Rayleigh-Plateau Instabilität für Flüssigkeitsfilme auf Drähten bringen das Fluid zum Zerfallen. Das Ziel dieser Ausarbeitung ist die Analyse einer solchen zylindersymmetrischen Instabilität auf ein Fluid mit dem Radius R, welches ein Draht mit dem Radius R_0 < R umhüllt. Das Resultat zeigt das der Draht stabilisierend auf das ihn umgebene Fluid wirkt indem es den Zerfall des Fluids verzögert. Außerdem wurden die Auswirkungen anderer Eigenschaften des Fluids, in Bezug auf die Instabilität desselbigen untersucht

Chladek, Tomas

German

Philipps-Universität Marburg

Rayleigh-Plateau Instabilität für Flüssigkeitsfilme auf Drähten

Rayleigh-Plateau Instabilität für Flüssigkeitsfilme auf Drähten bringen das Fluid zum Zerfallen. Das Ziel dieser Ausarbeitung ist die Analyse einer solchen zylindersymmetrischen Instabilität auf ein Fluid mit dem Radius R, welches ein Draht mit dem Radius R_0< R umhüllt. Das Resultat zeigt das der Draht stabilisierend auf das ihn umgebene Fluid wirkt indem es den Zerfall des Fluids verzögert. Außerdem wurden die Auswirkungen anderer Eigenschaften des Fluids, in Bezug auf die Instabilität desselbigen untersucht

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Rayleigh-Plateau Instabilität fürFlüssigkeitsfilme auf Drähten

Rayleigh-Plateau Instabilität für Flüssigkeitsfilme auf Drähten bringen das Fluid zum Zerfallen. Das Ziel dieser Ausarbeitung ist die Analyse einer solchen zylindersymmetrischen Instabilität auf ein Fluid mit dem Radius R, welches ein Draht mit dem Radius R_0 [ R umhüllt. Das Resultat zeigt das der Draht stabilisierend auf das ihn umgebene Fluid wirkt indem es den Zerfall des Fluids verzögert. Außerdem wurden die Auswirkungen anderer Eigenschaften des Fluids, in Bezug auf die Instabilität desselbigen untersucht

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Rayleigh-Plateau Instabilita¨t fu¨rFlu¨ssigkeitsfilme auf Dra¨htenTomas Chladek1Inhaltsverzeichnis1 Ziel der Ausarbeitung und Fragestellung 32 Problemfall 33 Berechnung 53.1 Ansatz u¨ber die Navier-Stoke Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Bestimmung des Druckes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes ~u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Formulierung der Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.5 Gleichungen aus den Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.6 Festlegung der Konstanten A, B,Π0 und Π1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.7 Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Graphische Darstellung der Dispersionsrelation und Disskusion 1321 Ziel der Ausarbeitung und FragestellungRayleigh-Plateau Instabilita¨t fu¨r Flu¨ssigkeitsfilme auf Dra¨hten bringen das Fluid zum Zerfallen.Das Ziel dieser Ausarbeitung ist die Analyse einer solchen zylindersymmetrischen Instabilita¨tauf ein Fluid mit dem Radius R, welches ein Draht mit dem Radius R0 ≺ R umhu¨llt. Interessantist es vor allem, den Einfluss des Drahtes auf die Instabilita¨t des Systems zu betrachten. Dievordergru¨ndige Fragestellung ist folgende:• Von welchen Parametern ha¨ngt das gesamte System ab?