Muller, K.H.

Archive of European Integration

NEUTRONENFLUSSES IN PLATTENSCHICHTUNGEN 
l,,lBI'!"»J»>!iJiP^·' 
hungsprogramms der Kommission Das vorliegende Dokument 
der Europäischen Atomgemeinschaft (EURATOM) ausgearbeitet worden 
Es wird darauf hingewiesen, dass die Euratomkommission, ihre Vertragspartner und alle 
in deren Namen handelnden Personen ■ 
keine Gewahr dafür übernehmen, dass die m diesem Dokument enthaltenen Informa 
tionen richtig und vollständig sind, oder dass die Verwendung der in diesem Dokument 
enthaltenen Informationen, oder der in diesem Dokument beschriebenen technischen 
Anordnungen, Methoden und Verfahren nicht gegen gewerbliche Schutzrechte verstosst; 
keine Haftung für die Schäden übernehmen, die infolge der Verwendung der in diesem 
Dokument enthaltenen Informationen, oder der in diesem Dokument beschriebenen 
J c h nischen Anordnungen, Methoden oder Verfahren entstehen könntei 
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m™* This reprint is intended for restricted distribution only. It reproduces, 
by kind permission of the publisher, an article from "NUKLEONIK", 
e.Band, 5.Hef t ­ 1964, 271­274. For further copies please apply to 
Springer­Verlag — 69 Heidelberg 1, Postfach 3027 (Deutschland). 
'ieser Sonderdruck ist für eine beschränkte Verteilung bestimmt. Die 
Wiedergabe des vorliegenden in „NUKLEONIK", 6.Band, S.Heft ­
1964, 271­274 erschienenen Aufsatzes erfolgt mit freundlicher Genehmi­
gung des Herausgebers. Bestellungen weiterer Exemplare sind an 
Springer­Verlag — 69 Heidelberg 1, Postfach 3027 (Deutschland) 
zu richten. 
r· t­ i > j . s * , ■ , T e m i ! EílU­■'&&£«« 
Ce tiré­a­part est exclusivement destiné à une diffusion restreinte. Il 
reprend, avec l'aimable autorisation de l'éditeur, un article publié dans 
«NUKLEONIK», 6.Band, 5.Hef t ­ 1964, 271­274. Tout autre exem­
plaire de cet article doit être demandé à Springer­Verlag — 69 Heidel­
berg 1, Postfach 3027 (Deutschland). 
• ï I3BU¡IÍ SPlifiötff^  ''■■■■'■■ ... 
Questo estratto è destinato esclusivamente ad una diffusione limitata. 
Esso è stato riprodotto, per gentile concessione dell'Editore, da 
«NUKLEONIK», 6.Batid, 5.H ef t ­ 1964, 271­274. Ulteriori copie 
% 1 Ï 
f&S 
69 Heidel­dell''articolo debbono essere richieste a Springer­Verlag 
berg 1, Postfach 3027 (Deutschland). 
Deze overdruk is slechts voor beperkte verspreiding bestemd. Het artikel 
is met welwillende toestemming van de uitgever overgenomen uit 
„NUKLEONIK", 6.Band, S.Heft ­ 1964, 271­274. Meer exemplaren 
kunnen besteld worden bij Springer­Verlag — 69 Heidelberg 1 Post­
fach 3027 (Deutschland): 
EUR 876.d 
R E P R I N T 
ÜBER E I N E ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES NEUTRONEN-
FLUSSES IN PLATTENSCHICHTUNGEN, von K.H. MÜLLER. 
Europäische Atomgemeinschaft - EURATOM. 
Gemeinsame Kernforschungsstelle - Forschungsanstalt Ispra (Italien). 
Hauptabteilung Reaktorphysik. 
Theorie und Berechnung der Reaktoren Abteilung. 
Sonderdruck aus „Nukleonik,,. 
6. Band, 5. Heft - 1964, S. 271-274. 
Die direkte Methode der Variationsrechnung, wird sie auf die Boltzmann-
Gleichung für den Neutronentransport angewandt, erlaubt die Konstruktion 
von analytischen Ausdrücken, vermittels derer sich die Neutronenverteilung 
im Reaktor auf übersichtliche Weise beschreiben lässt. Für die eindimensionale 
Plattenschichtung werden drei für die Bearbeitung von Abschirmfragen gut 
brauchbare Wege aufgezeigt und begangen. 
EUR 876.d 
R E P R I N T 
STUDY ON AN ANALYTICAL R E P R E S E N T A T I O N OF T H E N E U T R O N 
FLUX IN PLATE LAMINATIONS, by K.H. MÜLLER. 
European Atomic Energy Community - EURATOM. 
Joint Nuclear Research Center - Ispra Establishment (Italy). 
Reactor Physics Department. 
Reactor Theory and Calculation Service. 
Reprinted from "Nukleonik". 
6. Band, 5. Heft - 1964, S. 271-274. 
The direct variation-calculus method, if applied to the Boltzmann neutron-
transport equation, enables analytical expressions to be formulated by means 
of which the neutron distribution in the reactor can be clearly described. For 
the unidimensional plate lamination, three methods which lend themselves 
readily to the solution of shielding questions are adduced and applied. 
EUR 876.d 
R E P R I N T 
STUDY ON AN ANALYTICAL REPRESENTATION OF T H E NEUTRON 
FLUX IN PLATE LAMINATIONS, by K.H. MÜLLER. 
European Atomic Energy Community - EURATOM. 
Joint Nuclear Research Center - Ispra Establishment (Italy). 
Reactor Physics Department. 
