No artigo de 1936  "A consistência da teoria elementar de números", Gentzen oferece uma prova da consistencia dessa teoria usando técnicas que segundo ele enquadrar-se-iam como técnicas finitárias. Também afirma, no artigo citado, que tais técnicas ultrapassam as técnicas admissíveis na teoria elementar de números

de Campos Sanz, Wagner

Fil: de Campos Sanz, Wagner. Universidad Católica de Pelotas; Brasil.No artigo de 1936  "A consistência da teoria elementar de números", Gentzen oferece uma prova da consistencia dessa teoria usando técnicas que segundo ele enquadrar-se-iam como técnicas finitárias. Também afirma, no artigo citado, que tais técnicas ultrapassam as técnicas admissíveis na teoria elementar de números.Fil: de Campos Sanz, Wagner. Universidad Católica de Pelotas; Brasil

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 EPISTEMOLOGÍA E HISTORIA DE LA CIENCIA SELECCIÓN DE TRABAJOS DE LAS VIII JORNADAS VOLUMEN 4 (1998), Nº 4 Horacio Faas Luis Salvatico Editores     ÁREA LOGICO-EPISTEMOLÓGICA DE LA ESCUELA DE F ILOSOFÍA CENTRO DE INVESTIGACIONES DE LA FACULTAD DE F ILOSOFÍA Y HUMANIDADES UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA   Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons atribución NoComercial -SinDerivadas 2.5 Argentina    O problemático sentido finitário das proposi~óes da aritmética Wagner de Campos Sanz• No artigo de 19361, "A consistencia da teoria elementar de números", Gentzen oferece urna prova da consistencia dessa teoria usahdo técnicas que segundo ele enquadrar-se-iam como técnicas finitárias .. Também afinna, no artigo citado, que tais técnicas ultrapassam as técnicas admissíveis na teoria elementar de números. Central a sua prova é a definiylío de regra de redur;tío para um sequente. A fonnaliza~iio da teoria elementar dos números no referido texto tem como expresS5es fonnaís da teoria sequentes da forma Te> rp onde Té uma sequencia finita de fórmulas (pressuposi~oes) e rp é urna fórmula que depende (dedutivamente) das fórmulas em r. Neste sistema formalizado as regras siio aquelas de dedu~iio natural clássica (incluem urna regra para eliminaylío da dupla nega9ao) para os sequentes da forma acima. Em termos muito gerais, após formalizar as formas de expressiio e de inferencia usuais na teoria elementar de números com sequentes e regras de deduvao natura}, a prova de consistencia vem a ser urna prova de que .rienhuma derivavan (contrapartida forma1 de urna prova matemática) pode demonstrar urna contradiviio Mais precisamente, nao há nenhuma derivaviio da seguinte expressiio (ou sequente): 9]=2 O cora9iio da prova está na demonstraviio de que para qualquer expressiio derivável no sistema formal é possível estabelecer urna regra de reduviio, e como, dada a defini9iio de urna regra de reduylío, é impossível estabelece-la para o sequente 9 1 =2, entiio nao poderíamos provar urna corttradi9iio na teoría elementar dos números. Podemos definir urna regra de redu9iio para urn sequente F9 rp, onde r é urn conjunto finito de fórmulas (chamadas de pressupostos) e rp é urna fórmula qualquer, seguíndo as lmhas gerais de Gentzen, do segninte modo: * Mestre em Lóg¡ca e Filosofia da CiSnCJ.a pela Umcamp. Universidade Católica de Pelotas ~ Brasil 10 presente texto toma por base o artigo The consistency of elementar number- rheory, enJ, The C~?l~~d Papers of Gerhard Gentzen, North-Holland, 1969, pág. 132, daqui por diante citado- como CN Epistemología e J!istorta de_ la t:;ienc:ia, voL 4 (19.9811J,0 4 1) dizemos que o sequente está em forma reduzida se rpé urna fórmula-mínima (nlio tem conectivos lógicos nem variáveis) verdadeira, ou se q.¡ é urna fórmula mínima falsa e r contém pelo menos urna fórmula mínima falsa (urna fórmufa mínima é constituída de urn símbolo de predicado com nurnerais ocupando as posiyiíes dos argumentos, por exemplo; 4= 12); 2) se urn sequente nao está em forma reduzida entao ternos os seguintes casos, que sao as diferentes possibilidades de reduzir o sequente, após termos feíto urna snbstituí9ao homogenea de variáveis livres e o cálculo dos termos mínimos (aqueJes que contém símbolos funcionais e nurnerais unicamente); 2.1) se rpé da forma I>X.VJ{x) reduz1mos o _sequente a F9 lf/(n) (aquí é possívéfaescólha de iñn ñ&n:éio qualqüeí"); · · · · · 2.2) se rpé da forma lf/Apreduzimos o sequente a F9vou a Fcf> p (aquí é possível a escolha de urna das fónnulas); 2.3) se rpé da forma --,lf/reduzimos o sequente a '{/,F91 =4; 2.4) se rp é urna fórmula mínima falsa e F= 4m.I, onde Ll, .LSao sequencias de fórmulas eventnalmente vazias e w é urna fórmula, tal que r nlio contém nenhuma fórmula mínima falsa: 2.4J) se w é da forma \7XIf/(X) .reduzimos o sequente. a 4'1/(n},.Er?: rp ou a 4v(n), \7XIf/(x) ,.Ecf> rp se desejamos reter a fórmula (aquí sao possíveis duas esealhas, em princípío, urna para o númera e outra acerca da reten~o ou nlio da fórmula); 2.4.2) se w é da forma lf/AP reduzimos o sequente a 4 '1/,-Icf> rp ou a Ll,p,.E9 rp, podendo ainda reter a fórmula como no caso anterior (aqui sao possíveis duas escolhas, da fónnula e da reten9ao o u nlio, em principio); 2.4.3) se w é da forma ....,lf/ reduzimos o sequente a 4.E9 lf/, podendo ainda reter a fórmula como no caso anterior (aquí é possível urna escolha, da reten9ao, em princípio}. Como é possível notar, nao foram mencionados os conectivos lógicos 3, v, ~ (existencial, disjun~o e implica~o) e que no entanto fazem parte do .sistema fonnal apresentado pelo autor. O corre que emum passo prévioá defini9ao ·da regra de redu9ao, o autor faz urna tradu9ao das deriva96es no sistema completo para urn sistema que nlio contenha aqueJes símbolos lógicos acima. Gentzen transfonna as deriva96es da teoría elementar de números formalizada substituindo todas as express5es que contenham os símbolos 3, v, ~ por express5es que contenharn unicamente os símbolos 17, A, ....,; 3x(fJ(x) por --, \7X--,q.¡(x) 66 por -,( -,rpA-,p) por -,( rpA-,p) Como sabemos, esta traduyao só é possível quando consideramos o significado clássico dos conectivos lógicos. Naturalmente, as regras de introduyao e eliminayao destes conectivos (3, v, --.,>) devem ser substituidas na derivayiio por outros trechos de derivayao que nao fayam uso destas regras. Lembramos que a derivayao obtída ainda é urna derivayao clássica pois nelas ainda fazemos uso (possivelmente) da regra de eliminayao da dupla negayao. Acerca da regra de reduyao diz o autor: 13.6 Urna 11!gl'a de redup¡o para um sequente no qua! os conectivos 3, v e ->nilo ocorrem é uma regra que torna po~vel em cada caso a_ 'red~o' de mn s~ente em nm número_ finito de paSS\lS de redu~io inilividuais [acima definida por nós de 1 a 2.4.3] a UIIlll das foririas corretamente reduzidas [acima como 1] independente de como nós podemos escolher o numeral n, ou qua! des duas fónnulas [cp] ou [p] [acima em 2.2] nós podemos escolher quaodo levamos avante um passo de red~o no qua! existe urna 'op~iio', i.e., mn dos passos descritos em [acima como 2.1 a 2.3f Além de definir o que é urna regra de reduyao para urn sequente, pára os fins da prova de consistencia, é preciso também definir como estabelécer as regtas de reduyao para os sequentes que ocorrem em urna derivayao arbitrária dada .. Come~os por urn tratamento das derivayéies com apenas um sequente, aquelas em que ternos urn sequente básico, seja ele lógico ou matemático. Depois, no caso de urna derivayao mais c:omplexa, teremos procedimentos de reduyao correspondentes a cada urna das regras (na prova de galé: regrás estruturais no antecedente do sequente, introduyao e eliminayao do universal e da conjutiyao, reductio, eliminayao da dupla negayao, índuyao completa) dependendo de ~ foi a última regra aplicada, para obter o sequente fmal. A derivayao abaixo: 9 I1X try {x=y--.,>y=x)' por exemplo, é reduzida da seguinte forma: 1) 9 I1X try -(x=yA --¡Y=x) 2) 9 \ry --,{1 =yA--¡)1=1) 3) 9 -,(1 =2A-.J =2) 4) (J=2A-.J=2) 91=2 2CNpág.l75 3CNpág.l57 (traduyiio dos coneclivos) p/2J p/2.3 p/2.4.2 Epistemología e HiJtoria de la Ciencia, vol. 4 (1998), n° 4 67 5) 1=2 91=2 pll em forma reduzida (escolhida a subfórmula falsa) Vejamos a seguintes passagem do artigo: o conceito de 'afirmabllidade (sta!abihty] de uma regra de redu~áo' para wn sequente, ... , servirá como o substituto formal do conceito i...~ormal de verdade; ele nos fomece um interpreta~ño finitista especial das proposí~i5es e toma o lugar da Sua inter.preta~ilo atualista4 Esta passagem, que antecede a definiylio da regra de reduvao para um sequente, parece querer indicar que a regra de redu9ao confere um sentido finitista a todas as proposi~iies da teoria formalizada. Consequentemente que as proposiyoes cottespondentes da teoria elementar IntUitiva dos números também poderiam receber um significado finitista. Gentzen define como fórmulas transfinitas aquelas que contém um conectivo 3 ou um V'. Ou seja aquelas que correspondem a proposivoes que fazem referencia a totalidad e dos números naturais". Dizemos que urna proposivii.o transfinita tem sentido atualista7 quando esta predetefi!linado se urna proposiylio. transfinita é verdadeira ou falsa. Em resumo, a partir das passagens acima, podemos dizer que a regra de reduvao dá urna ancoragem as proposivoes transfinitas em urna parte nuclear da matemática. Em boa medida, a preva de conJi~ten.