• Bei welcher Wellenzahl k erreicht das Fluid den Modus maximaler Instabilita¨t?• Wie a¨ndert sich das System fu¨r verschiedene Verha¨ltnisse RR0 ?2 ProblemfallDer zu untersuchende Fall ist in Abbildung 1 dargestellt. An einem Rohr entlang (Medium 1)bewegt sich ein Fluid (Medium 2) mit der Geschwindigkeit vz in Richtung der z-Achse. DiesesFluid ist viskos und hat eine Oberfla¨chenspannung. Von der z-Achse bis zur Wand ist der Ab-stand R0 und zur ungesto¨rten Oberfla¨che zwischen Medium 2 und Medium 3 betra¨gt der AbstandR. Wird nun eine Sto¨rung, in Form einer Modulation angelegt, so kann u¨ber den radialen Druck-gradienten die Dispersionsrelation bestimmt werden. Zu beachten ist das wir den Druck vonMedium 3 vernachla¨ssigen - die errechnete Dispersionsrelation also nur fu¨r bestimmte Medien2 und 3 gilt - außerdem soll das System nur von r und z abha¨ngen. Aus der Dispersionsrelationerhalten wir dann fu¨r ein konkretes Fluid die Wachstumsrate s zur dazugeho¨rigen Wellenzahl k.Interessant ist hierbei diejenige Wellenzahl fu¨r die, die Wachstumsrate s maximal wird. Denndaraus resultiert die Mode mit der maximalen Instabilita¨t (dazu mehr im Teil Disskusion).3Abbildung 1: Skizze des Untersuchung43 Berechnung3.1 Ansatz u¨ber die Navier-Stoke GleichungBeginnend mit der Navier-Stokes-Gleichung∂~u∂t= −grad Π + ν∆~u, (1)fu¨r der Druck Π, die Viskosita¨t ν mit (aus der Kontinuita¨tsgleichung)div~u = 0 (2)la¨sst sich diese vera¨ndern zu:∂~u∂t= −grad Π − ν rot2~u (3)Da das Geschwindigkeitsfeld ~u divergenzfrei sein muss, ko¨nnen wir~u = [−ikrU~er + 1rddr(r2U)~ez]eikz+st (4)mit U = U(r) schreiben.Als Ansatz fu¨r eine Sto¨rung an der Grenzfla¨che, also die symmetrische Deformation des Zy-linders, da unabha¨ngig von ϕ, wa¨hlen wirr = R + 0eikz+st (5)wobei R den Radius des Abstandes zwischen z-Achse und der ungesto¨rter Oberfla¨che darstellt.Die Wellenzahl k beschreibt die Mode der Sto¨rung in z-Richtung. Desweiteren ist 0 eine Kon-stante und s die Wachstumsrate der zeitlich wachsenden Mode.3.2 Bestimmung des DruckesMit Gleichung 2 und Divergenz von 3 erha¨lt man fu¨r den Druck Π∇2Π = 0. (6)U¨berlegen wir uns außerdem, dass Π den Druck der Mode an der zylindersymmetrischen Grenz-fla¨che (aus Gleichung 5) wiederspiegeln muss, ko¨nnen wir Π schreiben alsΠ = (Π0I0(kr) + Π1K0(kr))eikz+st =∂pρ, (7)wobei Π0 und Π1 Konstanten sind. Mit I0 und K0 sind die modifizierten Besselfunktionen 0-terOrdung - da fu¨r unser Problem keine ϕ-Abha¨ngigkeit existiert - gemeint.53.3 Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes ~uUm die Gleichung 3 mo¨glichst einfach zu lo¨sen, zielen wir erst einmal darauf ab, die Vektoren~u und grad Π als Rotation von anderen Vektoren dazustellen. Dadurch la¨sst sich eine Rotationaus der Navier-Stokes Gleichung rausnehmen. Somit hat man dann nur eine eine Gleichung in~eϕ-Richtung zu lo¨sen.Bildet