Reactor Theory and Calculation Service. 
Reprinted from "Nukleonik". 
6. Band, 5. Heft - 1964, S. 271-274. 
The direct variation-calculus method, if applied to the Boltzmann neutron-
transport equation, enables analytical expressions to be formulated by means 
of which the neutron distribution in the reactor can be clearly described. For 
the unidimensional plate lamination, three methods which lend themselves 
readily to the solution of shielding questions are adduced and applied. 

Sonderdruck aus 
„Nukleonik", 6. Band, 5. Heft, 1964, S. 271—274 
Springer­Verlag, Berlin · Göttingen ■ Heidelberg · New York 
Über eine analytische Darstellung des Neutronenflusses in Plattenschichtungen 
Von K A R L ­ H E I N Z MÜLLER, Ispra (Italien)1 
Mit 3 Textabbildungen 
(Eingegangen am 26. Februar 1964) 
Zusammenfassung. Die direkte Methode der Variationsrechnung, wird sie auf die Boltzmann­GIeichung für den Neutronen ­
transport angewandt, erlaubt die Konstruktion von analytischen Ausdrücken, vermittels derer sich die Neutronenverteilung im 
Reaktor auf übersichtliche Weise beschreiben läßt. Für die eindimensionale Plattenschichtung werden drei für die Bearbeitung 
von Abschirmfragen gut brauchbare Wege aufgezeigt und begangen. 
Einleitung 
Bei der Behandlung von Shielding­Problemen 
nimmt der Spezialfall der eindimensionalen Plat ten­
Schichtung einen zentralen Platz ein. Mit Hilfe der 
direkten Methode der Variationsrechnung [1] läßt sich 
für die zugehörige Boltzmann­GIeichung (B.G.) eine 
analytische Lösung konstruieren, die den wesentlichen 
Vorzug gegenüber einer numerischen ha t : sie ist durch 
einen geschlossenen Ausdruck darstellbar, der überdies 
noch freie Parameter enthäl t . 
Wir gehen von der B.G. : 
Μ Φ ­ S = b · V Φ + Cx (r, b) Φ ­
— / C 2 ( r J t i ' , ö ) Ö > ( t ) b ' ) a b ' ­ i 8 ( t , b ) = 0 
(1) 
aus mit b = v 
w 
I b i ß (d.h. „Cartesische" oder 
„Polarkoordinaten"­Darstellung des Geschwindigkeits­
vektors) und konstruieren für die eindimensionale 
Plattenschichtung analytische Näherungslösungen. Es 
1 C.C.R. Euratom, T.C.R. 
stehen hierzu verschiedene Wege zur Verfügung. Wir 
wählen davon die uns für das Problem am besten 
dünkenden aus. 
Abb. 1. Zerlegung des Geschwindigkeitsvektors in Axial­ und 
lladialkomponente 
a) Cartesische Darstellung (u, v) 
Die spezielle Geometrie und die Orientierung der 
rc­Achse parallel der Oberflächennormalen erlaubt die 
Darstellung der B.G. : 
­­π) J C2(x,u,'u,v',v) Φ(χ,η',ν') du' dv' + 
+ S (χ, u,v), 
(2) 
272 K.­H. M Ü L L E R : Über eine analytische Darstellung des Neutronenflusses in Plattenschichtungen Nukleonik 
wobei ν = v2 + w2 und du' dv' dw' = 2π yv'2 ­\­w'2 
X d Vv'2­\­w'2 ■ du'. Dieser Form der B.G. ist das 
Variationsproblem : 
wobei 
δ ƒ ƒ Φ* [ΜΦ -S]dudv=0 (3) 
äquivalent, wobei über den gesamten Variations­
bereich b der Gesehwindigkeitskomponenten zu inte­
grieren ist. Der üblichen Prozedur folgend führen wir 
den Ansatz : 
Ν 
Φ(χ,ιι,ν) = '£cpk(x)y)k(u,v); 
¡fc = l 
iV 
Φ+(χ,η,ψ) = Z(Pk(x)fk(u>v)> 
k = l 
in (3) ein und erhalten durch die Variation Φ+­><5Φ+: 
ƒ ƒ y>¡ [Μ(Ρ— S]k dudv=0, d .h. (unter Verwendung 
der Matrizenschreibweise): 
'ψι\ 
«■ik = fju-ψϊ {u,v)fk(u,v)dudv; 
o 
St (χ) = ffipt (M, V) S (Χ, U, ν) du dv 
Ό 
ß'ik(x) = ffC1(x,u,v)y)t(u!v)y)k(u,v)dudv 
o 
ß'ik(X) = π ƒƒ ¡Ι Cì(x, u',u, ν', ν) ipi (u, ν) Χ 
(10) 
(4) 
Α άΦ(χ) dx + Β (χ) Φ {χ) = 8 (χ). Φ(χ) = 
\ΨΝΙ 
Als Auswahlfunktionen schlagen wir vor: 
Wk(u>v) —ΨΪ (u>v) =%(u2 +v)Wvx 
κ, λ ganzzahlig, χ: bei x = 0 vermutetes Energiespektrum. 
X ipk (u', v') du dv' dudv. 
