This paper presents two new models of oriented texture, based on a new class
of Gaussian fields, called locally anisotropic fractional Brownian fields, with
prescribed local orientation at any point. These fields are a local version of
a specific class of anisotropic self-similar Gaussian fields with stationary
increments. The simulation of such textures is obtained using a new algorithm
mixing the tangent field formulation with the Cholesky method or the turning
band method, this latter method having proved its efficiency for generating
stationary anisotropic textures. Numerical experiments show the ability of the
method for synthesis of textures with prescribed local orientation.Comment: in Frenc

Clausel, Marianne

Condat, Laurent

Perrier, Valérie

Polisano, Kévin

French

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National audienceThis paper presents two new models of oriented texture, based on a new class of Gaussian fields, called locally anisotropic fractional Brownian fields, with prescribed local orientation at any point. These fields are a local version of a specific class of anisotropic self-similar Gaussian fields with stationary increments. The simulation of such textures is obtained using a new algorithm mixing the tangent field formulation with the Cholesky method or the turning band method, this latter method having proved its efficiency for generating stationary anisotropic textures. Numerical experiments show the ability of the method for synthesis of textures with prescribed local orientation.Nous présentons dans ce papier deux nouveaux modèles de texture orientée, basés sur une nouvelle classe de champs gaussiens, appelés champs browniens fractionnaires localement anisotropes, à orientation locale prescrite en chaque point. Ces champs aléatoires sont une version locale d'une classe spécifique de champs anisotropes autosimilaires à incréments stationnaires. La simulation de telles textures s'appuie sur un nouvel algorithme couplant l'utilisation de la notion de champs tangents à la méthode de Cholesky ou plus récemment la méthode des bandes tournantes, cette dernière ayant prouvé son efficacité à générer des textures stationnaires anisotropes. Des applications numériques illustrent la faculté de la méthode à synthétiser des textures à orientation locale prescrite

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Mode´lisations de textures par champ gaussien a`orientation locale prescriteKe´vin Polisano, Marianne Clausel, Vale´rie Perrier, Laurent CondatTo cite this version:Ke´vin Polisano, Marianne Clausel, Vale´rie Perrier, Laurent Condat. Mode´lisations de texturespar champ gaussien a` orientation locale prescrite. XXVe`me colloque GRETSI (GRETSI 2015),Sep 2015, Lyon, France. <hal-01133948v2>HAL Id: hal-01133948https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01133948v2Submitted on 26 Jun 2015HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. 