man also grad Π und versucht diesen als rot ~m zu schreiben, kommt man auf~m = i · (Π0I1(kr) − Π1K1(kr))eikz+st~eϕ. (8)Das Geschwindigkeitsfeld ~u la¨sst sich als Rotation eines anderen Vektors ~Ψ schreiben, sodassGleichung 4 erfu¨llt ist:~u = rot ~Ψ = rot rU(r)eikz+st~eϕ (9)Setzt man Gleichung 8 und 9 in Gleichung 3 ein, erha¨lt mans · rot ~Ψ = −~m − ν rot3~Ψ. (10)Nimmt man eine Rotation heraus, rechnet die restlichen Rotationen aus und teilt dann durch r,eikz+st und ~eϕ so la¨sst sich die Navier-Stokes Gleichung nun als skalare GleichungsU = − ir(Π0I1(kr) − Π1K1(kr)) + ν(d2Udr2+3rdUdr− k2U) (11)aufschreiben. Umstellen ergibtd2Udr2+3rdUdr− (k2 + sν)U =irν(Π0I1(kr) − Π1K1(kr)). (12)Mithilfe der Relation (Analog fu¨r K1)(d2dr2+3rdUdr)I1(βr)r= β2I1(βr)r(13)erhalten wir einen Ausdruck fu¨r das Potential UU =isr[AI1(κr)r− BK1(κr)r− (Π0I1(kr) − Π1K1(kr))] (14)mit den Integrationskonstanten As undBs undκ2 = k2 +sν. (15)Aus den Gleichungen 4 und 14 erha¨lt man die Geschwindigkeitskomponentenur =ks[AI1(κr) − BK1(κr) − (Π0I1(kr) − Π1K1(kr))]eikz+st (16)unduz =is[κ · (AI0(κr) + BK0(κr)) − k · (Π0I0(kr) + Π1K0(kr))]eikz+st. (17)63.4 Formulierung der NebenbedingungenGleichung 16 und 17 mu¨ssen mehrere Nebenbedingungen erfu¨llen:1. Die radiale Komponente der Geschwindigkeit muss zum gewa¨hlten Ansatz der deformier-ten Oberfla¨che aus Gleichung 5 kompatibel sein. Alsoddt(Gleichung 5) = (Gleichung 16). (18)2. Da wir annehmen das auf der Fluid-Oberfla¨che, durch das dritte Medium, keine Kra¨ftewirken, muss die tangentiale Komponente des Spannungstensors auf der Oberfla¨che (d.h.fu¨r r=R) verschwinden(siehe [2, Seite 62]):prz = ρν(∂ur∂z+∂uz∂r)r=R = 0 (19)3. Wieder unter der Annahme das durch das dritte Medium keine Kra¨fte wirken, ko¨nnenwir fu¨r die rr-Komponente des Spannungstensors bei r=R schreiben, dass der gesto¨rteDruck des zweiten Mediums an der Oberfla¨che (in der Rechnung dargestellt durch dieModen), mit dem Druck, hervorgerufen durch die Oberfla¨chenspannung, u¨bereinstimmenmuss(siehe [2, Seite 62]):prr = (p0 + δp − 2νρ∂ur∂r)r=R = T (1R1+1R2) (20)Dabei ist T die Oberfla¨chenspannung und R1 und R2 die Hauptradien des zylindersymme-trischen Problems.4. An der Grenzfla¨che Fluid-Wand mu¨ssen beide Geschwindigkeitskomponenten verschwin-den, da die Fluid-Moleku¨le, welche sich unmittelbar an der Grenzschicht R0 befindendurch zwischenmolekulare Kra¨fte an der Wand haften (No-Slip-Bedingung). D.h. es giltU(R0) = 0 (21)unduz(R0) = 0. (22)3.5 Gleichungen aus den NebenbedingungenEs wird nun folgende Notation verwendet:x = kR y = κR x0 = kR0 y0 = κR0 (23)Anknu¨pfend an die obige Aufza¨hlung der Nebenbedingungen sollen nun die daraus fu¨hrendenGleichungen notiert werden :71.s0 =ks[AI1(y) − BK1(y) − (Π0I1(x) − Π1K1(x))] (24)2.prz = ρν(∂ur∂z+∂uz∂r)r=R = ρν[ddr(1rddrr2U) + k2rU]eikz+st (25)= ρνr(d2Udr2+3rdUdr+ k2U)eikz+st = 0 fu¨r r = R (26)Mit der Relation 13 und der Gleichung 14 ko¨nnen wir schreiben(k2 + κ2)(AI1(y) − BK1(y)) − 2k2(Π0I1(x) − Π1K1(x)) = 