Bei der homogenen Einzelschicht ist C^x, u, v) = 
Q(u, v); C2(x, u', v', u, v) = C2(u', u, v', v), a lsoß' i hund 
ßl'jg Konstanten. (9) stellt nun ein lineares Differential­
gleichungssystem mit konstanten Koeffizienten dar, 
das durch elementare Exponentialfunktionen gelöst 
wird. Das Problem ist also auf die Auswertung von 
Integralen zusammengeschrumpft. 
b) Polarkoordinatendarstellung (Ε, μ) 
Dieser zweite Weg ha t nur dann eine praktische 
Bedeutung, wenn bei anisotroper Streuung ange­
nommen werden darf: 
02(χ,Ε',Ε,μ',μ)=ΣΚ(χ,Ε',Ε,μ) X 
* = 1 (H) 
Xo X1 X2 
m 
χ ^(χ,Ε',Ε,μ1). J 
I m allgemeinsten Falle ist diese Methode etwas 
schwerfällig. Das zu : 
ί Φ 
μ ΰ1{χ,Ε)Φ-
-1 Β 
Abb. 2. Parallelschichtung von mehreren in sich homogenen Platten 
Im Spezialfall einer einzelnen in sich homogenen 
Schicht ist B(x) = _ B = const und die Lösung von (5): 
Φ(χ) = e­^­lB)(x­x,) x 
X [Φ(χ0) + fe^wU­^A­iStf) άξ]. 
- ƒ ƒ C2(x, Ε', Ε, μ', μ) Φ (χ, Ε', μ') d E' d μ' -
- 1 <ιΕ 
- S (χ, Ε, μ) = 0 
äquivalente Variationsproblem : 
οο οο 
<5 ƒ ƒ Φ + [Μ Φ - S] dE dx = 0 
- ο ο Ο 
(6) lösen wir mit Hilfe des Ansatzes : 
(12) 
Über die Sylvestersche Formel findet man hierzu 
leicht die korrespondierende Skalarform. 
Bei einem System aus zwei oder mehreren (L) 
in sich homogenen Schichten verknüpft man die für 
jede Einzelschicht geltende Lösung mit der ihres Nach­
barn durch die Forderung: Stetigkeit des Flusses an 
der Trennfläche, d.h. 
Φι{*ι) = ΦΊΙΚ); Φπ(* 2 ) = Φιη(χ2); · · · (?) 
Die gesamte Schichtung denken wir uns in Luft oder 
auch in einen starken Absorber eingebettet. Für den 
Außenraum genügt der Fluß den Abklingbedingungen : 
Ν 
Φ(χ,Ε,μ) = 2 <κ(μ)ψί(x,E); 
¡fe = l 
Φ+(χ,Ε,μ) = Σ<Ρί(μ)ψΪ(χ,®)-
k = l 
Integration und Variation bringen nun : 
ƒ ƒ ψ^ΜΦ-^ dE dx=0, 
(13) 
(14) 
d.h. 
+ 1 
Α(μ) Φ (μ) - ƒ Β (μ, μ') Φ {μ') d μ' = 8 (μ), 
- ι 
Φ (μ) 
lim ø 0 ( a ; ) = 0 ; lim Φ £ + 1 ( . τ ) = 0 . (δ) oder mit (11): 
\ΨΝ/ 
+ι 
Dies sind also unsere Randbedingungen. 
Der Übersicht wegen wollen wir hier noch die 
Skalarform von (5) anschreiben. Die Integration 
gemäß (3) und die Variation br ingt : 
d<Pk Σ [a¿* /* +#*(*) η ­ β'ί^χ) fk] = Sd*) 
i = l,2,...,N, 
k-l (9) 
Α(μ)Φ(μ)=Β'(μ)ΙΒ"(μ')Φ{μ')αμ' + 8(μ). (15) 
- ι 
Die Lösung ist gegeben durch : 
(16) 
Φ(μ) = Α-ι}Β'[Ι-[Β"(μ')Α-ΐ(μ')Β'(μ')αμ']-1Χ 
+ 1 1 
Χ ƒ Β" (μ') Α-1 (μ') S {μ') d μ' + 8(μ)\. 
Band 6, Heft 5 K.­H. MÜLLER: Über eine analytische Darstellung des Neutronenflusses in Plattenschichtungen 273 
Die zu (15) gehörige Skalarform laute t : 
Σ [(μ<*ί* + <*ïk) (pk — ƒ βχύμ'· μ) ψΛμ') άμ'] 
i-=i - ι 
mit 
= SiW i = 1,2,..., Ν 
ΟΟ οο 
4t=ffvt(z,B)°Sg*>-dBdz; 
— οο 0 
οο οο 
c4'k =ffci(xE) ft {χ,Ε)ψ(χ, E)dEdx; 
(17) 
- ο ο 0 
ι οο Ε 
βα =jffc^x>w' Ε> <"'> /*) ft (*-Ε) 
- ο ο 0 αΕ 
χ ipk(x,E')dE' dEdx; 
οο οο 
£.(μ) = ƒ fs(x,E^)ft(x,E)dEdx. 
Über die Matrizenrechnung findet man aus (17): 
(18) 
q>k dem Differentialgleichungssystem (9), wo aber jetzt 
+ 1 co 
«it = ƒ ƒ A* 1 2Æ Vf (JE, /<) · Wk (Ε. μ) dE d μ 
- ι ϋ 
+ 1 οο 
St(x)= f (ψΐ(Ε,μ)8(χ,Ε,μ)άΕαμ 
-ι õ 
+ 1 οο ß'ik(x) = ƒ ¡01(χ,Ε)ψΐ(Ε,μ)ψ,(Ε,μ)άΕάμ -ι u 
+ 1 οο £ 
#'* (*) = ƒƒ ƒ ƒ C2 (¡c, Æ', Ä, μ', μ) νί (J5, /Ο X 
~ 1 0 αΕ 
Χ ψι,(Ε',μ')άμ'άμάΕ'αΕ 
einzusetzen ist. Bei einer Schichtung aus meli reren in 
sich homogenen Plat ten wird man Differentialglei­
chung (5) bzw. System (9) für jede homogene Schicht 
einzeln integrieren, d.h. in (6) bzw. in die dazugehörige 
Skalarform, die jetzt konstanten Werte xik, ß'ik, ß"k 
(19) 
mit 
+ 1 Ν 
ψί(μ) = ƒ Σ 7ki(^>μ) ψί(μ') αμ' + ο*(μ) 
- 1 λ·=1 
i= 1,2,...,Ν 
γΙ:ί(μ',μ)=[Α^(μ)Β'(μ)Β"(μ')],ί; 
θΛμ)=νΑ-Ημ)8(μ)\. 
