Presupondremos a lo largo de este trabajo Cierta familiaridad con el método de los tableau o block tableau, según -por ejemplo- la exposición de Smullyan (1968)

Urtubey, Luis

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Algunas propiedades formales de un sistema educativo con interrogaciones

Fil: Urtubey, Luis Adrián. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Filosofía y Humanidades; Argentina.Presupondremos a lo largo de este trabajo Cierta familiaridad con el método de los tableau o block tableau, según -por ejemplo- la exposición de Smullyan (1968).Fil: Urtubey, Luis Adrián. Universidad Nacional de Córdoba. Facultad de Filosofía y Humanidades; Argentina

Urtubey, Luis Adrián

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 EPISTEMOLOGÍA E HISTORIA DE LA CIENCIA SELECCIÓN DE TRABAJOS DE LAS VI  JORNADAS (1996) Marisa Velasco Aarón Saal Editores     ÁREA LOGICO-EPISTEMOLÓGICA DE LA ESCUELA DE F ILOSOFÍA CENTRO DE INVESTIGACIONES DE LA FACULTAD DE F ILOSOFÍA Y HUMANIDADES UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA   Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons atribución NoComercial -SinDerivadas 2.5 Argentina    Luis Urtubey U.N.C. ALGUNASPROPffiDADESFORMALESDEUN SISTEMA DEDUCTIVO CON INTERROGACIONES Presupondtemos a lo largo de este trabajo Cierta familiaridad con el método de los tablean o block tablean , según -por ejemplo- la exposición de Smullyan (1968). Intentarnos presentar aqní y comentar un sistema deductivo, expuesto en Harris (1990), cuyo núcleo lo constituye un sistema inferencia! TO, que es correcto y completo para la lógtca de pnmer orden. Esté sistema es extendld() meaiante ei ágreg¡ido áe dOs-reglas-para interrogaciones. El propósito final de esta ponencia es constatar la ausencia de ciertas propiedades formales de la inferencia deductiva clásica en este sistema. El vocabulario del lenguaje L consta de: (i) Un conjunto infinito de constantes individuales a, b, e, .. , que se dividen en nombres propios y parámetros (ii) Un conjunto infinito de variables x, y, z, . (iii) Un conjunto (posiblemente infinito) de expresiones de predicado P,Q,R, con el número de argumentos indicado. (iv) Las expresiones lógicas v, &, ., 3, '<f. Las expresiones de las categorías (í) y (ii.) forman el conJunto de los térmmos de L Definimos ahora las expresiones que son fórmulas de L. (i) Las expresiones de la forma ll(e<,B,~ )l), siendo e<,B, etc. térmmos de L y n una expresión de predicado de n argumentos (las fórmulas atómicas de L) (ii) Las expresiones de la forma .A, siendo A atómica. (iii) Las expresiones de la forma A v B, A & B, '<fxA y 3xA, siendo A y B fórmulas de L y x una variable ' (iv) Ninguna otra exprestón. Sean X, Y secuencias de fórmulas (se las puede entender como conJuntos). 'A E X' indica que A ocurre en X Entonces, X =} Y és uii 'seciiet1fe' Las regla~ del sistema "ío operan · sóbie · secuentes formados de esta manera con las fórmulas de L. Sean A, B, '<fxA[x] y 3xA[x] fórmulas de L Las reglas de T 0 son entonces las siguientes. l&. X=}Y para(A&B) sX --x...,...,,A'"",B...--=}.,....,y-316 Iv: x~y para(AvB) e X X:A~Y X,B~Y x~Y para VxA[x] e X :X,A[a] ~Y B. X~Y para :lx A[x] e X X,A[a] ~y x~Y D&·------~~~------- para(A&B) e Y X~Y,A x~Y,B Dv: X~Y para(A vB) e Y X=>Y,A,B D\1: X=2Y para VxA[x] e Y X~ Y,A[Il] m. para :lxA[x] e Y X~ Y,A[Il] Siendo a un término libre para x y ll un parámetro nuevo. Un tableau es un COl1JUnto parcialmente ordenado de secuentes, tal que cada secuente, o bien se sigile de sus predecesores inmediatos por medio de la aplicación de una de las reglas anteriores, o es el único secuente inicial. Como de costumbre, cuando la aphcación de las reglas lleva á la obtención de dos secuentes en la sucesión, cada uno de los secuentes resultantes con todos los que le suceden forman un subtableau Diremos que un secuente está cerrado en caso de que: (1) A, -,A e X siendo A atómica, o (ii) A, -,A e Y siendo A atómica, o (iii) A e X y A e Y, para un 'literal' A Un tableau está cerrado sii cada subtableau tiene un secuente terminal cerrado. Cuando obtenelfios 'Uil tabteau cenraoo para: el secuente lnídal X => Y, decin1os que ténerrios una i!edvación de este secuente o que es un teorema, i e ~X ~ Y Como se puede ver, el sistema anterior es una versión de los tableau semánticos empleando 'secuentes'. Como observa Konolige(1984) estas reglas se pueden ver como reglas de mferencm mvertidas. primero va la conclusión, luego la línea horizontal y finalmente las premisas Diremos que un secuente X ~ Y es verdadero en una mterpretación de las fórmulas que lo componen sii una de las fórmulas de X es falsa o una de las fórmulas de Y es verdadera Asimismo, decimos que hay una interpretación que lo satisface, si es 317 verdadero en alguna interpretacióne De esta defimc1ón de verdad resulta que un secuente verdadero, en una interpretación dada, afirma que la conjunción de las fórmulas de X implica la disyunción de las fórmulas de Y Extenderemos ahora este s1stema con el propóstto de abarcar una forma dé razonamiento en el cual se combina la mferencta deductiva con la formulación de preguntas y la obtenciÓn de respuestase En este caso quien lleva adelante el razonanúento cuenta con los medios para acceder a cierta información específieae Esta capacidad de obtener información de manera imnediata se representa a través de la posibilidad de plantear preguntas y obtener las respuestase En este enfoque, debido sobre todo a Hintikka, se consideran dos tipos de preguntas elementales, i e , las preguntas "proposicionales" y las "prononúnales", distinguiéndose una de otra por la forma de sus respectivas "presuposiciones'~ e e En la$ primera$ se trata .d!' c!tsyunctones, nuentras ql!e en las S!'glllldw;, de fórmulas existencial!'s. D" igual modo, una r!'spuesta a una pregunta proposicional excluirá todos los núembros de la disyunción, excepto uno e Mientras que una respuesta a una pregunta pronominal, es una instancia de la variable ligada por el cuantificador existencial Las reglas que se agregan al sistema anterior representan entonces el intercantbio de preguntas y respuestas en el curso de una derivación. Ante una pre_t;Uposición "cuestionable" entre las fórmulas de la izquierda de un secuente final, el siguiente paso de la derivación puede consistir en agregar a las fórmulas de la izquierda, una fórmula que represente una respuesta a una pregunta que tenga esta presuposición. A ®M Qmción q 9-ªl !~!lgtli!Je le gsigt~,¡m¡.gs )111 ¡:gnjJllltQ ~(q)> e~ conjumo-respuesta de cr. Siempre que e; no sea cuestionable, R(c;) será vacío. Supondremos qne .se ha establecido alguna delimitación de las fórmulas cuestwnablese Con el fin dee asegurar también la correc¡;ión de las reglas que introduciremos debemos asimismo postular que cuando e; sea verdadero en la interpretaciÓn dada M y tamb1én sea cuestionable, R( cr)será algún subconjunto del conjunto de respuestas disponibles para la pregunta con presuposición e;, tal que cada una de ellas es verdadera en Me Cuando e; sea falso, R( e;) será vacío En el s1stema que constderaretnos las respuestas están Umitadas al que contiene la fómmla cuestionada, i. e e, no se tratan como nuevas premisas disponibles en todo sub e Por otra parte, la respuesta proporcionada es tal que reduce al mínimo las posibilidades de cerrar el tab/eau. En Harris(l990) se llama no-cooperativo a este modo dee responder, y ese manifiesta en la formulación de la regla mediante la_ expresión "para alg;ún elemento· del conjunto-respuesta" e Las reglas que se agregan son entonces las Siguientes. P-Prope X=>Y X,n=> Y 318 para algún 1t E R((A v B)) ¡ i <i ! 