ln x ≤1ln2 x − e +eln2 1− ln x  e ora facciamo in modo che sia x − e , sia 1− ln x  risultino minori di una quantità positiva arbitraria, sia γ .  x − e < γ  se x ∈ e− γ , e+ γ] [ ;  1− ln x < γ  se ln x <1+ γln x >1− γ⎧⎨⎩   cioè   x < e1+γx > e1+γ⎧⎨⎪⎩⎪   vale a dire   x ∈ e1−γ , e1+γ⎤⎦ ⎡⎣  dove si nota che anche quest’ultimo intervallo è un intorno di e.  Perciò, se x ∈ 2,3[ ]∩ e− γ , e+ γ] [∩ e1−γ , e1+γ⎤⎦ ⎡⎣ , allora xln x − e <1+ eln2 γ ; basterà allora scegliere γ =ln21+ e ε . 6) Sergio, amministratore delegato di una grande azienda, ha dato le dimissioni e ha ricevuto una buonuscita di 50 milioni €, e ha l’ opportunità di investire il denaro frazionandolo come preferisce tra due diversi prodotti finanziari della durata di 1 anno, che produrranno, trascorso l’anno:  • il primo, un interesse certo del 2% sul capitale investito, cioè x € diventeranno 1,02 x €  • il secondo, un incremento del 10% con probabilità 0,8; una perdita del 20% con probabilità 0,2.  a) Stabilire in quale dei due prodotti conviene investire l’intero capitale, in base al criterio di preferenza del massimo valore atteso.  b) Sergio valuta l’utilità del patrimonio con la funzione u x( ) = 1− e−x10 .  Calcolare in quale proporzione gli conviene suddividere la sua buonuscita tra i due diversi investimenti, al fine di rendere massima la utilità attesa dell’intero patrimonio disponibile tra un anno. Svolgimento. a) Sia E l’evento “scenario favorevole” corrispondente all’incremento di valore del 10% del prodotto finanziario “rischioso”, E  l’evento contrario.  Sappiamo P E( ) = 0,8 .  La buonuscita di Sergio si sarà ra un anno rivalutata nel modo indicato dalla seguente tabella, secondo che Sergio assuma la decisione d1 (investimento sicuro) o d2  (investimento rischioso):  d1 d2 prob.E 51 55 0,8E 51 40 0,2medie 51 52 Secondo il criterio di scelta del valore atteso conviene impiegare il denaro nell’investimento “rischioso”. b) Qui, oltre a prescrivere la valutazione mediante funzione utilità, si concede maggiore flessibilità alla decisione, la quale può variare con continuità impiegando una parte del capitale (sia x) nell’investimento “sicuro” e il rimanente 50 − x  nell’investimento “rischioso”; sia dx  tale decisione, con 0 ≤ x ≤ 50 .  Ora calcoliamo gli importi finali e poi le rispettive utilità, corrispondenti alla decisione dx , nel caso si verifichi E e nel caso si verifichi E .  5 Se si verifica E allora l’importo finale a disposizione sarà  x ⋅1,02 + 50 − x( ) ⋅1,1= 55 − 0,08x  e la corrispondente utilità vale  u 55 − 0,08x( ) = 1− e−110 55−0,08x( ) = 1− e0,008x−5,5 . Se si verifica E  allora l’importo finale a disposizione sarà  x ⋅1,02 + 50 − x( ) ⋅0,8 = 40 + 0,22x  e la corrispondente utilità vale  u 40 + 0,22x( ) = 1− e−110 40+0,22x( ) = 1− e−0,022x−4 . La utilità attesa è pertanto  g x( ) = 0,8 ⋅ 1− e0,008x−5,5( ) + 0,2 ⋅ 1− e−0,022x−4( ) = 1− 0,8 ⋅e−5,5 ⋅e0,008x − 0,2 ⋅e−4 ⋅e−0,022x . Calcoliamo la derivata. ′g x( ) = −0,8 ⋅0,008 ⋅e−5,5 ⋅e0,008x + 0,2 ⋅0,022 ⋅e−4 ⋅e−0,022x = −0,0064 ⋅e−5,5 ⋅e0,008x + 0,0044 ⋅e−4 ⋅e−0,022x  ′g x( ) > 0⇔ 44 ⋅e−4 ⋅e−0,022x > 64 ⋅e−5,5 ⋅e0,008x ⇔ e0,03x < 4464 e1,5 ⇔ 0,03x <1,5 + ln 1116 ⇔⇔ x < 50 − 1003 ln1611⎛⎝⎜⎞⎠⎟ ≈ 37,51 e quindi 37,51 milioni€ è l’importo da investire nel prodotto “sicuro”, e la parte rimanente “a rischio” per rendere massima la utilità attesa del patrimonio che si otterrà. Una variante al testo del problema potrebbe prevedere l’applicazione dell’utilità soltanto all’incremento del capitale investito, ossia alla variazione rispetto al valore iniziale di 50 milioni; si troverebbe una diversa ripartizione delle quote, con un ragionamento analogo. 

http://campus.unibo.it/217695/1/ARO20160125sol.pdf

svolgimento prova scritta An.Ric.Op. 25/01/2016

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Almae Matris Studiorum Campus

Almae Matris Studiorum Campus

Almae Matris Studiorum Campus