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Ces champs aléatoires sont uneversion locale d’une classe spécifique de champs anisotropes autosimilaires à incréments stationnaires. La simulation de telles textures s’appuiesur un nouvel algorithme couplant l’utilisation de la notion de champs tangents à la méthode de Cholesky ou plus récemment la méthodedes bandes tournantes, cette dernière ayant prouvé son efficacité à générer des textures stationnaires anisotropes. Des applications numériquesillustrent la faculté de la méthode à synthétiser des textures à orientation locale prescrite.Abstract – This paper presents two new models of oriented texture, based on a new class of Gaussian fields, called locally anisotropic fractionalBrownian fields, with prescribed local orientation at any point. These fields are a local version of a specific class of anisotropic self-similarGaussian fields with stationary increments. The simulation of such textures is obtained using a new algorithmmixing the tangent field formulationwith the Cholesky method or the turning band method, this latter method having proved its efficiency for generating stationary anisotropictextures. Numerical experiments show the ability of the method for synthesis of textures with prescribed local orientation.1 Textures et champs gaussiens autosi-milaires anisotropesLamodélisation de texture est un problème difficile du traite-ment d’image. Il existe une variété de méthodes associées à dif-férents champs des mathématiques : des méthodes dites struc-turelles, statistiques, ou encore à base de patchs, etc. Nous nousintéressons ici aux textures aléatoires présentant un comporte-ment fractal, pour lesquelles les même motifs se retrouvent àdifférentes échelles, comme c’est le cas pour les nuages ou lesreliefs montagneux. L’outil mathématique derrière cette pro-priété d’autosimilarité est le mouvement brownien fractionnaire,modèle stochastique bien connu introduit dans [1]. Néanmoins,l’utilisation des champs browniens fractionnaires, qui sont iso-tropes par définition, n’est pas adaptée à des données présentantde l’anisotropie. D’autres modèles ont été introduits dans la lit-térature pour y remédier, citons notamment le drap brownienfractionnaire [2, 3] et le champ brownien fractionnaire aniso-trope [4], satisfaisant une propriété d’anisotropie globale, oudans un autre registre les textures localement parallèles [5]. Laconception mathématique de modèles de textures anisotropeset leur synthèse, sont des éléments essentiels à l’estimation descaractéristiques anisotropes des images. Nous avons introduitdans [6] un nouveau modèle. Nous proposons dans cet articledeux simulations par champs tangents de ce modèle, dont unest extrait de [6]. La brique de base de ce travail s’appuie sur lechamp brownien fractionnaire dont nous rappelons la définitionet les propriétés.Le champ brownien fractionnaire (CBF) d’indice de HurstH ∈ (0, 1), désigné par BH , est l’unique champ gaussien àvaleurs réelles vérifiant :– presque surement BH(0) = 0,– incréments stationnaires : pour tout z ∈ R2,BH(·+ z)−BH(z)L= BH(·)−BH(0),– autosimilarité d’ordreH : ∀λ ∈ R?, BH(λ·)L= λHBH(·),– isotropie : pour toute rotation R de R2, BH ◦RL= BH ,oùL= désigne l’égalité en loi.D’après [7], le CBF peut se définir à partir de sa représentationharmonisable :BH(x) =∫R2eix·ξ − 1‖ξ‖H+1dŴ (ξ), (1)où dŴ est une mesure brownienne complexe et x ·ξ désigne leproduit scalaire sur R2. L’indice de Hurst H est un paramètrefondamental du CBF, comme indicateur de rugosité de la tex-ture. Plus H est grand, plus la texture résultante est lisse.Dans le but d’introduire de l’anisotropie dans le précédentmodèle, Bonami et Estrade [4] ont remplacé l’indice de HurstH dans (1) par une fonction dépendant de la direction ξ et ontdérivé une nouvelle classe de champs browniens fractionnairesanisotropes (CBFA) :X(x) =∫R2eix·ξ − 1‖ξ‖h(arg ξ)+1dŴ (ξ). (2)(a) (b)FIGURE 1 – Champ élémentaire de paramètresH = 0.2, α0 =pi6 