1 P-Pron. X=? Y para algún A[ a] E R(3x A[x]) X,A[a] ==>Y En el sistema así extendido puede comprobarse que el carácter no-cooperativo de las reglas altera drásticamente las propiedades formales del sistema deductivo, Consideraremos tres situaci.ones en particular para terminar esta exposición, (1) En la medida que haya algún conjunto-respuesta infinito, se pierde la vmculac1ón fimtaria, en !auto que una conclusión que se sigue de un conjunto infinito de fórmulas, puede no seguirse de ningún subconjunto finito de estas mismas fórmulas (2) También se ve afectada la relación entre teoremas y deducciOnes. Es decir que, aunque sea el caso que ~ X ==> cr , no resulta que. X ~ cr (3) Podemos comprobar también que en comcidencia con lo señalado en Hintikka(l987), la lógica de esta inferencia con interrogaciones no se ajUSta al principio de subfórmula, como Gentzen ·demostrara que sucede con la inferencia en la lógica de primer orden, en donde, efectivamente, toda fórmula que ocurre en la derivación es una subfórmula de alguna fórmula de la conclusión Veamos más en detalle estas afirmaciones. Para mostrar (1) adaptaremos un ejemplo de Van Frassen(l971) Sea R(cr) la clase-respuesta infinita de cr Supongamos que para A, E R(cr), {A~,A2,A3, } F B Supongamos asimismo defimda una aplicación v de las oraciOnes de L en {V,F}, tal que v(B) = V sii v(A,) = V para i = 1,2,3.. Por otro lado, v(A,) = V síi i ~ n; v(B) = F Se puede ver entonces que, aunque { A~,A2,A3,.. } F B , para cualqmer n, no es el caso que {A¡, ,A.} F B. Por lo tauto, no se satisface el secuente X,A ==> B, Y (2) se relaciona estrechamente con lo afirmado en (1). Usarémos X h B para indicar que B es derivable con interrogaciones a partir de las orac1oues del conjunto X, Pero como ya vimos, en este caso no hay vmcu1ación finitaria. De modo que, aunque h X==> B , no es el caso que X F B. De donde, tampoco X ~ B (3) exige alguna digresión. Smullyan(1968) demuestra el célebre Hauptsatz de Gentzen para tableaux Definición. Una fórmula C es eliminable si para todo conjunto firuto S, S! hay un tableau cerrado para {S,C} y un tableau cerrado para {S,-C}, entonces hay un tabl¡,au cerrado para S. La versión del H auptsatz para establece ahora que toda fórmula C es ehmmable. A fin de mostrar (3) usaremos un corolario del teorema demostrado en Smullyan(l 968) Simplificando la notación diremos que j3, j3 1 y j32 son (Av B), Ay B, respectivamente. Corolano: S1 hay un tableau cerrado para {S,j3}, entonces tanto {S,j31} como {S,j32} tienen tab/eaux cerrados. Si tomamos entonces la regla I-Prop anterior, podemos constatar que no se verifica lo enunciado por el Corolario. Dado que, cuando A E R(cr) y B ¡; R(cr), sólo puede cerrar el tableau para X,A ==>Y 319 Puede conclmrse de estas breves consideraciOnes que la lóg¡ca del proceso interrogattvo exige algunas restricciones sobre el manejo del conjunto de reospuoestas. Entre otras alternativas se encuentra la planteada por Harris(l994) en la cual la derivación con interrogaciones se define en .relación a uno 'emparejamiento' dadoo odeo presuposicioneso "cuestionables" con determinados elementos de sus respectivos conjuntos-respuesta. Harris explora las características de esta noción de consecuencia desde la perspectiva de la "Semántica de Juegos Teóricos". Cabe preguntarse acerca de las posibilidades de esta opción a partir de un enfoque que no sea dialógico. REFERENCIAS Harris, S . .(l994) "GTS and Interrogattve !aP!~aill<~',§Y'.!t/te,<e,, 99: 329-334. Hintikka, J (1987) "Knowledge Representation and tbe Interrogative Model of Inqmry", Actas del Congreso Internacional Extraordmario de Ftiosofia, T.3, UNe, Córdoba, Argentina. Konolige, K (1984) Be/te[ and Incompleteness, CSLI, Stanford, USA. Smullyan, R. ( 1968) Ftrst Order Logtc, Springer-Verlag, Heidelberg. Van Frassen, B (1971) Formal Semantic:~ and I,pgtc",. M;l~IJlilli!ll, New York Trad. al español de J A.Robles, Semántica Formal y Lógwa, UNAM, Mexico, 1987 320 

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