0. (27)3.prr = (p0 + ∂p − 2νρ∂ur∂r)r=R = T (1R1+1R2) (28)Zuerst berrechnen wir die rechte Seite:T (1R1+1R2) = T (1R + 0eikz+st+ 0k2eikz+st) (29)=TR− TR2(1 − x2)0eikz+stMit TR = p0 und einsetzten in Gleichung 20 folgt∂pρ+T 0R2ρ(1 − x2)eikz+st (30)und mit Gleichung 7 und 16 erha¨lt man dann[TR2ρ(1 − x2) + 10(Π0I0(x) + Π1K0(x))]0 (31)=2νk2s[κk(AI′1(y) − BK′1(y)) − (Π0I′1(x) − Π1K′1(x))].4. AusU(R0) = 0 und uz(R0) = 0 (32)erha¨lt man u¨ber 14 und 17 folgende zwei Gleichungen bei R0:0 = AI1(y0) − BK1(y0) − (Π0I1(x0) − Π1K1(x0)) (33)und0 = κ · (AI0(y0) + BK0(y0)) − k · (Π0I0(x0) + Π1K0(x0)) (34)Unter Zuhilfenahme dieser Gleichungen ko¨nnen die Konstanten A, B,Π0 und Π1 bestimmt wer-den.83.6 Festlegung der Konstanten A, B,Π0 und Π1Alle vier Konstanten werden bestimmt indem wir Gleichung 24 und 27 bzw. 33 und 34 zusam-menfu¨hren.27 in 24 fu¨hrt zu zwei Gleichungen:•2ks0 = (2k2 − (k2 + κ2))1s (AI1(y) − BK1(y)) (35)Umstellen ergibt−2kν0 = 1s (AI1(y) − BK1(y)). (36)Daraus folgtB =1K1(y)(AI1(y) + 2ksν0). (37)•s20 = k(2k2(k2 + κ2)− 1)(Π0I1(x) − Π1K1(x)) (38)Durch umstellen bekommt man− sν0(k2 + κ2)k= Π0I1(x) − Π1K1(x). (39)Dadurch erha¨lt manΠ1 =1K1(x)(Π0I1(x) +sν0(k2 + κ2)k). (40)Die Relationen 37 und 40 sollen werden jetzt in Gleichung 33 und 34 eingesetzt. Dabei wollenwir folgende abku¨rzende Schreibweise verwenden:Ωe, f ,g,h,± = Ig(e) ± Ih( f )Kh( f )Kg(e) (41)• 37 und 40 in 33:0 = AI1(y0) − K1(y0)K1(y) (AI1(y) + 2ksν0) (42)−(Π0I1(x0) − K1(x0)K1(x) (Π0I1(x) +sν0(k2 + κ2)k))Durch umstellen bekommt man0 = AΩy0,y,1,1,− −K1(y0)K1(y)2ksν0 (43)−Π0Ωx0,x,1,1,− +K1(x0)K1(x)s0ν(k2 + κ2)k.9• 37 und 40 in 34:0 = κ · (AI0(y0) + K0(y0)K1(y) (AI1(y) + 2ksν0)) (44)−k · (Π0I0(x0) + K0(x0)K1(x) (Π0I1(x) +sν0(k2 + κ2)k))Vereinfachen fu¨hrt zu0 = AκΩy0,y,0,1,+ +K0(y0)K1(y)2ksκν0 − kΠ0Ωx0,x,0,1,+ −K0(x0)K1(x)sν0(k2 + κ2). (45)Nun Setzen wir Gleichung 43 in 45 ein:0 = ((K1(y0)K1(y)2k2 − K1(x0)K1(x)(k2 + κ2)) · sν0k+ Π0Ωx0,x,1,1,−) ·Ωy0,y,0,1,+ (46)−((−K0(y0)K1(y)2k2 +K0(x0)K1(x)kκ(k2 + κ2)) · sν0k+kκΠ0Ωx0,x,0,1,+) ·Ωy0,y,1,1,−Durch Umformen nach Π0 erha¨lt man0 =sν0k(2k2K1(y)(K0(y0)Ωy0,y,1,1,− + K1(y0)Ωy0,y,0,1,+) (47)− (k2 + κ2)K1(x)(K0(x0)kκΩy0,y,1,1,− + K1(x0)Ωy0,y,0,1,+))+Π0(Ωx0,x,1,1,−Ωy0,y,0,1,+ −kκΩx0,x,0,1,+Ωy0,y,1,1,−).Definieren wir nunΩ := (Ωx0,x,1,1,−Ωy0,y,0,1,+ −xyΩx0,x,0,1,+Ωy0,y,1,1,−), (48)L :=(x2 + y2)K1(x)(K0(x0)xyΩy0,y,1,1,− + K1(x0)Ωy0,y,0,1,+) (49)− 2x2K1(y)(K0(y0)Ωy0,y,1,1,− + K1(y0)Ωy0,y,0,1,+),undh :=sν0kR2(50)dann ko¨nnen wir alle vier Konstanten mit diesen Definitionen und Gleichung 23 bequem auf-schreiben. Wir beginnen mit Π0 bzw. Π1 aus Gleichung 47 bzw. 40:Π0 = hLΩ(51)10Π1 = h1K1(x)(LΩI1(x) + (x2 + y2)) (52)Durch einsetzten von 51 in 43 erha¨lt man0 = AΩy0,y,1,1,− − h(K1(y0)K1(y)2x2 − K1(x0)K1(x)(x2 + y2)) − h LΩΩx0,x,1,1,−. (53)Definiert manL = (−K1(y0)K1(y)2x2 +K1(x0)K1(x)(x2 + y2)), (54)so kann mann die Konstanten A und B mit 37 und 53 schreiben als:A = h1Ωy0,y,1,1,−(LΩΩx0,x,1,1,− − L) (55)B = h1K1(y)((LΩΩx0,x,1,1,− − L)I1(y)Ωy0,y,1,1,−+ 