et α = 10−2 simulé par (a) la méthode de Cholesky, (b) laméthode des bandes tournantes.Une classe de modèles anisotropes plus large peut être définieparX(x) =∫R2(eix·ξ − 1)f1/2(ξ) dŴ (ξ), (3)où la densité spectrale f est de la formef1/2(ξ) = c(arg ξ)‖ξ‖−h(arg ξ)−1. (4)avec c et h deux fonctions pi-périodiques définies sur l’inter-valle (−pi/2, pi/2] dont les images satisfont c((−pi/2, pi/2]) ⊂R+ et h((−pi/2, pi/2]) ⊂ (0, 1). Quand c et h sont toutes deuxconstantes, on retrouve le CBF d’ordreH ≡ h.Pour définir des modèles anisotropes stationnaires possé-dant une orientation globale α0, on peut fixer h ≡ H dans (4)et considérer :cα0,α(arg(ξ)) = 1[−α,α](arg(ξ)− α0), (5)pour un certain 0 < α 6 pi/2. Nous retrouvons ainsi leschamps élémentaires de [8], qui sont un cas particulier de CBFA.Quand α = pi/2, ce modèle correspond au CBF isotrope usueld’indice de Hurst H , mais dès que 0 < α < pi/2, le champn’est plus isotrope dans la mesure où les fréquences non nullessont confinées dans le cône [−α+ α0, α+ α0]. Plus la largeurdu cône α décroît vers 0, plus les fréquences sont concentréessuivant l’axe dirigé par α0, et plus la texture obtenue apparaîtorientée dans la direction orthogonale à α0, conséquence despropriétés de la transformée de Fourier.Un exemple de champ d’orientation globale α0 =pi6 est donnéfigure 1 (a) dont la réalisation est obtenue à partir de la fonc-tion de covariance, qui est couramment employée pour simulerdes champs gaussiens [9]. Cependant la complexité élevée deces algorithmes est un réel problème pour produire de grandesimages de textures. Une méthode efficace a été proposée dans[8], appelée méthode des bandes tournantes, et est utilisée icipour simuler la texture de la figure 1 (b).2 Une nouvelle classe de champs gaus-siens à orientation prescriteOn introduit maintenant un nouveaumodèle gaussien commeune adaptation locale du champ élémentaire défini dans (3)-(4)-(5) avec h ≡ H . Plus précisément, on définit le champ brow-nien fractionnaire localement anisotrope (CBFLA) par :X(x) =∫R2(eix·ξ − 1)f1/2(x, ξ) dŴ (ξ), (6)avecf1/2(x, ξ) = cα0,α(x, arg ξ)‖ξ‖−H−1, (7)cα0,α(x, arg ξ) = 1[−α,α](arg(ξ)− α0(x)), (8)α0 étant maintenant une fonction différentiable sur R2. Le CB-FLA est dérivé du CBFA de la même façon que le mouvementbrownien multifractionnaire (MBM) est dérivé du mouvementbrownien fractionnaire (MBF), puisque le paramètre d’orienta-tion α0 est remplacé par une fonction dépendant de la positionx, tout comme l’indice de Hurst H du MBM peut varier sui-vant la position [10].Champ tangent en chaque point. Afin de décrire et simulercette nouvelle classe de champs gaussiens, nous avons besoinde la notion de champ tangent, que l’on rappelle brièvement :un champ aléatoireX est dit localement asymptotiquement au-tosimilaire d’ordreH ∈ (0, 1) en x0 ∈ R2 si pour tout h ∈ R2le champ aléatoire ρ−H(X(x0+ρh)−X(x0)) admet en loi unelimite Yx0 quand ρ → 0 (c.f [11, 12] pour une définition plusgénérale). Le champ Yx0 est alors appelé le champ tangent deX en x0. Ainsi, le champ aléatoire X se comporte localementcomme Yx0 quand x → x0. Cette notion a été introduite pourla première fois dans [11] pour décrire le comportement localdu mouvement brownien multifractionnaire (qui se comportelocalement comme un MBF).Nous avons prouvé dans [13] que le CBFLAX de (6) admetpour champ tangent :Yx0(x) =∫R2(eixξ − 1)f1/2(x0, ξ) dŴ (ξ) . (9)On remarque que ce champ tangent Yx0 est un champ élémen-taire (3)-(4)-(5). La