Das System (19) unterwirft man nun einer Mikhlin-
Transformation [2]. Der Kern der Transformierten 
ist ausgeartet . Wir können also erneut Mikhlin­trans­
formieren. Die nun resultierende Integralgleichung hat 
einen Produktkern ; sie läßt sich geschlossen lösen. 
Da wir so die φ^μ) auf einfache Weise analytisch 
darstellen können, liefert dieser Weg also auch ein für 
die praktische Rechnung gut geeignetes Integrations­
verfahren für die B.G. 
c) ΡolarlcoordinatendarStellung (Ε, μ) 
Die im folgenden ausgeführte Methode benützt 
Gedanken aus den beiden vorausgehenden Abschnit­
ten. Auf das zur Darstellung (12) der B.G. äquivalente 
Variationsproblem : 
oo + 1 
o ƒ ¡Φ+[ΜΦ­8]άμάΕ = 0 
ο - ι 
wenden wir den Ansatz 
Φ(χ,Ε,μ) = Σ ψύχ)Ί>ΛΕ,μ)\ 
k=í 
Φ+(Χ,Ε,μ) =ΣψΪ{χ)ψΪ(Ε,μ) 
(20) 
t = i 
(21) 
Ψι\ 
an. Der Vektor φ ( « ) = ; 1 genügt dann einer redu­
\<PNJ 
zierten B.G. vom Typus (5), bzw. seine Komponenten 
Abb. 3. Keilförmiger Variationsbereicli der auftretenden Energien 
(für jede Schicht aus den entsprechenden G1 und C2 
errechnet!) einsetzen. Danach die q>k(x) über (7) mit­
einander verketten. 
Als Auswahlfunktion könnte man 
Ψΐί(Ε, μ) =rpt{E, μ) =χ(Ε)Ε™Ρη(μ) 
verwenden mit m, η ganzzahlig und χ(Ε) = Spalt­
spektrum, falls 8(χ,Ε,μ) = Spaltquelle. 
Beispiel. 
Ν = 10, χ ( Ä ) = 0 , 8 4 8 c ­ A ' s i i i h ψΐΕ, y>t = y>k 
Φ(χ,Ε,μ) =χ(Ε) [Ψι(χ)Ρ0+ψ2(χ)ΕΡη +ψΆ(χ)Ρ1 + 
+ Ψί(Χ)Ε2Ρ0 -|- φΓ> (χ) ΕΡι + φα(χ)Ρ2 + 
+ φΊ(χ)Ε»Ρ0 + ■ ■ ■] 
ψΐ(Ε,μ) =χ(Ε)ΕΡι(μ)\ ψ,(Ε,μ) =χ(Ε)Ε*Ρ0(μ) 
+ 1 οο 
«5 7 = ίμΡ1(μ)άμ[χ2(Ε)ΕϊάΕ; 
- 1 ο 
Ä 7 = Ík (μ) Ρι (μ) ¿μ ¡ \ (Ε) χ2 (Ε) Εϊ dE ; 
- Ί ο 
co Ε + 1 
Ρύ = ƒ ί χ(Ε·)χ{Ε)Ε-Έ* ƒƒ 02(Ε',Ε,μ',μ)χ 
0 αΕ -1 
Χ Ρ0(μ') Ργ(μ) d μ' d μ dE' dE. 
Es handelt sich hier also um Laplace-Integrale, die 
man mit Hilfe einer gebräuchlichen Tabelle z .B. [3] 
auswerten kann. 
274 K.­H. MÜLLER: Über eine analytische Darstellung des Neutronenflusses in Plattenschichtungen Nukleonik 
B e i d e r E r r e c h n u n g v o n ß"k e m p f i e h l t es s ich, d ie B e m e r k u n g 
T r a n s f o r m a t i o n D i e M e r d a r g e l e g t . e n M e t h o d e n w e r d e n z u e i n e m 
E = ρ c o s # , E' = ρ s in i? , dE' dE = ρ d ρ dê l e i ch t h a n d h a b b a r e n H i l f s m i t t e l be i d e r B e a n t w o r t u n g 
, ΤΛ ι ι. ι ι , ·ι · v o n A b s c h i r m f r a g e n , w e n n d ie M a t e r i a l k e n n g r ö ß e n 0 , v o r z u n e h m e n . D a d u r c h g e h e n w i r v o n d e n te i lweise , „ . m , „ö , ,. ° J . , , T , , . ö , ..... ,. „ u n d O, i n l a b e l l e n f o r m vor l i egen . variablen I n t e g r a t i o n s g r e n z e n auf völ l ig fixe G r e n z e n ¿ ° 
ü b e r . D e r I n t e g r a t i o n s b e r e i c h (E,E') i s t n ä m l i c h T . „ _ „ . . 