2x2) (56)Mithilfe dieser vier Konstanten, kann nun mit der Bestimmung der Dispersionsrelation fortge-fahren werden.3.7 DispersionsrelationDie implizite Dispersionsrelation bestimmen wir durch das einsetzten der vier Konstanten aus51,52,55 und 56 in die, aus den Nebenbedingungen, u¨briggebliebene Gleichung 32:0 =T 0R2ρ(1 − x2) + h LΩI0(x) + hK0(x)K1(x)(LΩI1(x) + (x2 + y2)) (57)−2hkνκs(LΩΩx0,x,1,1,− − L)I′1(y)Ωy0,y,1,1,−+K′1(y)K1(y)2hkνκs((LΩΩx0,x,1,1,− − L)I1(y)Ωy0,y,1,1,−+ 2x2)+h2νk2sLΩI′1(x) −K′1(x)K1(x)h2νk2s(LΩI1(x) − (x2 + y2))Vereinfachen der Gleichung und multiplizieren mit R2kν20fu¨hrt zu0 =Tkν2ρ(1 − x2) + sk2νLΩΩx,x,0,1,+ +K0(x)K1(x)sk2ν(x2 + y2) (58)−2κk(LΩΩx0,x,1,1,− − L)Ωy,y,1′,1,−Ωy0,y,1,1,−+K′1(y)K1(y)κk4x2+2LΩΩx,x,1′,1,− − 2K′1(x)K1(x)(x2 + y2).11Mit dem Verha¨ltniss sR2ν = y2 − x2 la¨sst sich diese Gleichung umschreiben in0 =TRxν2ρ(1 − x2) + (y2 − x2)x2LΩΩx,x,0,1,+ +K0(x)K1(x)(y2 − x2)x2(x2 + y2) (59)−2 yx(LΩΩx0,x,1,1,− − L)Ωy,y,1′,1,−Ωy0,y,1,1,−+K′1(y)K1(y)4xy + 2LΩΩx,x,1′,1,− − 2K′1(x)K1(x)(x2 + y2).Multiplizieren mit x2 und nochmaliges Vereinfachen fu¨r J = TRν2ρfu¨hrt zuJx(1 − x2) = 2x2(x2 + y2)K′1(x)K1(x)[1 − 2xyx2 + y2K′1(y)K1(x)K′1(x)K1(y)] + (x4 − y4)K0(x)K1(x)(60)−(y2 − x2) LΩΩx,x,0,1,+ + 2xy(LΩΩx0,x,1,1,− − L)Ωy,y,1′,1,−Ωy0,y,1,1,−− 2x2 LΩΩx,x,1′,1,−.La¨sst man fu¨r diese implizite Dispersionsrelation R0 → 0 laufen, so erha¨lt man eine Dispersi-onsrelation die sich mit fru¨heren theoretischen Ergebnissen deckt (siehe z.B. [1, Seite 541]).12Abbildung 2: Die Dispersionsrelation fu¨r verschiedene Verha¨ltnisse RR0 ; Die ho¨chste schwarzeLinie stellt einen Grenzwert fu¨r RR0 = 10100 dar. Die blauen Linien fangen untenbei RR0 = 1.1 an und erho¨hen das Verha¨ltniss jeweils um 500 Prozent. (siehe Tabelle1)4 Graphische Darstellung der Dispersionsrelation undDisskusionDie Dispersionsrelation aus Gleichung 60 ha¨ngt von den Parametern s, k, j, RR0 ab. Deshalb wer-den fu¨r die implizite Funktion s(k) zwei Abbildungen gezeigt. Die Abbildung 2 fu¨r verschiedeneVerha¨tnisse RR0 mit der Tabelle 1 und die Abbildung 3 fu¨r verschiedene J mit der Tabelle 2.Da der Effekt in Abbildung 3 schon in anderen Vero¨ffentlichungen analysiert wurde, wollenwir im Folgenden explizit nur die Abbildung 2 dikutieren:RR0Wachstumsrate s Wellenzahl k10100 0.3383 0.491915000 0.2914 0.52383000 0.2822 0.5298600 0.2689 0.5382125 0.2485 0.550825 0.2104 0.57315 0.1245 0.61961.1 0.0002 0.7057Tabelle 1: Die Tabelle zu Graphn 2; zu beachten ist, das die Wachstumsrate mit R2ν und dieWellenzahl mit R skaliert; die Einheiten sind genau reziprok dazu.13Abbildung 3: Die Dispersionsrelation fu¨r verschiedene J; die Linien fangen unten bei J=1 anund erho¨hen das Verha¨ltniss jeweils um 100 Prozent. (siehe Tabelle 2)RR0Wachstumsrate s Wellenzahl k132 2.4432 0.653864 1.4354 0.643432 0.8245 0.634416 0.4536 0.62738 0.2407 0.62254 0.1245 0.61962 0.0634 0.61791 0.0320 0.6171Tabelle 2: Die Tabelle zu Graph 3; zu beachten ist, das die Wachstumsrate mit