~<ia eslá moti.Yada pelas .. críucas de nao~ construttvidade das proposi9oes da matemática clássica, .em particular aquela formulada pelos intuicionistas, que rejeitam a aplicayao de certas formas de inferencia, basicamente a aplicayao de terceiro excluído a proposivoes que se referem a totalidades infinitas. Contudo, mesmo após a prova de consistencia da matemática clássica (neste caso da teoria elementar de números), Gentzen examina urna obje9ao adicional da parte dos intuicionistas, que ele apresenta assim: 17.3 Da parte dos intuicionistas, a 5¡'gtllllte obje~áo é levantada contra o stgnüicado das pro vas de consisténcia. mesmo que- -tenha sido demonstrado que as fonnas de inferencia disputáveis nao conduzem a resultados mutuamente contraditórios, estes resulta,dos seriam no entanto proposi~Oes sem sentido ~·· 8 Quanto a esta ob1e9ao o autor assume a segpint!l p_osi@o . .. (Estas propost<;oes] Elas podem servrr como fonte para a deriv.,ao de propost<;&es mrus simples, possivelmente representáveis por fórmnias minintas (3.24), as quais sao elas mesmas 4cN pág. 173, § 13. 5CN pág. 142, 3. 24. 6CN pág. 161, 9.1. 7CN pág. 162, 9.2, 8cN pág. 200, 17.3 (16..3 na prova de galé) 68 fmitisticamente e íntmc10nisticamente sigmficantes e que devem ser verdadeiras em virtude daprova de consist&tcia.9 .. Assim proposi,o<:s de matemática atualista parecem ter urna certa utihdade, mas nenhum sentido Á maior parte da minha prava de consistencia, no entanto, cousiste precisamente em imputar urn sentido finitista para proposi~iíes atualistas, isto é: para toda proposi~ao arbitrária, tanto quanto ela seja demonstráve!, urna regra de re~ao de acordo com (Ll6) pode ser afirmada (stated), e este fato representa o sentido finitista da proposi~ao concernida e este sentido é obtido precisamente através da prava de consistencia.[sublinbado meu]l0 Porém acrechtamos que a obje<;ao irrtuicianista, nao p()4e ~er ainda inteiramente removida pela prova oferecida por Gentzen. Se de fato a defini<;iío da regra de redu<;ao, além de estar dando urna prova finitista de consistencia, está dando urn significado finitista as proposi<;i'íes da teoría o::lementar dos números, devemos lembrar que antes de definir a regra de redu<;iío altyramos as provas eliminando delas os conectivos .3, v, -¿. Contudo, essa tradu<;iío entre deriva~es é, por assim dizer, carreta do ponto de vism da Jóg¡.ca clássica (ou da iote¡preta<;iío atualista11), pois aquelas proposi<;i'íes que contenham urna implica<;iío, particularmente, parecem poder .receber urn sentido finitista só através da. referi4a tradu<;ao. Repare que para efetuar a tradu<;ao a regra de introdu<;ao de:ve ser substituí4a por urn trecho de prova que é válido intuícionisticamente, o mesmo ni¡a ocorrendo para a regra de elimina<;ao. Para substituir esta última Sefllpre é necessário a utiliza<;iío da regra de elimina<;iío da dupla negayi¡0 (nao aceita mtuicíon:isticamente ). . . Em um artigo publicado postu¡namente12, o autor mostra como seria pqsslvel transformar urna prova -da aritmética .clássica em urna prova intuici\l.!¡ista. A. regra de elimina<;ao da dupla nega<;iío pode ser suprimida da deriva<;iío caso st:j¡un substituidas na denva<;ao aqueJas propos1<;i'íes elementares que compoem qualc¡Uer fórmula desta mesma deriva<;iío por sua dupla nega<;aÓ. Porém, do ponto de viSta intukionista niío há porque aceitar que as proposi<;i'íes elementares substituídas por sua dupla nega<;iío tenham o mesmo significado que aquela que elas substituem, ~CN--págs. 200 ~ 201, 1-7.3 (-16.3 na prova.4e galé) IOCN pág. 201, 17.3 (16..3 na pr9va de galé} llCNpág. 171, 12 .. 2 '~20n the relatfon between intuitionist anil cla$Sical arithmetic, em The Collected Papers of Gerhard Gentzen, North-Holland, 1969, pág. 53 - · · Epistemología e Historia de la Ciencia, vol. 4 (1998), n° 4 69 

O problemático sentido finitário das proposições da aritmética

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