, ­,,.. ■ Literatur: [1] F U N K , P . : Variationsrechnung und ihre An­
Keil lormig : Wendung in Physik und Technik. Berlin 1962. — [2] M I K H ­
+ 1 oo », _ L IN: Integral Equations. London 1957. — [3] E R D É L Y I , 
ß'lk = ƒƒ άμ'άμ J ƒ €'2(ρ, &, μ', μ) ft {ρ s in i? , μ) Χ MAGNUS, OBERHETTINGER and TRICOMI: Tables of Integral 
- 1 0 0! Transforms, vol. 1. New York 1954. 
X «»¿(pcosi? ,μ') ράράΰ 
■Ä. Anschriß: Dr. K A R L ­ H E I N Z MÜLLER 
_ Via Italia 14—16 
C2 (ρ, ­&, μ', μ) = C2 (Ε', Ε, μ', μ). Cardana­Besozzo/Italien 
Druck der Universitätsdruckerei Ξ. Stürtz AG., Würzburg 
Pillili fm1 
I l i Erkenntnisse verbreiten ist soviel wie Wohlstand verbreiten — icli 
meine den allgemeinen Wohlstand, nicht den individuellen 
Ι Ι Ι Ι Ι Ι Reichtum — denn mit dem Wohlstand verschwindet mehr und 
■ " . β ! m e h r das Böse, das uns aus dunkler Zeit vererbt ist. IlSfei 
¡MieSS 


Über eine analytische Darstellung des Neutronenflusses in Plattenschichtungen. EUR 876. = About the analytical representation of neutron flux in plate layers. EUR 876.

NEUTRONENFLUSSES IN PLATTENSCHICHTUNGEN l,,lBI'!"»J»>!iJiP^·' hungsprogramms der Kommission Das vorliegende Dokument der Europäischen Atomgemeinschaft (EURATOM) ausgearbeitet worden Es wird darauf hingewiesen, dass die Euratomkommission, ihre Vertragspartner und alle in deren Namen handelnden Personen ■ keine Gewahr dafür übernehmen, dass die m diesem Dokument enthaltenen Informa tionen richtig und vollständig sind, oder dass die Verwendung der in diesem Dokument enthaltenen Informationen, oder der in diesem Dokument beschriebenen technischen Anordnungen, Methoden und Verfahren nicht gegen gewerbliche Schutzrechte verstosst; keine Haftung für die Schäden übernehmen, die infolge der Verwendung der in diesem Dokument enthaltenen Informationen, oder der in diesem Dokument beschriebenen J c h nischen Anordnungen, Methoden oder Verfahren entstehen könntei wepftEW li w >Μ· m™* This reprint is intended for restricted distribution only. It reproduces, by kind permission of the publisher, an article from "NUKLEONIK", e.Band, 5.Hef t ­ 1964, 271­274. For further copies please apply to Springer­Verlag — 69 Heidelberg 1, Postfach 3027 (Deutschland). 'ieser Sonderdruck ist für eine beschränkte Verteilung bestimmt. Die Wiedergabe des vorliegenden in „NUKLEONIK", 6.Band, S.Heft ­1964, 271­274 erschienenen Aufsatzes erfolgt mit freundlicher Genehmi­gung des Herausgebers. Bestellungen weiterer Exemplare sind an Springer­Verlag — 69 Heidelberg 1, Postfach 3027 (Deutschland) zu richten. r· t­ i > j . s * , ■ , T e m i ! EílU­■'&&£«« Ce tiré­a­part est exclusivement destiné à une diffusion restreinte. Il reprend, avec l'aimable autorisation de l'éditeur, un article publié dans «NUKLEONIK», 6.Band, 5.Hef t ­ 1964, 271­274. Tout autre exem­plaire de cet article doit être demandé à Springer­Verlag — 69 Heidel­berg 1, Postfach 3027 (Deutschland). • ï I3BU¡IÍ SPlifiötff^  ''■■■■'■■ ... 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Die direkte Methode der Variationsrechnung, wird sie auf die Boltzmann-Gleichung für den Neutronentransport angewandt, erlaubt die Konstruktion von analytischen Ausdrücken, vermittels derer sich die Neutronenverteilung im Reaktor auf übersichtliche Weise beschreiben lässt. Für die eindimensionale Plattenschichtung werden drei für die Bearbeitung von Abschirmfragen gut brauchbare Wege aufgezeigt und begangen. EUR 876.d R E P R I N T STUDY ON AN ANALYTICAL R E P R E S E N T A T I O N OF T H E N E U T R O N FLUX IN PLATE LAMINATIONS, by K.H. MÜLLER. European Atomic Energy Community - EURATOM. Joint Nuclear Research Center - Ispra Establishment (Italy). Reactor Physics Department. Reactor Theory and Calculation Service. Reprinted from "Nukleonik". 