R2ν und die Wel-lenzahl mit R skaliert; die Einheiten sind genau reziprok dazu.14• In Abbildungen 2 la¨sst sich fu¨r jede Kurve ein Maximum erkennen. Das Maximum stelltaufgrund der ho¨chsten Wachstumsrate fu¨r ein bestimmtes k den dazugeho¨rigen Modus fu¨rdie Maximale Instabilita¨t dar, da die Wachstumsrate multipliziert mit der Zeit im Expo-nenten der Exponentialfunktion auftaucht (siehe Gleichung 5) und dadurch im Vergleichmit anderen (kleineren) Wachstumraten fu¨r lange Zeitabschnitte die anderen Moden do-miniert.• Aus dem Bild 2 entnimmt man, das fu¨r immer gro¨ßer werdendes RR0 die Wachstumsrate fu¨ralle k steigt. Das bedeutet das die Instabilita¨t des Systems steigt umso weniger das Fluidvon dem Draht spu¨rt. Somit wirkt der Draht stabilisierend auf das von ihm umgebeneFluid, indem es den Zerfall des Fluids verlangsamt, umso kleiner das Verha¨ltniss fu¨r RR0 ist.Dies liegt an der Haftung der Fluidteilchen an der Grenzschicht Wand-Fluid, wodurch dieunmittelbaren Nachbarfluidteilchen auch eine sehr starke Reibung erfahren und dadurchdas Ausbilden von Moden Allgemein erschwert wird. Dieser Effekt sinkt natu¨rlich nichtlinear, da die Fluidteilchen an der Oberfla¨che, fu¨r große R, von dieser inneren Reibung fastnichts mehr spu¨ren, was die genannte Abbildung auch besta¨tigt, da die blauen Linien eineregelma¨ßige Erho¨hung um 500 Prozent zeigen, aber trotzdem nicht linear anwachsen!• In Abbildungen 2 erkennt man das die blauen Kurven bei ca. k=0.05 einen kleinen Bogenin Richtung s=0 einschlagen. Die innnere Reibung, versta¨rkt durch die Wand, wird geradefu¨r große Wellenla¨ngen dominanter, da die einzelnen Fluidteilchen pro Wellenla¨nge nuneinen la¨ngeren Weg zuru¨cklegen mu¨ssen. Der la¨ngere Weg der Welle wiederum kostetjedes einzelne Fluidteilchen mehr Energie und somit wird der Zerfall des Systems ver-langsamt; d.h. die Wachstumsrate geht gegen 0.• Beide Bilder zeigen fu¨r k → 1, also fu¨r sehr kleine Wellenla¨ngen, das die Wachstumsrategegen 0 geht. Das liegt an den hohen Energiekosten fu¨r ho¨here Wellenzahlen, da die Ober-fla¨chenspannung der Vergro¨ßerung der Wellenzahl k, d.h. der Vergro¨ßerung der Ober-fla¨che, entgegen arbeitet. Umgerechnet bedeutet es, das dieses System fu¨r Wellenla¨ngengro¨ßer als 2piR Instabil ist. Dies deckt sich mit fru¨heren Ergebnissen (siehe [3, Seite 9]).Aufgrund der Oberfla¨chenspannung verschiebt sich auch das Maximum in Bild 2 fu¨rgroße Verha¨ltnisse RR0 in Richtung k=0. Das System spu¨rt nicht mehr soviel Reibung vomDraht wie zuvor und kann dadurch bequem zu gro¨ßeren Wellenla¨ngen u¨bergehen um soEnergie aus der Verkleinerung der Oberfla¨che zu gewinnen.Literatur[1] Chandrasekhar Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability[2] L.D. Landau;E.M. Lifschitz Lehrbuch der theoretischen Physik Bd.6, Hydrodynamik[3] A. Chauhan; C. Maldarelli; D.T. Papageorgiou; D.S. Rumschitzki Temporal instabilityof compound threads and jets15

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