simulation d’un CBFLA requiert mainte-nant de savoir simuler le champ tangent en tout point d’unegrille discrète r−1Z2 ∩ [0, 1]2 avec r = 2k − 1, k ∈ N?.Deux méthodes sont proposées :(i) Simulation des champs tangents par la méthode deCholesky. La covariance d’un champ élémentaire Yx0 , qui est àaccroissements stationnaires, est reliée à son variogramme vYx0par Cov(Yx0(x), Yx0 (y)) = vYx0 (x)+vYx0 (y)−vYx0 (x−y),avec vYx0 déterminé par une formule explicite [8]. La matricede covariance Σ associée est de taille r2 × r2, et sa décom-position de Cholesky Σ = LLT est de complexité O(r6), cequi est extrêmement coûteux. Une réalisation du champ élé-mentaire peut être obtenue par Yx0 ∼ LZ (figure 1 (a)), oùZ ∼ (N (0, 1))r2. Une méthode plus fine est proposée dans [9].(ii) Simulation des champs tangents par bandes tournantes.La méthodologie de [8] a été adaptée dans [6].– Formulation discrète du champ tangentOn peut dériver une expression intégrale du variogramme de~Vx0c˜α0,α(x0, arg ξ)x0αTextureorientationf 1/2(x0, ξ) =cα0,α(x0, arg ξ)‖ξ‖H+1(a) (b) (c)FIGURE 2 – (a) Texture obtenue à partir du champ d’orientations ~V 1(x,y) en jaune et H = 0.2, (b) zoom autour du point rougex0 = (x, y) montrant localement un champ élémentaire orienté, (c) diagramme illustrant chaque paramètre du modèle CBFLA.Algorithme 1 Simulation du CBFLAEntrées: r = 2k − 1,H , α0, α, Sortie: X CBFLA de taille (r + 1)× (r + 1)1: (pi, qi)16i6n ← ChoixBandesDynamique(r, ε)2: Calculer et trier les angles (θi)16i6n : θi ← atan2(pi, qi)3: Calculer les largeurs de bandes (λi)16i6n : λi ← θi+1−θi4: Générer n CBF : BHi ← circMBF(r(|pi|+ |qi|), H)5: Initialisation : X ← 06: Pour tout (k1, k2) faire7: Pour i = 1 à n faire8: ωi ←√λiγ(H)cα0,α((k1, k2), θi)(cos θirqi)H9: X(k1, k2) ← X(k1, k2) + ωiBHi (k1qi + k2pi)10: Fin Pour11: Fin PourYx0 par un changement de variable en polaire :vYx0 (x) =12∫R2|eix·ξ − 1|2f(x0, ξ)dξ= γ(H)∫ pi/2−pi/2cα0,α(x0, θ) |x · u(θ)|2Hdθ,(10)où u(θ) = (cos θ, sin θ) et γ(H) = pi2HΓ(2H) sin(Hpi) .L’intégrale (10) est de la forme∫ pi/2−pi/2 v˜θ(x · u(θ))dθ avecv˜θ = γ(H)cα0,α(x0, θ)| · |2H . En ignorant le facteurγ(H)cα0,α(x0, θ), on reconnait que v˜θ est le variogrammed’unCBF d’ordre H . Par conséquent, Yx0 peut être vu comme unesomme de CBF tournant autour de l’origine. En discrétisant θen un ensemble ordonné (θi)16i6n de n bandes d’orientation,et en notant (λi)16i6n les largeurs de bandes associées λi =θi+1 − θi, les champs à bandes tournantes s’écriventYx0(x) = γ(H)12n∑i=1√λicα0,α(x0, θi)BHi (x · u(θi)), (11)où les BHi ’s sont n CBF d’ordre H . Cette version discrète estune bonne approximation dès lors quemaxiλi 6 ε petit.– Simulation le long de bandes particulièresFIGURE 3 – Texture obtenue pour le champ ~V2(x,y) etH = 0.2.Suivant [8], on choisit θi tel que tan(θi) =piqi, avec pi, qi ∈ Z,{BHi(k1rcos θi +k2rsin θi); 0 6 k1, k2 6 r}L=(cos θirqi)H{BHi (k1qi + k2pi); 0 6 k1, k2 6 r}, (12)etBHi (x ·u(θi)) peut ainsi être généré en utilisant l’algorithmerapide de Perrin et al. [14] sur une grille régulière.