6. Band, 5. Heft - 1964, S. 271-274. The direct variation-calculus method, if applied to the Boltzmann neutron-transport equation, enables analytical expressions to be formulated by means of which the neutron distribution in the reactor can be clearly described. For the unidimensional plate lamination, three methods which lend themselves readily to the solution of shielding questions are adduced and applied. EUR 876.d R E P R I N T STUDY ON AN ANALYTICAL REPRESENTATION OF T H E NEUTRON FLUX IN PLATE LAMINATIONS, by K.H. MÜLLER. European Atomic Energy Community - EURATOM. Joint Nuclear Research Center - Ispra Establishment (Italy). Reactor Physics Department. Reactor Theory and Calculation Service. Reprinted from "Nukleonik". 6. Band, 5. Heft - 1964, S. 271-274. The direct variation-calculus method, if applied to the Boltzmann neutron-transport equation, enables analytical expressions to be formulated by means of which the neutron distribution in the reactor can be clearly described. For the unidimensional plate lamination, three methods which lend themselves readily to the solution of shielding questions are adduced and applied. Sonderdruck aus „Nukleonik", 6. Band, 5. Heft, 1964, S. 271—274 Springer­Verlag, Berlin · Göttingen ■ Heidelberg · New York Über eine analytische Darstellung des Neutronenflusses in Plattenschichtungen Von K A R L ­ H E I N Z MÜLLER, Ispra (Italien)1 Mit 3 Textabbildungen (Eingegangen am 26. Februar 1964) Zusammenfassung. Die direkte Methode der Variationsrechnung, wird sie auf die Boltzmann­GIeichung für den Neutronen ­transport angewandt, erlaubt die Konstruktion von analytischen Ausdrücken, vermittels derer sich die Neutronenverteilung im Reaktor auf übersichtliche Weise beschreiben läßt. Für die eindimensionale Plattenschichtung werden drei für die Bearbeitung von Abschirmfragen gut brauchbare Wege aufgezeigt und begangen. Einleitung Bei der Behandlung von Shielding­Problemen nimmt der Spezialfall der eindimensionalen Plat ten­Schichtung einen zentralen Platz ein. Mit Hilfe der direkten Methode der Variationsrechnung [1] läßt sich für die zugehörige Boltzmann­GIeichung (B.G.) eine analytische Lösung konstruieren, die den wesentlichen Vorzug gegenüber einer numerischen ha t : sie ist durch einen geschlossenen Ausdruck darstellbar, der überdies noch freie Parameter enthäl t . Wir gehen von der B.G. : Μ Φ ­ S = b · V Φ + Cx (r, b) Φ ­— / C 2 ( r J t i ' , ö ) Ö > ( t ) b ' ) a b ' ­ i 8 ( t , b ) = 0 (1) aus mit b = v w I b i ß (d.h. „Cartesische" oder „Polarkoordinaten"­Darstellung des Geschwindigkeits­vektors) und konstruieren für die eindimensionale Plattenschichtung analytische Näherungslösungen. Es 1 C.C.R. Euratom, T.C.R. stehen hierzu verschiedene Wege zur Verfügung. Wir wählen davon die uns für das Problem am besten dünkenden aus. Abb. 1. Zerlegung des Geschwindigkeitsvektors in Axial­ und lladialkomponente a) Cartesische Darstellung (u, v) Die spezielle Geometrie und die Orientierung der rc­Achse parallel der Oberflächennormalen erlaubt die Darstellung der B.G. : ­­π) J C2(x,u,'u,v',v) Φ(χ,η',ν') du' dv' + + S (χ, u,v), (2) 272 K.­H. M Ü L L E R : Über eine analytische Darstellung des Neutronenflusses in Plattenschichtungen Nukleonik wobei ν = v2 + w2 und du' dv' dw' = 2π yv'2 ­\­w'2 X d Vv'2­\­w'2 ■ du'. Dieser Form der B.G. ist das Variationsproblem : wobei δ ƒ ƒ Φ* [ΜΦ -S]dudv=0 (3) äquivalent, wobei über den gesamten Variations­bereich b der Gesehwindigkeitskomponenten zu inte­grieren ist. Der üblichen Prozedur folgend führen wir den Ansatz : Ν Φ(χ,ιι,ν) = '£cpk(x)y)k(u,v); ¡fc = l iV Φ+(χ,η,ψ) = Z(Pk(x)fk(u>v)> k = l in (3) ein und erhalten durch die Variation Φ+­><5Φ+: ƒ ƒ y>¡ [Μ(Ρ— S]k dudv=0, d .h. (unter Verwendung der Matrizenschreibweise): 'ψι\ «■ik = fju-ψϊ {u,v)fk(u,v)dudv; o St (χ) = ffipt (M, V) S (Χ, U, ν) du dv Ό ß'ik(x) = ffC1(x,u,v)y)t(u!v)y)k(u,v)dudv o ß'ik(X) = π ƒƒ ¡Ι Cì(x, u',u, ν', ν) ipi (u, ν) Χ (10) (4) Α άΦ(χ) dx + Β (χ) Φ {χ) = 8 (χ). Φ(χ) = \ΨΝΙ Als Auswahlfunktionen schlagen wir vor: Wk(u>v) —ΨΪ (u>v) =%(u2 +v)Wvx κ, λ ganzzahlig, χ: bei x = 0 vermutetes Energiespektrum. X ipk (u', v') du dv' dudv. Bei der homogenen Einzelschicht ist C^x, u, v) = Q(u, v); C2(x, u', v', u, v) = C2(u', u, v', v), a lsoß' i hund ßl'jg Konstanten. (9) stellt nun ein lineares Differential­gleichungssystem mit konstanten Koeffizienten dar, das durch elementare Exponentialfunktionen gelöst wird. Das Problem ist also auf die Auswertung von Integralen zusammengeschrumpft. b) Polarkoordinatendarstellung (Ε, μ) Dieser zweite Weg ha t nur dann eine praktische Bedeutung, wenn bei anisotroper Streuung ange­nommen werden darf: 02(χ,Ε',Ε,μ',μ)=ΣΚ(χ,Ε',Ε,μ) X * = 1 (H) Xo X1 X2 m χ ^(χ,Ε',Ε,μ1). J I m allgemeinsten Falle ist diese Methode etwas schwerfällig. Das zu : ί Φ μ ΰ1{χ,Ε)Φ--1 Β Abb. 2. Parallelschichtung von mehreren in sich homogenen Platten Im Spezialfall einer einzelnen in sich homogenen Schicht ist B(x) = _ B = const und die Lösung von (5): Φ(χ) = e­^­lB)(x­x,) x X [Φ(χ0) + fe^wU­^A­iStf) άξ]. - ƒ ƒ C2(x, Ε', Ε, μ', μ) Φ (χ, Ε', μ') d E' d μ' -- 1 <ιΕ - S (χ, Ε, μ) = 0 äquivalente Variationsproblem : οο οο <5 ƒ ƒ Φ + [Μ Φ - S] dE dx = 0 - ο ο Ο (6) lösen wir mit Hilfe des Ansatzes : (12) Über die Sylvestersche Formel findet man hierzu leicht die korrespondierende Skalarform. Bei einem System aus zwei oder mehreren (L) in sich homogenen Schichten verknüpft man die für jede Einzelschicht geltende Lösung mit der ihres Nach­barn durch die Forderung: Stetigkeit des Flusses an der Trennfläche, d.h. Φι{*ι) = ΦΊΙΚ); Φπ(* 2 ) = Φιη(χ2); · · · (?) Die gesamte Schichtung denken wir uns in Luft oder auch in einen starken Absorber eingebettet. Für den Außenraum genügt der Fluß den Abklingbedingungen : Ν Φ(χ,Ε,μ) = 2 <κ(μ)ψί(x,E); ¡fe = l Φ+(χ,Ε,μ) = Σ<Ρί(μ)ψΪ(χ,®)-k = l Integration und Variation bringen nun : ƒ ƒ ψ^ΜΦ-^ dE dx=0, (13) (14) d.h. + 1 Α(μ) Φ (μ) - ƒ Β (μ, μ') Φ {μ') d μ' = 8 (μ), - ι Φ (μ) lim ø 0 ( a ; ) = 0 ; lim Φ £ + 1 ( . τ ) = 0 . (δ) oder mit (11): \ΨΝ/ +ι Dies sind also unsere Randbedingungen. Der Übersicht wegen wollen wir hier noch die Skalarform von (5) anschreiben. Die Integration gemäß (3) und die Variation br ingt : d<Pk Σ [a¿* /* +#*(*) η ­ β'ί^χ) fk] = Sd*) i = l,2,...,N, k-l (9) Α(μ)Φ(μ)=Β'(μ)ΙΒ"(μ')Φ{μ')αμ' + 8(μ). (15) - ι Die Lösung ist gegeben durch : (16) Φ(μ) = Α-ι}Β'[Ι-[Β"(μ')Α-ΐ(μ')Β'(μ')αμ']-1Χ + 1 1 Χ ƒ Β" (μ') Α-1 (μ') S {μ') d μ' + 8(μ)\. Band 6, Heft 5 K.­H. MÜLLER: Über eine analytische Darstellung des Neutronenflusses in Plattenschichtungen 273 Die zu (15) gehörige Skalarform laute t : Σ [(μ<*ί* + <*ïk) (pk — ƒ βχύμ'· μ) ψΛμ') άμ'] i-=i - ι mit = SiW i = 1,2,..., Ν ΟΟ οο 4t=ffvt(z,B)°Sg*>-dBdz; — οο 0 οο οο c4'k =ffci(xE) ft {χ,Ε)ψ(χ, E)dEdx; (17) - ο ο 0 ι οο Ε βα =jffc^x>w' Ε> <"'> /*) ft (*-Ε) - ο ο 0 αΕ χ ipk(x,E')dE' dEdx; οο οο £.(μ) = ƒ fs(x,E^)ft(x,E)dEdx. Über die Matrizenrechnung findet man aus (17): (18) q>k dem Differentialgleichungssystem (9), wo aber jetzt + 1 co «it = ƒ ƒ A* 1 2Æ Vf (JE, /<) · Wk (Ε. μ) dE d μ - ι ϋ + 1 οο St(x)= f (ψΐ(Ε,μ)8(χ,Ε,μ)άΕαμ -ι õ + 1 οο ß'ik(x) = ƒ ¡01(χ,Ε)ψΐ(Ε,μ)ψ,(Ε,μ)άΕάμ -ι u + 1 οο £ #'* (*) = ƒƒ ƒ ƒ C2 (¡c, Æ', Ä, μ', μ) νί (J5, /Ο X ~ 1 0 αΕ Χ ψι,(Ε',μ')άμ'άμάΕ'αΕ einzusetzen ist. Bei einer Schichtung aus meli reren in sich homogenen Plat ten wird man Differentialglei­chung (5) bzw. System (9) für jede homogene Schicht einzeln integrieren, d.h. in (6) bzw. in die dazugehörige Skalarform, die jetzt konstanten Werte xik, ß'ik, ß"k (19) mit + 1 Ν ψί(μ) = ƒ Σ 7ki(^>μ) ψί(μ') αμ' + ο*(μ) - 1 λ·=1 i= 1,2,...,Ν γΙ:ί(μ',μ)=[Α^(μ)Β'(μ)Β"(μ')],ί; θΛμ)=νΑ-Ημ)8(μ)\. Das