The geoid is an equipotential surface of Earth's gravity field, coinciding with mean ocean surface level, serving as a reference surface for orthometric heights. In addition to this geodetic application, the geoid finds geophysical uses in that it gives insight into Earth's inner density distribution.
This thesis comprises a literature study on three methods for regional geoid computation. The methods are Stokes integration with various kernel modifications, least-squares collocation and spherical wavelets, or more general spherical radial basis functions. The primary goal of this thesis is to compare these methods, theoretically and numerically with synthetic data.
Theoretically, in the global case, the three methods are equivalent. Regional numerical comparison of Stokes integration and least-squares collocation was done by closed-loop testing using a synthetic gravity field computed from the global geopotential model EGM2008. Both methods are practically equal.
The theoretical equivalence of global geoid computation with Shannon radial basis function and spherical harmonics was confirmed numerically.
For the signal representation with radial basis functions, parameter estimation methods were applied. When estimating parameters from observations, inverse problems are encountered. Spherical harmonic analysis and radial basis function analysis by least-squares adjustment are examples of linear inverse problems. Such problems are often ill-conditioned. Hence, the secondary goal of this thesis is to investigate ill-conditioned linear inverse problems as well as possible remedies.
Tikhonov regularization with prior information was applied to several cases of spherical harmonic analysis of a global gravity field computed from EGM2008. In turn, synthesized gravity fields were compared to "true" gravity fields computed from the EGM2008 spherical harmonic coefficients.
The L-curve approach for choosing an optimal regularization parameter was applied. The necessity of choosing the regularization parameter correctly, as well as the benefits of correctly applied regularization, was demonstrated.
Global radial basis function analysis by least-squares adjustment using Shannon RBF also formed an ill-conditioned problem that called for regularization. Tikhonov regularization with prior information was applied here as well, generally presenting similar traits as the spherical harmonic analysis cases.
If no regularization was applied, still, mathematically correct RBF coefficients were obtained, in that the solution allowed for the reconstruction of the input data. With the introduction of regularization, physically meaningful RBF coefficients were obtained.
•
Geoiden er en ekvipotensialflate i Jordas tyngdefelt, sammenfallende med midlere havnivå. En geodetisk anvendelse av geoiden er at den er en referanseflate for ortometriske høyder. I tillegg finner geoiden anvendelser i geofysikken, i det at den gir innsyn i Jordas indre massefordeling.
Denne oppgaven omfatter et litteraturstudium av tre metoder for regional geoideberegning. Metodene er Stokes-integrasjon med forskjellige kjernemodifikasjoner, minste kvadraters kollokasjon og sfæriske wavelets, eller mer generelle sfæriske radielle basisfunksjoner. Hovedmålet med oppgaven er å sammenligne disse metodene teoretisk og numerisk med syntetiske data.
Teoretisk, i det globale tilfellet, er de tre metodene ekvivalente. Regionale numeriske sammenligninger av Stokes-integrasjon og minste kvadraters kollokasjon ble gjort i en lukket sløyfe, ved at både syntetiske observasjoner benyttet i metodene og den til sammenligning "sanne" geoiden beregnes fra én og samme globale tyngdemodell, EGM2008. For alle praktiske formål viste begge metoder seg å være like.
Den teoretiske ekvivalens mellom en global geoide beregnet med den radielle basisfunksjonen Shannon og sfærisk-harmoniske funksjoner ble bekreftet numerisk.
For signalrepresentasjonen med radielle basisfunksjoner, ble parameterestimeringsmetoder anvendt. Når parametre skal estimeres fra observasjoner, utgjør dette inverse problemer. Sfærisk-harmonisk analyse og analyse med radielle basisfunksjoner ved minste kvadraters metode er eksempler på lineære inverse problemer. Slike problemer er gjerne dårlig stilte. Derfor er oppgavens sekundære mål å undersøke dårlig stilte lineære inverse problemer samt mulige løsninger.
Tikhonov-regularisering med tilleggsinformasjon om de ukjente parametre ble anvendt i flere tilfeller av sfærisk-harmonisk analyse av globale tyngdefelt beregnet fra EGM2008. Videre ble tyngdefeltene syntetisert og sammenlignet med "sanne" tyngdefelt beregnet fra de sfærisk-harmoniske koeffisienter i EGM2008. L-kurve-metoden for bestemmelse av regulariseringsparameteren ble anvendt. Nødvendigheten av riktig bestemmelse av regulariseringsparameter, samt fordelene ved riktig anvendelse av regularisering, ble demonstrert.
Global analyse med den radielle basisfunksjonen Shannon ved minste kvadraters metode utgjør også et dårlig stilt problem som behøver regularisering. Tikhonov-regularisering med tilleggsinformasjon om de ukjente parametre ble anvendt også her, med lignende trekk som i tilfellene sfærisk-harmonisk analyse.
Dersom ingen regularisering ble anvendt, var det likevel mulig å estimere matematisk korrekte RBF-koeffisienter, i det at inngangssignalet lot seg rekonstruere fra disse. Innføring av regularisering gjorde det mulig å estimere fysisk meningsfulle koeffisienter