– Choix dynamique des bandes discrètesEn pratique, le choix des bandes d’orientation (θi)16i6n estgouverné par le coût de calcul global des BHi , au travers de laprogrammation dynamique [8].Simulation du CBFLA. Comme observé dans [10] pourle MBM, un champ gaussien peut être simulé à partir de seschamps tangents. Le CBFLA se comportant localement commeson champ tangent, en chaque pixel x0, on affecte X(x0) =Yx0(x0) obtenu par la méthode de Cholesky (i) ou des bandestournantes (ii). Le pseudo-code est donné dans l’algorithme 1.L’étape de pré-traitement (instructions 1,2,3,4 ), laquelle ne dé-pend pas des orientations locales prescrites, est exécutée unefois pour toutes. Le reste de l’algorithme a une complexité li-néaire en O(r2 logn). En effet, en chaque point (k1, k2), unebande tournante θi intervient dans le calcul de X(k1, k2) si etseulement si elle appartient au cône cα0,α((k1, k2), θi) 6= 0,soit |θi − α0((k1, k2))| 6 α. Le tableau θi étant trié, un telindice i peut être identifié par une recherche dichotomique.(a) (b)FIGURE 4 – Texture obtenue pour le champ ~V1(x,y) etH = 0.7(a) par bandes tournantes : bandes d’artefacts (b) par Cholesky3 Synthèse de textures orientéesLes paramètres utilisés dans les simulations sont r = 255,α = 10−1, et ε = 10−2. Afin d’éviter les artefacts numériquesdans (11) on considère une version régularisée c˜α0,α de la fonc-tion indicatrice cα0,α, typiquement une gaussienne. Pour α0constant, on retrouve les résultats de [8] (figure 1 (b)), qui estconforme à ce que l’on obtient par la méthode de Cholesky (fi-gure 1 (a)) considérée comme exacte. Toutefois l’emploi d’unefenêtre gaussienne c˜α0,α lisse la texture et augmente la régula-rité. Nous présentons maintenant des réalisations de textures àorientation prescrite en chaque point x0, donnée par le champde vecteurs ~Vx0 = u(α0(x0)). La figure 2 (a) est la textureobtenue à partir du champ de vecteurs ~V1(x,y) = (cos(−pi/2 +y), sin(−pi/2 + y)). Un zoom autour du point x0 (figure 2(b)) montre que localement un CBFLA se comporte commeun champ élémentaire. La figure 2 (c) schématise la fonctionde densité locale au x0 et les différents paramètres. Le champ~V1(x,y) présente des bandes d’artefacts plus marquées pour desindices de Hurst supérieurs (H = 0.7), comme le montre la fi-gure 4 (a) tandis que la simulation par la méthode de Choleskyen est exempte figure 4 (b). On considère enfin le champ de vec-teurs, ~V2(x,y) = (cos(sin(2x−1)), sin(sin(2x−1)), dont la tex-ture correspondante est représentée figure 3. D’autres exemplesont été donnés dans [6]. Comme attendu, les textures obtenuesavec notre approche présentent un comportement local aniso-trope, orienté orthogonalement au champ de vecteurs. De plus,la simulation d’une texture de taille 256×256 prend seulementquelques secondes avec la méthode des bandes tournantes, etplusieurs heures avec la méthode de Cholesky.4 ConclusionNous avons introduit un nouveau modèle stochastique pourla simulation de textures à orientation locale prescrite, vu commeune version locale du champ brownien fractionnaire anisotrope.Nous avons tiré parti de la formulation par champ tangent cou-plée à la méthode des bandes tournantes, pour proposer un al-gorithme efficace de simulation de ces textures. En couplantavec la méthode de Cholesky on supprime les artefacts mais onaugmente fortement le temps de calcul. Une extension de notremodèle à des indices de Hurst variant localement est en coursd’étude [13], et servira de test pour des estimateurs de régula-rité locale [15] et d’orientation locale [16, 17].Remerciements – Ce travail est soutenu par l’ANR dans le cadredu projet ANR-13-BS03-0002-01 (ASTRES).Références[1] B.B. Mandelbrot and J.W. 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Modélisations de textures par champ gaussien à orientation locale prescrite

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