System (19) unterwirft man nun einer Mikhlin-Transformation [2]. Der Kern der Transformierten ist ausgeartet . Wir können also erneut Mikhlin­trans­formieren. Die nun resultierende Integralgleichung hat einen Produktkern ; sie läßt sich geschlossen lösen. Da wir so die φ^μ) auf einfache Weise analytisch darstellen können, liefert dieser Weg also auch ein für die praktische Rechnung gut geeignetes Integrations­verfahren für die B.G. c) ΡolarlcoordinatendarStellung (Ε, μ) Die im folgenden ausgeführte Methode benützt Gedanken aus den beiden vorausgehenden Abschnit­ten. Auf das zur Darstellung (12) der B.G. äquivalente Variationsproblem : oo + 1 o ƒ ¡Φ+[ΜΦ­8]άμάΕ = 0 ο - ι wenden wir den Ansatz Φ(χ,Ε,μ) = Σ ψύχ)Ί>ΛΕ,μ)\ k=í Φ+(Χ,Ε,μ) =ΣψΪ{χ)ψΪ(Ε,μ) (20) t = i (21) Ψι\ an. Der Vektor φ ( « ) = ; 1 genügt dann einer redu­\<PNJ zierten B.G. vom Typus (5), bzw. seine Komponenten Abb. 3. Keilförmiger Variationsbereicli der auftretenden Energien (für jede Schicht aus den entsprechenden G1 und C2 errechnet!) einsetzen. Danach die q>k(x) über (7) mit­einander verketten. Als Auswahlfunktion könnte man Ψΐί(Ε, μ) =rpt{E, μ) =χ(Ε)Ε™Ρη(μ) verwenden mit m, η ganzzahlig und χ(Ε) = Spalt­spektrum, falls 8(χ,Ε,μ) = Spaltquelle. Beispiel. Ν = 10, χ ( Ä ) = 0 , 8 4 8 c ­ A ' s i i i h ψΐΕ, y>t = y>k Φ(χ,Ε,μ) =χ(Ε) [Ψι(χ)Ρ0+ψ2(χ)ΕΡη +ψΆ(χ)Ρ1 + + Ψί(Χ)Ε2Ρ0 -|- φΓ> (χ) ΕΡι + φα(χ)Ρ2 + + φΊ(χ)Ε»Ρ0 + ■ ■ ■] ψΐ(Ε,μ) =χ(Ε)ΕΡι(μ)\ ψ,(Ε,μ) =χ(Ε)Ε*Ρ0(μ) + 1 οο «5 7 = ίμΡ1(μ)άμ[χ2(Ε)ΕϊάΕ; - 1 ο Ä 7 = Ík (μ) Ρι (μ) ¿μ ¡ \ (Ε) χ2 (Ε) Εϊ dE ; - Ί ο co Ε + 1 Ρύ = ƒ ί χ(Ε·)χ{Ε)Ε-Έ* ƒƒ 02(Ε',Ε,μ',μ)χ 0 αΕ -1 Χ Ρ0(μ') Ργ(μ) d μ' d μ dE' dE. Es handelt sich hier also um Laplace-Integrale, die man mit Hilfe einer gebräuchlichen Tabelle z .B. [3] auswerten kann. 274 K.­H. MÜLLER: Über eine analytische Darstellung des Neutronenflusses in Plattenschichtungen Nukleonik B e i d e r E r r e c h n u n g v o n ß"k e m p f i e h l t es s ich, d ie B e m e r k u n g T r a n s f o r m a t i o n D i e M e r d a r g e l e g t . e n M e t h o d e n w e r d e n z u e i n e m E = ρ c o s # , E' = ρ s in i? , dE' dE = ρ d ρ dê l e i ch t h a n d h a b b a r e n H i l f s m i t t e l be i d e r B e a n t w o r t u n g , ΤΛ ι ι. ι ι , ·ι · v o n A b s c h i r m f r a g e n , w e n n d ie M a t e r i a l k e n n g r ö ß e n 0 , v o r z u n e h m e n . D a d u r c h g e h e n w i r v o n d e n te i lweise , „ . m , „ö , ,. ° J . , , T , , . ö , ..... ,. „ u n d O, i n l a b e l l e n f o r m vor l i egen . variablen I n t e g r a t i o n s g r e n z e n auf völ l ig fixe G r e n z e n ¿ ° ü b e r . D e r I n t e g r a t i o n s b e r e i c h (E,E') i s t n ä m l i c h T . „ _ „ . . , ­,,.. ■ Literatur: [1] F U N K , P . : Variationsrechnung und ihre An­Keil lormig : Wendung in Physik und Technik. Berlin 1962. — [2] M I K H ­+ 1 oo », _ L IN: Integral Equations. London 1957. — [3] E R D É L Y I , ß'lk = ƒƒ άμ'άμ J ƒ €'2(ρ, &, μ', μ) ft {ρ s in i? , μ) Χ MAGNUS, OBERHETTINGER and TRICOMI: Tables of Integral - 1 0 0! Transforms, vol. 1. New York 1954. X «»¿(pcosi? ,μ') ράράΰ ■Ä. Anschriß: Dr. K A R L ­ H E I N Z MÜLLER _ Via Italia 14—16 C2 (ρ, ­&, μ', μ) = C2 (Ε', Ε, μ', μ). Cardana­Besozzo/Italien Druck der Universitätsdruckerei Ξ. Stürtz AG., Würzburg Pillili fm1 I l i Erkenntnisse verbreiten ist soviel wie Wohlstand verbreiten — icli meine den allgemeinen Wohlstand, nicht den individuellen Ι Ι Ι Ι Ι Ι Reichtum — denn mit dem Wohlstand verschwindet mehr und ■ " . β ! m e h r das Böse, das uns aus dunkler Zeit vererbt ist. IlSfei ¡MieSS 

Über eine analytische Darstellung des Neutronenflusses in Plattenschichtungen. EUR 876. = About the analytical representation of neutron flux in plate layers. EUR 876.

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